De temps en temps, en maths, il y a des bizarreries qui peuvent nous faire des noeuds aux neurones. Parmi mes préférées, il y a le nombre 0.999999…, où les 3 petits points désignent le fait que la suite de chiffres « 9 » se poursuit à l’infini. Voyons un peu ce nombre paradoxal.
(image Wikipédia)
La notation décimale
Comme vous le savez, tout nombre réel peut être écrit sous forme décimale, c’est-à-dire en donnant une suite de chiffres avant et après la virgule. J’ai déjà eu l’occasion de parler de cette notation dans mon billet sur les nombres univers.
Pour les nombres les plus simples, cette suite est finie. Pour d’autres, la séquence des décimales peut être infinie mais en se répétant de manière périodique, par exemple :
22/7 = 3.142857142857142857142857…
Et enfin, pour les nombres les plus capricieux, cette suite est infinie et sans périodicité particulière. Aujourd’hui nous allons nous intéresser à une périodicité simple : un seul chiffre qui se répète.
0.xxxxxx…
Qu’a-t-on comme suite de décimales avec un seul chiffre ? Eh bien c’est facile :
0.111111111…
0.222222222…
0.333333333…
…
0.999999999…
Les premières ne sont pas très perturbantes. Elles correspondent d’ailleurs à des fractions bien connues, par exemple 1/9=0.111111… ou 1/3 = 0.333333…
Mais regardez bien la dernière. Quelle différence voyez-vous entre 0.999999… et le nombre 1 ? La réponse est qu’il n’y en a pas. Ces deux nombres sont identiques !
Quelques démonstrations
Pour démontrer l’étrange égalité 0.999999…=1, on a plusieurs voies, plus ou moins rigoureuses. Démonstration intuitive, si on admet que 1/9 = 0.111111… et 1/3 = 0.333333…, alors on est bien obligé de reconnaitre que
0.999999… = 9*0.111111… = 9*(1/9) = 1
ou encore que
0.999999… = 3*0.333333… = 3*(1/3) = 1
Autre possibilité plus rigoureuse (ma préférée), appelons x notre nombre 0.999999…Si on multiplie x par 10, on a l’égalité
10*x = 9.999999… = 9 + 0.999999… = 9 +x
Or si 10x = 9+x, on peut résoudre l’équation et trouver que x=1.
Dernière démonstration, encore un peu plus formelle, en utilisant la définition précise de l’écriture décimale :
\(x = 9*(1/10) + 9*(1/10)^2 + 9*(1/10)^3 + …\)
donc sous forme d’une série infinie on a
\(x = 9*\sum_{i=1}^{+\infty} (1/10)^i\)
et ça c’est une belle somme de termes d’une suite géométrique, et de mon temps on apprenait que ça donne
\(x = 9* \frac{1/10}{1-1/10} = 1\).
Aux sources du paradoxe
Alors que je considérais ce nombre 0.999999… comme une simple curiosité de passage, j’ai découvert qu’il existe en fait une certaine littérature à son sujet ! Voir la page Wikipédia par exemple. Notamment des gens se sont intéressés à la pédagogie de l’explication, et à pourquoi il était parfois difficile de faire admettre à certains étudiants que 0.999999…=1.
On y découvre finalement des explications intéressantes. La première c’est que puisque tout nombre réel possède une écriture décimale, on s’attend intuitivement à avoir l’unicité de cette écriture. Or c’est faux, il existe plein de nombres qui possèdent 2 écritures décimales : en fait tout nombre dont l’écriture décimale est finie peut être écrit comme un nombre avec une « queue de 9 ». Par exemple :
42.18745 = 42.18744999999…
Autre source de paradoxe chez les élèves qui découvrent 0.999999…, la difficulté à concevoir que la suite de 9 est véritablement infinie, et pas simplement « très longue ». Enfin dernière subtilité, le fait que les étudiants voient 0.999999…non pas comme un vrai nombre, mais plutôt comme un procédé (« écrire des 9 les uns à la suite des autres »), procédé que l’on doit arrêter un jour ou l’autre. Dans le même genre, on peut s’amuser à se demander combien vaut 1-0.999999… et à le relier à l’inexistence dans R de nombre non-nuls infiniment petits.
D’ailleurs :
– Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule ?
– 0.999999…
Et vous, êtes vous véritablement convaincu que 0.999999…=1 ? Ou est-ce que vous avez encore un petit doute ?
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Démonstration encore plus simple : deux nombres sont différents si et seulement si Il existe un troisième nombre, différent des deux premiers, qui soit compris entre les deux. Or il n’existe aucun nombre compris entre 0.999… et 1. Par l’absurde, on répond à la question.
On ne doit pas avoir la même définition de « simple ». Je pense que ma mère comprendrait la plupart des « démonstrations » de l’article. La tienne par contre, il y a trop de prérequis derrière.
C’est intéressant parce que ça n’est pas la même démonstration. Analysons un peu ce que racontent les 4 démos :
* celle basée sur 1/3 × 3. On commence par admettre qu’on peut faire les multiplications de gauche à droite sur les développements décimaux – sans doute quitte à « faire remonter » une retenue éventuelle, et là « on voit » qu’il n’y en aura pas. Ensuite on utilise le « fait » que R est un corps.
Bon, la morale pourrait être qu’on ne peut pas manipuler aussi facilement les développements décimaux (y a-t-il à l’infini une retenue qu’on ne voit pas ?); ou bien que R n’est pas un « vrai corps » – qu’il y faudrait peut-être une relation autre que l’égalité – peut-être précisément celle qu’on appelle en breton appartness (mais je n’ai pas envie de parler de logique intuitionniste, là). Pourquoi, au lieu d’abandonner l’idée que 0,999… < 1, ne pas plutôt abandonner 1/3 = 0,333… ? Il manque peut-être un pouillème à droite du signe égale ! Certes ça a l’air vrai, mais ?! Est-ce qu'ils sont égaux, ou est-ce qu’ils sont juste… pas séparables ?
* celle basée sur 10 x = 9 + x (sans doute en effet la plus élégante). À nouveau, une manipulation douteuse : une soustraction faite de gauche à droite. Qui sait ce qui se passe à l’infini ? Puis, à nouveau, le fait que R est un corps – mais c’est sûr ça ?
* celle basée sur la série géométrique. Là on fait quelque chose de conceptuellement un poil plus profond et intéressant : on affirme que l’écriture décimale désigne un être qui existe en-dehors d'elle ; et que cet être est « la limite » de la suite que David a écrite. Pourquoi des guillemets à « la limite » ? Parce que pour que ce genre de chose ait une limite il faut en général avoir « construit » R. Voilà une preuve qui ne convaincra que les gens qui savent que les réels classiques sont des classes d’équivalences de suites de Cauchy de rationnels… Mais bref, c’est quand-même le nœud du problème, les réels ne sont pas des suites de chiffres, ils sont (à la rigueur) désignés par des suites de chiffres. Je dis « à la rigueur » parce que comme je le disais dans mon autre commentaire, on n’a jamais fini de désigner un réel… puisqu’il faut donner une quantité infinie de chiffres pour ce faire.
* la preuve de Rubisco, qui ne plairait pas à la maman de Brice. Cette preuve nous raconte donc que l'ordre lexicographique induit sur l'ensemble des développements décimaux par 0 < 1 < … < 9 n'est pas dense aux « développements impropres » ; et qu’il faut donc, *si on veut un ordre dense*, identifier les développements impropres aux développements propres bien choisis. Là, comme le dit Brice, il faut avoir quand-même une fameuse familiarité avec les réels classiques pour comprendre cette preuve. Quiconque la comprend n’a plus besoin d’être convaincu depuis longtemps. Quiconque a réellement besoin d’être convaincu demandera à ce qu’on lui explique pourquoi l’ordre est dense.
Bref, toutes ces « preuves » ne peuvent convaincre que les convertis, ceux qui savent de toute évidence et de toute éternité que le modèle standard existe, que les réels sont un quotient d’un ensemble de suites de rationnels, muni d’une structure de corps et d’un ordre dense, pour les siècles des siècles, amen. Enfin bref, ironie à part, le profane convaincu par ces preuves est à mon avis victime d’une entourloupe, dans laquelle il se jette lui-même avec assez de plaisir : on fait appel en lui à une vision platonicienne des mathématiques ; toutes ces preuves devraient commencer par « bon, admet que les réels existent et sont un corps et que ceci et cela… ».
Il ne faut pas abdiquer tout esprit critique… Il existe à ma connaissance au moins 2 ou 3 théories alternatives pour l’analyse réelle, où la question posée n’admet peut-être pas une réponse aussi simple (suivant la façon dont on l’interprète) : l’analyse constructive à la Bishop, l’analyse non-standard à la Robinson / Nelson, et l’analyse lisse de Bell (basée sur la théorie des topoi ; peut-être que l’analyse de Bishop en est un cas particulier, je n’entends point les topoi et ne peux en juger…).
Bah moi j’ai un doute… 🙂 En fait ce que je trouve le plus étonnant c’est qu’il soit si facile de faire admettre à tant de gens qu’*un* réel est décrit par une infinité d’informations. Le vrai problème qui se pose, c’est celui de l’égalité en général, pas seulement entre les développements propres et impropres…
Pourquoi une infinité d’information ? « Une suite infinie de 9 », finalement, ça n’apporte que très peu d’information… non ?
Poup poup ! Eh non !
Dans ta remarque, il y a un mot clef qui annule ta conclusion : infinité. C’est justement là le coeur du problème : le concept d’infini. Au final, et pour paraphraser H, si tu saisis le concept d’infini, tu est déjà converti. En gros, il faut attendre de déblocage conceptuel, vers l’infini (et au-delà…). C’est justement l’infinité d’information que tu ne peux pas visualiser. Et tant que tu cherches à « voir » le nombre, tu restes bloqué.
Si j’avais su qu’on pouvait trouver les mathématiques amusantes, je ne me serais probablement pas autant ennuyé durant ma scolarité. 🙂
A high-level explanation: The Cantor set is not homeomorphic to the interval. So when you take decimal notation (or notation for numbers with any base), there must be some identifications made to get a representation of real numbers.
Dire que j’avais choisi ce sujet que je pensais simple, pour la bonne et simple raison que je suis en vacances cette semaine !
Un peu plus perturbant: on peut poser que ….9999999999999999999=-1
Ben oui,
1+-1=0 et
….99999999999999999999+1=000000000000000000000 avec la retenue qui se perd à l’infini.
C’est exactement ce qui se passe en arithmétique des ordinateurs. En base 16
-1=FFFFFFFF (sur 64 bits)
Je ne suis pas du tout convaincu par cela. Une « retenue qui se perd à l’infini » ne disparaît pas. Elle est vue comme un overflow dans les architectures informatiques et un flag est activé dans ce cas.
De plus, -1=FFFFFFFF n’est que le résultat de la méthode du complément à deux… Elle permet de formaliser informatiquement l’écriture des nombres négatifs et de faciliter les calculs en prenant notamment le bit de poids fort comme indicateur de signe.
Aucun concept mathématique fondamental à mon sens (peut-être que je passe à côté mais je vois pas…).
Une retenue à l’infini n’entraine pas forcément d’overflow. Exemple: -1+-1=-2 sans overflow. Pourtant
-1=FFFF et FFFF+FFFF=1FFFE = FFFE + un bit de retenue.
Sinon, d’un point de vue plus mathématique, quand on considère 0,9999… et qu’on écrit que 0,9999…=3*0,3333…, ce qu’on fait, c’est qu’on manipule des séries formelles.
Sur ces séries formelles, on définit des opérations (+ et *) et on se donne une fonction f qui prend une série formelle et qui rend un réel. Coup de bol, si u_n et v_n sont deux séries formelles, f(u_n+v_n)=f(u_n)+f(v_n) et f(u_n*v_n)=f(u_n)*f(v_n). On a donc très envie:
1. d’identifier u_n et f(u_n) ;
2. de généraliser d’autres opérations qui marchent bien sur les réels aux séries formelles.
Le 1. foire parce que deux suites différentes peuvent avoir la même image par f (par exemple f(1,0000…)=f(0,9999…)) ;
Le 2. foire parce que la division ne s’étend pas aux séries: 1/1=1,0000… mais 1/1=0,9999…
Ma remarque précédente, c’est qu’on peut très bien définir une addition et une multiplication sur des séries formelles indexées par les entiers relatifs. Dans ce cas là, la fonction g qui associe un réel à une telle série marche moins bien. Mais sur ces séries formelles, …9999+1=…0000. Donc tout ce passe comme si …9999=-1. Et c’est ce qui se passe sur les ordinateurs.
Effectivement, une retenue qui se perd à l’infini vaut bien une retenue qui remonte de l’infini comme dans 0.333333… x 3 !
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Si j’ai bien lu un précedent article le nombre PI contient certainement à un endroit de la liste des chiffres qui le composent une suite infinie de 9, alors …
Bon je sais qu’il y a des infinités qui sont plus infinies que d’autres infinités…
Ah tu as mal lu le billet sur Pi (ou je l’ai mal expliqué…) : les décimales des nombres univers contiennent n’importe quelle suite FINIE. Donc il y a un endroit dans Pi avec une suite de 198204812859 fois le nombre 9, mais il n’y a pas la place pour une suite infinie !
Quant aux infinis plus infinis que d’autre, il n’y en a pas tant que ça. Il y a un nombre infini d’entiers, et un nombre infini de réels. Il y a clairement « plus » de réels que d’entiers, mais il semble qu’il n’y ait pas d’infini plus infini que les entiers mais moins infini que les réels…sujet d’un futur billet !
« Quant aux infinis plus infinis que d’autre, il n’y en a pas tant que ça. »
Je pensais que si justement. Cantor donne une méthode pour en créer autant qu’on veut.
Si on part de l’ensemble des entiers naturels, par exemple, l’ensemble de ses parties est un infini « supérieur » car non dénombrable avec N.
Mais ensuite, l’ensemble des parties de l’ensemble des parties de N est encore au delà.
Cantor a prouvé par l’absurde que les parties sont plus infinies que l’ensemble. Pour cela, il s’est appuyé sur le paradoxe du barbier qui ne rase que ceux qui ne se rasent pas eux-même.
Science étonnante:
«Il y a clairement “plus” de réels que d’entiers, mais il semble qu’il n’y ait pas d’infini plus infini que les entiers mais moins infini que les réels…sujet d’un futur billet !»
En fait, ce n’est pas tout èa fait exact, la réponse, c’est que c’est comme on veut. Le fait qu’il n’existe pas un infini compris strictement entre les naturels et les réels s’appelle l’hypothèse du continu et Cohen a démontré en 1963 que cette affirmation était indépendante des autres axiomes de la théorie des ensembles de ZF. C’est donc un énoncé indécidable, mais je ne voudrai pas gâcher le punch de votre prochain billet…
je pencherai plutot pour dire que les IR vont plus vite a l’ infini que les entiers
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Pour ma part, je suis entièrement convaincu, et tu as presque quasiment modifier ma façon de concevoir les nombres ^^ J’ai cependant une question : 0,999999… à l’infini fois 10. Vu que la suite de 9 est infini, peut-on vraiment décalé l’infini d’un faction dix ? (question bête mais mes connaissances en maths sont bien limitée ^^)
> Vu que la suite de 9 est infini, peut-on vraiment décalé l’infini d’un faction dix ?
C’est plus facile de décaler la virgule d’un cran vers la droite 😉
Avec mes sabots de mécanicien: je trouve ici une petite confusion entre l’égalité « mathématique » ou identité et égalité physique qui est le résultat d’une opération ; en maths si on écrit a=b c’est que a et b sont la même chose et en physique on peut écrire pi=3,14159 ; et 1/3 vaut 0,333.. mais n’est pas identique à 0,333..
Sur la même lancée on pourrait dire que 1/infini=0=2/infini , mais en maths 1/infini n’est pas identique à 2/infini , en physique , les 2 expressions ont le même résultat
Tout d’abord merci pour cet article que je découvre (très) tardivement.
Une autre manière devoir les choses est de changer de base (nous sommes souvent scotchés à la base 10): passons en base neuf!
(1/9)b9=> 0,1 [n.b. la représentation numérique correspond exactement à la valeur cette fois ci] multiplions par 9 en base 9 i.e. (10)b9 et nous avons en base 9: 0,1×10= 1 il n’y a plus de problème de retenue et les égalités sont de véritables égalités et pas besoin de sommes infinies…
Bonjour,
C’est assez drôle que je lise cet article, car la première qu’on m’avait parlé de cette « bizarrerie mathématique » (si on peut l’appeler ainsi), je n’y avait pas cru et m’étais dit qu’il y avait quelque chose de plus compliqué caché derrière, que je n’avais pas compris sur le moment. C’est plus d’un an après que je lu la preuve la « plus simple », sur le site du zéro (maintenant OpenClassroom). Il utilisait la droite des réels et « zooms », pour montrer que si on fait tendre les décimales vers l’infini, on atteint le nombre 1.
Mais maintenant une question vient de me traverser l’esprit, et je n’arrive pas à savoir si cela est vrai ou faux:
On sait tous que 1 est un nombre naturel, comme tous les nombres entiers positifs, mais un entiers n’est pas donc pas, par définition, un nombre sans décimales ? Or, si on dit que 1=0.99999…, on dit alors que 0.9999.. est un entier naturel, non ?
Après, l’explication que j’ai trouvé est que le résultat est vrai seulement si on se place dans les réels.. Mais cela ne me convient qu’à moitié, car ‘j’ai un peu l’impression de tourner le dos au problème..
Donc si quelqu’un a une idée, je suis tout ouïe ! 😉
Bonne journée.
> mais un entiers n’est pas donc pas, par définition, un nombre sans décimales ?
Ben non : tu peux toujours écrire 1 comme ceci : 1,0. Ou même 1,00000… 😉
Un entier, on a pas besoin d’écrire ses décimales.
On retrouve cette confusion (des physiciens) entre l’identité et l’égalité du signe = ; il y a très longtemps en algèbre linéaire , mon prof m’avait fait découvrir que si on écrit A=B , ce n’est pas que la chose A vaut la chose B , mais A et B sont la même chose ,donc que 0.999.. est identique à 1-1/infini et que 1-0.999… est identique à 1/infini et que si on ajoute une infinité de fois (1-0.999…) on obtient comme résultat 1 qui n’est pas zéro et que donc 1 n’est pas identique à 0.999…, même si le résultat de 1/infini est égal à zéro
Je me demandais. Si 0,999… = 1, et que 0,98999… = 0,999…, est-ce que 0,98999… est égal à un lui-aussi? 🙂
Non, mais on peut dire que 0,98999999999 = 0,99
En gros dès qu’on a une suite infinie de décimales « 9 », on peut la supprimer et augmenter la dernière décimale « non-9 » d’une unité.
Merci pour votre réponse! Je lis votre blogue avec engouement et j’admire votre manière à la fois simple, mais pas enfantine et trop vulgarisée d’expliquer des faits de science qui m’étaient jusqu’alors inconnus. 🙂
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Je ne suis pas tout à fait d’accord avec ces démonstrations qui, à mon sens, néglige une nuance importante.
Elles seraient vraies seulement si 1/9=0.1111111…, 1/3=0.3333333… Or ce n’est pas le cas, 0.11111.. et 0.33333 sont des approximations qu’oblige le système décimal en base 10.
Ce que traduisent ces notations, ce sont deux limites dont les valeurs d’adhérence sont respectivement 1/9 et 1/3 et du coup, il en est de même pour 0.9999999…, c’est une suite dont la valeur d’adhérence est 1.
Mais si l’on est rigoureux, il est obligatoire d’admettre qu’une limite N’est PAS sa valeur d’adhérence, et ce même à l’infini, car par définition, la suite n’atteint jamais cette valeur tout en s’en approchant indéfiniment.
Il en va de même pour les asymptotes en analyse, et pour tout ce qui touche de près ou de loin à l’infini. Je pense qu’il faut distinguer une suite ou une fonction convergente de la valeur vers laquelle elle converge, et admettre ainsi qu’il existe des nombre infiniment petit, des infinitésimaux, sans quoi l’analyse se heurte à des paradoxes innombrables de ce type.
Ceci étant évidemment un argument théorique et plutôt axé sur les fondements des mathématiques que sur leur pratique courante, car la pratique ne s’encombre pas de telles considérations et fonctionne très bien sans.
> il en est de même pour 0.9999999…, c’est une suite dont la valeur d’adhérence est 1.
Dans 0,9999… On a pas d’information sur la longueur de la suite, on sais juste qu’elle est infinie (mais lequel?).
Comme il y a une infinité d’infinis, je ne trouve pas choquant que 0.9999… = 1. Le plus grand des infinis est l’absurde, alors en toute rigueur…
Vu que c’est une suite, chaque terme est indicé par une valeur naturelle (dans N), c’est donc de l’infini dénombrable qu’il s’agit, et c’est vrai pour toutes les suites.
L’argument selon lequel une infinité d’infinis impliquerait que 0.999999… =1 est donc mis à mal. Mais au delà de ça, si les valeurs d’une fonction tendent vers un point sans jamais l’atteindre (dans le cas d’une asymptote par exemple), le nombre de valeurs qui tendent vers ce nombre sera infini indénombrable mais malgré ça, la valeur ne sera jamais atteinte. (indénombrable c’est à dire, un infini qu’on ne sait même pas indicé par des valeurs de N, il est tellement « dense » que si on essaye de l’indicer par des valeurs de N, on peut toujours trouver une nouvelle valeur qui ne soit pas indicée, c’est l’infini des nombres réels ou l’infini continu.) Ceci montre que même si un nombre infini indénombrable de termes tendent vers une valeur, il est possible de ne pas atteindre cette valeur.
Et je ne comprends pas bien ce que tu veux dire par le fait que le plus grand des infinis est absurde.
Je reviens en simplifiant mon précédent commentaire : 0.9999.. est égal à « (infini-1)divisé par infini » ; 1 est égal à « infini divisé par infini » ; les 2 « expressions » ne sont pas identiques , même si elles sont égales en valeur
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Cet article me choque un peu. Sans explication, l’auteur nous annonce que 1/3 = 0.333333… et base tout l’article sur ce postulat. 3 x 1/3 = 1 et c’est vrai. Mais 1/3 est surtout égal à 0.333333 + epsilon. Epsilon c’est le signe des trois petits points. On ne peut pas l’ignorer comme cela par magie. De là il est impossible d’annoncer que 0.99999… = 1 parce que parait-il 3 x 0.3333333… = 1. Vous ne connaissez pas Epsilon, et vous ne pouvez pas l’annuler.
Epsilon, ce pouième est différent pour chaque nombre décimal périodique.
0.99999… C’est une asymptote. Ce nombre ne sera jamais 1. Mais aucun autre nombre ne peut en être plus proche.
Aparté: Toute surface peut être divisée en deux parties égales.
Mais ne peut être divisée en trois parties égales.
On ne peut diviser en parties égales une surface que lorsque l’inverse d’epsilon est une valeur finie ou nulle.
Pour 1/2, epsilon égale 0. Pour 1/3, epsilon est décimalement infini. Dans l’infiniment petit, un tiers de quelque chose est une approximation. Dans notre langage nous avons donné un nom à cette part mais elle ne reflète pas la réalité mathématique de l’entièreté divisée par trois.
Du reste, si je devais sommer mes tiers, je ne reconstituerai jamais l’entièreté. Car je ne peux posséder epsilon. 0.999999… est différent de 1. Mais en temps qu’être humain, je peux admettre que c’est égal à 1. Je n’ai pas le pouvoir divin de courir après le 1 – 0.999999999… qui manque.
« Toute surface peut être divisée en deux parties égales.
Mais ne peut être divisée en trois parties égales. »
Je ne crois pas.
Si cet énoncé veut dire qu’aucune surface ne peut être parfaitement divisées en 3 parties égales, il me semble que non.
Si je prends une chaîne carbonée, dison une feuille de graphène de 3 atomes de large et une autre de 1 atome de large (et de même longueur), c’est bien une surface qui est exactement 3 fois plus petite.
A moins qu’en fait il existe des variations de tailles (imperceptibles à nos expériences) entre atomes de carbones. Ou des différences de tailles entre liaisons atomiques. Mais de toutes manières, pour moi, dans tous les cas, la nature ne me semble pas fondamontalement contre la division par 3.
Je dois dire que j’ai du mal à concevoir que deux nombres puissent être égaux, alors que leurs parties entières sont différentes… ^^’
Je crois comprendre ce que vous voulez dire. Mais il faut faire attention à ne pas confondre le nombre en lui-même, et sa ou ses représentations. Le nombre existe indépendamment de tout système de numération et les symboles que nous utilisons pour l’écrire ne sont pas le nombre.
On peut décider de façon arbitraire que 0.333333… = 1/3 et trouver des équivalences magique.
Mais on peut aussi décider que le signe « … » n’a aucun sens dans le système numéraire.
Dans ce cas nous affirmerons par exemple que :
1 = 1
1/3 = 1/3
0.9 = 0.9
0.999999 = 0.999999
0.9999999999999999 = 0.9999999999999999
Et nous serons d’accord avec l’affirmation « 0.999999… le nombre qui n’existe pas vraiment » ; nous dirons même : « 0.999999… le nombre qui n’existe pas ».
Je crois que c’est la meilleure réponse ; on peut en effet parler à l’infini des choses qui n’existent pas et en exemple , j’affirme que les martiens n’ont pas la peau verte …personne ne pourra prouver que c’est faux
La démonstration préférée de David contient toujours, à l’instar des autres, un biais. En effet:
10x n’egale pas 9+x mais 9x+x
Mohwali Awamar
Oui, donc, en clair, il y a pleins (une infinité) de nombres qui n’existent « pas vraiment »… 0,99999…. qui représente le nombre 1 mais aussi 1,999999…. (qui représente le nombre 2, puisque 2 peut s’écrire 1+1 ou 1+0,99999… = 1,999999…) et aussi 3 et 4 et … tous les entiers strictement positifs… par contre mon raisonnement ne marche pas pour les négatifs ou 0, mais est-ce qu’on peut le démontrer (que -1 = -0,9999999… ?) et pour 0 ??
0,999… est une valeur par défaut de l’unité (1). Il est assujetti au « quel que soit , il existe » . 0,001… est ce qui manque à 0,999… pour valoir l’unité(1). En vérité, le un (1) comme le zéro (0), est ce qui n’existe pas vraiment.En somme , le couple (0,1) est en réalité (zéro, infini).
Mohwali Awamar
En fait, je me pose la question parce que si effectivement les entiers négatifs et zéro sont représentables par des « nombres avec des queues de 9 qui n’existent pas », alors j’ai une bijection (tous les entiers, sans parties décimales se complètent avec une queue de 9 et comme dit plus haut : 0,5 peut s’écrire 0,4999999 et 0,567 peut s’écrire 0,56699999… etc. Idem pour tout nombre réel positif) entre les nombres réels finis et les nombres réels finis avec une queue de 9. Du coup, il existe une infinité non dénombrable de réels avec une queue de 9 (qui n’existent pas vraiment). Mais avec les négatifs je pense que ça ne marche pas on aurait comme équivalent négatif une infinité de 0 suivi d’un 1 (exemple -5,0000…1 = -5… et ça marche moins bien !)
Ah oui, ça y’est. Je prenais l’approche des entiers négatifs du mauvais côté. En fait, si 0,9999… est une autre façon d’écrire 1, alors -1 peut s’écrire -1*1 ou -1*0,99999… = -0,999999… et de là -2 peut s’écrire (-1)-1 ou (-0,9999…)-1 = -1,9999… et idem pour -3, -4, et tous les autres négatifs. Reste le cas du zéro… qu’on l’approche par la « gauche » ou par la « droite », il n’y a pas de « queue de neufs » à exploiter… sinon, je crois que le fait que je peux établir une bijection entre les réels « finis » (i.e. avec un nombre finis de chiffres après la virgule) et leurs équivalents avec queues de 9, en font un ensemble infini mais dénombrables (puisque je ne suis plus dans un domaine « continu » si je ne garde que les réels avec un nombre finis de décimales). …Reste le cas du zéro. Comment prouve-t-on qu’il n’existe pas de nombres (positifs ou négatifs) infiniment proches de 0 ?
Plus on se rapproche de zéro , selon qu’on le fait par valeurs négatives ou positives on est dans l’infiniment grand ou l’infiniment petit. C’est pourquoi l’infiniment grand et l’infiniment petit sont si proches. Ce qui veut dire que la distinction entre zéro et l’infini est instantanée, à la limite de la superposion.
Mohwali Awamar
Merci pour un vieux qui comprend que d’alle
Quand j’étais petit on m’a appris la fonction E (x) qui donne la partie entière d’un nombre. Que penser de la valeur de E(0.999999….) ? vaut-elle 1 ? faut-il exclure les nombres entiers du domaine de définition de la fonction E?
Pour ma part je pense que dire 1=0.99999….. est un abus de langage symbolique. Les « ….. » ne sont pas une notation mathématique. La véritable égalité serait plutôt 1 = 9 x (lim quand n tend vers l’infini) de somme de 1 à n de (10 puissance -n).
Tout ce que vous faites c’est montrer que 0.999999999999… ne peut pas être le résultat d’une division. Ca ne veux pas dire que ce réel équivaut à 1. En plus si on se place du coté d’une « suite », il y a des égalités qui ne tiennent plus. Ca me fait penser à Mickaël Launay qui pense démontrer que 1+2+3+4 à l’infini ça donne -1/12 !
9/10+9/100+9/1000+… A l’infini cette suite tend vers 1 sans jamais l’atteindre.
OK, j’ai lu la page wikipedia, je retire mes dires. 0.99999999… = 1
Du coups, 0.000….01 = 0 ? -_-
Non, car on ne peut pas placer un « 1 » après une infinité de zéro.
En terme d’algorithme, on peut construire le nombre 0,99999… (si on dispose d’un temps infini) mais on ne peut pas construire 0,000…1 (même en disposant d’un temps infini) puisqu’il ne sera jamais le moment de placer le « 1 » final.
J’ai aussi une preuve par l’absurde qui démontre que ce nombre n’existe pas (ou du moins sans créer un nouveau champ de l’arithmétique.) Si nous avons 0.000…..1, alors on peut supposer qu’il y a une infinité de zéros après le 1, et donc il y aurait une deuxième période dans le même nombre. C’est déjà plutôt absurde, mais n’arrêtons pas là. Supposons que deux périodes seraient en fait admises. Si l’on soustrait 0.999….09999…, alors nous pouvons insinuer l’égalité 0.999…0999…=0.999…0999…000… et donc une troisième période. En continuant avec cette logique, nous pouvons ainsi ajouter une infinité de périodes, mais ce n’est pas la fin. On peut supposer le nombre 0.999…0999…0999…0999…. et ainsi de suite, ce qui ferait une période incluse dans un période. Et pourquoi pas un période incluse dans une période elle-même dans une autre période? Bref, je crois qu’il serait plus probable que 1 = 0.9999…
Très belle démonstration. Si proche du but, sans pouvoir y arriver. Je me permets cette petite réflexion sans prétention en guise de poème sur l’infinité impossible à atteindre :
Cela faisait un effet bœuf
à les voir s’aligner en file :
neuf cent quatre vingt dix neuf mille
neuf cent quatre vingt dix, plus neuf
qui vinrent s’ajouter au nombre,
ban et arrière-ban du fief
en un rang, derrière leur chef,
qui s’allongeait comme son ombre ;
sans fin, avec pas un de trop
pour tous repartir de zéro,
comme Attila, dans leur conquête
sans avoir le succès du Hun :
pour une victoire complète,
il leur en manqua toujours un.
toutes les demonstrations de 1=0,9999 sont fausses, voir le lien https://www.researchgate.net/publication/332082882_ALL_PROOFS_OF_1_09_ARE_FALSE
J’ai pas tout lu les commentaires. Mais je me pose des questions concernant 0.99999 et… 0.999.
Sur le fait que si je pose A = 0.9999 et B = 0.9999, je ne suis pas sur que A – B = 0.
Je m’explique si A = 0.9999 sur lequel j’applique la transformation suivante :
Quelque soit la valeur de la ième décimale, je la multiplie par 0.1 puis j’ajoute au tout 0.9, je me demande si :
– 1) : On obtient le même nombre
– 2) : Le nombre obtenu n’est pas plus grand que A.
En d’autre terme si je fais la somme des 9×1/10 puissant n – la somme des 9×1/10 puissance n (quand n va à l’infini) j’obtiendrai une forme indéterminée.
Cependant je reconnais que la démonstration qui consiste à dire que A = lim(n->infini) Somme(k=1…n) 9.(1/10)^k = lim(n->infini)(1-(9/10)^(n+1))/(1-(9/10)) m’a convaincu et je ne peux pas le remettre en question
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Que dire de l’affirmation de Cantor selon laquelle zéro(0) n’est pas un vrai nombre dès lors que quel que soit l’ordre du neuf(9) considéré zéro(0) est à l’intérieur de l’intervalle non nul restant? A vrai dire zéro est aussi insaisissable que l’infini et que l’intervalle en question contient contient autant de points ou de neuf(9) que toute la droite des réels.Autrement dit que (0,999…) n’est pas l’unité(1) et la Machine nous le dit à travers ses pseudomiracles .Mohwali Awamar
3 x 1/3 = 0.999… ?
Cette continuité de 9 traduirait peut-être une dynamique et dans ce cas la plus ultime qui soit : la flèche du temps. A noter que les 3 tiers font la propriété première du flocon de Koch et là encore, la géométrie fractale la plus élémentaire qui soit, après celle d’un quadrillage.
De par cette vision des choses, l’unité entière 1 désignerait ici la fractale en tant qu’objet, alors que 0.999… distinguerait la dynamique de cette même unité… structurée. Ce schéma serait transposable à toute notion physique, faisant que ces deux écritures ne feraient qu’une, mais devraient être perçues et peut-être même utilisées distinctement, selon les domaines de recherches..
Ok, mais alors : qu’y a-t-il « juste avant » 1 ?
Pour moi, la « bonne » réponse est : juste avant 1, il y a 0,999…9 avec AUTANT DE 9 QU’ON LE SOUHAITE, mais pas 0,999… AVEC UNE INFINITE DE 9.
Autant qu’on le souhaite = on s’arrête quand on veut, aussi loin qu’on veut, mais on doit obligatoirement « choisir un niveau de détail », une sorte de « résolution », une « taille » de pixel, …
Un infinité = on ne s’arrête jamais, ce qui pose un problème physique fondamentale, mais n’empêche pas les mathématiques de travailler avec ce concept qui n’existe pas dès qu’on se fixe un univers « concret », « physique ».
Non 0.9999… n’est pas égale à 1 c’est 1- ou 0.9999… plus petit que 1, donc 1 – 0. 9999… ne sera pas = à 0 mais à 0+, on a beau démontrer n’importe comment ,il y aura toujours une erreur dans la démonstration, répétée par d’autre
Quand on écrit que « 1/3 = 0,333… », on a l’impression que des retenues ou « epsilon » se perdent à l’infini des décimales, mais ce n’est qu’une illusion d’optique du système décimal (car 10 n’est pas divisible par 3).
Si l’on transpose le problème en base 60, on pourrait écrire « 1/3 de minute = 0,333… minutes », mais on utilise comme écriture « 20 secondes ».
Quand on écrit « 1/3 = 0,333… donc 3 x 1/3 = 0,999… », on a l’impression qu’il manque un « epsilon » pour atteindre 1, mais c’est là aussi une illusion d’optique ou une convention d’écriture pour le sens des points de suspension (« … »).
Si on écrit « 3 x 0,33333 = 0,99999 », il manque effectivement un « epsilon » (0,00001) pour obtenir 1 ;
mais si on écrit « 3 x 0,333… », la partir fractionnaire de « 0,333… » vaut EXACTEMENT 1/3.
Donc si on écrit que « 1 = 0,999… », par cette même convention, l’égalité est VRAIE car le « epsilon » que l’on ne voit pas se cache justement dans les « … » ; en d’autre termes, la partie fractionnaire de « 0,999… » est égale à la partie entière de « 1,000… » ; pour les deux écritures, la somme de la partie entière et de la partie fractionnaire est égale à « 1 » (en terme de nombre, ou quantité REELLE), donc les deux écritures correspondent bien au même nombre « 1 ».
Il est incorrect de dire que ce sont « deux nombres différents de valeur égale », car il s’agit plutôt de deux écritures différentes d’un même nombre. L’écriture « 1 » est la plus usuelle, tandis que le développement décimal « 0,999… » s’étant à l’infini en base 10 et nécessite de la convention des points de suspension (ou autre convention équivalente) pour conserver l’égalité.
Ce qui peut paraître paradoxal, par contre, c’est que si l’on considère que la partie entière inférieure d’un nombre réel x est égale à 0 pour x appartenant à l’ensemble [0;1[ , que dire du nombre « 0,999… » ?
Soit on considère effectivement que sa partie entière inférieure est égale à 0, ce qui impliquerait que « 0,999… » ne fait pas partie de l’ensemble [0;1[ , mais dans ce cas, c’est sa partie fractionnaire qui est égale à « 1 », ce qui explique l’asymptote dans la fonction « partie entière » lorsque x tend vers 1.
Le paradoxe vient du fait que la fonction « partie entière » ne soit pas continue dans l’ensemble des réels.
En extrapolant le raisonnement on arrive a ceci ?
2,9999999…….99999….. = 3
3,9999999…….999999…..=4
Et ainsi de suite!!!!
Je peux comprendre que l’on reste toujours un peu perplexe lorsqu’il faut manipuler une somme avec ces trois petits points. Si l’on si prend mal, cela peut parfois donner des résultats incohérents.
C’est pour cela que la preuve en utilisant la formule d’une série géométrique me parait la plus concluante. En partant de ceci (qui est correctement défini, et sans ambiguïté), on va pouvoir déterminer des cas particuliers :
Σ_n = 0^∞ q^n = 1 / (1 − q), pour autant que |q| < 1.
Σ_n = 1^∞ q^n = q / (1 − q), pour autant que |q| < 1.
Comme indiqué dans l'article, on a 9 × Σ_n = 1^∞ (1/10)^n = 9 × (1/10) / (1 − 1/10) = (9/10) / (9/10) = 1.
Et puisque 0.999… = 9 × Σ_n = 1^∞ (1/10)^n, on a bien 0.999… = 1.
Ne pas y croire revient à ne pas croire toutes les formules à base de série géométrique, telle que :
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = Σ_n = 0^∞ (1/2)^n = 1 / (1 − 1/2) = 2
Voire même à ne pas croire au résultat de toute les séries à nombre d'éléments infinis, telle que :
1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + … = π²/6.
Un dernier commentaire pour l'auteur de l'article, la multiplication ne devrait pas être indiquée par *, mais par ×. Source : Brochure SI, Section 5.4.6 (https://www.bipm.org/documents/20126/41483022/SI-Brochure-9.pdf#page=41).
En base 3 : 1/10 = 0,1 et donc 10 x 0,1 = 1 en base 3
Que vaut 0,99999.. en base 3 :
on peut dire qu’il vaut 3 x 0,33333.. qu’on va exprimer en base 3 : soit 10 x 0,1 = 1
Donc 0,99999 en base 10 vaut bien 1 en base 3 qui s’écrit 1 aussi en base 10. CQFD