{"id":9327,"date":"2021-09-10T17:02:28","date_gmt":"2021-09-10T15:02:28","guid":{"rendered":"https:\/\/scienceetonnante.com\/?p=9327"},"modified":"2021-09-10T17:08:45","modified_gmt":"2021-09-10T15:08:45","slug":"lois-puissance","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2021\/09\/10\/lois-puissance\/","title":{"rendered":"Krachs boursiers, tremblements de terre et criticalit\u00e9 auto-organis\u00e9e"},"content":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour est peut-\u00eatre un peu velue, mais c&rsquo;est le genre de sujet que j&rsquo;aime !<\/p>\n<p><iframe title=\"Krachs Boursiers &amp; Tremblements De Terre\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/MrsjMiL9W9o?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<p>Quelques compl\u00e9ments d&rsquo;usage :<\/p>\n<h3>Largeur \u00e0 mi-hauteur et \u00e9cart-type<\/h3>\n<p>Un point int\u00e9ressant sur la mani\u00e8re dont j&rsquo;ai fitt\u00e9 une gaussienne sur les fluctuations du CAC40. J&rsquo;ai utilis\u00e9 la largeur \u00e0 mi-hauteur plut\u00f4t que de simplement calculer l&rsquo;\u00e9cart-type.<\/p>\n<h3><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-9337 lazyload\" style=\"--smush-placeholder-width: 770px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 770\/433;font-size: 25.99199867248535px; opacity: 0.84;\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/histogramme_fit_sigmas-1024x576.png\" alt=\"\" width=\"770\" height=\"433\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/histogramme_fit_sigmas-1024x576.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/histogramme_fit_sigmas-300x169.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/histogramme_fit_sigmas.png 1152w\" data-sizes=\"(max-width: 770px) 100vw, 770px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" \/><\/h3>\n<p>Dans une gaussienne, les deux sont reli\u00e9s car la largeur \u00e0 mi-hauteur vaut<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(2\\sqrt{2\\log 2}\\sigma \\approx 2.355\\sigma.\\)<\/p>\n<p>Le fait d&rsquo;utiliser la largeur \u00e0 mi-hauteur de mon histogramme plut\u00f4t que son \u00e9cart-type permet de s&rsquo;affranchir de l&rsquo;effet des queues \u00e9paisses. Une gaussienne de m\u00eame \u00e9cart-type aurait \u00e9t\u00e9 trop large et pas assez piqu\u00e9e au centre.<\/p>\n<h3>Le th\u00e9or\u00e8me central limite<\/h3>\n<p>Je vous fais gr\u00e2ce des controverses sur la bonne mani\u00e8re de nommer ce th\u00e9or\u00e8me. Un point int\u00e9ressant concernant mon illustration avec la taille, et le nombre de d\u00e9viations standards. La formule qui donne la probabilit\u00e9 d&rsquo;\u00eatre \u00e0 au-moins \\(x\\sigma\\) de la moyenne est<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(1 &#8211; \\mathrm{erf}(x\/\\sqrt{2})\\)<\/p>\n<p>Voir par exemple <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/68\u201395\u201399.7_rule\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/68\u201395\u201399.7_rule<\/a> et le tableau suivant<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-9339 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Capture-decran-2021-09-09-a-15.19.22-1024x487.png\" alt=\"\" width=\"770\" height=\"366\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Capture-decran-2021-09-09-a-15.19.22-1024x487.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Capture-decran-2021-09-09-a-15.19.22-300x143.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Capture-decran-2021-09-09-a-15.19.22-1536x730.png 1536w\" data-sizes=\"(max-width: 770px) 100vw, 770px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 770px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 770\/366;\" \/><\/p>\n<p>Or il existe plusieurs personnes qui ont \u00e9t\u00e9 mesur\u00e9es avec des tailles inf\u00e9rieures \u00e0 70cm voire 60cm. On pourrait arguer qu&rsquo;il s&rsquo;agit l\u00e0 d&rsquo;une d\u00e9viation de plus de 12 d\u00e9viations standards, qui selon la loi gaussienne ne devrait se produire qu&rsquo;une fois sur \\(2.8\\times 10^{32}\\). D&rsquo;ailleurs le raisonnement fonctionne dans l&rsquo;autre sens, puisqu&rsquo;il existe des personnes de plus de 2m50. Dans les deux cas, il s&rsquo;agit de conditions pathologiques due \u00e0 un ph\u00e9nom\u00e8ne pr\u00e9cis (comme une d\u00e9faillance de l&rsquo;hypophyse qui s\u00e9crete notamment l&rsquo;hormone de croissance). On peut donc consid\u00e9rer qu&rsquo;on n&rsquo;est plus l\u00e0 dans le cas d&rsquo;application du th\u00e9or\u00e8me central limite (accumulation d&rsquo;un grand nombre de facteurs ind\u00e9pendants), mais dans une situation o\u00f9 un facteur pathologique emporte tous les autres.<\/p>\n<h3>Cumul vs distribution<\/h3>\n<p>Un petit tour de passe-passe que j&rsquo;ai fait sans le mentionner dans la vid\u00e9o, c&rsquo;est d&rsquo;utiliser alternativement la distribution en densit\u00e9, ou bien en cumul\u00e9. Ca ne change \u00e9videmment pas grand chose, par exemple pour les fluctuations boursi\u00e8res, c&rsquo;est la distribution cumul\u00e9e qui est en \\(x^{-3}\\), mais la distribution en densit\u00e9 est donc en \\(x^{-2}\\). Une loi de puissance reste une loi de puissance.<\/p>\n<h3>Est-ce abus\u00e9 de fitter en log\/log ?<\/h3>\n<p>Une critique qui revient \u00e0 juste titre concernant les discussions sur les lois de puissance, c&rsquo;est de savoir si elles en sont vraiment. Notamment, il est assez facile d&rsquo;avoir des apparentes droites d\u00e8s lors que l&rsquo;on fitte en log\/log. Pour savoir si c&rsquo;est raisonnable, il faut regarder sur combien de d\u00e9cades la loi semble tenir.<\/p>\n<p>Dans le cas des tremblements de terre et de la loi de Gutenberg-Richter, c&rsquo;est pas mal du tout, puisque la partie lin\u00e9aire semble bien couvrir au moins 5 d\u00e9cades.<img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-9332 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/logmag_seimses-1024x576.png\" alt=\"\" width=\"770\" height=\"433\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/logmag_seimses-1024x576.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/logmag_seimses-300x169.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/logmag_seimses-1536x864.png 1536w\" data-sizes=\"(max-width: 770px) 100vw, 770px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 770px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 770\/433;\" \/>Pour les fluctuations boursi\u00e8res, on peut argumenter que c&rsquo;est un peu exag\u00e9r\u00e9. Avec les donn\u00e9es que j&rsquo;ai utilis\u00e9es, on est sur \u00e0 peine plus de deux d\u00e9cades, ce qui commence \u00e0 \u00eatre un peu limite.\u00a0<img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-9335 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/MultiplesCours_zoom-1024x576.png\" alt=\"\" width=\"770\" height=\"433\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/MultiplesCours_zoom-1024x576.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/MultiplesCours_zoom-300x169.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/MultiplesCours_zoom-1536x864.png 1536w\" data-sizes=\"(max-width: 770px) 100vw, 770px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 770px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 770\/433;\" \/><\/p>\n<h3>L&rsquo;\u00e9chelle de Richter<\/h3>\n<p>Aussi \u00e9tonnant que cela paraisse, j&rsquo;ai eu un peu de mal \u00e0 relier de fa\u00e7on fiable l&rsquo;\u00e9chelle de Richter aux \u00e9nergies lib\u00e9r\u00e9es. L&rsquo;\u00e9chelle ayant initialement \u00e9t\u00e9 d\u00e9velop\u00e9e de fa\u00e7on semi-empirique, il existe plusieurs formulations. J&rsquo;ai choisi de me reposer sur ce papier<\/p>\n<p><em>Bormann, P., &amp; Di Giacomo, D. (2011). <a href=\"https:\/\/hal.archives-ouvertes.fr\/hal-00646919\/document\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">The moment magnitude Mw and the energy magnitude Me<\/a>: common roots and differences. Journal of Seismology, 15(2), 411-427.<\/em><\/p>\n<p>qui dit \u00ab\u00a0<em style=\"font-size: 19px;\">This is the commonly referred to and most widely used \u201cGutenberg-Richter\u201d energy- magnitude relationship\u00a0\u00bb.<\/em><\/p>\n<p>A noter d&rsquo;ailleurs dans la formule de distribution de la loi de Gutenberg-Richter, les coefficients et notamment la pente vont l\u00e9g\u00e8rement d\u00e9pendre de la r\u00e9gion. Il n&rsquo;y a donc pas d&rsquo;universalit\u00e9 \u00ab\u00a0pure\u00a0\u00bb entre les s\u00e9ismes des diff\u00e9rentes r\u00e9gions sismiques.<\/p>\n<h3>Le mod\u00e8le du tas de sable<\/h3>\n<p>Techniquement, le mod\u00e8le du tas de sable peut \u00eatre vu comme un automate cellulaire. Et on peut se demander dans quelle mesure les observations de criticalit\u00e9 auto-organis\u00e9e vont d\u00e9pendre du choix du seuil S d&rsquo;avalanche, du nombre de grains G que l&rsquo;on redistribue, etc. Il me semble que redistribuer tous les grains ou seulement un certain nombre revient au-m\u00eame (la diff\u00e9rence \u00e9tant qu&rsquo;un tapis de grains d&rsquo;\u00e9paisseur S-G va se former en dessous de la partie \u00ab\u00a0dynamique\u00a0\u00bb du tas de sable.) Donc on pourrait imaginer par exemple que l&rsquo;avalanche ne se d\u00e9clenche que quand il y a 8 grains, et on distribuerai alors 2 grains dans chaque voisin. Mais dans ce cas il me semble que \u00e7a revient au m\u00eame en prenant des grains doubl\u00e9s. Bref, j&rsquo;ai ce sentiment que le choix de 4 grains se fait sans perte de g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9. Mais je n&rsquo;ai pas test\u00e9 !<\/p>\n<h3>Tas de sable et s\u00e9isme<\/h3>\n<p>Concernant la repr\u00e9sentativit\u00e9 de l&rsquo;automate cellulaire du tas de sable, il est \u00e0 noter que Bak et Tang ont propos\u00e9 une r\u00e9alisation exp\u00e9rimentale cens\u00e9e mimer une situation de tremblement de terre. Pour cela ils ont utilis\u00e9 des blocs reli\u00e9s entre eux par des ressorts, et qui reposaient sur un sol de sorte qu&rsquo;il existait un coefficient de frottement statique. Si on d\u00e9place choisi al\u00e9atoirement un bloc dans une direction, les contraintes s&rsquo;accumulent (tension des ressorts) mais son contrebalanc\u00e9es par la friction statique du sol. Quand la contrainte passe un certain seuil, on a un glissement du bloc (comme dans une instabilit\u00e9 de type stick\/slip) qui rel\u00e2che ses contraintes mais en les r\u00e9percutant sur ses voisins.<\/p>\n<p>Voir par exemple<\/p>\n<p>Bak, P., &amp; Chen, K. (1991). <a href=\"https:\/\/systemscienceguy.com\/media\/SOC-ScientificAmerican-Bak-Chen.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Self-organized criticality<\/a>. <i>Scientific American<\/i>, <i>264<\/i>(1), 46-53.<\/p>\n<p>Bak, P., &amp; Tang, C. (1989). <a href=\"https:\/\/downloads.gphysics.net\/papers\/BakTang_1989.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Earthquakes as a self\u2010organized critical phenomenon<\/a>. <i>Journal of Geophysical Research: Solid Earth<\/i>, <i>94<\/i>(B11), 15635-15637.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour est peut-\u00eatre un peu velue, mais c&rsquo;est le genre de sujet que j&rsquo;aime ! 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