{"id":9689,"date":"2023-06-23T17:02:28","date_gmt":"2023-06-23T15:02:28","guid":{"rendered":"https:\/\/scienceetonnante.com\/?p=9689"},"modified":"2023-06-23T17:02:33","modified_gmt":"2023-06-23T15:02:33","slug":"la-formule-de-black-scholes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2023\/06\/23\/la-formule-de-black-scholes\/","title":{"rendered":"La formule de Black-Scholes"},"content":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour parle d&rsquo;un concept central des math\u00e9matiques financi\u00e8res : le pricing des options \u00e0 l&rsquo;aide de la formule de Black-Scholes.<\/p>\n<p><iframe title=\"La formule qui a radicalement transform\u00e9 la finance mondiale [Black-Scholes]\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/XE7FKLfZzBA?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<h3>Int\u00e9r\u00eats et dividendes<\/h3>\n<p>Si vous connaissez un peu le sujet, vous aurez remarqu\u00e9 que pour des raisons de simplicit\u00e9, j&rsquo;ai ignor\u00e9 l&rsquo;effet des taux d&rsquo;int\u00e9r\u00eat. Mais dans le cas le plus g\u00e9n\u00e9ral, on consid\u00e8re qu&rsquo;il existe un placement sans risque fournissant un int\u00e9r\u00eat \\(r\\), et on peut aussi ajouter optionellement le fait que l&rsquo;actif sous-jacent fournisse un certain dividende \\(q\\).<\/p>\n<p>On a alors une formule plus g\u00e9n\u00e9rale<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-9694 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/eq_BS_generic-1.png\" alt=\"\" width=\"1000\" height=\"135\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/eq_BS_generic-1.png 1000w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/eq_BS_generic-1-300x41.png 300w\" data-sizes=\"(max-width: 1000px) 100vw, 1000px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 1000px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 1000\/135;\" \/><\/p>\n<p>Ca c&rsquo;est pour une option <em>call. <\/em>Pour une option <em>put<\/em>, on obtient une formule l\u00e9g\u00e8rement diff\u00e9rente mais tr\u00e8s similaire dans la forme.<\/p>\n<h3>Europ\u00e9ennes vs am\u00e9ricaines<\/h3>\n<p>Un point que je n&rsquo;ai pas \u00e9voqu\u00e9 dans la vid\u00e9o : j&rsquo;ai parl\u00e9 ici d&rsquo;options qui ne peuvent s&rsquo;exercer qu&rsquo;\u00e0 un seul moment, c&rsquo;est-\u00e0-dire \u00e0 la date d&rsquo;\u00e9ch\u00e9ance. C&rsquo;est ce qu&rsquo;on appelle traditionnellement <strong>les options europ\u00e9ennes<\/strong>. Mais il existe aussi <strong>les options am\u00e9ricaines<\/strong>, qui peuvent \u00eatre exerc\u00e9es n&rsquo;importe quand jusqu&rsquo;\u00e0 la date d&rsquo;\u00e9ch\u00e9ance, et pour lesquelles les choses sont un peu plus compliqu\u00e9es.<\/p>\n<h3>Mouvement brownien g\u00e9om\u00e9trique<\/h3>\n<p>A propos du mouvement brownien g\u00e9om\u00e9trique, je suis pass\u00e9 rapidement mais c&rsquo;est un tout petit peu plus subtil que simplement supposer que les pourcentages de variation suivent une gaussienne, car on travaille plut\u00f4t sur les rendements. Ce qu&rsquo;on suppose c&rsquo;est que si on note \\(x_n\\) la valeur de l&rsquo;actif au temps n, la quantit\u00e9 \\(x_{n+1}\/x_n\\) suit une loi log-normale.<\/p>\n<h3>Black-Scholes et couverture en delta neutre<\/h3>\n<p>Je ne vais pas d\u00e9montrer ici la formule de Black-Scholes, mais je vais essayer de donner une intuition concernant la couverture en delta neutre. Tout d&rsquo;abord il faut bien comprendre l&rsquo;objectif de cette m\u00e9thode : c&rsquo;est <strong>d&rsquo;\u00e9liminer le risque, c&rsquo;est-\u00e0-dire les al\u00e9as<\/strong>. Ca ne veut pas dire qu&rsquo;on cherche une strat\u00e9gie qui permette \u00e0 la banque de gagner de l&rsquo;argent dans l&rsquo;op\u00e9ration, mais une strat\u00e9gie qui permette que \u00e7a lui co\u00fbte toujours la m\u00eame chose, quelle que soit la variation du cours du sous-jacent.<\/p>\n<p>Pour cela imaginons la chose suivante : la banque vient de vendre une option, et ne veut pas utiliser la strat\u00e9gie \u00ab\u00a0attentiste\u00a0\u00bb, puisque celle-ci fait courir un risque (elle va co\u00fbter plus ou moins cher suivant l&rsquo;\u00e9volution du cours du sous-jacent.) Elle d\u00e9cide donc d&rsquo;acqu\u00e9rir une certaine quantit\u00e9 \\(\\Delta\\) du sous-jacent (on imagine qu&rsquo;on peut en acqu\u00e9rir des quantit\u00e9s fractionnaires et sans frais de transaction).<\/p>\n<p>A ce stade, la valeur de sa position est la suivante : elle est <em>short <\/em>d&rsquo;une option (puisqu&rsquo;elle l&rsquo;a vendue) et <em>long\u00a0<\/em>de \\(\\Delta\\) unit\u00e9s du sous-jacent (qu&rsquo;elle a achet\u00e9). Si la valeur de l&rsquo;option est not\u00e9e V et celle du sous-jacent S, la valeur du portefeuille est donc<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(P = -V + \\Delta S\\).<\/p>\n<p>Maintenant imaginons que le cours du sous-jacent \u00e9volue, la valeur du portefeuille va \u00e9galement changer. On peut calculer la d\u00e9riv\u00e9e de P par rapport \u00e0 S, et on trouve simplement<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\frac{\\partial P}{\\partial S} = &#8211; \\frac{\\partial V}{\\partial S} + \\Delta\\).<\/p>\n<p>Et ce qu&rsquo;on voit, c&rsquo;est que <strong>cette d\u00e9riv\u00e9e peut \u00eatre nulle si on choisit sp\u00e9cifiquement une valeur<\/strong> de \\(\\Delta\\)<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\Delta = \\frac{\\partial V}{\\partial S}\\).<\/p>\n<p>Le fait que, pour cette valeur, la d\u00e9riv\u00e9e soit nulle est int\u00e9ressant : cela indique que dans cette position, <strong>la valeur du portefeuille n&rsquo;est pas sensible \u00e0 une petite variation du cours du sous-jacent<\/strong>. C&rsquo;est exactement ce qu&rsquo;on cherche : \u00e0 \u00e9liminer le risque.<\/p>\n<p>On peut alors montrer que cela implique que la valeur de l&rsquo;option suive une certaine \u00e9quation diff\u00e9rentielle. Celle-ci ressemble \u00e0 l&rsquo;\u00e9quation de la chaleur et s&rsquo;y ram\u00e8ne avec un changement de variable, ce qui permet un calcul explicite de V.<\/p>\n<p>Bien entendu du point de vue de la banque, quand le temps passe et que la valeur du sous-jacent change, alors il faudra recalculer \\(\\Delta\\) et donc <strong>ajuster sa position en achetant ou vendant un peu du sous-jacent en continu<\/strong>. Et plus le temps passe, plus la position va \u00e9voluer vers une situation o\u00f9 la banque poss\u00e8dera soit une unit\u00e9 compl\u00e8te du sous-jacent (si le cours \u00e0 maturit\u00e9 est sup\u00e9rieur au prix d&rsquo;exercice), soit z\u00e9ro.<\/p>\n<p>Il est assez utile de visualiser cela <strong>en tra\u00e7ant <em>pour un prix d&rsquo;exercice donn\u00e9<\/em> les courbes de valeur de l&rsquo;option \u00e0 diff\u00e9rentes maturit\u00e9s en fonction du cours du sous-jacent<\/strong>. Voici un exemple pour des maturit\u00e9s allant de 1 \u00e0 180 jours sur mon exemple du bl\u00e9 avec un prix d&rsquo;exercice de 220\u20ac.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-9693 size-large lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/delta-neutre-1024x576.png\" alt=\"\" width=\"770\" height=\"433\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/delta-neutre-1024x576.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/delta-neutre-300x169.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/06\/delta-neutre.png 1152w\" data-sizes=\"(max-width: 770px) 100vw, 770px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 770px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 770\/433;\" \/><\/p>\n<p>Rappelez vous que la quantit\u00e9 \\(\\Delta\\) que la banque doit poss\u00e9der \u00e0 tout instant pour se couvrir est \u00e9gale \u00e0 la <strong>d\u00e9riv\u00e9e de cette courbe<\/strong>. On voit que loin de l&rsquo;\u00e9ch\u00e9ance (180 jours), cette quantit\u00e9 est inf\u00e9rieure \u00e0 1 et peu d\u00e9pendante du cours de l&rsquo;action. Plus l&rsquo;\u00e9ch\u00e9ance se rapproche, plus la courbe se rapproche de la courbe bleue tout en bas, et qui est la valeur de l&rsquo;option \u00e0 la date de maturit\u00e9 : donc simplement 0 en dessous du prix d&rsquo;exercice, et l&rsquo;\u00e9cart avec le prix d&rsquo;exercice si on est au-dessus. Or la d\u00e9riv\u00e9e de cette courbe est 0 en-dessous du prix d&rsquo;exercice, et 1 au-dessus.<\/p>\n<p>On voit donc que plus l&rsquo;\u00e9ch\u00e9ance se rapproche, plus cette strat\u00e9gie nous am\u00e8ne \u00e0 poss\u00e9der une unit\u00e9 compl\u00e8te du sous-jacent si on est au-dessus du prix d&rsquo;exercice, et rien si on est en-dessous.<\/p>\n<p>Un point que me mentionnait Gilles d&rsquo;Heu?reka, c&rsquo;est qu&rsquo;une strat\u00e9gie de trading consiste \u00e0 moduler la couverture en delta neutre en fonction de ses opinions sur l&rsquo;\u00e9volution du cours du sous-jacent. Si on pense que l&rsquo;action est sous-\u00e9valu\u00e9e, on va en conserver un peu plus que le Delta, et inversement.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour parle d&rsquo;un concept central des math\u00e9matiques financi\u00e8res : le pricing des options \u00e0 l&rsquo;aide de la formule de Black-Scholes. Int\u00e9r\u00eats et dividendes Si vous connaissez un peu le sujet, vous aurez remarqu\u00e9 que pour des raisons de simplicit\u00e9, j&rsquo;ai ignor\u00e9 l&rsquo;effet des taux d&rsquo;int\u00e9r\u00eat. 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