{"id":9347,"date":"2021-10-01T17:03:01","date_gmt":"2021-10-01T15:03:01","guid":{"rendered":"https:\/\/scienceetonnante.com\/?p=9347"},"modified":"2021-10-03T11:31:35","modified_gmt":"2021-10-03T09:31:35","slug":"analyse-dimensionnelle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2021\/10\/01\/analyse-dimensionnelle\/","title":{"rendered":"L&rsquo;analyse dimensionnelle \u2014 La technique secr\u00e8te des physiciens"},"content":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o d&rsquo;aujourd&rsquo;hui parle d&rsquo;une technique puissante, dangereuse et m\u00e9connue. Non, pas le c\u00f4t\u00e9 obscur de la Force, mais l&rsquo;analyse dimensionnelle !<\/p>\n<p><iframe title=\"La technique secr\u00e8te des physiciens\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/EvRej1Gkrhc?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<p>Comme d&rsquo;habitude, quelques compl\u00e9ments pour celles et ceux qui veulent en savoir plus, ou qui connaissaient d\u00e9j\u00e0 le sujet !<\/p>\n<h3>Unit\u00e9s et dimensions<\/h3>\n<p>Ceux qui ont d\u00e9j\u00e0 fait de l&rsquo;analyse dimensionnelle auront not\u00e9 le choix que j&rsquo;ai fait de ne pas franchement aborder le concept de \u00ab\u00a0dimension\u00a0\u00bb, et de parler uniquement des unit\u00e9s. Plusieurs raisons \u00e0 cela.<\/p>\n<p>La premi\u00e8re, c&rsquo;est que \u00e7a m&rsquo;obligeait \u00e0 introduire un concept abstrait suppl\u00e9mentaire, \u00e0 passer du temps \u00e0 expliquer ce qu&rsquo;il est, et ce qu&rsquo;il n&rsquo;est pas. La deuxi\u00e8me c&rsquo;est qu&rsquo;en pratique, je ne sais pas vous, mais moi je fais toujours avec les unit\u00e9s, je trouve \u00e7a plus facile et concret. Et la troisi\u00e8me c&rsquo;est que le concept de dimension a le mauvais go\u00fbt de s&rsquo;appeler \u00ab\u00a0dimension\u00a0\u00bb, qui est d\u00e9j\u00e0 un mot qui a un sens, mais pas le m\u00eame. Je trouve \u00e7a toujours extr\u00eamement difficile de commencer \u00e0 pr\u00e9senter un concept portant le m\u00eame nom qu&rsquo;un autre en expliquant qu&rsquo;on ne parle pas de la m\u00eame chose. Je suis donc rest\u00e9 sur les unit\u00e9s !<\/p>\n<p>J&rsquo;ai expliqu\u00e9 vite fait que les unit\u00e9s \u00e0 consid\u00e9rer comme n\u00a0\u00bbfondamentales\u00a0\u00bb vont d\u00e9pendre du contexte. Stricto sensu \u00e7a ne devrait pas, mais en pratique si. Prenons l&rsquo;exemple de la temp\u00e9rature. Si je suis dans un contexte de transfert de chaleur macroscopique, avec des conductivit\u00e9s, capacit\u00e9s calorifiques, etc. je vais traiter la temp\u00e9rature comme une dimension en soi. En revanche si je suis en train de faire de la physique statistique, temp\u00e9rature et \u00e9nergie c&rsquo;est pareil, via la constante de Boltzmann. D&rsquo;ailleurs si on pousse un peu, tout n&rsquo;est qu&rsquo;\u00e9nergie !<\/p>\n<p>Un point confusant que m&rsquo;a fait remarquer un commentaire. Le fait de parler d&rsquo;unit\u00e9 plut\u00f4t que de dimension peut perturber notamment quand il s&rsquo;agit d&rsquo;angles. Les angles peuvent avoir une unit\u00e9, mais cela reste une quantit\u00e9 sans dimension (que l&rsquo;on peut voir comme un rapport de longueurs).<\/p>\n<p>Tiens d&rsquo;ailleurs dans Pythagore, la vraie forme de la fonction qui donne l&rsquo;aire d&rsquo;un triangle rectangle, \u00e7a doit \u00eatre un truc du genre<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\frac 12 x^2 \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)\\)<\/p>\n<h3>Le th\u00e9or\u00e8me de Buckingham<\/h3>\n<p>Pour ceux qui s&rsquo;inqui\u00e9teraient que l&rsquo;analyse dimensionnelle ne soit que bricolage et ne repose sur rien de solide, rassurez-vous ! Il existe <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Th\u00e9or\u00e8me_de_Vaschy-Buckingham\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">un th\u00e9or\u00e8me<\/a>, parfois nomm\u00e9 \u00ab\u00a0le th\u00e9or\u00e8me \\(\\Pi\\)\u00a0\u00bb, qui permet de donner un sens \u00e0 tout cela, notamment en mettant en avant les quantit\u00e9s sans dimension que l&rsquo;on peut construire \u00e0 partir des variables du probl\u00e8me.<\/p>\n<p>Reste la question de la constante sans dimension.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">On peut se dire qu&rsquo;il est assez rare qu&rsquo;en physique les constantes soient tr\u00e8s exotiques, mais \u00e7a arrive quand m\u00eame ! Mon exemple pr\u00e9f\u00e9r\u00e9, c&rsquo;est celui du calcul de<strong> la divergence \u00e0 deux boucles de la quantification perturbative de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale<\/strong>. Ca sonne tr\u00e8s barbare comme \u00e7a, mais c&rsquo;est en gros le calcul qui montre qu&rsquo;il est impossible de traiter la gravit\u00e9 d&rsquo;Einstein de la m\u00eame mani\u00e8re que les autres forces, quand on veut les consid\u00e9rer dans le cadre de la m\u00e9canique quantique (les \u00ab\u00a0quantifier\u00a0\u00bb). La divergence, c&rsquo;est un terme qui montre que des infinis vont appara\u00eetre de mani\u00e8re incurable, et dans le cas que je mentionne, le terme divergent incrimin\u00e9 s&rsquo;\u00e9crit<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\frac{209}{737280}\\frac{1}{\\pi^4} \\frac{1}{\\epsilon} \\int d^4x \\sqrt{-g} R^{\\mu \\nu}_{\\rho\\sigma}R_{\\epsilon\\theta}^{\\rho\\sigma}R^{\\epsilon\\theta}_{\\mu \\nu}\\)<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Comme vous le voyez, le coefficient num\u00e9rique est assez improbable ! (et en plus il est tr\u00e8s petit) D&rsquo;ailleurs ce genre de petits coefficients arrivent assez r\u00e9guli\u00e8rement en physique des particules \u00e0 cause des \\((2\\pi)^D\\) qui r\u00e9sultent des normalisations des gaussiennes en D dimensions.<\/p>\n<h3>Autour du pendule<\/h3>\n<p>Si vous avez d\u00e9j\u00e0 vraiment fait l&rsquo;exercice du pendule, vous savez peut-\u00eatre que ce que j&rsquo;ai racont\u00e9 n&rsquo;est vrai que dans l&rsquo;approximation des petits angles. Dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, l&rsquo;\u00e9quation devient non-lin\u00e9aire et l&rsquo;angle initial (une quantit\u00e9 sans dimension) doit \u00eatre pris en compte.<\/p>\n<p>Dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, la p\u00e9riode s&rsquo;exprime comme<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle 2\\pi\\sqrt{\\frac Lg} \\frac{2}{\\pi} K(\\sin \\theta_0)\\)<\/p>\n<p>o\u00f9 \\(\\theta_0\\) est l&rsquo;angle initial et \\(K\\) est la fonction elliptique de Jacobi. Bien s\u00fbr il est totalement exclu de \u00ab\u00a0deviner\u00a0\u00bb \u00e7a par analyse dimensionnelle !<\/p>\n<h3>Taylor et la bombe<\/h3>\n<p>Commen\u00e7ons par une pr\u00e9cision int\u00e9ressante concernant les images de Trinity. On peut avoir l&rsquo;impression qu&rsquo;il y en a un vingtaine, vu comme \u00e7a. En r\u00e9alit\u00e9, il y en a plus de 100 000 ! Le photographe s&rsquo;appelait <a href=\"https:\/\/atomicphotographers.com\/photographers\/berlyn-brixner\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Berlyn Brixner.<\/a>\u00a0Extrait du site :<\/p>\n<p><em>Brixner\u2019s objective as a member of the Manhattan Project can be best described as follows: Photograph all aspects of an unknown and unpredictable event that begins with the brightest flash of light ever produced on Earth. To accomplish this, Brixner was stationed 10,000 yards (5.68 miles) away from the detonation. He incorporated <strong>fifty cameras<\/strong> of various running speeds using 16-millimeter black-and-white film positioned at different locations in order to capture in full and slow motion. These cameras were positioned at every possible angle, distance, and available film speed. All the cameras, including the one he had in his lap at the time of the atomic bomb\u2019s detonation were operated from a central control station. <strong>Approximately 100,000 photographs were made of the Trinity atomic bomb test<\/strong>.<\/em><\/p>\n<p>Comme je l&rsquo;ai \u00e9voqu\u00e9 dans la vid\u00e9o, l&rsquo;histoire de l&rsquo;analyse de la puissance de la bombe par Taylor \u00a0s&rsquo;est retrouv\u00e9e assez romanc\u00e9e au fil du temps. Si la question de ce glissement vous int\u00e9resse, vous pouvez consulter l&rsquo;article suivant<\/p>\n<p><em>Michael A.B. Deakin (2011) <a href=\"http:\/\/sites.science.oregonstate.edu\/~restrepo\/MTH481\/Classnotes\/GITaylor\/WhatTaylorActuallyDid.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">G.I. Taylor and the Trinity test<\/a>, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 42:8, 1069-1079, DOI: 10.1080\/0020739X.2011.562324<\/em><\/p>\n<p>Taylor a notamment \u00e9crit deux articles. Ils ont je crois \u00e9t\u00e9 publi\u00e9 en m\u00eame temps, mais le premier est \u00ab\u00a0la th\u00e9orie\u00a0\u00bb, d\u00e9velopp\u00e9e avant la publication des images de Trinity, et le second est \u00ab\u00a0la pratique\u00a0\u00bb avec les photos de Trinity.<\/p>\n<p><em>Taylor, Geoffrey. \u00ab\u00a0The formation of a blast wave by a very intense explosion. I. Theoretical discussion.\u00a0\u00bb &amp; \u00ab\u00a0II. The atomic explosion of 1945.\u00a0\u00bb Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 201.1065 (1950): 159-186.<\/em><\/p>\n<p>L&rsquo;ensemble fait 37 pages ! Donc le travail de Taylor n&rsquo;a pas consist\u00e9 \u00e0 juste faire une analyse dimensionnelle de coin de table. Le point essentiel est que si on fait correctement l&rsquo;analyse physique du probl\u00e8me, on trouve que l&rsquo;indice adiabatique du gaz \\(\\gamma\\) doit jouer un r\u00f4le, or d&rsquo;une part c&rsquo;est une quantit\u00e9 sans dimension (qu&rsquo;on peut donc faire apparaitre dans n&rsquo;importe quelle fonction), d&rsquo;autre part il est connu que cet indice d\u00e9pend de la temp\u00e9rature du gaz !<\/p>\n<p>Dans son premier article, Taylor consid\u00e8re notamment le cas \u00ab\u00a0id\u00e9al\u00a0\u00bb de $\\gamma = 1.4$, c&rsquo;est-\u00e0-dire un gaz parfait diatomique. Dans le second article, il regarde comment \u00e7a colle avec les images de Trinity, et se rend compte, \u00f4 surprise, que l&rsquo;approximation $\\gamma = 1.4$ fonctionne tout \u00e0 fait bien. Ca n&rsquo;\u00e9tait pas du tout garanti, puisque le gaz s&rsquo;\u00e9chauffe dans l&rsquo;explosion, et que cela fait baisser le coefficient adiabatique.<\/p>\n<p>Autre petit miracle, pour la valeur de $\\gamma = 1.4$, la constante est tr\u00e8s proche de 1, ce qui fait que l&rsquo;analyse dimensionnelle semble marcher si bien.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-9349 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/Capture-decran-2021-10-01-a-07.50.32.png\" alt=\"\" width=\"690\" height=\"914\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/Capture-decran-2021-10-01-a-07.50.32.png 690w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/Capture-decran-2021-10-01-a-07.50.32-226x300.png 226w\" data-sizes=\"(max-width: 690px) 100vw, 690px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 690px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 690\/914;\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o d&rsquo;aujourd&rsquo;hui parle d&rsquo;une technique puissante, dangereuse et m\u00e9connue. 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