Aujourd’hui, voici un gros morceau sur lequel je travaillais depuis longtemps : la relativité générale !
Comme toujours ci-dessous, petit florilège des choses que j’aurais aimé dire ou préciser, mais que j’ai dû couper par manque de place, ou désir de ne pas compliquer encore plus cette vidéo déjà bien lourde !
Sur le principe d’équivalence
L’idée nouvelle et perturbante qu’Einstein déduit du principe d’équivalence, c’est que la trajectoire naturelle des corps est la chute libre. C’est la trajectoire « de repos », celle quand aucune force ne s’applique (puisqu’on ne compte plus la gravité dans les forces).
Une conséquence amusante de ça, c’est que quand vous êtes affalés dans votre canapé, vous n’êtes pas au repos. Dans la vision newtonienne classique, vous subissez deux forces qui se compensent : votre poids et la réaction du canapé. En relativité générale, vous ne subissez que la réaction du canapé, dirigée vers le haut. Et vous n’êtes plus au repos puisque la réaction vous empêche de suivre votre trajectoire naturelle qui serait de continuer à tomber vers la Terre. Le canapé vous dévie de votre géodésique, et par rapport à elle il vous fait accélérer vers le haut ! Bizarre non ?
F = ma
Un point que j’ai caché sous le tapis pour ne pas m’en aller trop loin, c’est la forme exacte de la loi F=ma quand on passe en relativité générale. Déjà en relativité restreinte elle ne s’écrit pas comme celle qu’on apprend en physique au lycée, et une bonne raison pour ça est qu’on est passés en 4 dimensions. Force et accélération ne sont donc plus des vecteurs mais des quadrivecteurs. On note souvent ça avec des indices grecs, et l’équation correcte serait plutôt :
\(\displaystyle{F^{\mu}= m a^{\mu}}\)
Pour aller vite, cette équation est toujours valable en relativité générale, mais elle s’applique localement.
Le référentiel galiléen parfait ?
Parmi les motivations pour développer la relativité générale, j’ai parlé de la propagation instantanée de l’information en gravité newtonienne, mais il en existe une autre qui est intéressante, et qui porte sur les notions de référentiel.
J’ai cité la Terre comme exemple de référentiel galiléen, sauf que dans certaines circonstantes, elle n’est pas un bon référentiel galiléen. En effet, elle est en rotation sur elle-même, et autour du Soleil. Pour des expériences suffisamment courtes ça ne pose pas de problèmes, mais à plus grande échelle, on peut se rendre compte qu’elle n’est pas un véritable référentiel galiléen. En pratique, cela se traduit par des « forces virtuelles » comme la force de Coriolis, qui est celle qui explique que les alizés se dirigent vers l’ouest, ou encore que le pendule de Foucault tourne.
Si la Terre n’est pas un bon référentiel galiléen, on pourrait aller chercher la taille au-dessus : le Soleil. Sauf qu’à une certaine échelle, lui aussi est en mouvement dans la galaxie, galaxie qui elle-même se déplace.
Bref quand on cherche un référentiel galiléen « parfait », on en trouve pas. C’est un peu bizarre comme idée de poser qu’il existe des référentiels galiléens, mais de réaliser qu’il n’en existe en fait aucun.
La relativité générale permet de résoudre ce problème, en supprimant le besoin d’un référentiel galiléen parfait, puisqu’une trajectoire en chute libre fait l’affaire dès qu’aucune autre force ne s’applique.
(Ces idées sont aussi un peu reliée au principe de Mach, qui dit que l’inertie d’un objet est dépendante de toute la distribution de matière dans le reste de l’Univers…mais ça nous emmènerait un peu loin !)
Les signes de la métrique
Passons maintenant aux mathématiques de la courbure. Autant le dire tout de suite, les paragraphes qui vont suivre pourraient occuper 200 pages, puisque des livres entiers sont consacrés à la géométrie riemanienne.
(J’en profite pour glisser un petit conseil lecture pour les plus furieux d’entre vous. Pour ma part, j’ai appris la relativité générale dans le bouquin de Wald. C’est un livre qui conviendra bien aux esprits matheux : le chemin est court mais la pente est raide. En gros ça commence par 2 chapitres de géométrie riemanienne bien bourrin, et au chapitre suivant l’essentiel physique va hyper vite car on a les bases de maths.)
Allons-y pour les précisions. Tout d’abord comme je l’ai dit rapidement dans la vidéo, toute l’histoire se passe en 4 dimensions; mais il y a une subtilité supplémentaire : quand on applique le « théorème de Pythagore », on calcule une distance d’espace-temps, qui a un sens particulier puisqu’on compte le temps et les distances avec un signe opposé. En l’absence de courbure, la distance d’espace-temps s’écrit
\(\displaystyle{ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2}\)
Ce que vous avez là est la métrique d’un espace-temps plat. Pour ceux que cette notion de distance d’espace-temps intrigue, je vous invite à d’abord la regarder à la relativité restreinte car elle y joue un rôle essentiel. Pour un espace temps-courbe, la métrique a une forme plus générale qu’on peut représenter comme une matrice 4×4 symétrique, et la condition se traduit par le fait qu’elle doit avoir une valeur propre négative et trois positives.
Vitesse et direction spatio-temporelle
Autre précision liée à l’idée d’espace-temps. Quand on fait de la géométrie courbe en 2D comme sur toutes les illustrations que j’ai faites, pour définir une géodésique il faut un point de départ et une direction. On applique alors l’équation des géodésiques à ces données initiales, et on construit la géodésique. Mais c’est de la pure géométrie, il n’y a pas de notion de vitesse.
En physique, la vitesse joue bien sûr un rôle sur la trajectoire. La géodésique que vous allez suivre au cours d’une chute libre va donc dépendre de votre point de départ, de votre direction mais aussi de votre vitesse. Cette dépendance à la vitesse apparait naturellement du fait qu’on travaille avec des espaces-temps.
En effet je vous laisse vous convaincre que le vecteur vitesse (avec sa direction et son norme) est simplement une direction dans l’espace-temps. Si vous êtes au même endroit, que vous allez dans la même direction (de l’espace) mais pas à la même vitesse que moi, nous avons des directions (de l’espace-temps) différentes.
Fibré, connexion et transport parallèle
Pour rester accessible, j’ai du passer sur les très jolies structures mathématiques qui se cachent derrière la mathématisation de la relativité générale. Il y a notamment les notions de fibré et de connexion, qui sont également au coeur de la formulation des théories de jauge en théorie quantique des champs !
Pour ma part, j’ai étudié ces notions dans le formidable polycopié de Robert Coquereaux, que je recommande chaudement aux étudiants en physique théorique !
Pour ceux qui veulent juste un aperçu : imaginez une surface courbe (oui, vous avez le droit de la visualiser comme « tordue »), prenez un point sur la surface et représentez vous un vecteur vitesse en ce point. Ce vecteur ne vit pas « dans la surface », mais dans un espace tangent à celle-ci : imaginez un plan tangent à la surface en ce point.
Si vous voulez pouvoir considérer toutes les vitesses possibles en tous les points, vous voyez qu’il vous faut un plan tangent en chaque point de la surface. « Au-dessus » de chaque point de la surface existe un espace tangent, qui, lui, est un bon vieil espace plat. C’est cette combinaison d’une surface et des espaces tangents qui existent au-dessus de chacun de ses points qu’on appelle un fibré.
Le point clé, c’est que pour une surface quelconque, il n’existe pas de façon naturelle de comparer un vecteur dans l’espace tangent au point M à un vecteur dans l’espace tangent à un autre point M’ situé un peu plus loin. Quand la surface est plate, ça se fait naturellement; dès qu’elle ne l’est plus, c’est fichu. En particulier, si vous prenez deux points voisins sur un espace-courbe et un vecteur tangent en chacun de ces deux points, on a pas de notion de « c’est le même vecteur aux deux points ». Et sans cette notion, impossible de définir la notion de parallèle, ou encore de « ligne droite » (qui est une ligne qui avance toujours de façon parallèle à elle-même).
Pour définir une manière de relier les espaces tangents de points voisins (et comparer les vecteurs qui y vivent), on peut définir une « connexion », c’est-à-dire un objet mathématique qui va permettre de faire ce lien en transportant un vecteur d’un espace tangent à un autre. La connexion est un objet à 3 indices \(C^i_{jk}\), qui dit que si on transporte le vecteur \(x\) dans la direction \(y\), il se transforme selon
\(\displaystyle x^i \to x^i + C^i_{jk}x^jy^k\).
On appelle cette opération le transport parallèle. Un point important est qu’une fois qu’on a définit une notion de transport parallèle sur une surface, on peut avoir une notion de dérivée. En effet l’idée de dérivée impose de pouvoir comparer des quantités (notamment des vecteurs) d’un point à un autre de la surface. Par exemple, la dérivée d’un champ de vecteurs est nulle si le vecteur est « le même », et pour faire cette comparaison vous voyez que pour ça on a besoin d’une connexion.
Chaque fois qu’on définit une connexion, celle-ci fixe une manière de calculer des dérivées, on appelle ça la « dérivée covariante » associée à la connexion, et on la note généralement \(\nabla\) pour faire la distinction avec la dérivée usuelle.
Les symboles de Christoffel
A part quelques petites conditions, si on se choisit un fibré « nu », on a une grande liberté sur le choix de la connexion et on peut prendre un peu ce qu’on veut. Sauf que si sur notre espace-courbe on a préalablement défini une métrique, alors là on n’a plus le choix : il existe une unique connexion « naturelle » qui est découle de cette métrique, on la note \(\Gamma\) et on appelle ça les symboles de Christoffel.
On peut alors définir le transport parallèle qui soit compatible avec la métrique qu’on s’est choisie, et c’est cela qui permet de définir les géodésiques associées à une métrique donnée, selon l’équation des géodésiques qui utilise les symboles de Christoffel
\(\displaystyle \frac {d^2x^a}{ds^2}+\Gamma_{bc}^{a} \frac {dx^b}{ds}\frac {dx^c}{ds}=0\)
Petite précision : par ce procédé là, on obtient des géodésiques qui sont cohérentes avec la notion de « plus court chemin selon la métrique », c’est à dire que si on définit une géodésique comme la trajectoire qui extrémalise la distance entre deux points, calculée avec la métrique
\({\displaystyle S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}d\lambda }\)
on retrouve l’équation des géodésiques.
(Ah oui au fait, j’ai caché ça sous le tapis dans la vidéo, mais une géodésique ne minimise pas forcément le trajet entre deux points, mais elle l’extrémalise c’est-à-dire que c’est un minimum ou un maximum local.)
Morale de l’histoire : la métrique permet de calculer les distances, la connexion permet de définir une notion de transport parallèle, et si on a le bon goût de choisir la connexion compatible avec la métrique, ces deux concepts permettent de définir de façon cohérente et identique les géodésiques de notre espace.
Riemann, Ricci et Einstein
Maintenant qu’on a parlé de métrique et de Christoffel, on peut aborder les autres objets étranges qui peuplent les cours de relativité générale : les tenseurs de Riemann, de Ricci et d’Einstein.
Commençons par Riemann. Je vous ai dit que de façon générale, une connexion (et en particulier celle associée à une métrique) permet de définir une notion de transport parallèle, c’est-à-dire de prendre un vecteur (qui vit dans l’espace tangent à un point M) et de le transporter dans l’espace tangent à un point M’ voisin, pour voir ce qu’il vaut dans cet espace tangent. Un point essentiel et un peu contre-intuitif, c’est que le résultat va dépendre du chemin suivi pendant le transport.
Prenons un cas concret, on va transporter un vecteur \(X\) en suivant deux chemins différent : d’abord selon \(dY\) puis selon \(dZ\) pour le premier chemin, et selon \(dZ\) d’abord puis selon \(dY\) pour le second. Ces deux façon de transporter ne donneront pas le même résultat, c’est-à-dire que le vecteur X transporté par un chemin ne sera pas le même que le vecteur X transporté par l’autre. On peut calculer la différence entre ces deux vecteurs X transporté, et elle s’exprime comme :
\(\displaystyle \delta x^{\rho} = R^{\rho}_{\sigma\mu\nu}x^{\sigma}y^{\mu}z^{\nu}\)
où le tenseur de Riemann se calcule à partir des symboles de Christoffel en prenant en gros le commutateur des dérivées covariantes
\({\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }}\)
Bien sûr le détail de la formule n’est pas important, mais il faut retenir l’idée que ce tenseur exprime la « non-commutativité » du transport parallèle associé à une connexion.
On appelle ce tenseur « le tenseur de courbure », car c’est le fait qu’il soit non-nul qui caractérise véritablement l’existence d’une courbure. On peut avoir des métriques avec des formes tordues, et des symboles de Christoffel qui ont l’air compliqués, mais que tout cela ne décrive en réalité qu’un espace plat paramétrisé de façon bizarre. Le critère pour savoir si un espace est « vraiment courbe », c’est cette non-commutativité du transport parallèle, et donc le fait que le tenseur de Riemann ne soit pas nul.
Le tenseur de Ricci quant à lui est une « contraction » du tenseur de Riemann, c’est-à-dire qu’on somme sur 2 indices
\(\displaystyle R_{\mu\nu} = R^{\sigma}_{\mu\sigma\nu}\)
Il représente lui-aussi une certaine idée de la courbure, à travers la notion de contraction et dilatation d’un volume.
Prenons un exemple concret : imaginez un cube d’1 mètre de côté fait de petites billes, et que vous lachez à une certaine altitude de la Terre, sans vitesse initiale. Le cube va tomber et va se déformer. Les billes du bas étant accélérées plus fortement que celle du haut, le cube va s’étirer dans la direction verticale (et mesurer plus d’un mètre), en revanche les billes situées sur les côtés vont se rapprocher de celles du centre, pour la raison que j’illustre dans la vidéo : en tombant vers le centre de la Terre, les pommes se rapproche.
Mon cube va donc se contracter dans la direction transverse. Au total le cube se déforme et une question qu’on peut se poser, c’est si son volume global va changer. C’est en gros ce qu’exprime le tenseur de Ricci. Et comme l’équation d’Einstein relie le tenseur de Ricci au tenseur énergie-impulsion, dans le vide (c’est à dire en un point de l’espace sans matière ou énergie), le tenseur de Ricci est nul ce qui exprime que le volume du cube se conserve.
Enfin dernier ingrédient, donc, le tenseur d’Einstein, qui s’exprime simplement à partir du tenseur de Ricci et du scalaire de Ricci \(R\) qui correspond simplement à la contraction du tenseur de Ricci.
\(G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} – \frac12Rg_{\mu\nu}\)
Une question qu’on peut se poser, c’est pourquoi diable l’équation qui lie courbure et matière est \(G_{\mu\nu} = T_{\mu\nu}\) plutôt que \(R_{\mu\nu} = T_{\mu\nu}\). Un élément de réponse est donné par une propriété du tenseur d’Einstein : sa divergence est nulle quand on utilise la dérivée covariante
\(\nabla^{\mu}G_{\mu\nu} = 0\)
ce qui est bien pratique, car c’est justement aussi ce qu’on attend du tenseur énergie-impulsion, pour exprimer une forme de « conservation de l’énergie »
\(\nabla^{\mu}T_{\mu\nu} = 0\)
J’en profite pour glisser qu’en Relativité générale, l’énergie n’est plus conservée au sens classique du terme, mais que c’est cette relation plus permissive qui la remplace. Et c’est cela qui permet des phénomènes qui a priori violent la conservation de l’énergie, comme la production d’énergie du vide quand on a une constante cosmologique.
Comment résoudre l’équation d’Einstein ?
Je l’ai mentionné brièvement, on ne peut explicitement résoudre l’équation d’Einstein que dans des cas très simple. La méthode de résolution est en gros la suivante : on identifie les symétries du problème, et on en déduit une forme réduite de la métrique, paramétrisée de façon simple. On injecte cette forme dans l’équation qui donne les symboles de Christoffel, puis dans celle qui donne le tenseur de Riemann et enfin le tenseur de Ricci et d’Einstein. Et là on résout l’équation.
Comme vous le voyez, c’est un long chemin très calculatoire, qui rend ces parties de la relativité générale un peu indigestes !
La courbure sans dimension supplémentaire
Une des idées principales que j’ai essayé de faire passer dans la vidéo, c’est le fait que mathématiquement, on n’a pas du tout besoin d’une dimension de plus pour parler de courbure. Et c’est même encore pire que ça : les courbures représentables avec une dimension supplémentaire (qu’on appelle extrinsèques) ne sont qu’une toute petite partie des courbures envisageables (intrinsèques). En particulier, une métrique simple comme celle de Schwarzschild n’est pas représentable de la sorte, ce qui est encore un défaut de la représentation « classique » du drap tordu, qui justement ne peut pas représenter correctement la courbure induite par une masse sphérique.
Voyons ça en détail sur le cas simple des surfaces 2D courbes. De façon générale, une métrique s’exprime sous la forme
$latex \left(\begin{matrix}
\alpha(x,y) & \beta(x,y) \\
\beta(x,y) & \delta(x,y)
\end{matrix}\right)
où on a imposé la condition de symétrie de la métrique. Il faut donc 3 fonctions indépendantes pour la spécifier complètement. On va essayer de résoudre le « problème inverse », c’est-à-dire essayer de trouver une « surface 2D tordue » dont la métrique soit la même.
Imaginez donc une surface « tordue » en 3D, de la forme \(z = f(x,y)\), où f est une fonction. L’espace 3D étant lui-même plat, la métrique est :
\(\displaystyle ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \)
Puisque sur la surface \(z=f(x,y)\) la métrique induite s’obtient en exprimant
\(\displaystyle dz=\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\)
et on a donc pour la métrique
\(\displaystyle ds^2 = (1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 ) dx^2 + (1 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 ) dy^2 + 2\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}dxdy\)
Vous pouvez maintenant essayer de vous amuser à résoudre le problème inverse, et vous convaincre que sauf condition très particulière sur \(\alpha, \beta, \delta\), ça ne marche pas !
Une manière encore plus simple de s’en rendre compte, c’est que 3 fonctions définissent en général une métrique (intrinsèque) alors que sous la forme extrinsèque, on en a qu’une à choisir : \(f\).
En particulier, si on prend la métrique de Schwarzschild projetée en 2D sur les coordonnées r et t, il n’est pas possible de résoudre le problème inverse. Donc il n’est pas possible de représenter la métrique de Schwarzschild comme « une surface tordue ». (Pour être précis, c’est possible à condition d’aller en 6 dimensions !)
73 Comments
Salut excellent ce « résumé » que pense-tu de la constante cosmologique ?
Ca : https://sciencetonnante.wordpress.com/2015/07/06/cosmologie-3-la-constante-cosmologique/
🙂
Super justement je venais de lire un article de Rovelli sur ce sujet. Ce que je ne comprends pas c’est pourquoi on continue a parler du « mystère de l’énergie noire « alors que le « mystère » de la gravitation ne choque personne.
Le principe d’équivalence offre une excellente explication au fait que les corps chutent à la même vitesse. En effet, le sol accélère vers le haut donc il se rapproche des objets en chute libre à la même vitesse.
Mais cette idée d’accélération du sol vers le haut pose d’autres questions:
– D’où vient que le sol accélère ?
– Si le sol accélère vers le haut, il n’accélère néanmoins pas dans la même direction tout autour du globe, pourquoi la Terre n’est donc pas en expansion ?
Comme l’espace-temps est courbe, cela permet à la Terre d’accélérer vers l’extérieur dans toutes les directions sans se déformer.
Le sol accélère vers le haut sans bouger sur les trois dimensions spatiales car il n’est pas immobile dans le temps. C’est son « Mouvement » dans la dimension temps qui fait qu’il suit la courbure de l’espace-temps qui tend à le rapprocher de plus en plus vite du centre de gravité. Comme il est bloqué pas les atomes en dessous de lui qui exercent une force de poussé, il est donc en constante accélération pour compenser le fait qu’il ne puisse pas suivre sa géodésique.
Une bonne analogie pour comprendre : Prends deux avions à deux endroits différents sur l’équateur qui volent tous les deux vers le nord. La courbure de la terre fait qu’ils vont se rapprocher l’un de l’autre de plus en plus rapidement. Si l’avion de gauche veut rester à la même distance de l’avion de droite, il est obligé de se déplacer vers la gauche. Et comme la courbure de la terre le fait se rapprocher de l’autre avion de plus en plus vite, il doit aller vers la gauche de plus en plus vite. Pour rester à même distance de l’autre avion, il doit donc continuellement accélérer pour compenser le fait que son déplacement vers le nord sur une surface courbe tend à le rapprocher de l’autre avion. C’est pareil pour le sol, il doit continuellement accélérer vers le haut pour rester à même distance du centre de la terre à cause de son déplacement dans « l’axe » temps qui tend à le rapprocher de plus en plus rapidement du centre de gravité.
Merci merci merci merci merci
Ce commentaire a été LA goutte d’eau qui a fait que j’ai fini par emboîter tous les outils que j’ai accumulés depuis que je m’interesse à cette question et j’ai eu une épiphanie. Merci
Sur la courbure de l’espace temps il existe trois illustrations très parlantes dans la Boite 1.6 COURBURE DE QUOI ? de GRAVITATION de Charles W. Misner, Kip S. Thorne et John Archibald Wheeler. Je les avais reproduites dans un article il y a quelques temps : https://patricefaliph.wordpress.com/2016/02/25/courbure-de-lespace-temps/
La première reproduit en particulier l’expérience d’Eddington de 1919.
Merci David
Cette vidéo je l’attendais depuis longtemps .Sans vouloir faire de jeu de mots , elle est parfaitement lumineuse .
J’ai eu un peu de mal avec les compléments .
Bravo.
Cours de Richard Taillet que je recommande aussi sur la RG , polycopiée Robert Coquereaux formidable et accessible .
Bonjour,
Dans le premier paragraphe sur les symboles de christoffel, le LaTeX est mal traduit ou mal écrit sur le symbole Gamma.
Merci pour la video et pour le billet tout aussi intéressant.
Une question reste en suspend dans mon esprit : Si je comprends (plus ou moins) bien tout ce que j’ai pu lire et entendre, lors de l’observation du LIGO et VIRGO, la masse du trous noirs post-phénomène observé avait diminué comparé a la masse des deux trous noirs initiaux. La différence de masse aurait donc donné l’onde gravitationnelle ? Ou serait ce la masse qui serait devenue de l’énergie puis de la gravité ?
Au final j’aurais aimé savoir si tu avais un papier détaillé ou une réponse a m’apporter sur ce phénomène spécifique de défaut de masses qui donnent une onde gravitationnelle, ou pas ?
Merci beaucoup 🙂
C’est bien la différence de masse après fusion des deux trous noirs qui a libéré de l’énergie (E = mc^2), l’énergie libérée étant gigantesque elle a engendré des ondes gravitationnelles mesurables.
Je ne suis pas sûr d’avoir compris en quoi l’observation des étoiles lors de l’éclipse du soleil vient confirmer la « sensibilité » de la lumière à la courbure de l’espace temps.
C’est par comparaison avec l’aspect de la même zone observée lorsqu’elle n’est pas dans l’axe du soleil ?
Oui c’est exactement ça. La photo que je montre brièvement dans la vidéo montre la superposition des deux plaques photographiques, et on voit le décalage des points.
Merci pour la précision, et bien entendu merci pour la vidéo et le billet de blog qui va avec 🙂
Bonjour David,
n’étant pas physicien, il y a encore des questions qui me taraudent.
Après mes lectures et les vidéos sur la relativité générale, je comprend qu’elle n’est pas en opposition aux formules de Newton mais en complément.
Quand on admet que la gravité n’est plus une force, mais une courbure de l’espace temps, comment peut on expliquer les force de marées? je m’explique; on a tjr appris que la gravité était une force d’attraction, et de là on comprend aisément les forces de marées ( compression des pôles terrestres amenant une déformation , « bourrelet », de la terre , je crois …) . Par contre lorsque l’on considère la relativité comme une courbure de l’espace temps je n’arrive pas à comprendre comment cet effet peut être appréhendé si ca n’est pas une force d’attraction ?
désolé du pavé et merci de ta réponse.
Ah les forces de marées sont toujours des forces ! Qui résultent d’un différentiel d’accélération (ie de courbure) entre deux géodésiques voisines.
J’en parle un peu ici je crois
https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/09/08/pourquoi-est-il-impossible-de-se-sortir-dun-trou-noir-12/
https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/09/15/pourquoi-est-il-impossible-de-se-sortir-dun-trou-noir-22/
Merci de ta réponse! j’ai quand même du checker deux trois dossiers pour comprendre le différentiel d’accélération mais j’y suis. Par contre une autre question me reste ( promis la dernière que je te soumets, j’irai gonflé les astrophysiciens de ma ville pour le reste).
afin d’être bien certain de pas faire fausse route: La théorie de Newton et d’Einstein se complètent ? Car j’ai du mal à intégrer dans la RG l’exemple de la vitesse exponentielle d’un objet en chute libre sur terre . Si selon la RG seul le sol accélère vers le haut , comment expliquer cette accroissement de vitesse pour la chute des objets? est ce du à la géodésique de plus en plus courber à mesure que l’objet s’approche de la surface de la terre ( suivant sa propre trajectoire) et entraine donc une accélération? Ou alors la théorie d’Einstein n’a pas lieu d’être utilisé comme référence pour un objet de si petite masse ?
Je suis pas certain d’être très clair mais si tu arrives à comprendre merci de ta réponse.
Merci pour ce billet et cette vidéo !
Petite question, tu dis qu’il faut 6 dimensions pour représenter la métrique de Swhar… Schwarchi… Chwar… Truc dans un espace plat. Est-ce que l’ensemble des courbures intrinsèques peut être représenté par un nombre fini de dimensions ? Est-ce que ça a un rapport quelconque avec les dimensions supplémentaires de la théorie des cordes ?
Pas de rapport avec les dimensions de la théorie des cordes.
Oui je crois qu’on peut toujours représenter une courbure intrinsèque comme une courbure extrinsèque, pourvu qu’on mette assez de dimensions (mais à vérifier !)
D’après ce papier http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1970.0015 , 87 dimensions sont suffisantes pour plonger isométriquement une variété lorentzienne avec 3 dimensions d’espace et une de temps (46 si la variété est compacte).
Si il n’existe pas de loi de conservation de l’énergie pour certaines métriques comme c’est le cas de la métrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker utilisée pour le modèle standard du Big Bang , n’est ce pas un problème de remettre en cause la loi de conservation de l’énergie? La conservation de l’énergie c’est un peu la clé de voûte de toute la physique.
Quelques précisions de matheux sur une très bonne vidéo de physique…
Contrairement à ce que laisse penser la fin du billet, on peut plonger n’importe quelle surface compacte orientable de façon C^1 et isométrique dans R^3.
C’est une conséquence du théorème de Nash-Kuiper.
En revanche, si on veut le faire de façon C^3, il faut soit avoir plus de dimensions pour l’espace d’arrivée, soit vérifier les conditions de Gauss-Codazzi (mais le plongement n’est garanti que sur un voisinage du point de départ)
Bonjour David ,
Ta vidéo est très pédagogique pour la physique . Si c’est très clair pour la partie mathématique , j’aurais une question de physique : tu parles du principe d’équivalence : peut-t-on étendre le principe d’équivalence aux antiparticules : l’a-t-on vérifié par exemple en comparant localement le mouvement d’un proton avec celui d’un anti-proton dans un champ de gravitation ?
Merci pour ta réponse
Je crois qu’il y a des expériences pour vérifier qu’un atome et un antiatome d’hydrogène tombent de la même manière
Oui ça s’appelle Gbar mais aucune donnée à ce jour personnellement je parie une caisse de champagne que l’anti-matière n’anti-gravite pas sérieux. Comme il faut mettre les points sur les i je parie que l’anti-matière gravite comme la matière. Allo quelqu’un relève le défi?
Bonjour David,
Bien que la tache soit ardue, tu t’en es très bien sorti, avec des explications qui sont simples et claires.
Toutefois, il reste une chose que tu as soigneusement évité d’expliquer et qui est une base fondamentale de la relativité générale.
Qu’est-ce que l’espace-temps?
Car il faudrait dès lors que tu démontres au préalable l’existence du temps.
Cette trame est nécessaire dans le macrocosme et inutile dans le micro….D’où une incompatibilité entre les 2 physiques.
Ce que tu as bien fait comprendre, c’est que la relativité est une continuité/amélioration de celle de Newton/Galileo, mais tu aurais du insister sur le fait qu’elle est aussi incorrecte qu’elle et qu’elle doit aussi être affinée.
Pour anecdote, nous observons actuellement plus de 17 galaxies qui contredisent la relativité, sans que l’on comprenne pourquoi….Affaire à suivre donc.
😉
Amicalement
Gus
« Pour anecdote, nous observons actuellement plus de 17 galaxies qui contredisent la relativité, sans que l’on comprenne pourquoi…. »
Source ? Sinon « fake news » !
Bonjour Blackhole,
La source c’est moi qui te la donnes sinon tu n’es pas capable de chercher l’information tout seul ?
Je ne vois aucune corrélation entre ne pas donner une source est que mes dires soient fake news.
Tu as une façon de penser bien précaire dis don’ ^^
Mais je vais t’aiguiller afin de rassurer ton fakenewsmetre !
Pour faire court et récapituler que l’observation ne correspond pas à la relativité depuis le début, voici un lien qui te permettra non seulement de comprendre pourquoi matière noire et énergie noire existent, mais aussi de pouvoir t’excuser de ta vile accusation !
http://planete.gaia.free.fr/astronomie/astrophysique/astro/einstein.depasse.html
Bonne découverte.
Amicalement
Gus
Désolé pour les fautes grossières….
@ Gus Gus
Ok j’ai été un peu provocateur 😉
J’ai lu la page en question c’est un peu du n’importe quoi…
On mélange tout, d’un côté la théorie, d’autre part les observations avec leur interprétation.
En aucun cas l’hypothétique matière noire ne remet en cause la théorie de la RG.
Alors l’affirmation « Pour anecdote, nous observons actuellement plus de 17 galaxies qui contredisent la relativité, sans que l’on comprenne pourquoi » est nulle est non avenue.
Par contre jusqu’à aujourd’hui et depuis plus de 100 ans AUCUNE expérience n’a pu mettre en défaut la RG.
Re bonjour Blakhole,
Ce qui est n’importe quoi c’est ce que tu viens de dire.
En effet soit tu n’as pas lu la page entière soit tu ne la pas comprise.
La matière noire n’est pas un artefact inventé pour torpiller la relativité générale mais au contraire pour la sauver depuis 1933.
La loi de Tully-Fischer n’est pas une théorie puisque l’on te précise que c’est une loi.
Il n’y a aucune expérience qui a contredit newton pendant près de 150 ans….jusqu’à Mercure.
Einstein et sa théorie n’avait pas 15 ans quand elle a commencé à battre de l’aile….elle continue encore aujourd’hui dans le domaine de l’observation et non dans l’expérimentation.
De toute façon tu es en train de défendre une théorie dont les composantes ne sont même pas définies.
Lorsque tu m’expliqueras ce qu’est le temps, l’espace-temps, l’énergie et la matière, alors tu pourras crier au loup lorsque l’on touchera à ton Einstein.
Enfin, le lien que je t’ai fourni n’est juste qu’un blog récapitulatif de l’histoire bancale de la relativité.
Si tu veux du lourd, il y a moyen d’en trouver, et je te laisse faire l’effort d’aller consulter certains DOI.
Amicalement
Gus
Bonjour,
Pourquoi ne parle t’on pas de contraction de l’espace-temps au lieu de déviation ? Il me semble que la matière attire toujours vers elle les géodésique ?
contraction au lieu de « courbure »… j’ai écris plus vite que ma pensée…
Ne pourrait-on pas concevoir la matière comme un aspirateur à espace. S’il y a assez de matière dans l’univers l’effet de l’absorption finirait par compenser l’extension pour revenir à un collapse ?
Pourquoi la vitesse de la lumière ne peut pas être physiquement invariante (raisonnement rapide et imparable)
Bonjour,
Il est impossible que la vitesse de la lumière soit physiquement invariante, dans tous les cas de figure, vis-à-vis des différents référentiels inertiels, car le principe de relativité de la simultanéité au niveau physique, dans l’objection de la navette et du missile, aboutit à deux raisonnements mathématiquement contradictoires.
On a comme implications:
L’invariance au niveau physique de la vitesse de la lumière implique le principe de relativité de la simultanéité au niveau physique, car, dans le cadre d’une simultanéité absolue au niveau physique, la vitesse de la lumière ne peut pas être physiquement invariante.
La relativité de la simultanéité au niveau physique, dans l’objection de la navette et du missile, aboutit à deux raisonnements mathématiquement contradictoires.
La vitesse de la lumière ne peut pas être physiquement invariante dans le cadre de la simultanéité absolue au niveau physique:
Si on se place dans le cadre de l’expérience du train d’Einstein avec la variante proposée par Zefram du forum Futura-Science: dans la variante proposée par Zefram, on considère que les rayons lumineux arrivent simultanément aux deux observateurs, quand ils se croisent. Alors que dans la version d’Einstein, ils sont émis simultanément pour l’observateur de la gare, à cet instant là.
A partir de là, si on considère que les deux rayons lumineux ont été émis simultanément pour les deux observateurs, cela veut dire qu’ils ont été émis simultanément pour l’observateur du train quand il n’était pas encore dans la gare. A cet instant là, la distance « entre cet observateur et la source lumineuse à l’avant du train » et la distance « entre cet observateur et la source lumineuse à l’arrière du train » n’étaient pas les mêmes. Cela veut donc dire que, dans le cadre d’une simultanéité absolue au niveau physique, la vitesse de la lumière ne peut pas être physiquement invariante par rapport aux deux observateurs, puisque les deux rayons lumineux arrivent néanmoins en même temps à cet observateur. Et c’est pour cette raison que, l’invariance au niveau physique de la vitesse de la lumière, implique, de manière théorique, la relativité de la simultanéité au niveau physique. Or, comme la relativité de la simultanéité au niveau physique aboutit à deux raisonnements mathématiquement contradictoires, cela montre de manière certaine que la vitesse de la lumière ne peut pas être physiquement invariante vis-à-vis de tous les référentiels inertiels, et qu’il faut, par la même occasion, changer de représentation de l’espace-temps.
http://www.leprincipemoteurdelunivers.com/pages/experience-train-einstein.html
http://www.leprincipemoteurdelunivers.com/pages/lettre-circulaire-du.html
https://www.youtube.com/watch?v=UvRHJvg955U
Cordialement
Philippe de Bellescize
La vidéo se termine par « A ce jour, la relativité générale reste l’une des théories scientifiques les mieux confirmées expérimentalement… ». Certes, mais a-t-on réussi à comprendre tout ce qu’elle implique ?
Einstein lui même était loin de voir ce qu’elle représentait (expansion de l’univers, trous noirs…).
De même aujourd’hui on fait appel à l’énergie et matière noires pour tenter d’expliquer les observations alors que la théorie de la relativité les expliquent.
En effet, l’univers est en expansion accélérée (d’où l’énergie noire). Or si l’on regarde la courbure de l’espace-temps, elle s’aplatit. La masse volumique dans le passé était plus importante, donc l’espace plus courbée. Notre mètre étalon ne doit pas servir à mesurer l’éloignement des galaxie mais doit être corrigé en accord avec la relativité générale. Si les astrophysiciens appliquaient la théorie, ils trouveraient que l’expansion n’est pas accélérée mais continue (donc plus besoin d’énergie noire).
De même pour la matière noire. Notre unité de longueur ne doit pas être appliquée pour mesurer les vitesses de rotation de galaxies mais être corrigée en accord avec les lois de la relativité générale. Et hop, plus de matière noire.
Bonjour,
(petit complément à mon message précédent)
On peut interpréter les équations de la relativité restreinte de différentes manières: on peut, soit penser que la vitesse de la lumière est physiquement invariante (interprétation que l’on peut peut-être prêter à Einstein), soit penser quelle est seulement opérationnellement invariante dans tous les cas de figure (interprétation que l’on peut peut-être prêter à Lorentz), soit encore penser qu’elle est opérationnellement invariante dans certains cas de figure seulement (ma position). Et la physique pour l’instant n’a pas choisi entre ces deux premières interprétations, personnellement j’en propose une troisième.
Je cherche seulement à montrer que, d’un point de vue théorique, l’invariance au niveau physique de la vitesse de la lumière, implique la relativité de la simultanéité au niveau physique. Or, comme la relativité de la simultanéité au niveau physique aboutit à des contradictions, cela permet d’éliminer de manière certaine la première possibilité. Et comme on peut sans doute aussi éliminer l’interprétation de Lorentz, il ne reste plus que l’interprétation que je propose: vitesse de la lumière localement invariante par rapport à certains observateurs inertiels, car il y aurait une adaptation constante de la vitesse de la lumière à la configuration spatiale. Or cet aspect des choses pourrait sans doute être mesuré.
Cordialement
Philippe de Bellescize
question de béotien : La vitesse de la lumière est une constante qq soit le référentiel (galiléen ?) Mais que se passe t-il si on prend comme référentiel un photon ?
En relativité restreinte, un référentiel se déplaçant à la vitesse de la lumière n’est pas galiléen, la question ne se pose donc pas.
En relativité générale, tous les systèmes de coordonnées sont possibles. Le fait qu’un photon se déplace à la vitesse c se traduit par $\sum_{\mu,\nu} g_{\mu’ \nu’} x^{\mu}’ x^{\mu}’=0$, avec $(x^\mu)$ la trajectoire du photon. Si on change de coordonnées, l’expression de la métrique change, mais la somme reste la même, même si on prend un système de coordonnées bizarre qui suit un photon.
Désolé mais je n’ai rien compris à votre réponse ! Je suis vraiment béotien.
Ma question est peut être mal posée : quelle est la vitesse d’un photon si on prend comme référentiel un autre photon ?
Qu’entendez-vous par « prendre comme référentiel un photon » ?
Qu’est ce que j’entends par « prendre un photon comme référentiel » ?
SI je suis dans un train qui roule à 50 Km/h et que je prend comme référentiel ce train je me déplace à 0 Km/h.
Le temps propre du photon est nul, dans un tel référentiel le temps ne s’écoule pas.
Donc impossible de le prendre comme référentiel.
On aimerais avoir la réponse de David. Mon avis on ne peut pas prendre un photon comme référentiel.
Bonjour David, Merci pour cette super vidéo. J’ai toutefois l impression que cette volonté de ne pas voir la réalité (et la force de représentation -simplification) d’espaces de dimensions supérieurs n’est pas vraiment justifiée. Par ailleurs, êtes vous bien certain qu’il n’y ait aucun lien avec l’hypothèse des cordes ? Z.
Poincaré avait vraiment raison quand il a écrit:
M. Einstein est un des esprits les plus originaux que j’aie connus; malgré sa jeunesse, il a déjà pris un rang très honorable parmi les premiers savants de son temps. Ce que nous devons surtout admirer en lui, c’est la facilité avec laquelle il s’adapte aux conceptions nouvelles et sait en tirer toutes les conséquences. Il ne reste pas attaché aux principes classiques, et, en présence d’un problème de physique, est prompt à envisager toutes les possibilités. Cela se traduit immédiatement dans son esprit par la prévision de phénomènes nouveaux, susceptibles d’être un jour vérifiés par l’expérience. Je ne veux pas dire que toutes ces prévisions résisteront au contrôle de l’expérience le jour où ce contrôle deviendra possible. Comme il cherche dans toutes les directions, on doit au contraire s’attendre à ce que la plupart des voies dans lesquelles il s’engage soient des impasses; mais on doit en même temps espérer que l’une des directions qu’il a indiquées soit la bonne; et cela suffit. C’est bien ainsi qu’on doit procéder. Le rôle de la physique mathématique est de bien poser les questions, ce n’est que l’expérience qui peut les résoudre.
L’avenir montrera de plus en plus quelle est la valeur de M. Einstein, et l’université qui saura s’attacher ce jeune maître est assurée d’en retirer beaucoup d’honneur.
Merci ! Bien qu’admirateur de Poincaré, je ne connaissais pas ce texte !
Telcy
Salut
D’apres le principe d’equivalence, les objets en chute suivent le mouvement naturel des corps et ne subissent aucune force. La force de gravité est donc finalement une illusion.
les objets arrivent quand même au sol car c’est le sol qui accélère vers eux. On comprend mieux le pourquoi de l’universalité de la chute libre ….
Mais si la gravitation est une accélération constante du sol vers le haut, alors la terre grossit???
Comment explique t on cette situation « bizarre »
La terre grossit elle dans un espace/temps qui se réduit….??
Ou chaque objet courbe l’espace/temps dans lequel il se trouve de façon proportionnel à l’accélération qu’il induit sur son référentiel ???
peux tu m’aider la dessus??
merci d’avance
Alex
Si la critique est permise, voici une lecture différente du livre d’Albert Einstein « la relativité » en vidéos : https://www.youtube.com/channel/UCYnwGYU7UskQaTUvO3sjpwg/playlists
Dans la même idée de représenter d’une manière très concrète, évidente, intuitive, ce qu’est une géodésique sur une surface courbe 2D dans R3, il suffit d’imaginer de tendre (ou de le faire vraiment sur une maquette) un élastique (supposé d’élasticité 1D isotrope) entre 2 points situés sur cette surface bossue et, pourvu qu’on prenne une surface dans un certain sens convexe tout le long de cet élastique, de manière qu’il ne décolle de la surface en aucun de ses points, cet élastique suivra une géodésique 1D, minimale en l’occurrence ici…
On relie bien cette observation alors au fait qu’un élastique tendu cherchera toujours à minimiser sa propre longueur (son énergie potentielle d’étirement), et donc que la courbe qu’il va suivre est dans cet exemple, une géodésique MINIMALE, une courbe de longueur minimale entre les deux points d’attache…
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Bonjour David, j’accepte l’idée selon laquelle le sol accélère vers le haut en y’en connais les raisons. Cependant je me pose une question : Quelle est la limite entre l’accélération du sol vers le haut et la courbure de l’espace-temps ? Ou autrement dit, qu’est-ce ce qui définit l’altitude qui délimite l’accélération du sol vers le haut et la courbure de l’espace temps ? Je conçois bien que la courbure de l’espace remps fait se rapprocher les géodésiques du centre de la Terre et de la pomme, et que l’accélération du sol vers le haut fait se rapporocher le sol vers la pomme, mais je ne vois pas trop la limite entre les deux. Et la place de la contraction de l’espace autour de la Terre qui contrebalance son grossissement dans tout ça ? Merci de m’aider David, j’aimerais savoir.
Masse pesante et masse inerte sont à la fois identiques et différentes par ce qu’elles ne font pas intervenir les mêmes acteurs de « gestion de masse ». Personne ne peut pousser ou tirer le soleil contrairement à un caillou. La masse inerte du soleil n’aurait donc à ce titre aucun sens, c’est la différence entre la transformation infractive et proactive. Cf Les trois clés de l’univers (fnac).
Salut David,
je me posais une question. Si on regarde en direction d’un trou noir, pas directement vers le trou noir mais plutôt aux abords de son horizon, est-ce qu’on verrait notre propre passé? la trajectoire de la lumière se courbant autour du trou noir, on pourrait imaginer qu’un rayon de lumière parte d’un côté, fasse le tour, et que la courbure soit juste ce qu’il faut pour revenir vers notre oeil ? Auquel cas, on pourrait même peut-être voir des dinosaures sur notre planète si on avait un trou noir à bonne distance ^^
je dis des bêtises?
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Le temps et l’espace sont élastique ? 2 trous noir entre en collision. Une onde gravitationnelle se forme… comme quand on tire sur un élastique et qu’on le lâche.
Si l’univers s’étend encore et encore … Est ce que au bout d’un moment il ne va pas s’étirer tellement et qu’il va étirer tout ce qu’il y a dedans? Et revenir à son état initial? Ce qui veut dire le vide… où alors à la particule la plus petite existante ( que l’on ne connaît pas… qui pourrait être cette matière noir ou énergie noir). L’univers arrêterai son extension, soumis à aucune vitesse. Puis comme un soleil qui né. Ces particules très petite… sous a leurs masse. Ce densifie encore et encore jusqu’au big bang suivant. Et l’univers se retend… un véritable élastique.
Bonjour,
Suite à mes précédents messages dans cette discussion – aspects philosophiques pour aller au-delà de la relativité générale.
Lettre ouverte à Lee Smolin du 20/11/2019 :
http://www.leprincipemoteurdelunivers.com/pages/lettre-ouverte-a-lee-smolin.html
Lee Smolin a réalisé tout un travail de prospective pouvant amener la physique à un changement de paradigme, mais il reste encore un travail important à accomplir. Dans un paragraphe de cette lettre je donne deux raisons pour lesquelles la relativité générale n’est pas encore une approche complètement relationnelle de l’espace-temps – sur quels principes bâtir une théorie générale de l’univers , affaire à suivre…
Bien cordialement
Philippe de Bellescize
Bonjour,
Et félicitations. Il n’y a pas beaucoup de « vulgarisations » scientifiques en français…! Et en plus c’est très bien fait
Je ne suis pas physicien.
Question : Ok pour la compréhension des géodésiques et les géométries associées (ça m’a rajeuni) mais pourquoi « une bille » posée sur une partie plane de la représentation de l’espace-tps est/semble attirée par « le trou/la déformation » d’une masse plus importante qu’elle? Autrement dit d’où vient cette force d’attraction « apparente » (mm’/d^2 coefficienté par le facteur de Lorentz) ?
Très cordialement
Bebo
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Bonjour David,
Tes videos sont tellement geniales que j’avoue avoir du mal a me concentrer sur mon travail…
Aurais-tu stp la reference du livre de Wald dont tu parles plus haut, ou tu as appris la relativite generale ?
Merci pour ce que tu fais !
Alexis
C’est celui ci : https://en.wikipedia.org/wiki/General_Relativity_(book)
David
Bonjour,
Il existe de nombreux ouvrages introduisant la RG sur des bases mathématiques. Einstein a eu l’intuition de la Relativité Restreinte puis de la RG par des expériences de pensée qu’il décrit dans ses ouvrages de vulgarisation.
En tant qu’ingénieur et donc réceptif aux techniques appliquées, cette approche ‘sensible’ m’intéresse particulièrement.
J’ai deux interrogations fondamentales à propos de la RR et de la RG
– En subissant l’accélération terrestre G pendant un an, j’aurai dépassé la vitesse de la lumière. Mais par rapport à quoi ?
– Deux corps pesants, immobiles l’un par rapport à l’autre peuvent-ils rester à distance fixe si l’un est accéléré et l’autre en chute libre ? Quid de ma personne accélérée sur la surface de la Terre juste sous un satellite géostationnaire en apesanteur (chute libre) ?
Un grand bravo (et merci) pour vos vidéos que j’ai attentivement et avec grand plaisir suivies sur YouTube.
Cordialement,
Michel
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Bonjour David,
vraiment bravo pour toutes vos vidéos passionnantes et toujours très bien réalisées. A l’occasion pourriez-vous svp clarifier le point suivant:
En quoi la relativité générale résout-elle la question de la coïncidence de la masse pesante et de la masse inerte qui posait question dans la théorie de Newton?
Ma compréhension est qu’en relativité générale la masse pesante est remplacée par une « masse déformant l’espace temps », mais pourquoi celle-ci correspond elle aussi à la masse inerte?
Encore merci pour votre fantastique travail de vulgarisation.
Cyril
Clair et précis ! excellent résumé pour tout ceux qui s’intéressent à la relativité générale !
Bonjour,
Merci David pour tes vidéos, sont vraiment excellentes !
Après avoir régardé plusiers fois celui-ci j’aurais quand-même quelques questions.
– La Teorie de Relativité implique que tout corps avec une masse déforme l’espace-temprs autour de lui ? C’est-à-dire, même nous, à notre échelle, fairions courber l’espce-temps à une échelle ridiculement petite ?
– Tout corps en orbite se déplace sur une geodesique dans un espace courbée? Lune, satellites, etc…
– A l’échelle de la Terre, j’ai du mal à comprendre comment se traduit cette Teorie sur le fait que nous sommes « attirés » vers le centre de la Terre. J’avais cru comprendre dans une de tes vidéos que même le soleil ne courbait pas trop l’espace-temps ? Alors, cette attraction de la Terre, c’est parce qu’elle deforme aussi l’espace autour de nous?
Merci encore, en attendant que tu puisses apporter (ou quelq’un dans le blog) un peu plus de détail sur ces questions.
Alex,