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Géométrie

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Une nouvelle vidéo, consacrée au théorème des 4 couleurs, qui dit qu’on peut toujours colorier n’importe quelle carte géographique avec seulement 4 couleurs ! [youtube=http://www.youtube.com/watch?v=g_nTfZ9OgJs] Pour ceux qui aiment les coloriages et les maths, mais qui veulent du plus lourd, allez donc voir mon billet sur les courbes remplissantes, qui explique pourquoi on peut toujours colorier un carré avec un crayon infiniment fin.

Gustav_Adolf_Closs_-_Die_Schiffe_des_Columbus_-_1892Il y a quelques jours, ma fille m’a posé des questions sur la rotondité de la Terre. Je lui ai alors servi l’histoire habituelle, selon laquelle les Anciens avaient déjà remarqué que les voiles des bateaux étaient visibles avant leur coque, ce qui confirmait que la Terre était ronde.

Et puis je me suis demandé : est-ce bien raisonnable ? Est-ce que vraiment on pourrait ne voir que les voiles des bateaux ? Ou est-ce que l’effet est négligeable pour être vu à l’oeil nu ?

Eh bien faisons le calcul !

triangles_300

C’est un grand classique, mais après ce que je vous ai infligé la semaine dernière, je me suis dit qu’un peu de repos ne ferait de mal à personne !

Donc nous allons démontrer que tous les triangles sont équilatéraux. Rien que ça !

Et puisqu’on démontre que tous les triangles sont équilatéraux, il s’ensuit que 1+1=3, que les maths sont contradictoires, que Gödel l’avait prédit et que je suis le pape.

pythagore photoLe théorème de Pythagore est certainement le plus connu de toutes les mathématiques. Mais qui sait vraiment le démontrer de but en blanc ? Et pourtant il existerait plusieurs centaines de manières de le faire !

Pour ma part, je n’ai jamais vraiment réussi à retenir une seule démonstration plus de quelques heures … jusqu’à ce que j’en croise une bien particulière, la plus belle de toute à mon goût : une démonstration de physicien, bien sûr, puisqu’elle utilise l’analyse dimensionnelle ! (dont je parlais dans mon précédent billet)

Considérons un triangle rectangle. Il est parfaitement caractérisé par la donnée de son hypoténuse (appelons-là C) et de l’un de ses angles aigus (appelons le $latex \theta$). Je vous laisse vous en convaincre sur le dessin suivant : si je vous donne C et $latex \theta$, vous pouvez reconstruire ce triangle rectangle sans ambiguïté.

pythagore1

échelle distance cosmiquesPour mesurer les distances dans l’Univers, les astronomes peuvent utiliser différentes méthodes, suivant qu’ils s’intéressent à des objets proches, comme les planètes du système solaire, lointains comme les étoiles, ou très lointains, comme les galaxies.

Mais ces différentes méthodes ne sont pas indépendantes, et elles reposent en fait les unes sur les autres : il faut d’abord connaître les distances aux objets les plus proches pour pouvoir déduire correctement celles des objets les plus lointains.

Cette hiérarchie de méthodes s’appelle l’échelle des distances cosmiques, et nous allons voir qu’elle permet de passer de la connaissance de la taille d’un simple bâton, à celle de l’Univers visible !

pencilMa fille n’aime pas quand les crayons de couleur sont taillés trop fins. Ben oui quoi, après c’est plus long pour colorier ! J’ai beau lui expliquer que grâce aux courbes remplissantes, on peut toujours tout colorier même avec un crayon infiniment fin, j’ai l’impression que l’argument ne passe pas.

Et pourtant, nous allons voir dans ce billet que l’on peut effectivement trouver des courbes qui remplissent totalement une surface en passant par tous ses points.

Et tant pis si ça va à l’encontre de l’intuition !

En mathématiques, il existe quelques problèmes très simples à énoncer mais incroyablement difficiles à résoudre. C’est particulièrement vrai en arithmétique, et j’ai déjà eu l’occasion d’écrire des billets sur la conjecture de Goldbach (ici) et sur celle de Syracuse ().

Aujourd’hui, nous allons voir qu’en géométrie aussi, il existe des conjectures qu’un collégien peut comprendre mais sur lesquelles les meilleurs mathématiciens du monde se cassent les dents. Et comme la géométrie est partout autour de nous, cela va nous permettre de faire un tour dans le monde des abeilles et celui des bulles de savon.

On a souvent tendance à penser qu’il a fallu attendre la Renaissance pour que l’humanité découvre que la Terre n’était pas plate. C’est une fausse croyance, car l’idée que la Terre soit ronde date de l’Antiquité, et était partagée par de nombreux savants comme Platon ou Aristote.

D’ailleurs en 200 avant J.C., Eratosthène a même réussi l’exploit de calculer la circonférence de la Terre à quelques centaines de kilomètres près, puisqu’il l’estima à 39 375 km, alors que la valeur actuellement admise est autour de 40 070 km !

Voyons ensemble comment il a procédé.