La vidéo du jour traite d’un algorithme de cryptographie qui m’a semblé au premier abord invraisemblable…Cela fait plusieurs fois que je traite de cryptographie, et je n’ai pas encore épuisé le sujet, loin de là ! https://www.youtube.com/watch?v=1Yv8m398Fv0 Quelques précisions d’usage sur des points que je traite dans la vidéo. J’ai parlé du chiffre de Vigenere (sans le nommer d’ailleurs, pour pas complexifier) sans forcément élaborer sur le fait que ça n’est pas la seule méthode…
La vidéo du jour parle de l’Hypothèse de Riemann !
https://www.youtube.com/watch?v=KvculWl-jhE
J’ai essayé comme toujours de rendre ça accessible, mais je suis conscient que ça n’est pas évident car cela demande au minimum de connaître les nombres complexes.
J’ai pris soin toutefois d’éviter la notation $latex \Sigma$ pour désigner les séries. Il me semble que sur un épisode court ça n’apporte pas grand chose à part demander au lecteur un effort de décryptage supplémentaire.
Aujourd’hui un sujet qui me tient à coeur : la musique ! … et ses relations avec les mathématiques et la physique. https://www.youtube.com/watch?v=cTYvCpLRwao La vidéo est déjà bien assez longue, alors peu de compléments aujourd’hui, si ce n’est insister à nouveau sur le fait qu’il existe encore plein d’autres manières d’accorder les instruments, suivant le nombre de notes et la manière dont on choisit les intervalles. Il existe même des façons d’accorder où les octaves…
Ma dernière vidéo parle de ce qui sera peut-être la révolution technologique de l’année 2017 !
https://www.youtube.com/watch?v=bayTbt_8aNc
Quelques compléments ou précisions sur ce sujet ô combien complexe, et parfois caricaturé.
Aujourd’hui je m’attaque à un gros morceau : les théorèmes de Gödel !
https://www.youtube.com/watch?v=82jOF4Q6gBU
Il y aurait des pages à écrire pour compléter cette vidéo, et ci-dessous je vous commente certains points et fait quelques remarques, mais bien évidemment ceci ne saurait constituer une présentation exhaustive de la chose !
Ma nouvelle vidéo porte sur le concept le plus simple et le plus déroutant des mathématiques : les nombres premiers !
https://www.youtube.com/watch?v=R37JHiA-HOg
Une petite précision de définition pour commencer : je n’ai pas voulu alourdir l’introduction en donnant une définition totalement précise de ce qu’est un nombre premier. Et je suis passé notamment sur cette convention de ne pas considérer 1 comme un nombre premier. Une manière élégante et compacte c’est de dire qu’un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs distincts (1 et lui-même).
Pour être précis, ce qu’à montré Zhang [3], c’est qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers consécutifs séparés d’un gap de moins de 70 millions. Je vous laisse vous convaincre que l’on en déduit que forcément parmi les conjectures des nombres premiers jumeaux, cousins, sexys, etc. jusqu’à 70 millions, il y a en a au moins une de correcte.
Aujourd’hui je voudrais vous parler d’une construction mathématique très jolie et injustement méconnue : les fractions continues.
Vous allez voir que les fractions continues sont à la fois simples, amusantes, belles et utiles !
Que demander de plus ?
Même si vous n’êtes pas un super-geek, il est vraisemblable que vous connaissiez au moins les quelques premières décimales du nombre $latex \pi$. L’écriture décimale d’un nombre comme $latex \pi$, c’est un truc pratique mais forcément imparfait. En effet quel que soit le nombre de décimales qu’on choisisse de mettre, il ne s’agira que d’une approximation, qui n’est jamais exactement égale au véritable $latex \pi$, par exemple
$latex \pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582…&s=1$
Les fractions continues, c’est une autre manière de représenter et d’approximer des nombres réels, une alternative à l’écriture décimale.
La semaine dernière, je vous ai parlé de ce qu’on appelle la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood, qui affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N.
Cette conjecture a de quoi intriguer, car on n’en a jamais trouvé un seul contre-exemple, et pourtant les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse. Mais ils estiment que pour trouver un contre-exemple, il faut aller chercher au-delà de $latex 10^{174}$ !
Aujourd’hui, nous allons voir ce qui permet de faire cette estimation. Il s’agit d’une autre conjecture proposée au même moment par les mêmes mathématiciens : celle qu’on appelle la première conjecture de Hardy-Littlewood.
C’est l’histoire d’un physicien à qui on demande d’étudier la conjecture
« Tout nombre impair est un nombre premier. »
Il commence donc à regarder les nombres impairs les uns après les autres :
1 : ok. 3 : ok. 5 : ok. 7 : ok. 9 : …hum. 11 : ok.
13 : ok. 15 : …euh. 17 : ok. 19 : ok.
Et le physicien finit par conclure :
« La conjecture est vraie; …en première approximation. »
Au-delà du fait que cette conjecture est évidemment carrément fausse, cette histoire illustre le fait qu’en mathématiques il n’y a pas de demi-mesure : soit une conjecture est vraie pour ABSOLUMENT TOUS les nombres, soit elle est fausse ! Un seul contre-exemple suffit pour démolir l’édifice.
Et pourtant aujourd’hui nous allons parler d’une conjecture un peu étrange : la deuxième conjecture de Hardy-Littlewood. Personne n’en a jamais trouvé de contre-exemple, et malgré cela les spécialistes sont convaincus qu’elle est fausse ! Mais le premier contre-exemple est attendu fabuleusement loin, au point qu’on estime que la conjecture est vraie jusqu’à au moins 10 puissance 174 !
Nouvelle rediffusion pour l’été 2013, avec ce petit billet sur les mathématiques de la musique !
Dans ce billet nous allons voir en quoi l’existence de la musique occidentale repose sur le fait que 3 puissance 12 est (presque) égal à 2 puissance 19 ! Et pour cela, construisons un piano !
Le principe est simple : on va partir d’une première corde, dont la vibration produit une certaine note, et on va chercher successivement à construire les autres cordes du piano. Notre critère étant d’introduire de nouvelles cordes dont les sons « vont bien » avec ceux des cordes que l’on possède déjà.
Et voyons où cela nous mène !