{"id":9380,"date":"2021-12-17T17:02:59","date_gmt":"2021-12-17T16:02:59","guid":{"rendered":"https:\/\/scienceetonnante.com\/?p=9380"},"modified":"2021-12-18T10:10:04","modified_gmt":"2021-12-18T09:10:04","slug":"effet-casimir-serie-divergente","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2021\/12\/17\/effet-casimir-serie-divergente\/","title":{"rendered":"L&rsquo;effet Casimir et la s\u00e9rie divergente 1+2+3+4+&#8230;"},"content":{"rendered":"<p><span style=\"font-size: 19px;\">J&rsquo;avais d\u00e9j\u00e0 trait\u00e9 le sujet en blog, et je m&rsquo;\u00e9tais donc promis de ne jamais parler de 1+2+3+4 + &#8230; = -1\/12 en vid\u00e9o&#8230;eh bien j&rsquo;ai craqu\u00e9 ! Dans ce nouvel \u00e9pisode je vous explique en quoi l&rsquo;effet Casimir n&rsquo;est pas une \u00ab\u00a0preuve\u00a0\u00bb de ce r\u00e9sultat, mais il illustre l&rsquo;utilit\u00e9 en physique de certains concepts des s\u00e9ries divergentes.<\/span><\/p>\n<p><iframe title=\"L&#039;\u00e9nergie du vide quantique, -1\/12 et l&#039;effet Casimir\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/jyQ_hUVI4Gk?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<p>Dans la vid\u00e9o, j&rsquo;ai trait\u00e9 le cas \u00ab\u00a0acad\u00e9mique\u00a0\u00bb de l&rsquo;effet Casimir, c&rsquo;est-\u00e0-dire en 1D et sur un champ qui ressemble plus \u00e0 un champ scalaire qu&rsquo;au champ \u00e9lectromagn\u00e9tique. Il aurait fallut prendre en compte par exemple l&rsquo;existence de 2 polarisations, et surtout le fait qu&rsquo;en 3D, m\u00eame si on a deux plaques infinies, il existe des modes qui ne sont pas orthogonaux aux plaques. Si on fait \u00e7a proprement, on trouve une expression un peu diff\u00e9rente, et qui n&rsquo;est pas une force mais plut\u00f4t une pression (puisque \u00e7a va d\u00e9pendre de la surface des plaques).<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle P(x) = -\\frac{\\hbar c \\pi^2}{240 x^4}\\)<\/p>\n<p>L&rsquo;ordre de grandeur est d&rsquo;environ 1 mPa pour x=1 micron. On voit bien la faiblesse de l&rsquo;effet ! Comme je l&rsquo;\u00e9voque, en pratique on ne mesure pas forc\u00e9ment \u00e7a avec deux plaques mais plut\u00f4t une sph\u00e8re et une plaque.<\/p>\n<p>Pour une discussion r\u00e9cente et notamment des aspects exp\u00e9rimentaux : <a href=\"https:\/\/indico.ijclab.in2p3.fr\/event\/2087\/attachments\/3301\/4067\/LAL13.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><em>Casimir effect, theory and experiments, par Serge Reynaud et Astrid Lambrecht<\/em><\/a><\/p>\n<h3>Sur la r\u00e9gularisation<\/h3>\n<p>On a vu que pour donner un sens aux expressions manipul\u00e9es, il faut trouver un moyen de r\u00e9gulariser la somme infinie pour \u00e9viter les divergences. J&rsquo;ai utilis\u00e9 ce qu&rsquo;on appelle la r\u00e9gularisation <em>\u00ab\u00a0heat kernel\u00a0\u00bb<\/em> (avec l&rsquo;exponentielle d\u00e9croissante), mais il en existe d&rsquo;autres. Par exemple la r\u00e9gularisation utilisant la fonction zeta. La beaut\u00e9 de tout cela est que le r\u00e9sultat qu&rsquo;on obtient est ind\u00e9pendant du sch\u00e9ma de r\u00e9gularisation utilis\u00e9 (pour un sch\u00e9ma raisonnable).<\/p>\n<p>Bien s\u00fbr le fait que l&rsquo;on obtienne -1\/12, le prolongement analytique en -1 de la fonction zeta apparait naturellement si on choisit de faire la r\u00e9gularisation par la fonction zeta. Notez qu&rsquo;en dimension sup\u00e9rieure on obtient d&rsquo;autres valeurs de la fonction.<\/p>\n<h3>L&rsquo;\u00e9nergie du vide existe-t-elle ?<\/h3>\n<p>L&rsquo;\u00e9nergie de point z\u00e9ro est un concept perturbant : existe-t-elle vraiment ? Un point parfois d\u00e9battu est qu&rsquo;il serait possible de calculer la force de Casimir par une autre route, comme une force de Van Der Waals qui s&rsquo;exerce entre les plaques. J&rsquo;avoue que je n&rsquo;ai jamais vraiment bien compris les d\u00e9monstrations. Un point qui me chiffonnait est qu&rsquo;une force de VdW devrait faire appara\u00eetre la constante de structure fine \\(\\alpha\\), or la force de Casimir ne la fait pas appara\u00eetre.<\/p>\n<p>Mais ici <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/pdf\/hep-th\/0503158.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">un papier par quelqu&rsquo;un de s\u00e9rieux<\/a> qui argumente que l&rsquo;expression de Casimir serait une sorte de limite \\(\\alpha \\to \\infty\\) de la force de Van der Waals (si je comprends bien). Et il semblerait que l&rsquo;hypoth\u00e8se des plaques conductrices parfaites induise implicitement une hypoth\u00e8se \\(\\alpha \\to \\infty\\), qui en pratique serait d&rsquo;ailleurs largement satisfaite.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-9385 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Capture-decran-2021-12-17-a-15.54.23-1024x323.png\" alt=\"\" width=\"601\" height=\"190\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Capture-decran-2021-12-17-a-15.54.23-1024x323.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Capture-decran-2021-12-17-a-15.54.23-300x95.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/Capture-decran-2021-12-17-a-15.54.23.png 1146w\" data-sizes=\"(max-width: 601px) 100vw, 601px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 601px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 601\/190;\" \/><\/p>\n<p>Mais est-ce pour autant qu&rsquo;on doit en conclure que l&rsquo;\u00e9nergie du vide n&rsquo;existe pas ? Il existe par exemple un autre ph\u00e9nom\u00e8ne mesurable, le d\u00e9calage de Lamb, qu&rsquo;on attribue \u00e0 des interactions entre un atome d&rsquo;hydrog\u00e8ne et les fluctuations de l&rsquo;\u00e9nergie du vide. L&rsquo;existence de plusieurs routes invalide-t-elle l&rsquo;existence de l&rsquo;un ou l&rsquo;autre des concepts utilis\u00e9s ? \u00a0Tout \u00e7a nous renvoie \u00e0 des questions passionnantes sur \u00ab\u00a0ce qui existe vraiment\u00a0\u00bb; ma position (na\u00efve) \u00e9tant de fait que rien n&rsquo;existe vraiment, et j&rsquo;ai d&rsquo;ailleurs un billet en pr\u00e9paration sur le sujet depuis trop longtemps !<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>J&rsquo;avais d\u00e9j\u00e0 trait\u00e9 le sujet en blog, et je m&rsquo;\u00e9tais donc promis de ne jamais parler de 1+2+3+4 + &#8230; = -1\/12 en vid\u00e9o&#8230;eh bien j&rsquo;ai craqu\u00e9 ! 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