J’avais déjà traité le sujet en blog, et je m’étais donc promis de ne jamais parler de 1+2+3+4 + … = -1/12 en vidéo…eh bien j’ai craqué ! Dans ce nouvel épisode je vous explique en quoi l’effet Casimir n’est pas une « preuve » de ce résultat, mais il illustre l’utilité en physique de certains concepts des séries divergentes.

Dans la vidéo, j’ai traité le cas « académique » de l’effet Casimir, c’est-à-dire en 1D et sur un champ qui ressemble plus à un champ scalaire qu’au champ électromagnétique. Il aurait fallut prendre en compte par exemple l’existence de 2 polarisations, et surtout le fait qu’en 3D, même si on a deux plaques infinies, il existe des modes qui ne sont pas orthogonaux aux plaques. Si on fait ça proprement, on trouve une expression un peu différente, et qui n’est pas une force mais plutôt une pression (puisque ça va dépendre de la surface des plaques).

\(\displaystyle P(x) = -\frac{\hbar c \pi^2}{240 x^4}\)

L’ordre de grandeur est d’environ 1 mPa pour x=1 micron. On voit bien la faiblesse de l’effet ! Comme je l’évoque, en pratique on ne mesure pas forcément ça avec deux plaques mais plutôt une sphère et une plaque.

Pour une discussion récente et notamment des aspects expérimentaux : Casimir effect, theory and experiments, par Serge Reynaud et Astrid Lambrecht

Sur la régularisation

On a vu que pour donner un sens aux expressions manipulées, il faut trouver un moyen de régulariser la somme infinie pour éviter les divergences. J’ai utilisé ce qu’on appelle la régularisation « heat kernel » (avec l’exponentielle décroissante), mais il en existe d’autres. Par exemple la régularisation utilisant la fonction zeta. La beauté de tout cela est que le résultat qu’on obtient est indépendant du schéma de régularisation utilisé (pour un schéma raisonnable).

Bien sûr le fait que l’on obtienne -1/12, le prolongement analytique en -1 de la fonction zeta apparait naturellement si on choisit de faire la régularisation par la fonction zeta. Notez qu’en dimension supérieure on obtient d’autres valeurs de la fonction.

L’énergie du vide existe-t-elle ?

L’énergie de point zéro est un concept perturbant : existe-t-elle vraiment ? Un point parfois débattu est qu’il serait possible de calculer la force de Casimir par une autre route, comme une force de Van Der Waals qui s’exerce entre les plaques. J’avoue que je n’ai jamais vraiment bien compris les démonstrations. Un point qui me chiffonnait est qu’une force de VdW devrait faire apparaître la constante de structure fine \(\alpha\), or la force de Casimir ne la fait pas apparaître.

Mais ici un papier par quelqu’un de sérieux qui argumente que l’expression de Casimir serait une sorte de limite \(\alpha \to \infty\) de la force de Van der Waals (si je comprends bien). Et il semblerait que l’hypothèse des plaques conductrices parfaites induise implicitement une hypothèse \(\alpha \to \infty\), qui en pratique serait d’ailleurs largement satisfaite.

Mais est-ce pour autant qu’on doit en conclure que l’énergie du vide n’existe pas ? Il existe par exemple un autre phénomène mesurable, le décalage de Lamb, qu’on attribue à des interactions entre un atome d’hydrogène et les fluctuations de l’énergie du vide. L’existence de plusieurs routes invalide-t-elle l’existence de l’un ou l’autre des concepts utilisés ?  Tout ça nous renvoie à des questions passionnantes sur « ce qui existe vraiment »; ma position (naïve) étant de fait que rien n’existe vraiment, et j’ai d’ailleurs un billet en préparation sur le sujet depuis trop longtemps !

31 Comments

  1. Après, une plaque faite d’atomes va forcément émettre des photons dans toutes les directions, en raison du rayonnement thermique. Alors dès qu’on considère de la matière, cela parait logique que l’on puisse considérer de l’énergie associée à des photons à proximité de cette matière (ou entre deux plaques de matière).

    Mais question : et si on considère un Univers absolument vide de toute matière, de toute énergie, avec un espace-temps plat de chez plat (oui vraiment pas un Univers intéressant, je vous l’accorde), est ce que cette « énergie du vide » existe t’elle ?

    Si la réponse est « non », mon intuition me dicte que cette énergie est en lien avec la présence de matière dans une région de l’espace, et très probablement en lien avec le rayonnement thermique ou bien les forces de Van der Waals.

  2. L’ensemble « rien n’existe vraiment » existe; le langage est fait pour nommer les objets et les concepts.
    Du coup c’est un paradoxe.
    Et le fait qu’il y ait de l’information et que nous puissions le déterminer par le langage complexe implique l’existence de la dite information.
    Après on peut mettre tout le flou qu’on veut sur les termes ‘exister’ et ‘vraiment’, il n’en restera pas moins que conceptuellement le vrai existe par « précision » (réduction du flou).
    Si on aboutit à rien en réduisant, alors rien n’est rien, et on est foutu 🙂

    • Si rien n’existe vraiment, alors rien n’a vraiment d’intérêt, donc quel est l’intérêt de démontrer que rien n’existe vraiment 🤔

    • Le langage n’est pas forcément fait pour nommer les objets et les concepts : le langage forge des objets et des concepts. La différence est fondamentale. Pour Pierre Duhem, le concept « électricité », par exemple, est une unité synthétique ; c’est une collection d’un ensemble de manifestations (position reprise par Sartre dans l’Etre et le Néant). De ce point de vue, les théories scientifiques deviennent des économies de pensée. Pour Mach, c’était là le seul but de la physique.

      Après, il y a pleins d’écoles : le paradoxe EPR impose, par exemple, d’abandonner un réalisme fort pour un réalisme local. Mais il n’y a pas que le réalisme, il y a aussi l’instrumentalisme de Bohr, il existe aussi l’interprétation relationnelle de Rovelli qui s’écarte du réalisme, etc. etc. En fait, il y a pleins d’écoles différentes…

      En tout cas, j’ai hâte que sorte le billet en question !

  3. Et s’il y avait un problème d’interprétation ?

    Dans ton exemple, on a un nombre croissant de photons. On ajoute leur énergie respective et on aboutit donc a une somme infinie.
    On est dans un cas où on a une superposition d’ondes et ne vaudrait-il pas mieux utiliser l’énergie de l’onde résultante plutôt que d’additionner l’énergie de chacune de ces ondes ?
    En effet, selon la position, des ondes peuvent s’ajouter ou se retrancher. Quand 2 ondes s’annulent, l’énergie s’annule ( la ‘variation’ d’énergie dont tu parles ) bien que leurs fréquences respectives ne sont pas nulles…

    Deux remarques :
    * E=h.Nu ( Nu étant la fréquence ) Quelle est la fréquence de la SOMME infinie ( ou finie, dans le cas où l’on a une ‘coupure’ ) de ces ondes ? Si l’on a cette réponse, on connaîtra l’énergie correspondante.
    * La formule E=h.Nu est valable pour des signaux sinusoïdaux mais qu’en est-il de cette addition d’ondes ( qui ne doit pas avoir l’allure d’une simple sinusoïde ) ? Surtout en utilisant une ‘coupure’ ( donc une somme finie de ces ondes ) dans le nombre d’ondes. Il est fortement improbable que le résultat soit nul, certainement très petit mais pas nul. Et donc, on finit par aboutir à une force non nulle => zéro mystère.

    En bref, ne vaut-il pas mieux calculer l’énergie de la somme de ces ondes plutôt que la somme de l’énergie de chacune de ces ondes ?

    • L’énergie de la somme ou la somme de l’énergie sont identiques. Les équations d’onde sont linéaires et pour avoir l’énergie de la somme totale on peut se contenter d’ajouter les énergies de chacune des composantes de la transformée de Fourier

  4. Pierre Lacombe Reply

    Le problème que je vois est le suivant :

    Si on veut expérimenter et mesurer la force de Casimir, outre le fait qu’on ne peut pas être au zéro absolu, on doit utiliser des plaques de métal (parfaitement polies, dans le vide, etc. etc.) Ce plaques ne se comportent pas comme des miroirs parfaits, en ce sens que lorsque l’énergie des photons atteint une certaine limite, par ex les rayons X, les photons passent purement et simplement à travers les « miroirs », et à plus forte raison pour les rayons gamma, pour lesquels les plaques sont virtuellement inexistantes.

    A noter que ces plaques sont tout autant virtuellement inexistantes pour les rayonnements extérieurs.

    Il me semble qu’on n’est plus fondé à utiliser 1 + 2 + 3 + … = -1/12

    Mais quoi, alors ? ??? …

    • C’est pour ça que dans le calcul « propre », la longueur d’onde de coupure sera en général bien plus grande que al longueur de planck, on n’a pas besoin d’aller jusque là. Mais même si on devait le résultat serait le même

  5. Fabien Millerand Reply

    Se pourrait-il que la force de Casimir (empirique) soit due aux forces de gravité des deux plaques?

    Je n’arrive pas à concevoir que l’on considère l’énergie d’éventuels photons…

    Merci en tout cas pour cette (et ces) vidéos. C’est toujours très enrichissant.

  6. Bonjour,
    Il y a quelque chose que je ne comprends pas bien dans cette explication (enfin je ne suis pas sûr d’avoir une totale compréhension du reste, mais on va dire que j’ai compris que je n’avais pas compris…): Pourquoi partir du principe que cette « énergie de point zéro » est composée de toutes les longueurs d’onde possibles entre les plaques? Ne pourrait-elle pas avoir une longueur d’onde de prédilection?

    • En fait c’est à chaque longueur d’onde (qui pour faire simple se comporte comme mon ressort dans la vidéo : un oscillateur harmonique) qu’on doit associer une énergie de point zéro

  7. « Notez qu’en dimension supérieure on obtient d’autres pôles de la fonction. »

    Un peu compliquée, puisque la fonction zeta n’a qu’un seul pôle (en s = 1) 😉

    • Ah oui effectivement, je ne sais pas pourquoi je voyais des pôles partout 🙂
      En fait le -1/12 c’est en -1, donc c’est même pas un pôle non plus !
      Je corrige, merci pour la vigilance !

  8. merci pour cette explication
    J’en profite pour vous remercier de ces posts et vidéos que je suis depuis 2015.
    Je suis cloué en fauteuil roulant depuis 13 ans par une sclérose en plaque et cela m’aide à me changer les idées 🙂
    Merci

  9. marc.serrero Reply

    Bonjour,
    et merci pour la clarté d’exposition de ce fait surprenant : les séries divergentes ont parfois , et dans un sens bien précis, une valeur finie.
    C’était connu d’Euler . La renormalisation , et donc en particulier la renormalisation de la QED, est ce qui résout ce paradoxe-étonnant. L’exemple de la série asymptotique d’Euler-Maclaurin et son fameux -1/12 est le mieux connu des bac+1 : on a en effet la somme riemannienne Σ n exp(-n/No) = ∫ x exp(-x/No) dx – 1/12 + o(1/No) . Et donc le pseudo-paradoxe est résolu.
    Et effectivement , ces subtilités sont en oeuvre dans l’effet Casimir & Polder , qui traite de ce difficile problème de l ‘énergie-du-vide : cette énergie dépend elle de la forme de la cavité ? des plasmons de la surface de la cavité , du caractère imparfait du métal ou du dielectrique ; et si T n’est pas nulle , etc. Vous renvoyez à Serge.R et Astrid.L du LKB , oui ! ils sont encore là pour répondre aux questions d’ approfondissement ;
    mais en tout cas , une référence préalable,incontournable, est le bourbaphy2002 ( Duplantier, Rivasseau, séminaire Poincaré 2002 ) , en ligne ; c’est une mine d’exercices de musculation sur ce sujet.
    merci encore

  10. Passer d’une proposition hypothétique physique, le vide ou autre concept physique existe-t-il ?, à une proposition catégorique métaphysique « rien n’existe vraiment », risque d’être délicat. Cf au moins Kant pour quelques précautions.

  11. Sébastien BAUDOIN Reply

    Bonjour,

    Ce qu’il y a de vraiment bien dans les vidéos du site, c’est qu’une fois arrivé à la fin de l’explication, on reste conscient des points qui sont des « comme si » : on sait dire quels points ne sont pas assez développés pour ne pas dire qu’on a tout compris dans les moindres détails, ce qui permet d’évaluer le degré de compréhension des sujets exposés, et donc de rester modeste !

    Une remarque, et j’espère ne pas raconter de bêtises, au sujet des schémas des ondes entre les 2 plaques à 05:47 entre autre : il me semble que, par exemple, l’onde représentée pour x/3 n’as pas une longueur d’onde de x/3, mais de 2x/3 avec 1 période et demie représentée, et non une longueur d’onde de x/3 qui auraient 3 périodes représentées. Est-ce que les souvenirs de mes études me jouent des tours ? Les ondes sont bien nulles au niveau des plaques, les valeurs suivent bien des entiers, mais est-ce qu’il ne s’agit pas plutôt de la demi-longueur d’onde qui varie suivant les entiers dans ce cas ? Si je n’ai rien compris, corrigez-moi sans hésiter !

    Enfin, merci pour la citation, un peu subliminale certes, du calcul discret – calcul intégrale, qui donne ou rappelle d’où vient l’assise de ce fameux -1/12 !

  12. Bonjour et merci pour cette vidéo qui comme toujours est très intéressante.
    C’est toujours un plaisir de regarder vos vidéos.
    J’avais déjà vu des présentations de la démonstration de 1+2+3+….= -1/12, et elles sont souvent basées sur la série de Grandi (1-1+1-1+1-1+……) à un moment ou à un autre dont la somme est estimée à 1/2.
    Or c’est une suite divergente de 1 et de 0 suivant que le nombre de termes est pair ou impair.
    Si l’on s’intéresse à la limite vers l’infini, cela devient compliqué car l’infini n’est ni strictement pair, ni strictement impair.
    Ce serait plutôt une superposition d’états, pair et impair à la fois. Ce qui signifierait que le résultat de la série de Grandi serait à la fois 0 et 1. Résultat choquant pour un mathématicien, mais pas tant que cela pour un physicien en physique quantique. La moyenne serait elle bien égale à un nombre réelle : 1/2.
    De la même façon qu’avant l’apparition des nombres complexes, racine carré de -1 était jugé comme une valeur aberrante, et que cela a été solutionné par l’apparition du plan complexe, nous sommes peut-être ici face à un problème de concept et de notation lié à la description d’états superposés pour des nombres? Je ne suis pas expert en mathématiques, mais c’est la façon dont j’interprète les choses.
    La physique quantique pose des problèmes qui ne sont pas simples à résoudre avec les outils mathématiques actuels. Il existe peut-être des outils auxquels nous n’avons pas encore pensé, et des questions que l’ordinateur quantique et la notion de qubits sont en train de poser?

    • Merci Arnaud, je comprends mieux que ce résultat n’a en fait rien de mathématique (additionner une somme infinie et un entier est idiot, autant diviser 0 par 0) mais a tout de physique.
      La physique a horreur de la notion d’infini (dans le grand comme dans le petit) et donc de continu comme de discontinu.

      • L’infini n’a pas de valeur déterminable. On peut considérer que c’est une indétermination. Et on peut obtenir n’importe quoi avec une indétermination. Tout comme 0/0 peut valoir 0 ou 1 ou etc…

  13. Même si je n’ai pas le niveau mathématique pour suivre le raisonnement , il me reste la perception de cet étrange lien entre une formulation théorique valide ou non et un phénomène physique approché par l’experience. Celà suffit à mon plaisir, de découvrir une parcelle de ce monde qui m’entoure.
    Merci pour ces éclairages, justes comme il faut.

  14. J’ai une inquiétude et je me suis dis que j’allais la poser ici
    Ma question porte sur l’energie électromagnétique qui est proportionnelle au carré de l’amplitude de l’onde électrique et magnétique composant l’onde électromagnétique.

    Je constate que cette énergie évaluée est indépendante de la fréquence de l’onde. Donc pour deux ondes différentes de même amplitude (mais de différente fréquence : par exemple on prend une onde radio basse fréquence et une onde de la gamme des rayons X) l’énergie est la même. Pourtant dépendant de la fréquence l’onde sera plus ou moins énergétique selon qu’elle est basse ou haute fréquence.

    Bref je cherche la relation qui lie amplitude de l’onde et sa fréquence afin de mieux comprendre l’évaluation de l’énergie électromagnétique. Merci

  15. Bonjour et merci pour cette vidéo très claire. Au sujet de l’effet Casimir et de la métrique d’Alcubierre avez vous entendu parler ce cette extraordinaire expérience de 2021 relatée dans Eur. Phys. J. C (2021) 81:677
    https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-021-09484-z
    et intitulée « Worldline numerics applied to custom Casimir geometry generates unanticipated intersection with Alcubierre warp metric ».
    Est ce sérieux? Si oui je serais impatient d’avoir une vidéo explicative de votre part ou un billet sur le blog. Merci

  16. 1. A votre avis que donne l’effet Casimir si les plaques sont supraconductrices?
    2. Est-ce que l’on a remarqué une influence de la température (froid ou chaud)?

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