Mathématiques – Page 6 – Science étonnante

Mathématiques 20 janvier 2014

Le scandale des séries divergentes ! (ou le retour de 1+2+3+4+5+… = -1/12)

Il y a quelques mois, j’ai écrit ce billet au sujet de la somme 1+2+3+4+5+… Toutes proportions gardées, ce billet est à ce jour le plus controversé de ce blog, et il m’a valu une flopée de commentaires parfois moqueurs ou condescendants.

Il faut dire que j’y expliquais que même si cette somme est a priori infinie, il est malgré tout possible de lui affecter une valeur finie : -1/12. Pire, on peut calculer cette valeur à partir de quelques manipulations heuristiques en apparence totalement interdites.

Absurde ! Ridicule ! Et pourtant les maths qui se cachent derrière ce résultat provocateur sont tout à fait réelles : bienvenue dans le monde des séries divergentes. Comme je n’en avais pas beaucoup raconté dans le premier billet sur les concepts mathématiques concernés, cela faisait quelques temps que je songeais à faire une suite un peu plus consistante à ce billet infamant.

Mathématiques 16 décembre 2013

Pour Noël, offrez un Gömböc !

Les fêtes arrivent et il vous manque des idées de cadeaux ?

Vous avez un parent ou un(e) ami(e) un peu scientifique ?

Alors offrez donc un Gömböc ! Un cadeau cher, totalement inutile mais geek en diable !

Mathématiques 18 novembre 2013

Comment être sûr qu’un résultat scientifique est vrai ?

La nouvelle a fait grand bruit parmi les chercheurs : d’après un statisticien américain, il se pourrait que presque 25% des résultats publiés dans littérature scientifique soient tout simplement faux.

Voilà qui ne va pas aider la science, déjà pas mal discréditée aux yeux d’une partie de nos concitoyens. Mais qu’est-ce que cette nouvelle veut dire ?

Pour le comprendre, il faut se pencher sur la méthode scientifique que les chercheurs utilisent pour valider leurs résultats, celle qui leur permet de décider si oui ou non ils ont vraiment trouvé quelque chose.

Mathématiques 28 octobre 2013

Les automates cellulaires élémentaires

Le monde du vivant tel qu’on le connait est d’une fantastique complexité; et pourtant à la base, il n’est fait que d’un nombre assez limité d’éléments chimiques, qui interagissent selon des lois relativement simples et bien connues. De fait l’apparition de la vie est certainement l’exemple le plus fascinant de cette question que l’on retrouve dans de nombreux domaines de la science :

Comment des objets simples interagissant selon des règles simples, peuvent-ils engendrer des comportements complexes ?

Grâce aux ordinateurs, on peut maintenant étudier cette question au moyen de programmes informatiques. Et de manière étonnante, pas besoin d’une énorme puissance de calcul : même les simulations les plus simples possibles réservent déjà pas mal de surprises. C’est le cas de ce qu’on appelle les automates cellulaires élémentaires.

Mathématiques 26 août 2013

Quand la musique est bonne, 3^12 = 2^19 [rediffusion]

Nouvelle rediffusion pour l’été 2013, avec ce petit billet sur les mathématiques de la musique !

Dans ce billet nous allons voir en quoi l’existence de la musique occidentale repose sur le fait que 3 puissance 12 est (presque) égal à 2 puissance 19 ! Et pour cela, construisons un piano !

Le principe est simple : on va partir d’une première corde, dont la vibration produit une certaine note, et on va chercher successivement à construire les autres cordes du piano. Notre critère étant d’introduire de nouvelles cordes dont les sons « vont bien » avec ceux des cordes que l’on possède déjà.

Et voyons où cela nous mène !

Mathématiques 15 juillet 2013

Les nombres de Mersenne

Les mathématiciens adorent les nombres premiers ! Non seulement ils sont à la base de problèmes simples mais encore non-résolus, comme la conjecture de Goldbach dont je parlais ici (tout nombre pair serait la somme de deux nombres premiers), mais les nombres premiers s’avèrent également très utiles dans la vie réelle, comme avec l’algorithme de cryptage RSA qui sert à protéger un grand nombre de nos secrets informatiques ou bancaires (sujet d’un autre billet).

Pour ces raisons, les mathématiciens adoreraient disposer d’une machine à fabriquer des nombres premiers, ou tout du moins d’une formule qui permette d’en construire à volonté.

Mathématiques 27 mai 2013

1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12 !

Les mathématiciens sont parfois un peu fêlés. En tout cas ils aiment bien essayer de repousser les limites de notre compréhension, quitte à défier le sens commun. Prenez par exemple la somme suivante : 1+2+3+4+5+6+7… et ainsi de suite. Combien vaut cette somme ?

Je pense que n’importe quel écolier censé répondrait « l’infini ». Eh bien oui, mais non. Les mathématiciens ont réussi à prouver que cette immense somme vaut en fait … -1/12 ! Nous allons nous aussi le démontrer, et rassurez vous, dans ce billet on ne va utiliser que l’addition !

Mathématiques 29 avril 2013

Le paradoxe de Simpson

Non, le paradoxe de Simpson ne tire pas son nom de Homer, mais de Edward Simpson, le statisticien qui l’a décrit pour la première fois en 1951. Il s’agit d’un de ces paradoxes mathématiques qui peut nous faire des noeuds à la tête, mais qui malheureusement est bien plus qu’une simple curiosité : bien comprendre ce paradoxe peut s’avérer essentiel pour prendre les bonnes décisions !

Alors si vous ne connaissez pas ce phénomène statistique très contre-intuitif, lisez la suite, et les bras devraient vous en tomber !

Mathématiques 1 avril 2013

Les courbes remplissantes (ou comment faire un coloriage avec un crayon ponctuel)

Ma fille n’aime pas quand les crayons de couleur sont taillés trop fins. Ben oui quoi, après c’est plus long pour colorier ! J’ai beau lui expliquer que grâce aux courbes remplissantes, on peut toujours tout colorier même avec un crayon infiniment fin, j’ai l’impression que l’argument ne passe pas.

Et pourtant, nous allons voir dans ce billet que l’on peut effectivement trouver des courbes qui remplissent totalement une surface en passant par tous ses points.

Et tant pis si ça va à l’encontre de l’intuition !

Mathématiques 25 février 2013

Propagation d’épidémies et graphes aléatoires

Comprendre comment se propagent les épidémies peut être d’une importance capitale. Qu’il s’agisse de maladies ou de virus informatiques, il est utile d’analyser à partir de quel point une épidémie peut s’emballer, ou bien quelle est la meilleure manière de traiter une population si on possède un antidote.

Pour étudier cela avec des simulations, on fait appel à des modèles où les individus sont représentés par des noeuds d’un réseau dont les liens sont aléatoires et figurent la possible propagation de l’épidémie : on parle de graphes aléatoires.