{"id":9285,"date":"2021-08-27T17:02:46","date_gmt":"2021-08-27T15:02:46","guid":{"rendered":"https:\/\/scienceetonnante.com\/?p=9285"},"modified":"2021-08-27T22:14:37","modified_gmt":"2021-08-27T20:14:37","slug":"ecrire-les-nombres","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2021\/08\/27\/ecrire-les-nombres\/","title":{"rendered":"\u00c9crire les nombres : d\u00e9veloppement d\u00e9cimal et fractions continues"},"content":{"rendered":"<p>C&rsquo;est bient\u00f4t la rentr\u00e9e, alors on commence \u00e0 se r\u00e9chauffer les neurones avec un peu de maths ! La vid\u00e9o du jour est un patchwork de petites choses dont j&rsquo;avais envie de parler<\/p>\n<p><iframe title=\"Comment \u00e9crire les nombres ayant une infinit\u00e9 de d\u00e9cimales ?\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/CwqoAVMzgp4?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<p>Au sujet du d\u00e9veloppement d\u00e9cimal de la diabolique \u00e9galit\u00e9 0.9999&#8230; = 1, la d\u00e9monstration qui me satisfait le plus est certainement celle qui se base sur une d\u00e9finition du d\u00e9veloppement d\u00e9cimal sous forme de s\u00e9rie dans une base b.<\/p>\n<p>\\(x = \\sum_i a_i b^i\\)<\/p>\n<p>o\u00f9 la somme est finie pour les i positifs mais potentiellement infinie pour les i n\u00e9gatifs, ce qui donne le d\u00e9veloppement d\u00e9cimal \u00ab\u00a0apr\u00e8s la virgule\u00a0\u00bb. Dans ce cas on peut montrer plus formellement que si \u00e0 partir d&rsquo;un certain rang (n\u00e9gatif) les \\(a_i\\) sont uniquement des \\(b-1\\), alors il existe un autre d\u00e9veloppement d\u00e9cimal fini.<\/p>\n<p>Concernant la notion de <strong>nombre univers<\/strong>, une petite anecdote. Dans un de mes livres j&rsquo;ai \u00e9voqu\u00e9 cette notion. Il se trouve que le livre a \u00e9t\u00e9 traduit en chinois, et la traductrice m&rsquo;a contact\u00e9 car elle ne comprenait pas bien \u00e0 quelle notion je faisais r\u00e9f\u00e9rence, et si c&rsquo;\u00e9tait diff\u00e9rent de la notion de <strong>nombre normal<\/strong>.<\/p>\n<p>Je lui ai expliqu\u00e9 que oui, c&rsquo;\u00e9tait diff\u00e9rent, et que la notion de nombre normal \u00e9tait plus forte que celle de nombre univers. Dans un nombre univers, toute suite finie de d\u00e9cimale apparait au moins une fois. Dans un nombre normal, toute suite finie apparait une infinit\u00e9 de fois et avec une fr\u00e9quence identique \u00e0 toutes les suites finies de m\u00eame taille (qui doit \u00eatre \\(b^{-L}\\) o\u00f9 L est la longueur de la suite).<\/p>\n<p>Pour aider la traductrice, j&rsquo;ai cherch\u00e9 le terme anglais pour \u00ab\u00a0nombre univers\u00a0\u00bb, et j&rsquo;ai d\u00e9couvert &#8230;.qu&rsquo;il n&rsquo;existe pas ! <strong>La notion de nombre univers semblait sp\u00e9cifique au fran\u00e7ais<\/strong> ! En fait je pense qu&rsquo;il s&rsquo;agit d&rsquo;un concept peu utile dans les vrais math\u00e9matiques (contrairement au concept de nombre normal) et qui existe uniquement en vulgarisation. La formulation de <a href=\"http:\/\/www.lifl.fr\/~jdelahay\/pls\/1996\/036.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">ce texte de Jean-Paul Delahaye<\/a> me laisse penser qu&rsquo;il s&rsquo;agit de son oeuvre !<\/p>\n<p>Concernant les fractions continues, vous aurez sans doute tiqu\u00e9 en remarquant que l&rsquo;adjectif \u00ab\u00a0continu\u00a0\u00bb ne veut pas dire grand chose ici, il n&rsquo;y a rien de continu dans ces fractions ! Le terme anglais est d&rsquo;ailleurs <em>continued fraction<\/em> que certains traduisent plut\u00f4t par <strong>fractions continu\u00e9es<\/strong>, ce qui sonne un peu bizarre mais est un peu plus adapt\u00e9.<\/p>\n<p>Derni\u00e8re remarque concernant mon petit passage sur les nombres \u00ab\u00a0descriptibles\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0d\u00e9finissables\u00a0\u00bb. Pour le coup on a bien un article Wikip\u00e9dia en anglais sur le concept de <em><a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Definable_real_number\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">definable real number<\/a><\/em>, voir en particulier la d\u00e9finissabilit\u00e9 dans ZFC. Mais on a rien d&rsquo;\u00e9quivalent en fran\u00e7ais, \u00e0 part <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Discussion:Nombre_d\u00e9finissable\/Mail_Delahaye\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">cette discussion<\/a> avec JP Delahaye, toujours lui !<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>C&rsquo;est bient\u00f4t la rentr\u00e9e, alors on commence \u00e0 se r\u00e9chauffer les neurones avec un peu de maths ! 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