Ma fille n’aime pas quand les crayons de couleur sont taillés trop fins. Ben oui quoi, après c’est plus long pour colorier ! J’ai beau lui expliquer que grâce aux courbes remplissantes, on peut toujours tout colorier même avec un crayon infiniment fin, j’ai l’impression que l’argument ne passe pas.
Et pourtant, nous allons voir dans ce billet que l’on peut effectivement trouver des courbes qui remplissent totalement une surface en passant par tous ses points.
Et tant pis si ça va à l’encontre de l’intuition !
Pourquoi cela nous parait impossible
Alors allons-y, essayons de relever le défi : trouver une courbe qui colorie complètement un carré. Cela parait bien difficile, car tout le monde sait qu’en mathématiques, les lignes n’ont pas d’épaisseur. Dans ces conditions, on a bien envie de penser que la surface recouverte par une courbe est toujours nulle. On n’est pas prêt d’arriver à recouvrir tout un carré.
D’ailleurs, une courbe est un objet de dimension 1, alors qu’un carré est de dimension 2. On voit bien que ça ne peut pas marcher ! Une autre manière de le dire, c’est de compter le nombre de points sur un segment et un carré. Certes sur le segment, il y en a une infinité. Mais dans le carré, on sent bien qu’il y a une infinité de fois plus de points que dans un segment ! Et pourtant…
La construction de Cantor
A la fin du XIXème siècle, le mathématicien allemand Georg Cantor a décidé de s’attaquer à la notion d’infini (voir à ce sujet cet épisode de Podcast Science). En 1878, il essaye justement de démontrer qu’un carré contient beaucoup plus de points qu’un segment : même s’ils sont tous les deux infinis, il sent bien qu’il y en a un qui est plus gros que l’autre. Mais à sa propre surprise, il démontre le contraire : un segment et un carré contiennent autant de points l’un que l’autre !
Pour démontrer cela, il suffit de montrer qu’à tout point du segment on peut associer un unique point du carré, et réciproquement. Et c’est ce que fait Cantor ! Voici la correspondance qu’il imagine. Un point sur un segment est représenté par un nombre réel \(t\) compris entre 0 et 1. Un point dans un carré est représenté par 2 nombres \(x\) et \(y\) compris entre 0 et 1 (ses coordonnées).
Cantor propose alors la chose suivante : écrire \(t\) en écriture décimale, et construire \(x\) et \(y\) en sélectionnant les décimales en positions impaires et paires respectivement. Voici un exemple détaillé :
Je vous laisse vous convaincre qu’avec ce procédé, à tout nombre \(t\) du segment on associe un unique point du carré, et réciproquement ! Nous avons donc bien démontré que le segment contient autant de points que le carré.
Les courbes fractales de Peano
La construction exhibée par Cantor montre définitivement qu’un carré n’est pas « plus gros » qu’un segment. Et pourtant en tant que tel, cela ne constitue pas une preuve du fait qu’on peut colorier un carré avec une courbe. Ce qu’il manque, c’est la continuité ! En effet la correspondance établie par Cantor n’est pas continue comme le serait une vraie courbe. Avec l’application de Cantor, deux points du segment très voisins seront envoyés sur des endroits du carré très différents. On ne peut donc pas dessiner la correspondance de Cantor sans lever la main !
Toutefois, puisque Cantor a fait tomber le principal obstacle psychologique à la découverte d’une courbe remplissant le carré, la solution viendra quelques années plus tard sous la plume de l’italien Peano. Ce dernier propose en effet de construire une courbe qui remplit tout un carré, et ce par étapes successives. Le dessin ci-dessous montre les trois premières étapes du processus
En poursuivant le processus « à l’infini », on obtient une courbe qui passe par tous les points du carré ! On appelle cela une courbe remplissante. Certains d’entre vous reconnaitront peut être ici le principe des fractales : on part d’un motif, puis on le répète à l’échelle inférieure, puis à nouveau et ainsi de suite. (Pour ceux que cette manière de construire les courbes chiffonne, j’y reviendrai dans mon « Pour aller plus loin… »)
A la suite de la découverte de la courbe de Peano, de nombreux autres mathématiciens proposeront des courbes remplissantes basées sur le principe des fractales. La courbe de Hilbert est une des plus connues, ainsi que la courbe de Lebesgue représentée ci-contre, et dont le principe est de faire une construction fractale à partir d’un motif en Z.
Ah petit détail pour ceux qui aiment les maths, ces courbes sont d’une espèce tout-à-fait exotique : elles sont continues partout mais dérivables nulle-part ! En gros tout point de la courbe est un angle…étonnant non ?
Bref, si vous voulez colorier un carré avec un crayon infiniment fin, c’est possible : choisissez la trajectoire d’une de ces courbes remplissantes. Une fois de plus vous constatez qu’en mathématique, il ne faut pas toujours se fier à l’intuition, spécialement quand il est question d’infini ! Toutefois les courbes remplissantes ne sont pas qu’un divertissement pour mathématiciens amateurs de paradoxes, il s’agit aussi d’un outil utile dans certains domaines comme la réduction de données. Avec la trajectoire d’une courbe remplissante, vous pouvez en effet parcourir de manière efficace un espace multidimensionnel.
Pour aller plus loin : expression analytique des courbes remplissantes
La première fois que j’ai lu la description de la fameuse courbe de Peano, j’ai été fort déçu ! En effet cette construction graphique à faire « à l’infini » ne paraît pas très rigoureuse. Est-ce que la limite existe vraiment ? Est-ce qu’on est sûr que l’on va bien passer par tous les points ? Heureusement pour moi, Peano partageait les mêmes craintes. Et pour éviter tout biais lié à l’utilisation des dessins, son article d’origine est purement analytique, et ne comporte absolument aucune figure. Il existe donc bien une expression analytique de la courbe de Peano, formulée d’une manière analogue à la construction de Cantor que j’ai présenté ci-dessus.
Voici comment procéder : comme pour l’application de Cantor, on veut qu’à tout nombre \(t \in [0;1]\) on associe \((x,y) \in [0;1]^2\). Pour comprendre comment faire cela, choisissez mentalement un nombre \(t\), par exemple 0.31, et observez les figures des étapes de construction de la courbe de Peano. On va essayer de localiser le couple \((x,y)\) correspondant en procédant par approximations successives.
Premièrement, divisez mentalement l’image par trois traits verticaux, comme sur le dessin ci-contre. Pour la valeur de \(t\) qu’on a choisi, on va essayer de savoir dans lequel des 3 tiers verticaux on va tomber. Puisque la courbe parcours ces 3 panneaux verticaux l’un après l’autre, en réfléchissant un tout petit peu, vous pouvez vous rendre compte que cela dépend de si votre nombre \(t\) est compris entre 0 et 1/3, ou bien entre 1/3 et 2/3, ou finalement entre 2/3 et 1. Pour t=0.31, on est entre 0 et 1/3 donc on sera dans le premier panneau vertical.
Une fois que vous avez fait cela, on divise l’image en 3 par des traits horizontaux, et on va se demander dans lequel des 3 panneaux horizontaux on arrive pour notre valeur de \(t\). Pour cela, on part du segment dans lequel on vient de se trouver (pour t=0.31, c’est le segment 0-1/3), on le divise lui même en 3 tiers et on regarde dans quel tiers on tombe. Ici les 3 tiers seront 0-1/9, 1/9-2/9 et 2/9-3/9. Pour t=0.31, c’est le 3ième tiers. On sera donc dans le 3ème panneau horizontal (on compte à partir du bas). Puisque par ailleurs on est dans le premier panneau horizontal, c’est que pour notre valeur de \(t=0.31\) on se situe dans le coin supérieur gauche. Et en répétant la procédure, on peut diviser le coin supérieur gauche en 9, et recommencer. Par ce processus itératif, on peut donc localiser avec exactitude le x et le y qui correspondent au t qu’on a choisit. Voyons maintenant comment mettre une formule analytique là-dessus.
Pour savoir exactement ou se trouve le x et le y associés à un t donné, il faut donc savoir dans quel tiers t se trouve, puis dans quel tiers du tiers, puis dans quel tiers du tiers du tiers, et ainsi de suite. Le secret de l’expression analytique de la courbe de Peano est donc de faire une « décomposition en base 3 ».
Pour cela, rappelons d’abord ce qu’est la décomposition décimale habituelle en base 10 : elle correspond à l’écriture suivante
\(t=0.a_1a_2a_3a_4… \ \ \leftrightarrow \ \ t=\sum_i \frac{a_i}{10^i}\)
Partant de là, on peut facilement fabriquer la décomposition décimale en n’importe quelle autre base que 10, par exemple 3
\(t=0\underset{3}{.} b_1b_2b_3b_4… \ \ \leftrightarrow \ \ t=\sum_i \frac{b_i}{3^i}\)
Vous remarquerez la bizarre notation \(\underset{3}{.}\) qui est le point « décimal » en base 3. Dans cette notation, les nombres \(b_i\) valent donc tous 0, 1 ou 2. Donc prenez votre \(t\), et décomposez le en base décimale 3, vous obtenez donc une suite de nombres \(b_i\) qui caractérisent parfaitement t.
Si on voulait imiter la construction de Cantor, on ferait la même chose en séparant les décimales paires et impaires pour construire x et y. On obtiendrait ceci :
\(x = 0\underset{3}{.} b_1 b_3 b_5… y = 0\underset{3}{.} b_2 b_4… \)
En fait ça ne marche pas tel quel. Il faut ajouter une petite subtilité qui je crois est lié au fait que le motif de base de la courbe de Peano se répète à toutes les échelles, mais il peut être tourné de 90° ou inversé comme dans un miroir. Pour tenir compte de cet effet, il y a une petite subtilité à introduire.
On note K l’opérateur qui a un nombre \(b\) valant 0,1 ou 2 associe \(2-b\). On note \(K^n\) l’opérateur \(K\) composé n fois avec lui même. Voici enfin la définition purement analytique de la construction de Cantor :
\(x = 0\underset{3}{.} b_1(K^{a_2}b_3)(K^{a_2+a_4}b_5)… y = 0\underset{3}{.}(K^{a_1}b_2)(K^{a_1+a_3}b_4)…\)
Pour ceux à qui cette construction fait mal à la tête, je vous propose un cas encore plus simple de courbe remplissante possédant une expression analytique, il s’agit de la courbe de Schoenberg. Elle est très proche de la courbe de Lebesgue et s’exprime comme une simple série. Voici son expression analytique que je pique directement dans ce papier de H. Sagan. Ah oui amusant, cette courbe est elle-aussi continue partout, mais elle est dérivable « presque partout »…(alors que celle de Lebesgue n’est dérivable nulle part, allez comprendre…)
D’autres exemples de courbes remplissantes chez ElJJ
Comments
Bonjour,
Je me permets de te signaler une petite coquille, tu écris : « On sera donc dans le 3ème panneau horizontal (on compte à partir du bas). Puisque par ailleurs on est dans le premier panneau horizontal, » donc plutôt vertical au second, je crois.
J’ai du mal également sur le plan intuitif avec la construction de Cantor : puisque x et y vont contenir 2 fois moins de décimales que t, alors le carré sera rempli de façon deux fois moins dense que le segment, non ? Après, il est vrai que l’infini divisé par 2, ça fait encore l’infini, mais n’est pas un infini un peu plus « light » 😉 ?
Bonjour. J’ai le même problème dès le départ avec Cantor. Je veux bien me laisser convaincre mais je n’y arrive pas. Je crois comprendre que sa proposition de sélectionner les décimales de position paire pour x et impaire pour y est tout à fait arbitraire et n’a pour but que d’associer à coup sûr un point unique du carré à un point du segment. Mais est-ce que cela nous assure que tous les points du carré trouvent un associé sur le segment ?
Je pense que je peux répondre aisément à Henri : supposons le point du carré de coordonnées (0,x1 x2 x3 …./0, y1 y2 y3 …). Le point du segment de coordonnées 0, x1 y1 x2 y2 x3 y3 … y est associé. Bien, je crois que d’avoir répondu à Henri me permet de répondre à ma propre interrogation 😉 !
Enfin quelqu’un qui n’essaie pas de noyer le poisson avec une démonstration alambiqué. Bravo pour ces explications claires et précises ! 🙂
Ah oui, d’accord. Mais attend, j’ai encore une question (je suis chiant) : je suppose qu’on a le droit de faire ça avec les quatre côtés du carré. Donc tout point de la surface du carré est en fait associé à quatre points du périmètre.
Là je te comprends moins bien, Henri. L’application est dirigée de n’importe quel segment de droite vers le carré, pas uniquement d’un des bords du carré. Il y a également une infinité de façons d’associer un segment de droite quelconque à n’importe quelle surface finie.
Oui, en fait c’est surtout moi qui ne comprends pas bien. J’ai un raisonnement trop intuitif. Je divise mentalement la surface du carré en carrés plus petits et je trouve que si la longueur du côté est égale à A, le nombre de petits carrés est toujours égal à A au carré (par définition). Même si les petits carrés ne font plus qu’un micron de côté, il y en a toujours un nombre égal à A au carré. Si leur longueur est égale à un milliardième de milliardième de micron, il y en a toujours un nombre égal à A au carré. Et tout à coup, lorsqu’on passe d’une longueur archi-minuscule à une longueur égale à 0 (un point, donc), Zim bang boum ! il n’y en a plus qu’un nombre égal à A (donc égal à l’infini). Je sais que c’est vrai mais, comme Cantor avant sa propre démonstration, je n’arrive pas à le croire. Ou plutôt je n’arrive pas à me représenter la vérité de la démonstration qui le prouve. En fait, il est impossible de se représenter ce que c’est que de passer d’une longueur mesurable (même ultra-petite) à une longueur égale à 0. Ou de se représenter l’infini, ce qui revient au même.
Je te cite : « Je sais que c’est vrai mais, comme Cantor avant sa propre démonstration, je n’arrive pas à le croire. Ou plutôt je n’arrive pas à me représenter la vérité de la démonstration qui le prouve ». Moi qui suis médecin, le fait de comprendre que ce que te dicte ton intuition n’est pas la vérité, je ne vois pas de meilleure définition de l’intelligence !
J’en ai une meilleure mais je ne vais pas me lancer là-dedans, on sortirait du sujet.
Malheureusement il est par définition impossible de dessiner une fractale avec un crayon, car elle a une longueur infinie, et prendrait donc un temps infini à être dessinée, non ?
Une page que je trouve très inspirante sur le sujet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_fractales_par_dimension_de_Hausdorff
On ne peut pas remplir un carré avec une courbe remplssante infiniment fine, il y aura toujours du vide car le tracé est in-fini. Rien est rempli ou remplissable, il ne s’agit que d’une vue de l’esprit venant de notre habitude à voir le plein là où il y a de la matière. Même en imaginant un carré virtuel coloré affiché sur un ecran, celui-ci ne serait pas rempli puisse qu’en zoomant à l’infini, l’ordinateur calculera les pixels à afficher, le processus de remplissage deumeurant lui aussi in-fini !
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avoir une réponse à une question qu’on ne s’était jamais posée. La vie est un cadeau 🙂
merci !
Trop bien ces formules c’est passionnants !! Je vais essayer de créer mon propre motif pour les coloriages que je donne aux enfants que je garde 🙂 Merci beaucoup pour ce partage.
Anabelle
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Un truc qui me chiffonne avec la première démonstration de Cantor : OK, chaque point du carré est représenté par un point sur le segment SAUF deux côtés : ceux qui ont pour abscisse ou ordonnée 1. En effet, le point de coordonnées (0,5 ; 1) par exemple, aurait comme position dans le segment 1,5. Or 1,5 c’est en dehors du segment… Je ne parle même pas du point (1 ; 1)… Comment Cantor se sort de cette question ?
On doit pouvoir dire que l’argument de Cantor met en correspondance le carré ouvert et le segment ouvert. Après la bijection sur les bords, ça va être plus dur 🙂
J’ai une réponse pour le point (0,5 ; 1). En fait 1=0,9999… Avec une infinité de 9. La démonstration est connue, j’appelle x le nombre 0,999… Alors 10x=9,999… C’est à dire 10x=9+x, c’est-à-dire x=1. Et en l’écrivant comme ça le point (0,5;1) se retrouve à 0,959090909… sur le segment.
Aaah ! Pas mal du tout ! Ca résout le problème effectivement…
N’y a t-il pas une contradiction avec cet article http://sciencetonnante.wordpress.com/2012/02/20/0-999999-le-nombre-qui-nexiste-pas-vraiment/.
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Je ne savais point que la démonstration de Cantor était aussi simple. Mais si elle est vraie, alors un cube a aussi le même nombre de points qu´un segment, et aussi un hypopercube de dimension n > 3 quelconque même quand n tend vers l´infini. Qulles en seraient les conséquences, síl y en eut ?
En fait la démonstartion de Cantor pourrait bien être fausse pour la raison suivante.La précision des coordonnées des points est divisée par n (n=2,3,4,5,…) (n=2 pour le carré, n=3 pour le cube, n>3 pour l´hypercube de dimendion n) sauf put être si les coordonnées des points ont une longueur infinie; mais ce ne serait pas tous les points du segment ni du carré, cube ou hypercube..
Mais ces courbes fractales qui « remplissent » le plan, ne le font qu´à l´itération n lorsque n devient infini.Et en principe, du moins géométriquement, il faut connaÌtre la courbe à l´itération n-1 pour pouvoir tracer la courbe à l´itération n.C´est un processus infini qui ne pourra donc jamais ètre accompli.Il n´y a donc pas de contradiction réelle.On ne peut point « remplir » **par un processus fini** la dimension n+1 avec de la dimension n. Il y a une courbe de Peano plus simple et donc bien plus didactique que celle que vous avez choisie.
http://eljjdx.canalblog.com/archives/2009/07/04/14274036.html#c65021140
Vous affirmez, Cantor et vous même « » qu’il y a « autant » d’éléments dans [0,1] que dans [0,1]×[0,1] » ». Cependant ces éléments ne peuvent être que les points définis comme ayant un nombre toujours infini de chiffres dans leurs coordonnées (par exemple la coordonnée 0,4 c´est en fait la coordonnée 0,400000000…). Mais le fait que a*10^(-(n-b)) (a=1,2,3,..,9) , b entier fini, tende à 0 losque n tend vers l´infini rend impossible de savoir quel est le point plus proche d´un autre point. Dans ces conditions, il est évidemment imposible de dire qu´il y autant de points (d´éléments) dans un segment fini de dimension 1 que dans son carré fini de dimension 2. Et donc il est faux de dire que le nombre de points est le même. Et je n´ai rien contre Cantor que je trouve très très très intéréssant.
L’auteur dit que la bijection de Cantor entre R et R² est discontinue, mais ne dit pas si c’est partout ou en certains points seulement. Pour les nombres décimaux effectivement je la trouve discontinue. Pour les autres points elle me paraît continue mais je ne suis pas sur.
Bonjour,
Une chose me chiffonne concernant le remplissage par la courbe . Autant je vois bien qu’on peut démontrer qu’elle passe par tous les nombres de coordonnées décimales. Mais puisque le processus de construction consiste à diviser l’espace infiniment en quantités égales, comment la courbe peut elle passer par le point de coordonnées pi/4;pi/4?
Même en passant à la limite, je ne vois pas. Cela ne serait il pas équivalent à dire que pour est rationnel?
Complément de l’auteur de la question : si la courbe passe par le point pi/4, pi/4 cela voudrait dire que PI est rationnel (désolé de ne pas avoir vu l’auto correction lors de mon précédent envoi)…