Cela fait plusieurs fois ces derniers temps que je vous parle de l’énergie du vide, sous une forme ou sous une autre.
Je vous ai déjà expliqué qu’en cosmologie, l’expansion accélérée de l’Univers peut s’interpréter comme étant due à une forme d’énergie du vide (voir ce billet).
Par ailleurs, du côté de l’infiniment petit, la théorie quantique des champs prédit justement que le vide doit posséder une énergie.
Mais manque de bol, comme je le racontais dans ma vidéo sur le sujet, l’énergie du vide prédite par la théorie quantique est \(10^{120}\) fois trop élevée pour expliquer l’expansion de l’Univers que l’on observe expérimentalement !
Aujourd’hui je voudrai revenir justement sur cette facette quantique de l’énergie du vide. Les calculs de la théorie quantique des champs conduisant à une valeur aussi ridiculement élevée, on est en droit de penser qu’il y a quelque chose de fondamentalement faux dans le raisonnement qui conduit à cette énergie du vide « quantique ».
Or il se trouve qu’il existe une expérience qui permet de mettre en évidence une conséquence bien réelle de cette énergie quantique du vide : l’effet Casimir.
Dans ce billet, je vais vous présenter ce qu’est l’effet Casimir, comment il découle de la théorie quantique des champs, et en plus vous allez voir qu’il va nous permettre de reparler de l’infâme et immonde somme
\(\displaystyle 1+2+3+4+5+6+\cdots = -\frac{1}{12}\)
L’effet Casimir a été baptisé ainsi non pas en référence au personnage de l’île aux enfants, mais au physicien hollandais Hendrik Casimir, qui travaillait à l’époque chez Philips. L’effet Casimir, c’est le fait que dans un vide parfait, deux plaques métalliques parfaitement conductrices doivent s’attirer avec une force inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare, et ce…à cause de l’énergie du vide !
Prédit en 1948 par Casimir, cet effet n’a été observé expérimentalement pour la première fois qu’en 1997. Alors pour comprendre comment Casimir en est arrivé là grâce à ses calculs, revenons d’abord sur ce qu’est cette mystérieuse énergie du vide qui apparaît en mécanique quantique.
Un simple ressort
Considérez le problème simple d’une masse \(m\) placée à l’extrémité d’un ressort de raideur \(k\). On va négliger la gravité et toute forme de frottement.
Je pense que c’est au programme du lycée scientifique de montrer que si on met la masse en mouvement, elle va osciller autour de sa position d’équilibre à une fréquence (ou plutôt une pulsation)
\(\displaystyle\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\).
Un autre truc simple qu’on peut écrire sur ce système (toujours programme de lycée je pense), c’est son énergie mécanique totale : la somme de son énergie cinétique (qui dépend de la vitesse v) et de l’énergie potentielle élastique du ressort, qui dépend de l’élongation x du ressort
\(\displaystyle E=\frac12 mv^2 + \frac12kx^2\)
Vous voyez sur cette expression que l’énergie mécanique est minimale et nulle quand v=0 et x=0, c’est-à-dire quand la masse est immobile dans la position où le ressort a une élongation nulle.
Ça paraît normal, non ?
Un ressort quantique
Maintenant imaginez que le ressort que nous venons de considérer soit microscopique, et obéisse donc aux lois de la mécanique quantique. Le principe d’incertitude de Heisenberg nous dit qu’un objet quantique ne peut pas avoir simultanément une position et une vitesse parfaitement définies. Donc en particulier la position et la vitesse de notre masse ne peuvent pas être toutes les deux nulles en même temps : cela implique que l’énergie mécanique totale de notre ressort (je devrais plutôt dire « oscillateur harmonique ») ne pourra jamais être parfaitement égale à 0.
On peut interpréter ça en disant que les fluctuations quantiques de la position et de la vitesse contribueront à un minimum d’énergie, même quand le ressort est supposément au repos. On appelle ce minimum l’énergie de point zéro.
Il faut savoir que même sans faire les véritables calculs de la mécanique quantique, on peut quand même estimer avec les mains la valeur de ce minimum d’énergie. Le principe d’incertitude de Heisenberg nous dit qu’au mieux on a \(px\approx\hbar\) donc
\(\displaystyle mvx \sim \hbar\)
On peut alors en tirer que \(v\) vaut au minimum \(\hbar/mx\), injecter ça dans l’expression de l’énergie mécanique totale et minimiser par rapport à x. Je vous passe les calculs mais on trouve alors que l’énergie minimum d’un oscillateur harmonique quantique est égale à
\(\displaystyle E_0 = \frac12\hbar\omega\)
où je vous le rappelle \(\omega\) est la fréquence de l’oscillateur.
Un champ électromagnétique quantique
Considérez maintenant le champ électromagnétique. On peut toujours voir toute onde électromagnétique comme la superposition d’ondes possédant chacune une fréquence bien définie, et qui obéissent à des équations qui sont analogues à celles d’un oscillateur harmonique. Evidemment je vous demande de me croire sur parole, mais on peut montrer que si l’on prend en compte les effets quantiques, le champ électromagnétique possède lui aussi une énergie de point zéro égale à
\(\displaystyle \frac12\hbar\omega\)
pour chacune de ses fréquences \(\omega\) possibles. Cette énergie minimale du champ électromagnétique quantique sera là quoi qu’il arrive, même si on est dans le vide parfait, dans lequel a priori aucune onde électromagnétique ne se propage. Cette énergie de point zéro se comporte donc comme une forme d’énergie du vide.
Evidemment vous voyez sans doute le problème : puisqu’il y a un nombre infini de fréquences possibles, tout ça nous fait une énergie du vide infinie ! Mais faisons mine d’ignorer cette difficulté pour l’instant.
Pour rendre un peu moins critique le problème des infinis, on peut s’amuser à réduire les fréquences possibles en enfermant notre champ électromagnétique entre deux plaques métalliques. En effet sur des plaques parfaitement conductrices, le champ électrique doit s’annuler : ainsi les fréquences susceptibles de s’établir entre deux plaques parallèles sont limitées, de la même manière qu’une corde de guitare attachée en ses deux extrémités ne vibre qu’à certaines fréquences.
Pour une guitare, les fréquences possibles sont les multiples de sa fréquence fondamentale. Eh bien pour le champ électromagnétique c’est pareil : si x désigne la distance entre les deux plaques, les seules fréquences du champ électromagnétique susceptibles d’exister sont les multiples entiers de la fréquence fondamentale
\(\displaystyle \omega_0 = \cfrac{\pi c}{x}\)
où \(c\) est la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques, c’est-à-dire la vitesse de la lumière !
Si on calcule l’énergie du vide totale qui se trouve entre deux plaques métallique, on trouve donc
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac12 \hbar (n\omega_0) = \frac12\hbar\omega_0\left(\sum_{n=1}^{+\infty} n\right)\)
Evidemment, tout ceci est encore méchamment infini, mais vous allez voir qu’on peut quand même en faire quelque chose !
Plus il y a de fréquences qui peuvent exister, plus l’énergie de point zéro sera élevée. Or intuitivement on sent que si on rapproche les deux plaques, il y a de moins en moins de modes qui vont pouvoir s’établir, donc cela va faire diminuer l’énergie. Or qui dit « possibilité de baisser l’énergie en bougeant » dit « force ».
Voici donc l’argument intuitif pour l’effet Casimir : deux plaques métalliques parfaitement conductrices placées dans le vide vont s’attirer car leur rapprochement permet de minimiser l’énergie de point zéro du champ électromagnétique dans la cavité.
Tout ça c’est très bien, mais pour l’instant je ne fais qu’agiter les mains et écrire des équations qui valent toujours l’infini. Alors est-ce que l’on peut calculer quelque chose de raisonnable et mesurable expérimentalement pour cette force ? Casimir nous dit que oui !
Le raccourci 1+2+3+4+5+…=-1/12
Un peu plus bas, je vais détailler pour ceux que ça intéresse le calcul véritable tel que l’avait plus ou moins proposé Casimir. Mais avant je voudrais vous montrer un raccourci qui va nous donner la réponse tout de suite en deux lignes ! Si vous vous intéressez un peu à la vulgarisation scientifique (ce que je suppose si vous avez tenu jusque là), vous n’avez pas échappé aux nombreux débats qu’il y a eu il y a quelques mois au sujet de apparemment absurde affirmation que la somme de tous les entiers jusqu’à l’infini était égale à -1/12.
\(\displaystyle \sum_n n = -\frac{1}{12}\)
Je ne vais pas revenir sur les raisons pour lesquelles cette affirmation n’est pas complètement débile, j’en ai déjà longuement parlé ici, mais je vais vous illustrer le fait que ce résultat peut servir en physique.
Reprenons le calcul de l’énergie de point zéro totale qui se trouve entre deux plaques métalliques parfaitement conductrices est donc a priori
\(\displaystyle \frac12\hbar\omega_0 \left(\sum_{n=1}^{+\infty} n\right) = \frac12 \frac{\hbar c \pi}{x}\left(\sum_{n=1}^{+\infty} n\right) \)
Si j’applique mon égalité infâme qui dit que la somme de tous les entiers vaut -1/12, je trouve pour l’énergie de point zéro en fonction de la distance \(x\) entre les plaques
\(\displaystyle E(x) = -\frac{\pi\hbar c}{24 x}\)
La force de Casimir
Nous avons grâce à notre raccourci obtenu une expression finie pour l’énergie du vide contenue entre deux plaques parallèles infinies parfaitement conductrices. On voit bien que l’énergie diminue quand les plaques se rapprochent, signe qu’il existe une force attractive entre elles.
On peut voir cette énergie comme une énergie « potentielle », et classiquement l’expression de la force s’obtient en dérivant par rapport à \(x\), on trouve
\(\displaystyle F(x) = \frac{\pi\hbar c}{24 x^2}\)
Et vous avez là l’expression de la force de Casimir, qui n’est pas du tout infinie. On peut calculer sa valeur pour une distance donnée; et comme je vous le disais en introduction, cette force a été observée expérimentalement et les valeurs mesurées pour la force en fonction de la distance sont en accord avec la prédiction théorique !
(Pour les curieux : Bressi, Giacomo, et al. « Measurement of the Casimir force between parallel metallic surfaces. » Physical review letters 88.4 (2002): 041804.)
Donc deux conclusions étonnantes s’imposent :
Premièrement, l’énergie du vide semble bel et bien exister, puisqu’on est capables d’en détecter ses manifestations, et notamment ses variations à travers la force de Casimir.
Deuxièmement, l’immonde somme 1+2+3+4+5+…=-1/12 n’est pas totalement absurde, puisqu’elle trouve au moins une utilisation valide en physique.
Quelques précautions oratoires quand même sur le sens de ce résultat. L’utilisation de la somme en question doit vraiment être vue comme un raccourci : il existe en effet plusieurs manières plus propres de faire véritablement le calcul, et je vous en présente une ci-dessous dans la section « Pour aller plus loin… ». Et bien sûr, même si utiliser cette série divergente permet de simplifier certains calculs, ça ne signifie pas que « la somme 1+2+3+4+5+…=-1/12 est démontrée expérimentalement » comme on l’entend parfois !
Les séries divergentes sont un outil mathématique, qui se trouve être utile en physique, s’il est bien utilisé.
Et pis c’est tout.
Pour aller plus loin… : Le vrai calcul détaillé !
Pour calculer l’intensité de la force de Casimir, j’ai utilisé le raccourci de l’infâme série divergente \(\sum n = -1/12\). Or la valeur de la force qu’on trouve en faisant est la bonne, la vraie valeur mesurée expérimentalement. Cela nous dit que malgré son caractère douteux, le fait d’utiliser cette somme doit quand même vaguement correspondre à quelque chose de raisonnable.
Et c’est le cas. Le fait d’utiliser cette somme est un raccourci qui permet de faire en rapide ce que l’on peut faire de manière plus propre et plus longue : un calcul régularisé. C’est ce que je vais vous faire ci-dessous : on va retrouver la même bonne valeur, mais en ne faisant que des opérations mathématiques légales, et en utilisant des petites hypothèses physiques afin de pouvoir donner un sens aux infinis.
Voyons le calcul dans les détails, sans utiliser l’infâme série divergente. Prenons donc deux plaques infinies parfaitement conductrices placées dans le vide, et puis on va faire le calcul dans seulement une dimension au lieu des 3 habituelles. Pour commencer on va supposer que seule l’une des deux plaques peut bouger (on se place dans le référentiel de la première si vous voulez). On note donc x la distance entre les deux.
Pour pallier au problème des infinis, on va imaginer que les plaques ont une épaisseur finie a. Dans ces conditions, il est vraisemblable que notre calcul va devoir être modifié par le fait que les fréquences très élevées (et donc les longueurs d’ondes très courtes) vont être sensibles à cette épaisseur non-nulle des plaques.
Une manière classique de prendre en compte cet effet est de régulariser la série divergente en introduisant un facteur d’atténuation, c’est-à-dire de supposer que l’énergie de point zéro décroit exponentiellement quand la longueur d’onde approche l’épaisseur a. Avec cette hypothèse, l’énergie régularisée du mode n vaut
\(\displaystyle\frac12 \hbar \omega_n e^{-a/\lambda_n}\)
où la fréquence du mode n est
\(\displaystyle\omega_n = \frac{n\pi c}{x}\)
tandis que sa longueur d’onde est
\(\displaystyle\lambda_n = \frac{2x}{n}\)
On obtient donc pour l’énergie totale régularisée pour des plaques d’épaisseur a situées à distance x
\(\displaystyle E_a(x) =\sum_n \frac12 \frac{\hbar \pi c}{x} n \exp\left(-\frac{an}{2 x}\right)\)
Pour les forts en maths, on peut facilement calculer cette somme, comme étant la dérivée d’une série géométrique de raison \(r=e^{-a/2x}\), un truc du genre
\(\displaystyle\sum_n n r^n = r \frac{d}{dr}\left(\sum_n r^n\right)= r \frac{d}{dr} \frac{1}{1-r} = \frac{r}{(1-r)^2}\)
Je vous épargne le calcul détaillé, on trouve
\(\displaystyle E_a(x) = \frac12\hbar\frac{\pi c}{x} \frac{e^{-a/2x}}{(1-e^{-a/2x})^2}\)
Ensuite puisqu’on va s’intéresser à faire tendre l’épaisseur des plaques vers 0, on peut se prendre le développement limité pour les petites valeurs de a. Il est un peu taquin, mais si on s’y met gentiment on trouve
\(\displaystyle E_a(x) = \frac{\hbar\pi c x}{2a^2} – \frac{\hbar\pi c}{24x} + …\)
Maintenant pour s’en sortir, on va utiliser une astuce. On va imaginer qu’il existe une troisième plaque située à distance L de la première, avec L très grand par rapport à x.
L’énergie totale du système est donc
\(\displaystyle E_a(x) + E_a(L-x) = \frac{L \hbar\pi c}{2a^2} -\frac{\hbar\pi c}{24x} + \frac{\hbar \pi c}{24(L-x)}\)
Évidemment, si on fait tendre a vers 0, tout ceci est encore méchamment infini. Mais ce qui nous intéresse n’est pas l’énergie, mais la force qui comme de coutume peut s’écrire comme le gradient de l’énergie. On trouve
\(\displaystyle F(x) = \frac{\hbar\pi c}{24x^2} + \frac{\hbar\pi c}{24(L-x)^2}\)
qui miraculeusement ne dépend plus de a ! Evidemment, elle dépend encore de L, mais puisqu’on a supposé que L était très grand devant x, on peut l’envoyer à l’infini et on récupère au final
\(\displaystyle F(x) = \frac{\hbar \pi c}{24x^2}\)
Vous voyez qu’en utilisant un schéma de régularisation adéquat supposant une épaisseur a finie des plaques et une distance L pour la troisième plaque, puis en se débarrassant de a et L en les faisant tendre respectivement vers 0 et vers l’infini, on trouve une valeur finie (et correcte !) pour la force de Casimir.
Évidemment, vous êtes en droit de penser que si on avait utilisé un schéma de régularisation différent, on aurait trouvé un résultat différent. Eh bien non, pas vraiment. Le résultat est relativement insensible au schéma de régularisation, et le fait d’utiliser la série divergente est une manière rapide d’accéder directement au résultat qu’on aurait en faisant une régularisation propre.
51 Comments
J’ai entendu que la somme des nombres entiers est aussi utile dans la théorie des cordes bosoniques, est-ce pour cela que tu la qualifies « d’immonde » ? :p je plaisante !
J’ai voulu me renseigner à ce sujet mais j’ai rien trouvé d’intelligible pour l’informaticien que je suis dont les maths les plus compliqués furent les séries de Fourier et les matrices… Du coup que donne la magie de la vulgarisation pour comprendre en quoi cette somme est impliquée dans la théorie des cordes ?
Merci en tout cas pour cet article très intéressant ! Continue !
Oui c’est vrai ! En fait on peut montrer que la théorie des cordes est inconsistante à cause d’un terme qui ne s’annule pas alors qu’il devrait. Ce terme est proportionnel à
$latex 1+\frac{D-2}{2}(\sum n)$
et on voit que si la somme des n vaut -1/12, ce terme a le bon gout de s’annuler en dimension D=26.
Haaa d’accord d’où le nombre magique D=26, je comprends mieux =)
Merci pour la réponse !
Bravo pour ce magnifique exposé !
et si tout cela n’était que du pseudo langage scientifique : et bien je m’y laisserais prendre à 100%, nous habitons sur la même planète et j’aime bcp l’effort de vulgarisation que vous faîtes, enfin de vulgarisation …pas trop qd même, cela s’adresse à des initiés mais cela nous permet de vous regarder comme un spectateur dans un stade, qui est incapable de courir plus de 50 mètres sans s’effondrer et qui vocifère quand un athlète rate une épreuve…
C’est tellement bien dit. Bravo pour cette comparaison ou je me retrouve complètement !
VOIR LE NOMBRE DU FERMATON/Dr Clovis Simard
Merci pour cet article. Je ne commente quasiment jamais mais un merci de temps pour tout le savoir que tu dispenses et pour ta grande pédagogie est le minimum que je puisse faire. J’ai vraiment apprécier de découvrir que -1/12 c’est pas complètement con et de comprendre d’où venait cette fameuse « énergie du vide ».
Un truc me turlupine cependant : tu écris « On voit bien que l’énergie diminue quand les plaques se rapprochent ». Oui car on a un terme en -1/x mais dans ce cas l’énergie diminue en tendant vers moins l’infini. Énergie négative ? J’ai pensé que le moins compensait un terme déjà négatif mais dans ce cas là l’énergie augmente vers +inf donc ça ne marche pas non plus.
Bonjour. Plusieurs choses:
– Merci puissance infinie pour votre travail.
– J’ai l’habitude de consulter mes blogs via feedly, mais les termes mathématiques de vos articles y sont coupés. Sauriez-vous pourquoi?
– Du coup je consulte vos articles directement sur votre site, mais le texte ne s’adapte pas bien au format de mon téléphone. Dois-je configurer quelque chose?
– Je trouve très difficile de suivre les commentaires sur vos articles, notamment ceux qui font référence à des points précis. Je me demandais si vous ne gagneriez pas à utiliser des commentaires « en ligne »? J’ai vu qu’il y avait un plugin wordpress pour ça. L’avez-vous testé?
– En parlant de commentaires, je suis étonné par la véhémence de certains, notamment sur le sujet des séries divergentes. Comment osent-ils? J’espère que ça ne vous affecte pas trop.
Merci encore.
Martin
Bonjour et merci pour les commentaires !
Pour feedly et les équations, je ne sais pas trop. Je les tape avec LaTeX qui est reconnu par WordPress, mais je ne sais pas comment c’est transmis à feedly.
Pour le téléphone, il faut que je regarde, il me semble pourtant que mon thème doit s’y adapter mais cela dépend peut-être du navigateur ou de l’OS.
Sur les commentaires en ligne, je n’ai jamais vu. Le problème est que je suis sur wordpress.com, donc je n’ai pas la liberté d’installer des plugins. Mais il faudra bien un jour que je passe sur mon propre site =
Quant à la véhémence des commentaires sur les séries divergentes…cela me laisse froid ! Elle vient souvent de jeunes idiots qui sous prétexte qu’ils ont fait une math sup se croient plus malins que tout le monde. Mais c’est vrai que j’ai du mal à comprendre l’obstination de ceux qui refusent de voir qu’il s’agit d’un véritable sujet de recherche en maths, ce que n’importe qui peut facilement vérifier en deux clics de wikipedia…
Je pense que quand on aborde un thème surprenant (voire sujet à controverse) comme celui des séries divergentes, on doit pas s’attendre à de telles attitudes. À ce propos, je vous soumets cette citation de Benjamin Franklin:
« Quand la vérité et l’erreur s’affrontent dans une joute équitable, la première l’emporte toujours sur la seconde. »
Pingback: L’effet Casimir…et le retour de 1+...
Bonjour,
jetez un œil dans mon blog :
http://flechedutemps.blogspot.fr/
Bien cordialement
S1 = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7…
S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14…
S3 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15…
S2 = 2*S1
S3 = S1 – S2
S3 = S1 – 2 S1 = -S1
1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7… = – (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15…)
Bizarre
Bonjour,
Vous ne pouvez pas faire des calculs aussi facilement avec des séries! Justement parce que ça mène à des erreurs grossières 🙂 les égalités que vous avez écrites sont fausses, pour pouvoir écrire ce genre d’égalités il faut d’abord démontrer la convergence de chacune des séries que vous allez ensuite additionner! Or ce n’est pas le cas des vôtres! (http://denis.monasse.free.fr/livre-html/coursse40.html)
Renseignez vous sur le concept de série divergente, par exemple dans mon billet sur le sujet https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/ (à lire EN ENTIER) ou bien si vous préférez sur Wikipédia https://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series
ou bien encore sur le blog de Terry Tao, médaille Fields quand même : https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
Excellent!!
merci pour ces liens, et autant pour moi. Au passage, un grand merci pour votre blog, il est passionnant!!!!
J’ajoute deux liens en français (après tout cette rubrique est francophone!):
* http://images.math.cnrs.fr/Liberte-et-formalisme-1-2-3-4-5.html et
* La remarquable conférence de Jean-Pierre Ramis https://vimeo.com/30907930
S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7…
S1 = (1 + 2 + 3 + 4) – (2 + 3 + 4) + (2 + 3 + 4 + 5) – (3 + 4 + 5) + (3 + 4 + 5 + 6) – (4 + 5 + 6) + (4 + 5 + 6 + 7) – (5 + 6 + 7)…
S1 = 10 – 9 + 14 – 12 + 18 – 15 + 22 – 18…
S1 = 10 + 14 + 18 + 22… – 9 – 12 – 15 – 18…
S1 = 2 * (5 + 7 + 9 + 11…) – 3 * (3 + 4 + 5 + 6…)
or
S1 = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7…
S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14…
S3 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15…
S2 = 2 * S1
S3 = S1 – S2
S3 = S1 – 2 S1 = -S1
Donc, si
S1 = 2 * (5 + 7 + 9 + 11…) – 3 * (3 + 4 + 5 + 6…)
Alors
S1 = 2 * (- 1 – 3 + S3) – 3 * (- 1 – 2 + S1)
S1 = -8 – 2*S1 + 9 – 3*S1
6*S1 = 1
S1= 1/6
Tu peux pas ecrire S3 = S1 – S2
Intuitivement je dirais que S1 – S2 = -S1
Si on fait le calcul terme à terme S1 – S2 = 1-2 + 2-4 + 3-6 + 4-8…= -1-2-3-4…
Sa ressemble vachement plus à S1 qu’a S3
S1 = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7…
S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14…
S3 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15…
On voit S2+S3=S1 => S3=S1-S2 si
s=1+2+3+4+5+6+…..=1+( 2+3+4 )+(5+6+7)+(8+9+10)+…….=1+9+18+27+36+…=1+9(1+2+3+4+….)=1+9s Donc s=-1sur 8
Bonjour,
Merci pour cet article, d’ailleurs il me semble que c’était grâce à ton blog que j’avais découvert ces histoires de séries divergentes, pour lesquelles je ne suis d’ailleurs toujours pas sûr de vraiment tout comprendre. Du coup, quand on me demande mon avis sur ce phénomène (« Dis, toi qui as fait des maths… »), je me contente de dire que ce n’est qu’une extension de la définition de l’addition qui permet ça, et qu’avec la définition classique de l’addition telle qu’on la connaît, ça ne marcherait pas. Ce qui en soi est correct. Si ça peut servir à d’autres gens qui sont dans le même problème que moi… 🙂
Cela dit, mon commentaire porte plutôt sur les calculs régularisés. Je ne connaissais pas, et Wikipédia m’indique que ça apparaît principalement en théorie quantique des champs. Par contre, je ne suis pas sûr de comprendre comment ça peut être utilisé pour donner des résultats exacts comme ici, est-ce que tu pourrais m’éclairer là-dessus ?
(Accessoirement je confirme le bug feedly, mais c’est plus un bug côté feedly que conf’ wordpress : https://feedly.uservoice.com/forums/192636-suggestions/suggestions/3745440-latex-math-support)
Amour et chocolat,
scanafri
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Salut David,
Je ne suis pas du tout un expert sur la question, mais il me semble que le paradoxe que tu pointes (un champ d’énergie théoriquement infinie à l’intérieur des deux plaques) se dissipe facilement dès qu’on prend en compte le champ à l’extérieur des deux plaques, créée par l’énergie du vide entre les plaques et les bords de la cavité où règne le vide. En effet ce qui crée la force d’attraction des plaques c’est non pas la valeur absolue de l’énergie du vide entre ces plaques, mais la différence entre celle-ci et l’énergie du champ à l’extérieur des plaques. Dans ton complément de calcul, l’introduction de la troisième plaque à (grande) distance L n’est donc pas du tout une astuce de régularisation, mais l’élément indispensable pour calculer cette différence, qui correspond à un vrai phénomène physique!
Autrement dit, il y a davantage de modes de résonance entre les plaques et les bords de la cavité qu’entre les plaques elles-mêmes. Et comme on peut imager ces modes de résonance par les rebonds de photons de part et d’autre de chaque plaque, il y a une pression plus faible à l’intérieur des plaques qu’à l’extérieur, ce qui attire les plaques l’une vers l’autre. Peu importe qu’on ne sache pas calculer les pressions « absolues » de chaque côté des plaques, du moment que leur différence est calculable et finie.
Mais du coup, et c’est là où je voulais en venir, le fait qu’on trouve le bon résultat final avec « l’infâme égalité » me laisse dubitatif, puisque dans le raisonnement on omet complètement de calculer la différence de pression…
J’en profite pour te signaler une coquille au début de l’article: « même si on est dans le vide parfait, dans lequel a priori aucune onde électromagnétique ne se propage ». Heureusement que les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide, sinon on serait dans le noir et morts de froids 😉
Salut Laurent, content de te retrouver dans ces colonnes 🙂
Oui tu as raison, il y a une subtilité sur cette différence entre un infini issu d’une intégrale continue, et d’une somme discrète. La raison pour laquelle la somme infâme fonctionne est liée je crois à la formule d’Euler MacLaurin, où on retrouve le 1/12, voir ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula#Applicable_formula
Je n’ai jamais pris le temps de totalement éclaircir le lien, mais à partir de ça on doit pouvoir expliquer pourquoi le raccourci fonctionne.
Merci pour ce billet autant immonde qu’instructif! J’ai relu le billet sur la série des nombre premier pour me remettre en mémoire la démonstration. Il n’est peut-être pas tout à fait étonnant que cette série serve en physique quantique. On sent bien que pour passer de la relativité à la physique quantique on change de paradigme.
La relativité décrit un monde habituel (ou presque) le monde du « continu » avec une certaine cohérence déterministe alors que la physique quantique nous parle d’un monde tout à fait étrange, discret fait de statistiques de coexistence d’état l’inverse de ce qu’on pressent et de ce qu’on apprend depuis tout petit. Bref Les maths permettant de décrire la physique quantique sont peut-être différentes. Refonder nos théorèmes classique avec une autre approche (pourquoi pas heuristique) n’est sans doute pas inapproprié. Après-tout c’est assez classique en math. Par exemple si on change l’axiome d’Euclide on tombe sur la géométrie projective qui a tout son sens.
Je pousse un peu plus loin. en lisant les commentaires je vois un de vos lecteur proposer une autre valeur à la série avec une démonstration qui se tient (je trouve en tout cas). On a l’impression qu’on arrive à une contradiction parce-qu’en math la même quantité ne peut avoir qu’une seule valeur, en tout cas dans les maths classique. Mais de la même manière on pense en général qu’une particule ne peut avoir qu’un seul état. Dans les math que vous proposez on a l’impression qu’une série pourrait avoir plusieurs solutions comme une particule pourrait avoir plusieurs états. De là à dire qu’une particule en physique quantique serait une série divergente, je ne me risquerai pas à faire le parallèle. Néanmoins on voit bien que dans la démonstration heuristique le regroupement des termes a une importance et influe le résultat. C’était la remarque que je m’étais fait intuitivement à la première lecture mais je n’avais pas pu le démontrer.
Bref tout ceci est plus philosophique que mathématiques j’en suis désolé mais j’y trouvais une analogie immonde. 😉
Sur les questions que vous posez vous pourrez trouver une réponse dans Jean-Pierre Ramis « Les développements asymptotiques après Poincaré, » http://smf4.emath.fr/en/Publications/Gazette/2012/134/smf_gazette_134_17-36.pdf
Cet article est une forme de vulgarisation de (très?) haut niveau. La section 10 évoque les liens entre les séries divergentes et la réduction de la mécanique quantique à la mécanique classique. Quant à la section 8, elle parle de la non unicité de la sommation de séries divergentes, point sur lequel les opinions de Nicolas Bernouilli et Euler divergeaient. (:-
Personnellement, je suis plutôt de l’avis de Ramis, Euler, Stokes et Poincaré et apprécie côté élégant et efficace des séries divergentes.
Ces deux phrase ci dessous me laisse supposé, que le vide dispose d’une source d’énergie.
« cette force a été observée expérimentalement »
« Premièrement, l’énergie du vide semble bel et bien exister, puisqu’on est capables d’en détecter ses manifestations, et notamment ses variations à travers la force de Casimir. »
Ya t’il un débouché sur une application pratique, comme par exemple une méthode même expérimentale pour obtenir un travail mécanique ou une machine a produire de l’électricité ?
Juste curieux !
Le concept d’infini, valide pour les mathématiques n’est pas applicable à la physique. Je suis en plein accord avec Magnan sur ce sujet. Les mathématiques doivent se borner à décrire la physique (ce qu’elle fait très bien) et surtout pas à la remplacer en spéculant sur les infinis. C’est le mal du siècle, lié à psychorigidité des « maîtres » de Copenhague. David, vous avez fait preuve de clairvoyance en parlant de la dualité de la localité en matière de variables cachées dans la problématique de l’intrication. La dualité de localité au sens élargi est la clé de la compréhension de la physique. Savez-vous ce qu’a dit Riemann au sujet de sa fonction zêta, concernant le calcul de l’anomalie du moment magnétique de l’électron ? Il a dit : « il aura fallu cette supercherie pour sauver la QCD ». Il savait très bien que la mathématique n’est pas la physique. Il se méfiat de la redoutable efficacité des mathématiques. Comment vous situez-vous dans l’interprétation des inégalités de BELL ? Dites vous que tout va bien car cela est prévu par l’équation de Schrödinger ? Ou dites vous que cette dernière est incomplète car elle ne précise pas l’opérateur position ? Comment vous situez vous dans le classement de Mermin et Bricmont : a) pas compris, b) c’est Schrödinger qui donne l’ instantanéité par défaut ou vive les infinis en physique ; c) il vaut mieux éluder ?
En tout cas vous avez un super sens de la pédagogie et ne manquez pas d’intelligence.
Bien à vous
Je vais poser une question idiote …
L’énergie du vide est calculée entre 2 plaque infinies……Mais avec les plaques ..ce n’est plus le vide ?
D’ailleurs x infini ===> E= 0
Mais comme j’imagine que vous avez raison …Pourquoi les plaques n’introduisent elle pas un biais ?
Bonjour David.
En lisant tes articles notamment sur le théorème de Godel, la quantique, et celui-ci je me suis demandé si étant donné que les maths que nous utilisons sont fondées à partir d’axiomes que notre expérience concrète affirme (1 pomme + 1 pomme = 2 pommes donc 1+1=2) qui n’ont certainement pas de sens en quantique il faudrait partir d’autres axiomes pour la comprendre…
Par exemple qui prédisent le -1/12
Je ne m’y connais pas trop et ne sais pas si mon idée a du sens mais puisque je me suis posé la question j’aimerais bien savoir 🙂
Bonjour,
Vous avez totalement raison.
En quoi le chiffre ,le symbole, puis le nombre (chiffre + base de numération + règles addition,soustraction, division,etc.., « supérieur à » « > » …) représente un élément matériel ou temporel ? ( onde, corpuscule …).
Les « curiosités arithmétiques » ne sont pas différentes de formes surprenantes, symétriques de la nature …
Jetez un œil dans mon blog :
http://flechedutemps.blogspot.fr/
et laissez un commentaire sur tel ou tel article qui vous parait faux ou abstrus.
Bien cordialement
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Bonjour,
Pour tous ceux qui peuvent être supris comme moi par cette « somme infâme » regardez la vidéo du lien suivant :
https://www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U
Cela vous aidera à comprendre d’ou ça sort.
La démonstration aide aussi à mettre un contexte.
Parcontre je n’arrive pas à trouver l’expression de la pression mentionné dans le PDF mis à dispo des curieux à partir de celle de la force.
D’ou vient ce facteur PI/10 et pourquoi d est à la puissance 4 ? La démarche pour trouver la force ne m’a pas trop poser de probléme (j’ai un peu buté pour retrouvé l’érnergie du point zéro).
D’ailleurs il faut prendre la constante de planck réduite divisé par 2 les incertitudes de Heisenberg pour qu’on retrouve exactement l’expression de la force.
Mais par-contre pour trouvé la pression, je suis bloqué.
Merci de votre aide.
Bonjour, je ne suis absolument pas une matheuse, et à 64 ans les études sont très lointaines. Cependant je vous remercie car l’écoute de vos vidéos et la lecture de vos pages sont très compréhensibles comme l’ouvrage de S Hawking. Car même si je suis bien incapable de refaire des équations, je pense saisir le sens général de vos sujets, et je me sens moins bête le soir en me couchant. Donc merci et continuer
Bonjour,
après beaucoup de recherches sur la toile, j’ai une incompréhension à propos de l’expression de la force de Casimir. Partout je la vois inversement proportionnelle à la distance puissance 4 (faisant apparaître au passage la surface des plaques, qui permet de rester dimensionnement cohérent)! Ici, on a une force inversement proportionnelle au carré de la distance seulement… Peut-être que le problème étudié n’est pas le même, mais je ne trouve pas la nuance entre l’explication ici et celle que je trouve dans les cours, les autres vulgarisations…
Sinon, très bonne introduction au sujet, je n’ai pas trouvé plus clair pour un niveau math sup !
Bonjour,
Je réponds rapide sans vérifier : ce ne serait pas du à la dimensionnalité du problème. Là j’ai en fait parlé de l’expression en 1D, et en réalité il faut regarder l’expression en 3D.
« Deuxièmement, l’immonde somme 1+2+3+4+5+…=-1/12 n’est pas totalement absurde, puisqu’elle trouve au moins une utilisation valide en physique. »
J’ai souvent un peu de mal avec ce genre d’arguments ou l’on dit « ça fonctionne donc ça a plus ou moins du sens »
J’ai cependant une question, pourrait-il y avoir des paramètres caché dans cette théorie ? je ne connais pas assez bien ce qui entour l’effets casimir !
24 c’est la factorielle tronquée divisible par 24 comme tout produit de trois nombres consécutifs dont le central est impair…
Bonjour
je n’ai pas trouvé d’endroit plus approprié pour poser les 2 questions suivantes :
1) on parle d’énergie du vide .. donc cela n’est pas réellement vide au sein de néant. Cela veut il dire que la notion de vide en mécanique quantique est équivalent à la notion d’espace-temps de la relativité ? ou bien le vide est lui même le contenu de l’espace-temps qui en est le contenant ?
2) Dans la théorie du big bang l’espace temps est en expansion qui plus est une expansion accélérée. Dans ce cas d’où vient l’énergie du « vide supplémentaire » qui apparait de part l’expansion?
Une question qui se pose est de considérer ce qui se passe réellement entre les deux plaques, quelle que soit leur épaisseur et la nature effective du matériau qui les compose. Les modes de vibration stationnaires entre les plaques ne peuvent pas s’étendre à l’infini, pour plusieurs raisons, dont l’une est facile à comprendre : les photons de fréquence élevée sont connus comme des rayons gamma, et les plaques sont transparentes pour ces photons, aucun régime vibratoire stationnaire ne peut s’établir puisque pour ces photons les plaques n’existent pas…
La fameuse somme des entiers naturels ne s’etendant plus à l’infini, sa valeur ne peut pas être prise pour – 1/12. Malgré tout, le calcul faux donne un résultat juste. Mais il est faux quand même !
Cette somme infinie qui au final vaut un tout petit truc, on pourrait pas faire un lien avec l’univers qui ne serait pas infini, mais replié sur lui même ? Ah, ça me trottait trop dans la tête, il fallait que je l’écrive 😀
Bonjour à tous,
Tout d’abord, merci pour ce beau travail. Je ne comprend absolument pas ce qu’est l’énergie de point 0 du champ E. C’est une énergie volumique ? Si c’est une énergie volumique, rapprocher les plaques va augmenter l’énergie totale puisque on va mettre dans le volume déplacé non pas l’énergie des modes entiers mais l’intégrale sur tout le spectre. A moins que tu considères que le système est d’extension infinie de chaque côté des plaques ? Ainsi, que signifie cette énergie, est elle localisée ?
Je voulais également savoir si il n’y avait pas une approche directe. Peut on montrer que cette force résulte de la différence des pressions de radiation entre la série des modes de résonnance à l’intérieur de la cavité et l’intégrale selon f des rayonnements possibles à l’extérieur (P proportionnelle à l’intensité lumineuse) ? Cependant, comment calcule t’on l’intensité lumineuse quantique ?
Bien cordialement
Pulsar98
Je fais ma propre réponse 🙂 L’expression que tu donnes de l’énergie n’est pas homogène à une énergie volumique. Je ne comprend donc pas ce que ça signifie.
Bonjour
Où en sommes nous aujourd’hui de cet exposé ? Il serait nécessaire d’éclaircir le lien entre -1/12 et la formule d’Euler Maclaurin car les lecteurs peuvent être un peut sceptique comme moi même en ce moment. Entendre dire que Casimir a utilisé cette somme est courant mais je ne trouve aucune preuve nul part.
Quand on lit la publication de Casimir, il utilise la formule d’Euler Maclaurin dans laquelle effectivement -1/12 apparaît, mais est-ce vraiment un terme qui remplace la somme des entiers ?
Nul part dans sa publication et dans les divers exposés qui en sont fait (Duplantier par ex.) je ne trouve une utilisation directe de cette valeur pour la somme des entiers.
En tout cas, merci pour vos vidéos et articles toujours de bonne qualité et d’un grand intérêt.
Claude
Question : la force de Casimir n’est-elle pas en contradiction avec la loi de la conservation des énergies ? En effet, l’effet Casimir consiste (si j’ai bien compris) à se » brancher » sur l’espace et à en tirer une force, donc de l’énergie. Une énergie sortie de nulle part mais qui produit un effet mesurable, donc source d’énergie provenant du néant. Ceci contredit » rien ne se crée mais tout se transforme » = loi de la conservation des énergies. Si cette thèse s’avère juste alors j’ai des doutes sur la conservation des énergies dans le rayonnement d’Hawking.
Comment parler de vide si deux plaques y sont présentes ?
Je pense qu’il est TROP facile de justifier des théories par les maths !
Les maths finissent toujours par dire ce qu’on veut leur faire dire.
Ce n’est qu’une question de temps et d’introduction de variables ou de constantes, au gré des matheux.
Le monde quantique les utilise à outrance pour masquer une évidence : la matière n’existe pas.
Seul existe celui qui perçoit et ce qui stimule ses percepteurs.
» ce » peut être appelé « la matière » si cela vous semble plus simple 🙂
dsl pour la faute : lire « seuls existent » au lieu de seul existe.
Je voudrais ajouter aussi que le vide a par définition et dans toute expérimentation des limites ou un contenant, si vous voulez.
Pourquoi Mr Casimir et les physiciens ne semblent-ils pas tenir compte de l’interaction de ce contenant ?
Nous avons une intuition de l’indéfini par la génération de la suite des nombres entiers naturels par la réitération de l’opération d’addition de l’unité (+1). Pendant des siècles, de Zénon d’Elée aux inventeurs du calculs infinitésimal, nous avons confondu cette indéfini ave l’infini (généralement identifié aux dieux puis à Dieu). Cette confusion n’a cessé qu’au XIX° siècle avec la théorie des infinis de Georg Cantor et la théorie des ensembles de David Dedekind. Ce dernier définit l’infini par ce qui nous paraît un paradoxe, relativement à notre intuition de l’indéfini qu’une partie de notre cerveau continue à nommer « infini » et à prendre pour l’infinité des infini de Cantor. Nous ne prenons jamais en considération cette définition paradoxale de l’infini. Pour sortir de cette impasse, il faufrait peut-être sortir de notre hypothèse implicite de commutativité et prendre au sérieux la Géométrie non-commutative d’Alain Connes qui :
est partie des matrices de Heisenberg ;
a permis de justifier la renormalisation de Richard Feynman.
Merci, David, pour cet article passionnant – oui, je sais, je radote !
Deux remarques auxquelles j’espère que, malgré l’ancienneté de ce billet, vous aurez le temps de répondre.
1) Dans le développement asymptotique de E_a(x), je trouve que le coefficient 2 (devant a²) est en fait au numérateur :
E_a(x) = 2ℏπcx/a² – ℏπc/24x + o(1)
2) Beaucoup plus important, je ne comprends pas l’intérêt du stratagème de la 3e plaque située à une très grande distance L qui tend ensuite vers l’infini. Sans faire cela, on obtient simplement F(x) = 2ℏπc/a² + ℏπc/24x², où le terme constant supplémentaire 2ℏπc/a² est égal à F(∞), qui serait donc la force d’attraction (non nulle, fait remarquable !) entre deux plaques situées infiniment loin.
Au contraire, avec votre calcul, on obtient F(∞) = 0 ce qui me semble physiquement plus réaliste. En tout cas, les deux versions ne peuvent pas être toutes les deux correctes ! Alors ?… Si mon raisonnement est faux, j’aimerais comprendre pourquoi.