Dans mon billet d’il y a quelques semaines, je vous ai proposé de partir à la chasse aux arcs-en-ciel. J’ai notamment mentionné que l’arc apparaît sous un angle d’environ 42° par rapport à l’axe qui relie le soleil à l’observateur.
Il se trouve qu’en écrivant ce résultat, je me suis dit qu’il devait découler de manière évidente de la loi de Descartes appliquée à l’intérieur de la goutte, un truc du genre arccos de 1/n où n est l’indice de réfraction de l’eau qui forme les gouttes. Mais en scientifique fainéant et peu rigoureux, je n’ai pas vérifié…
Mal m’en a pris, car MrPourquoi a commencé à me titiller en me disant que ça n’était pas du tout immédiat à démontrer. Persuadé du bien fondé de ma croyance, j’ai entrepris de retrouver le 42° avec pour seuls outils un café, un crayon et un bout de papier. Et ce fut un échec ! En effet je pensais naïvement que l’angle entre le rayon incident et le rayon sortant était toujours de 42°. Eh bien pas du tout !
On peut montrer (voir ici, je reproduis le schéma ci-contre) que l’angle vaut en réalité A = 4r – 2i où i est l’angle incident par rapport à la normale de la surface de la goutte, et r est l’angle réfracté à l’intérieur de la goutte.
Par la loi de Descartes l’angle r est relié à l’angle i par sin i = n sin r, où n est l’indice de réfraction de l’eau (environ 1.33). Donc l’angle de déviation A peut valoir tout et n’importe quoi, ou presque. Mais alors, pourquoi 42° ?
En fait, comme l’explique très bien MrPourquoi dans le billet qu’il vient de publier, il existe un maximum de cet angle de déviation, pour lequel on a en plus une concentration de rayons (allez voir ses schémas !!)
Pour trouver ce maximum, on peut écrire l’angle de déviation A=4r-2i uniquement en fonction de i grâce à la formule de Descartes, on récupère
\(4 \arcsin((1/n)\sin(i)) -2i \)
On peut en chercher le maximum analytiquement en dérivant et en annulant la dérivée. Pour ma part, j’ai naïvement demandé à Wolfram Alpha qui me sort un maximum valant 0.742 radians, soit 42° ! Wolfram Alpha c’est quand même cool !
7 Comments
Bon, la boucle est bouclée !! 😉
Peut-être juste une dernière chose pour faire définitivement le lien entre l’angle d’entrée du rayon, et l’arrivée d’un faisceau de rayons parallèles provenant du soleil : Comme la goutte modélisée est une sphère, il est équivalent de parler des rayons qui tapent à des endroits différents la goutte (et tous parallèles entre eux)comme on l’a fait dans mon billet et de parler de rayons tapant tous au même endroit, avec des angles différents, comme tu en parles toi !
[Et encore merci à toi Alex (je sais que tu lis souvent ce blog 🙂 ]
En guise de commentaires, je me contenterai de citer Feynman: » la physique n’explique simplement aucune des choses simples » 🙂 . Ou quelque chose du genre. Si vous retrouvez la citation exacte…
Pourtant il suffisait de taper « answer to life, the universe and everything » (sans les guillemets) dans ton moteur de recherche préféré. Un easter egg dans la fonction calculatoire de google donne la réponse : 42.
Mais il est vrai que Descartes n’a jamais connu Douglas Adams. Ceci dit je ne pense pas qu’ils se seraient bien entendus…
Le site de référence des phénomènes d’optique atmosphérique : http://www.atoptics.co.uk/
Une fois parcouru, on se met à chercher les vrais arc-en-ciel, les faux, les piliers, parhélies, halos, etc… dès qu’un cirrus se pointe dans la voûte bleue ! Quelques schémas sont interactifs pour comprendre le chemin des rayons lumi.neux
Pingback: La chasse aux arcs-en-ciel, épisode II | C@fé des Sciences | Scoop.it
Dans la même veine, un phénomène que j’ai observé 2 fois en avion dans des conditions bien particulières. J’aimerai savoir si d’autres gens l’ont vu. Une ombre très nette de l’avion encerclée d’un disque de lumière (non je suis pas mystique ^^). J’avais l’impression que le phénomène s’est produit quand l’avion effectuait un virage qui faisait que la lumière du soleil passait au travers des hublots produisant des diffractions. J’ai gardé les photos si ça interesse quelqu’un…
Il s’agit du « spectre de Broken » du nom du massif du Harz en Allemagne…Il est aussi appelé « gloire » ou « cocarde du pilote » car fréquemment visible en avion. Bouguer, en a fait une description précise en 1744 dans son « Histoire de l’Académie ». Voir le livre « Jeux de lumière » de F. Suagher et J-P Parisot, Ed Cêtre.