Il y a quelques jours, ma fille m’a posé des questions sur la rotondité de la Terre. Je lui ai alors servi l’histoire habituelle, selon laquelle les Anciens avaient déjà remarqué que les voiles des bateaux étaient visibles avant leur coque, ce qui confirmait que la Terre était ronde.
Et puis je me suis demandé : est-ce bien raisonnable ? Est-ce que vraiment on pourrait ne voir que les voiles des bateaux ? Ou est-ce que l’effet est négligeable pour être vu à l’oeil nu ?
Eh bien faisons le calcul !
Un peu de géométrie
Le problème est assez simple. Imaginons un grand mât, situé à une distance de disons quelques kilomètres. A cause de la courbure de la Terre, la partie inférieure de ce mât ne sera pas visible. La question est : quelle est la taille de cette partie obstruée ? Si c’est quelques centimètres, peu de chances qu’on le remarque. Si c’est plusieurs mètres, ça commence à devenir crédible.
Faisons un peu de géométrie. J’ai tracé un schéma ci-contre, où j’ai évidemment exagéré les dimensions pour les besoins de la cause. Le rayon de la Terre est \(r\), le mat est située à une distance \(c\) (mesurée en ligne droite) de l’observateur A. Quelle est la taille de la partie obstruée ?
Le premier rayon lumineux obstrué par la rotondité de la Terre (AB, dessiné en rouge) est juste tangent à la courbure de la Terre. On voit que la longueur obstruée \(L\) est égale à la distance \(OB – r\). En faisant un peu de géométrie dans le triangle rectangle OAB, on peut écrire que
\(OB = \frac{r}{\cos \theta} \)
Il nous faut ensuite trouver l’angle \(\theta\). Heureusement il existe une relation facile à démontrer entre le rayon \(r\) d’un cercle, l’angle \(\theta\) et la longueur de la corde \(c\) sous-tendue par cet angle. On a :
\(c = 2r \sin(\theta/2)\)
On a donc
\(\theta = 2 \arcsin (c/2r)\)
Vous voyez qu’on va devoir prendre le cosinus de cet angle et avoir un truc qui a l’air compliqué.
Heureusement, il y a là aussi une formule de trigo toute prête qui nous sauve, on a de manière générale pour tout \(x\)
\(\cos (2\arcsin x) = 1 – 2x^2\)
Si on regroupe tout, on a donc que la longueur obstruée est égale à
\(L=\frac{r}{1-2(c/2r)^2} – r\)
Après un petit choc de simplification, on a alors
\(L = \frac{c^2 r}{2r^2-c^2}\)
Application numérique
Dans tous les cas pratiques, on a \(c <<R\), puisque le rayon de la Terre est d’environ 6400 km, et que l’on va considérer des bateaux à une distance de quelques kilomètres. On se ramène donc à une expression très simple qui est
\(L \sim \frac{c^2}{2r}\)
qu’on aurait certainement pu trouver directement en prenant dès le début une approximation « petit angle » pour \(\theta\).
Avec une distance de 10 km, et on trouve pour la partie obstruée une distance d’environ 8 mètres. Suffisant pour obstruer la coque du bateau mais laisser les voiles visibles. Voilà qui paraît tout à fait raisonnable !
Petite vérification, une distance de 8 mètres vues sous 10km représente un angle de 0.044 degrés, soit 2,7 minutes d’arc. On estime que le pouvoir de résolution de l’oeil est d’environ 1 minute d’arc, donc ça peut presque coller même à l’oeil nu. Avec une longue vue, encore plus simple. Bien sûr il faut un temps clair, pas de vagues, etc.
Si quelqu’un veut offrir une belle photo qui montre le phénomène avec un joli bateau à voiles, je suis preneur !
Billets reliés
- Le calcul de la circonférence de la Terre par Erathostène
- Tous les triangles sont équilatéraux, en espérant que ça ne tombe pas au bac !
Crédits
- Les bateaux de Christophe Colomb, Wikimedia Commons
- Schéma : David Louapre / Science étonnante
- Aground Tauranga Pukehina 5 Oct 11 4, Rick, Flicker CC
55 Comments
A cela, il faut rajouter un « effet mirage » dû aux couches d’air, un peu comme ce qui se passe lors du fameux rayon vert. Donc le bateau est encore visible un laps de temps en plus après avoir passé l’horizon.
Ceci est faux et ne tient pas la route. Cette théorie de « l’effet mirage » a été prouvé nulle. Le mirage ne peut renvoyer qu’une image à l’envers (principe de la réfraction) et avec un puissant zoom, on voit pertinemment bien l’image réel. On peut voir la cathédrale d’Amiens ou de Chartres depuis la Tour Eiffel (+ de 100km) par temps clair et bien dégagé. Idem pour les Alpes depuis le Puy de Dome (300km) ou tout le Canigou depuis Marseille (265 km). Donc il y a un problème avec la courbure terrestre….
Avant de conclure n’importe quoi (qui est sans doute rigolo mais qui risque d’influencer des esprits faibles) il faudrait faire le calcul (voir à la fin).
Disons tout de suite que tout ça c’est pour s’amuser, hein. L’humanité sait (et non pas croit) que la terre est ronde vu que c’est ça qu’a vu Buzz Aldrin quand il a mis le pied sur la lune, lol. La question de la rotondité de la terre n’est plus une question pertinente depuis le 17ème siècle (sauf pour ceux qui ont ronflé pendant les cours d’histoire-géo au collège). D’ailleurs si on voulait le prouver en restant sur le plancher des vaches on ferait juste l’expérience, en partant de l’hémisphère nord : 100 km au nord, 100 km à l’est, 100 km au sud puis enfin 100 km à l’ouest, et on n’est pas rendu au même point de départ (la géodésique n’est donc pas plate et on peut même, comme ça, calculer le rayon de courbure). Plus précisément en partant de la latitude 45° l’écart est de 1,5 km (pour ceux que ça intéresse le calcul donne: écart = (d²/R)(tan(α)+(d/R)(1/2 + tan²(α))+o(d/R)) où d=100 km, R=6400 km, α=π/4 pour 45°).
Maintenant en reprenant le calcul de David Louapre avec la tangente, quand on est perché sur la tour Eiffel tout se passe comme si on était au sol en avant de 62 km (c’est la distance où la visée est tangente à la terre, calcul : distance=R.arcos(R/(R+H)) ≈ racine(2HR) ≈ 62 ; où R=6400 km, H =0.3 km, hauteur de la tour Eiffel). la distance de Chartres à Paris vaut environ 77 km (source google map), c’est-à-dire quand on est au 3ème étage de la tour Eiffel, c’est comme si on était au sol à 15 km de la cathédrale. Sachant que la cathédrale fait une hauteur de 113 m (source Wikipedia) je vous laisse la fin du calcul.
Ensuite pour le mont blanc et je ne sais quoi d’autre, taisez-vous ou faites le calcul et si vous trouvez qu’il y a un problème dans la rotondité de la terre, c’est sûrement dans votre calcul qu’il faut le chercher le problème.
Si vous déconnez, il faut laisser un indice, pour que tout un chacun puisse apprécier l’humour (sinon il y a des bozos qui vont se poser des questions), dans votre texte ce n’est pas flagrant, là c’est clair, à donf les gamelles.
Maintenant, application inverse :
Quelle est le diamètre de la planète de Olive et Tom pour que seule la moitié haute des buts d’un terrain de foot apparaisse du milieu de terrain ? Problème : il nous manque la longueur du terrain – on sait qu’elle est très très longue puisqu’il faut quand même pas mal de temps pour le parcourir en courant aussi vite que possible.
Ah ah bien vu ^^
dans l’univers d’Olive et Tom, Il faut deux épisodes pour parcourir le terrain de foot en sprintant
un episode = 20 min
un sprint = 30 km/h
à vos calculettes x)
Puisqu’il est question de voile, une petite énigme sympathique et théorique que j’ai experimenté mais qui demanderait à être vérifié par calcul :
– En voile, pourquoi va-t-on toujours plus vite tribord amure( Quand on prend le vent de la droite ) que bâbord amure( Quand on prend le vent de la gauche) dans l’hémisphère nord( Et inversement pour l’hémisphère sud) ?
Une autre observation très ancienne, qui ne pouvait être expliquée que par la rotondité de la terre, est le changement d’inclinaison du croissant de lune, quand on change de latitude.
Les grecs anciens lui ont d’abord attribué une forme de bouclier, puis de sphère (d’après l’ombre de la terre sur la lune, lors d’une éclipse).
A propos, cette observation donne plus d’information que la disparition du bateau.
Comme dirait un membre de forum que j’ai rencontré : « Quand mes amis descendent mon escalier, les pieds disparaissent avant ma tête, dois-je conclure que mon escalier est sphérique ? ». 😉
en réponse à daaveed 23 juin 2014 à 10:46 :
parce que tribord amure, on est prioritaire. :o)
Mais c’est aussi valable dans l’hémisphère sud, donc ça ne répond pas parfaitement à votre question.
Si on veut une réponse scientifique avec inversion selon les hemisphères, il faut chercher dans Coriolis, je suppose mais je n’ai pas la réponse.
Pingback: La rotondité de la Terre et les voiles d...
Des choses qui sont si évidentes pour nous maintenant, mais qui étaient de vraies énigmes à l’époque 🙂
Sympa la photo à la fin pour la preuve. Par contre attention dans le billet, aucun des symboles et formules n’apparaissent pour moi (juste le logo *image)
On utilise le phénomène pour calculer la distance à un objet élevé, par exemple un phare ( voir http://tecfa.unige.ch:7778/5411/5-navcot1pt.html par exemple )
Je me rappelle avoir ainsi déterminé la distance à un phare lorsqu’on a commencé à voir sa lumière à l’horizon
Hello, fort intéressant, j’avais fait un calcul analogue pour réfuter un commentaire du commandant Cousteau qui s’offusquait de la pollution en affirmant qu' »avant », on pouvait voir le Mont Blanc du haut de la Tour Eiffel.
On peut également considérer que c est la longueur de l’arc et non celle de la corde,
ce qui donne c=rθ, ou θ=c/r
avec un développement limité à l’ordre 2, cos θ ≈ 1 – (θ²/2)
et avec un deuxième DL à l’ordre 1 cette fois, OB = r/cosθ ≈ r/(1 – (θ²/2)) ≈ r (1 + (θ²/2))
Donc h = OB-r ≈ rθ²/2 ≈ c²/2r (comme ce que tu trouvais, pour peu que tu me permettes le tutoiement).
(Je mets h plutôt que L)
L’erreur est en o((c/r)³) ce qui ne prouve pas grand chose, puisque tendre vers 0 n’est pas un vain mot,
mais c’est quand même un cube et c/r est de l’ordre de 10⁻³ (si c est autour de 6,4 km, soit 3,5 NM).
Si on inverse la formule, c ≈ V(2rh)
Concernant la Tour Eiffel, si on est au sommet (à h₁= 324 m = 0,324 km),
on peut donc voir à c₁ ≈ V(2x6400x0,324) ≈ 64,4 km
Et le sommet du Mont Blanc (h₂ ≈ 4,81 km)
voit l’horizon à c₂ ≈ V(2x6400x4,81) ≈ 248,1 km
La distance entre le Mont Blanc et la Tour Eiffel étant largement au-delà de 248,1 + 64,4 km,
le Commandant Cousteau avait certainement présumé de ses connaissances sur le monde du non-silence.
JC
Pour un homme de 1,80 m dans un désert parfaitement « plat » (sphérique, donc 🙂 ),
l’horizon est à environ V(2x6400x1,8), soit 15 km.
C’est plus loin que le bout de son nez, mais à peine quand on y songe.
JC
Attention 6400 sont des km il faut donc multiplier par des km donc par 0,0018
ce qui donne (11,52) x 2 = 23,04 et prendre la racine ce qui donne environ 4,8 km
oui c’est un gros mito ce cousteau il ne l’aurait pas vu même si le mont etait à 15 km de haut !!
C’est bien beau tes calculs, mais on vrai on voit bien bien plus loin!!
A voir, une autre démonstration présentée dans le cadre du débat public sur le champ éolien au large de St Nazaire http://www.debatpublic-eolienmer-saint-nazaire.org/DOCS/DOCUMENTS_MAITRE_OUVRAGE/ST_NAZAIRE_NOTE_COURBURE_TERRES.PDF
Et au lieu d’une belle photo de voilier émergeant de l’horizon, on peut découvrir dans le dossier du débat des montages photographiques de l’apparence du parc éolien observé à partir de différents points de la côte, et à différents moments de la journée.
http://www.debatpublic-eolienmer-saint-nazaire.org/photomontage/02.html
Une note méthodologique accompagne ces présentations
http://www.debatpublic-eolienmer-saint-nazaire.org/DOCS/DOCUMENTS_MAITRE_OUVRAGE/ST_NAZAIRE_METHODOLOGIE_PHOTOMO.PDF
Evidemment, ces résultats ont donné lieu à de nombreuses commentaires…
Je ne penserai pas pouvoir dire ça un jour vu l’étendu du web et tout les trucs inintéressants sur lesquels on peut tomber, mais je viens de tomber sur CE QUE JE RECHERCHAIS! Ton Blog est pleins d’articles intéressants sur la science, et je suis heureuse d’avoir pu le découvrir!
Air Laine Meilleur
Je n´ai que la photo de ces falaises en Cantabria en Espagne d´il y a queleques jours à peine; mais on voit bien à l´oeil nu que la mer a un horizon circulaire situé a une distance de d = racine(2hR) ce qui pour une falaise de h = 70 m de hauteur nous donne une distance-rayon de vision de d = 30 km.
https://plus.google.com/u/0/photos?pid=6070542107975359346&oid=101424989490880137212
salut ton blog ne s’affiche pas correctement sous le navigateur Demonecromancy version 22 je pense que c’est un bug qui doit provenir du theme WordPress je vais essayer sous Firefox pour voir http://swaggmansataniste.tumblr.com/post/134267556825/swagg-man-est-il-sataniste
En fait, quelqu’un a refait votre démonstration avec les bateaux, et il s’est rendu compte du contraire, à savoir qu’il n’y a pas de courbure terrestre (ce qui est assez logique en fait) :
https://youtu.be/zEqDbsPUgH8
« Si quelqu’un veut offrir une belle photo qui montre le phénomène avec un joli bateau à voiles, je suis preneur ! »
– J’ai comme le pressentiment qu’on ne verra jamais cette photo…
Effectivement Bonjourchezvous il n’y a pas de courbure. ^o^
C’est bien de faire des calculs théoriques, mais il serait encore mieux d’ouvrir ses yeux.
Regarde ça en entier mon ami !
https://www.youtube.com/watch?v=l5wNtvnlrOc
Tu vas halluciné, j’ai mal dormi après cette vidéo, la vérité va bientôt éclater !
Les gens vont se révolter !
Bon pour les trolls platistes…
Un phare que j’ai photographié de plus ou moins loin (Gif il faut laisser le temps à l’animation de se charger)
http://full.ouplo.com/10/17/eXcU.gif
Démarche pour réaliser ces clichés
https://www.youtube.com/watch?v=spaQgxf6WUY
C’est pas un bateau qui s’éloigne mais c’est moi, autant dire que ça revient au même. Maintenant SVP, fermez la.
oui à 25 KM le phare s’enfonce de 40 m cela est normal pour une rotondité d’un cercle de 6370 KM DE RAYON:
H= 6370 – SIN(invCOS (Longueur / 6370)
la baisse est exponentielle , à 1KM elle est de 8 cm , à 10 km elle est de 8 m ,à 100 elle est de 0,8 km, à 1000 km elle sera de 80 km , de 322 km à 2000 KM etc .Une personne debout sur la plage voit la ligne de l’horizon qu’à 4 ou 5 km . ha c’est sur ça baisse pas beaucoup
bah alors pourquoi ton phare est tout droit , il devrait être incliné du fait de la courbure
Incliné de quel coté ?
La conclusion c’est qu’à 23 kms , on ne devrait plus voir la pointe du phare , puisqu’il est sensé être « penché » , comme on le voi sur ta représentation , mais qu’on ne voi plus sur la petite fenêtre en haut à gauche , alors qu’il devrait pencher…nouvelle conclusion , quand tu arrives à 23 kms , prend un optique deux fois plus puissant que celui que tu as dans les mains et je te pense que tu feras d’autres conclusions à ton tour..Namaste.
On voit que vous n’avez jamais observé dans un télescope! Le fait que le phare est penché ne peut pas être perçu car il reste dans l’alignement de l’observateur.
Mais alors, si on veut trouver le rayon de la TERRE r et qu’on n’a pas wikipedia… comment finir ? Il nous manque C.
Pingback: Edito 10.16 / L’Infâme Jé | La Faquinade
Pingback: Prouver la rotondité de la terre selon les Anciens | La question du latin
salut , je pense que si c’etait du fait de la courbure , les immeubles sur la photo devraient se pencher un peu ver l’avant non ? vous en pensez quoi ?
Pingback: Prouver la rotondité de la terre selon les Anciens | La question du latin
le phare est incliné vers l avant ..
Mais a 25 km de distance, l ‘inclinaison est imperceptible a l oeil nu, car elle est trés faible. 0,22 degrés!!!(a peu pres)
tu ne pourra pas voir d inclinaison.
mais il y en a une quand meme.
prends un bâton dans ta main.tends le bras de facon a le voir vertical devant toi en le plaçant exactement au centre de ta vision
tourne ton pogné pour le pencher vers l avant d’environ 30°.
et tu verras que ton bâton paraîtra plus petit et il paraitra toujours droit.(evidement il faut laisser le baton au centre de ta vision.)
et c ‘est normal car le baton est droit.
c ‘est comme pour le phare.
Yep mais plutôt vers l’arrière et ça n’est le cas nul part ; ) Namaste
Désolé , mais c’est du n’importe quoi..
nestaa tu crois que la terre est plate????
Réflechis nestaa!!
le phare tu pourras jamais le voir penché vers l avant. car il est dans ton axe de vision!!
la perspective s écrase.
Je suis d’accord avec toi sur le fond et sur l’exemple. Mais c’est pas vers l’avant qu’il va pencher mais en arrière 😉
oui exact.Mais en avant ou en arriere.tout depend .de la façon dont tu consideres l avant de l arriere.
c ‘est comme la droite et la gauche selon comment on est tourné ,ca chance tout.
Dans le fond on est daccord manano
Franchement les doux allumés…
Ça vous fait si peur de vivre dans un environnement ouvert sur une infinitude d’étoiles, de galaxies, d’espace et de beauté, qu’il faille que vous vous inventiez un monde sclérosé et enfermé dans une sorte de boîte à chaussures pour vous rassurer ?
Vous êtes sujet au vertige des grands espaces ou quoi ?…un peu/beaucoup agoraphobes aussi ?
De plus, aucune mais alors aucune de vos soi disant « preuves » que vous avancez péremptoirement, ne résiste à la moindre introspection/démonstration scientifique digne de ce nom.
Et voilà qu’une poignée de fêlés, sous prétexte d’avoir été « initiés » par leurs gourous au « grand secret caché », prétendent en remontrer à des millions de scientifiques de tous bords, au cursus universitaire autrement plus étoffé en études et dans le temps, que la consultation de vidéos youtubesque, toutes merveilleusement « saucissonnées » avec la bonne musique qui va avec…
Ils ont bon dos de critiquer la NASA tiens ! 🙂
Non non pas peur du tout : ) Namaste
Mais quelle pathétique réponse…
Aussi creuse que le cerveau faiblard dont elle est issue, et qui n’a d’autre argumentaire sérieux à y apposer, que des « lol », et autres interventions du genre » 🙂 « ….
Moi aussi, je pourrais mettre des « PTDR » et « MDR »…en réponse au délirium des platistes, si effectivement ne connaissant pas de quoi je parlais et à court de véritables arguments, j’entendais quand même envers et contre toute logique et observations, continuer à m’en moquer !
Or, ce n’est pas le cas, et de loin s’en faut !…pourquoi ?
Parce-que mon parcours universitaire, et encore aujourd’hui, m’a fait ouvrir de gros pavés de physique et autres sciences, à comparer avec les « voici », « Gala », »France-dimanche », le « journal de Mickey » et autres plates vidéos sulfureuses « youtubesque », dont se réclament nos pauvres amis désespérément acculturés.
Déjà que pour la plupart, sachant écrire avec peine plus de trois mots à la suite sans fautes, ils entendent nous en apprendre sur la réalité du monde…quelle misère !
Un peu comme si la mère Michel entendait donner des cours d’anatomie à un de nos meilleurs chirurgiens…en lui disant qu’éviscérer un poulet, c’est la même chose qu’intervenir sur un humain.
Pingback: J'ai tenté d'établir un dialogue avec des théoriciens de la Terre plate - Fier panda
Bonjour David,
J’ai une question sur la méthodologie du calcul. Je me suis demandé si c’était bien raisonnable scientifiquement de partir du principe que la terre est ronde (avec le rayon) pour démontrer qu’effectivement elle est ronde? Je n’y ai pas prêté attention au début mais en relisant je me suis dit que l’on ne faisait que prouver ce que l’on souhaitait prouver.
Cordialement.
Fais la démonstration avec le fait qu’elle soit plate …
Bonjour,
Dans les sciences expérimentales, on peut mener un raisonnement de deux manières différentes. Soit on fait des observations et on établit un modèle, c’est ce que l’on appelle l’inductivisme, soit on établit une théorie et on la soumet aux observations, c’est ce que que l’on appelle la réfutabilité (ou falsificationnisme). Le deuxième type de raisonnement est ici appliqué.
De manière générale, on ne peut jamais prouver qu’une théorie est vrai, on peut seulement rejeter une théorie fausse. Ainsi, si on applique le même raisonnement avec une Terre plate, cette théorie n’ira pas dans le sens des observations. On devra donc la rejeter. Un modèle de Terre ronde va dans le sens des observations, mais celle-ci ne pourrait être qu’une demi-sphère par exemple. Heureusement, il existe d’autres expériences qui confirment également ce modèle de Terre ronde, donc je pourrai sans trop me tromper affirmer que la Terre est ronde.
Cordialement.
Pingback: Du tourisme spatial par ballon stratosphérique ? C'est ce qu'une entreprise rêve d'accomplir
Bonsoir, je viens de lire votre article sur les voiles de bateaux et la rotondité de la terre, mais n’ai pas eu le courage de lire tous les commentaires.
Je cherche à savoir si dans l’antiquité il fut possible de remarquer la rotondité de la terre en voyant disparaître les voiles des navires, sachant que ceux ci ne devaient pas faire plus de 6 à 8 mètres de haut.
D’avance merci.
Pierre.