Mathématiques – Page 5 – Science étonnante

Mathématiques 11 août 2014

Aller à l’infini en un temps fini [rediffusion]

Une rediffusion estivale d’un billet un peu ésotérique, mais qui est un de mes préférés !

La théorie de la gravitation de Newton ayant plus de 300 ans, on peut légitimement penser qu’il n’y a plus grand-chose d’étonnant à y trouver. Et pourtant une construction publiée en 1992 nous réserve une drôle de surprise : il est possible d’envoyer des particules à l’infini en un temps fini !

N corps en interaction

La gravitation universelle semble une théorie relativement simple, en tout cas du point de vue des équations qui la décrivent. Et pourtant dès que plus de 2 corps interagissent selon les lois de Newton, la résolution des équations du mouvement devient la plupart du temps impossible de manière exacte : c’est ce qu’on appelle le problème à N corps.

Au cours de sa thèse à la fin des années 90, Jeff Xia a pu donner une réponse positive à une question ouverte depuis longtemps : il existe des situations où des corps en interaction newtonienne peuvent atteindre l’infini en un temps fini. Il a notamment montré explicitement que cela pouvait se produire avec un système de 5 particules en interaction.

La démonstration de ce résultat étonnant semble extrêmement ardue, mais on peut ici esquisser les grands principes de la construction.

Mathématiques 14 juillet 2014

Avec les règles de la boxe, le champion du monde de foot serait …

Ok, l’Allemagne est Championne du monde. Mais si on changeait les règles d’attribution du titre ?

9 Juillet 2006. La France s’inclinait en finale, ~~2:1 après prolongations~~ aux tirs au but après 1:1 face à l’Italie. Et avec le scénario que l’on sait. Mais quelques semaines plus tard, le 6 septembre 2006, les deux équipes se retrouvaient pour les premiers matchs de qualification pour l’Euro, et les Français se vengeaient avec brio en battant l’Italie 3 à 1.

Je me souviens avoir vu ce match avec un ami italien, et lui avoir fait remarquer que si le foot se jouait comme la boxe, la France serait redevenue ce soir-là Championne du monde.

En effet, à la boxe, celui qui bat le Champion du monde en titre…devient le nouveau Champion du monde !

Mon ami m’avait alors fait remarquer que je me trompais, puisque entre les deux confrontations France/Italie, au mois d’août 2006, l’Italie avait joué contre la Croatie et perdu 2:0. A ce petit jeu, le nouveau champion devait donc être la Croatie !

Je m’étais alors demandé ce qu’il se passait si on appliquait vraiment la règle de la boxe : est-ce que le titre de champion se balade jusqu’à des pays improbables ? Aujourd’hui, j’ai décidé de vérifier pour vous.

Informatique 30 juin 2014

Le test de Turing-Parker : un ordinateur peut-il improviser comme Charlie Parker ?

Il y a quelques semaines, il a beaucoup été question du fameux « test de Turing » de l’intelligence artificielle, où un algorithme essaye de tromper un humain au cours d’une conversation, en se faisant passer pour un autre humain.

Aujourd’hui je voudrais vous parler d’un autre domaine où les ordinateurs essayent de surpasser les humains : celui de l’improvisation musicale.

Il y a pas mal d’années – à l’époque où la musique occupait plus mes loisirs que la science – je jouais (entre autres) avec un excellent pianiste/informaticien qui m’avait parlé d’un algorithme capable d’imiter les improvisations de Charlie Parker.

Aujourd’hui j’ai voulu creuser cette question [Benjamin, si tu me lis, merci pour l’inspiration !]

Mathématiques 23 juin 2014

La rotondité de la Terre et les voiles des bateaux

Il y a quelques jours, ma fille m’a posé des questions sur la rotondité de la Terre. Je lui ai alors servi l’histoire habituelle, selon laquelle les Anciens avaient déjà remarqué que les voiles des bateaux étaient visibles avant leur coque, ce qui confirmait que la Terre était ronde.

Et puis je me suis demandé : est-ce bien raisonnable ? Est-ce que vraiment on pourrait ne voir que les voiles des bateaux ? Ou est-ce que l’effet est négligeable pour être vu à l’oeil nu ?

Eh bien faisons le calcul !

Mathématiques 9 juin 2014

Deux stratégies révolutionnaires en théorie des jeux (2/2)

La semaine dernière, je vous ai raconté comment un petit malin avait réussi à hacker un jeu télé basé sur le principe du dilemme du prisonnier (ici). L’histoire était amusante mais difficilement généralisable.

Cette semaine, nous allons voir comment récemment, deux chercheurs ont véritablement réussi à hacker le dilemme du prisonnier, et ce d’une manière totalement inattendue [1].

Ils ont en effet mis en évidence des stratégies nouvelles aux résultats assez incroyables. Tellement incroyables d’ailleurs, que je n’y ai pas cru ! Et j’ai dû les programmer moi-même dans une rapide simulation pour me convaincre qu’elles marchaient vraiment comme annoncé.

Mathématiques 2 juin 2014

Deux stratégies révolutionnaires en théorie des jeux (1/2)

La théorie des jeux est un domaine des mathématiques qui étudie … les jeux ! Enfin certains types de jeux. Cette discipline a été inventée à l’origine non pas pour s’amuser, mais pour comprendre la manière dont des individus aux objectifs différents pouvaient se mettre à collaborer (ou pas).

On pensait depuis longtemps que l’on avait fait le tour des questions intéressantes concernant les jeux les plus simples, et que plus rien ne restait à découvrir. Eh bien ça n’est pas le cas !

Dans ce billet et le suivant, je vais vous parler de deux stratégies révolutionnaires pour « gagner » à ce jeu qu’on appelle le dilemme du prisonnier. La première est assez anecdotique et nous vient d’un jeu télévisé. La deuxième est beaucoup plus sérieuse et pourrait bien être en train de bouleverser le domaine.

Mathématiques 28 avril 2014

Quel est le plus grand nombre possible utile ?

Les grands nombres nous fascinent, et ce depuis le plus jeune âge. Qui, enfant, n’a pas joué au jeu de celui qui dira le nombre le plus grand ? Grâce à l’imagination des mathématiciens, il est assez facile d’écrire des nombres absolument gigantesques, mais cela sert-il vraiment à quelque chose ? Y a-t-il des situations où l’on ait besoin de nombres vraiment gigantesques ?

Nous allons voir que dans la Nature, pas tant que ça. Mais dans les démonstrations mathématiques, oui ! Partons donc à la chasse au plus grand nombre utile à ce jour.

Mathématiques 31 mars 2014

Tous les triangles sont équilatéraux !

C’est un grand classique, mais après ce que je vous ai infligé la semaine dernière, je me suis dit qu’un peu de repos ne ferait de mal à personne !

Donc nous allons démontrer que tous les triangles sont équilatéraux. Rien que ça !

Et puisqu’on démontre que tous les triangles sont équilatéraux, il s’ensuit que 1+1=3, que les maths sont contradictoires, que Gödel l’avait prédit et que je suis le pape.

Mathématiques 3 mars 2014

La mystérieuse équation de Navier-Stokes

L’équation de Navier-Stokes est l’une des plus importantes de toute la physique. Si elle n’a pas la chance d’être aussi connue que E=mc2, elle nous sert pourtant à prédire la météo, simuler les océans, optimiser les ailes des avions et même améliorer le réalisme des jeux vidéos.

Bien qu’elle fut établie au XIXème siècle, elle continue de fasciner les ingénieurs, les physiciens et même les mathématiciens. Il faut dire qu’on a promis 1 million de dollars à celui qui percerait les mystères de l’équation de Navier-Stokes. Un exploit récemment revendiqué par un mathématicien kazakh, et dont on verra ce qu’il faut en penser.

Mathématiques 3 février 2014

La plus belle démonstration du théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est certainement le plus connu de toutes les mathématiques. Mais qui sait vraiment le démontrer de but en blanc ? Et pourtant il existerait plusieurs centaines de manières de le faire !

Pour ma part, je n’ai jamais vraiment réussi à retenir une seule démonstration plus de quelques heures … jusqu’à ce que j’en croise une bien particulière, la plus belle de toute à mon goût : une démonstration de physicien, bien sûr, puisqu’elle utilise l’analyse dimensionnelle ! (dont je parlais dans mon précédent billet)

Considérons un triangle rectangle. Il est parfaitement caractérisé par la donnée de son hypoténuse (appelons-là C) et de l’un de ses angles aigus (appelons le $latex \theta$). Je vous laisse vous en convaincre sur le dessin suivant : si je vous donne C et $latex \theta$, vous pouvez reconstruire ce triangle rectangle sans ambiguïté.