{"id":9047,"date":"2020-10-23T17:02:18","date_gmt":"2020-10-23T15:02:18","guid":{"rendered":"https:\/\/scienceetonnante.com\/?p=9047"},"modified":"2020-10-24T09:52:28","modified_gmt":"2020-10-24T07:52:28","slug":"bell-aspect","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2020\/10\/23\/bell-aspect\/","title":{"rendered":"Les in\u00e9galit\u00e9s de Bell et les exp\u00e9riences d&rsquo;Alain Aspect"},"content":{"rendered":"<p>Je pourrais probablement \u00e9crire une tonne de pr\u00e9cisions pleines d\u2019\u00e9quations pour cet \u00e9pisode, je vais essayer de me limiter. Et pour les curieux, une saveur de la d\u00e9monstration des in\u00e9galit\u00e9s de Bell se trouve \u00e0 la fin du billet !<\/p>\n<p><iframe title=\"Les in\u00e9galit\u00e9s de BELL &amp; les exp\u00e9riences d&#039;Alain ASPECT\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/28UN70790Do?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<h3>Les citations d\u2019Einstein<\/h3>\n<p>Tout le monde le sait, les citations d\u2019Einstein c\u2019est un truc tr\u00e8s casse gueule ! Il fallait forc\u00e9ment que j&rsquo;en glisse quelques unes. Heureusement un livre r\u00e9cent d\u2019Adam Becker, <em>What is real ?<\/em>, tr\u00e8s bien document\u00e9 et sourc\u00e9, permet de s\u2019y retrouver l\u00e0-dedans. Einstein aurait bien dit <em>\u00ab\u00a0Dieu ne joue pas aux d\u00e9s\u00a0\u00bb<\/em>, pas \u00e0 Bohr en 1927 mais dans une lettre \u00e0 Max Born du 4 d\u00e9cembre 1926. La citation que j\u2019ai donn\u00e9e plus tard date de 1942, dans une lettre \u00e0 Lanczos.<span class=\"Apple-converted-space\">\u00a0<\/span><\/p>\n<p>Il existe un autre \u00ab\u00a0\u00e9l\u00e9ment de langage\u00a0\u00bb fameux d\u2019Einstein, c\u2019est le <strong><em>\u00ab\u00a0spooky action at a distance\u00a0\u00bb<\/em><\/strong>.<span class=\"Apple-converted-space\">\u00a0<\/span><\/p>\n<p><em>I cannot seriously believe in it because the theory cannot be reconciled with the idea that physics should represent a reality in time and space, free from spooky actions at a distance. (Lettre \u00e0 Born du 3 Mars 1947)<\/em><\/p>\n<p>Je ne l\u2019ai pas mentionn\u00e9 dans la vid\u00e9o, notamment parce que cette citation n&rsquo;a pas de version populaire en fran\u00e7ais. J&rsquo;ai l&rsquo;impression que c&rsquo;est d\u00fb \u00e0 la difficult\u00e9 de traduire ici le sens de\u00a0<em>spooky. <\/em>C&rsquo;est un truc \u00e0 mi-chemin entre \u00ab\u00a0inqui\u00e9tant\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0fantomatique\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0qui fait peur\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0effrayant\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0qui donne la chair de poule\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p>Mais de fait, et dommage pour Einstein, les exp\u00e9riences d\u2019Alain Aspect montrent bien qu\u2019il existe une <em>\u00ab\u00a0spooky action at a distance\u00a0\u00bb<\/em>.<\/p>\n<h3>L\u2019argument EPR<\/h3>\n<p>Une des raisons qui font que l\u2019argument EPR d\u2019Einstein n\u2019a pas \u00e9t\u00e9 re\u00e7u \u00e0 l&rsquo;\u00e9poque avec la force qu\u2019il m\u00e9rite, c\u2019est peut-\u00eatre qu\u2019il n\u2019\u00e9tait pas si clairement expos\u00e9 que \u00e7a. La l\u00e9gende dit que le papier a \u00e9t\u00e9 \u00e9crit par Podolsky, et si vous essayez de le lire\u2026il n\u2019est pas si bien \u00e9crit que \u00e7a !<\/p>\n<p>Et surtout, il n\u2019est pas dans la forme \u00ab\u00a0moderne\u00a0\u00bb que je vous ai pr\u00e9sent\u00e9e. Il fait r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 l\u2019impulsion de particules qui ont \u00e9t\u00e9 en interaction, et il semble que l\u2019argument ait \u00e9t\u00e9 pris parfois comme une \u00ab\u00a0attaque\u00a0\u00bb contre le principe d\u2019incertitude d&rsquo;Heisenberg, plus qu\u2019une contestation de l\u2019interpr\u00e9tation de Copenhague.<\/p>\n<p>La forme \u00ab\u00a0moderne\u00a0\u00bb est due \u00e0 David Bohm, qui a reformul\u00e9 l&rsquo;argument EPR avec deux spins intriqu\u00e9s, et la version que je vous ai pr\u00e9sent\u00e9e est la m\u00eame, avec deux photons. Il existe une petite diff\u00e9rence entre les spins et les photons, c\u2019est que les photons intriqu\u00e9s en polarisation qui sont \u00e9mis par la source dont j\u2019ai parl\u00e9e (une source de photons uniques en polarisation circulaire) sont corr\u00e9l\u00e9s (\u00e9tat superpos\u00e9 ++ et &#8211; -), alors que dans l\u2019exemple classique de Bohm, les spins sont anticorr\u00e9l\u00e9s. \u00a0L&rsquo;\u00e9tat typique est une superposition de +- et -+. Ca ne change bien sur rien \u00e0 l\u2019argument, c&rsquo;est juste un chouilla moins clair car il y a une gymnastique \u00e0 faire en plus.<\/p>\n<h3>Qu\u2019est-ce qu\u2019un \u00e9tat intriqu\u00e9 ?<\/h3>\n<p>Un mot sur le concept m\u00eame d\u2019\u00e9tat intriqu\u00e9. <strong>Tous les \u00e9tats qui par exemple superposent les 4 possibilit\u00e9s ne sont pas n\u00e9cessairement intriqu\u00e9s !<\/strong> Ce qui d\u00e9finit l\u2019intrication, c\u2019est la \u00ab\u00a0non-factorisabilit\u00e9\u00a0\u00bb (je ne sais pas si le terme existe). Imaginez deux photons chacun dans un \u00e9tat superpos\u00e9, et ind\u00e9pendants.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\u00a0\\Psi_1 = a\\Psi_+ + b\\Psi_-\u00a0\\\\ \\Psi_2 = c\\Psi_+ + d\\Psi_-\\)<\/p>\n<p>On peut fabriquer l\u2019\u00e9tat complet \u00ab\u00a0produit\u00a0\u00bb du syst\u00e8me :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\Psi_1\\otimes\\Psi_2 = ac(\\Psi_+\\otimes\\Psi_+) + ad(\\Psi_+\\otimes\\Psi_-) + bc(\\Psi_-\\otimes\\Psi_+) + bd(\\Psi_-\\otimes\\Psi_-)\\)<\/p>\n<p>Ca a l&rsquo;air d&rsquo;\u00eatre un \u00e9tat intriqu\u00e9, qui superpose les 4 possibilit\u00e9s, mais le fait que cet \u00e9tat se \u00ab\u00a0factorise\u00a0\u00bb fait qu\u2019il n\u2019est justement pas intriqu\u00e9. Les deux particules se comportent de fa\u00e7on ind\u00e9pendante.<\/p>\n<p>Alors qu&rsquo;un \u00e9tat comme celui dont on a parl\u00e9 dans la vid\u00e9o est justement un \u00e9tat non-factorisable en un produit de deux \u00e9tats, un pour chaque photon.<\/p>\n<h3>Polariseurs et pr\u00e9dictions de la m\u00e9canique quantique<\/h3>\n<p>Quand dans l&rsquo;exp\u00e9rience EPR, on a deux polariseurs s\u00e9par\u00e9s d\u2019un angle \\(\\theta\\), la m\u00e9canique quantique nous dit que les probabilit\u00e9s de r\u00e9sultats identiques (++ et &#8211; -) sont de \\(0.5\\cos^2 \\theta\\) et pour les r\u00e9sultats diff\u00e9rents (+- et -+) c\u2019est \\(0.5\\sin^2 \\theta\\). La somme des 4 possibilit\u00e9s fait bien s\u00fbr 1. Voil\u00e0 comment remplir le tableau pour n&rsquo;importe quel r\u00e9glage.<\/p>\n<p>Un point int\u00e9ressant avec cette pr\u00e9diction, c\u2019est que les valeurs num\u00e9riques sont exactement celles qu\u2019on obtient en superposant deux filtres polariseurs avec un angle \\(\\theta\\) entre eux. Et \u00e7a n\u2019a rien d\u2019\u00e9vident a priori, puisque les deux situations sont diff\u00e9rentes ! Dans un cas, un m\u00eame photon traverse deux filtres (et on sait qu&rsquo;il est affect\u00e9 par le passage du premier), et dans l&rsquo;autre deux photons jumeaux traversent chacun un filtre.<\/p>\n<p>J\u2019ai h\u00e9sit\u00e9 \u00e0 le mentionner, c&rsquo;est parfois pr\u00e9sent\u00e9 comme une illustration des in\u00e9galit\u00e9s de Bell, mais c&rsquo;est un abus de langage. Il se trouve que oui, les valeurs num\u00e9riques sont les m\u00eames, mais \u00e7a reste deux exp\u00e9riences diff\u00e9rentes. Alors finalement je n&rsquo;ai pas insist\u00e9, je me suis dit que \u00e7a cr\u00e9erait plus de confusion qu\u2019autre chose.<\/p>\n<h3>Une th\u00e9orie \u00ab\u00a0na\u00efve\u00a0\u00bb \u00e0 variables cach\u00e9es<\/h3>\n<p>Un exercice amusant que l\u2019on peut faire, c\u2019est d\u2019essayer quand m\u00eame de trouver une th\u00e9orie \u00e0 variables cach\u00e9es. Une tentative naturelle, c\u2019est d\u2019imaginer que chaque photon est dans un \u00e9tat bien d\u00e9fini caract\u00e9ris\u00e9 par un certain angle \\(\\lambda\\), qui est la \u00ab\u00a0variable cach\u00e9e\u00a0\u00bb, et que le photon traversera tout filtre dont l\u2019angle est suffisamment proche de l&rsquo;angle \\(\\lambda\\), par exemple dans l\u2019intervalle \\(\\lambda-45\u00b0, \\lambda+45\u00b0\\), et tandis qu&rsquo;il sera absorb\u00e9 par tout filtre dont l\u2019angle est dans l\u2019autre intervalle.<\/p>\n<p>Ce qui est int\u00e9ressant de constater, c\u2019est qu\u2019un tel mod\u00e8le \u00e0 variable cach\u00e9e respecte bien \u00e9videmment l\u2019in\u00e9galit\u00e9 de Bell. Mais dans le tableau, il pr\u00e9dit 12.5% l\u00e0 o\u00f9 il y avait 7% dans la vid\u00e9o, et donc il satisfait \u00ab pile-poil\u00a0\u00bb l\u2019in\u00e9galit\u00e9. (Il la sature).<\/p>\n<p>On voit ci-dessous le trac\u00e9 des corr\u00e9lations pr\u00e9dites par la m\u00e9canique quantique (en bleu), et celles pr\u00e9dites par la th\u00e9orie na\u00efve. On voit que \u00e7a ne colle pas, et l&rsquo;\u00e9cart est maximum pour les angles 22.5, qui sont les angles o\u00f9 chercher la violation maximale des in\u00e9galit\u00e9s de Bell.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-9060 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Bell-QM-vs-linear.png\" alt=\"\" width=\"459\" height=\"324\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Bell-QM-vs-linear.png 459w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Bell-QM-vs-linear-300x212.png 300w\" data-sizes=\"(max-width: 459px) 100vw, 459px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 459px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 459\/324;\" \/><\/p>\n<h3>Les sources de photons<\/h3>\n<p>Parlons un peu des sources de photons. Tout d\u2019abord au tout d\u00e9but, dans mon exemple \u00e0 \u00ab\u00a01 photon\u00a0\u00bb, je n\u2019ai pas vraiment d\u00e9crit ce qu\u2019\u00e9tait cette source myst\u00e8re. Pour avoir le bon \u00e9tat superpos\u00e9, il faut s\u2019imaginer que c\u2019est une source de photons uniques polaris\u00e9s circulairement.<\/p>\n<p>Quant \u00e0 la source \u00ab\u00a0r\u00e9elle\u00a0\u00bb utilis\u00e9e par Alain Aspect, c\u2019est \u00e0 la base la m\u00eame que Clauser, mais au lieu d\u2019exciter les atomes de fa\u00e7on un peu al\u00e9atoire (avec une lampe UV), ce qui cr\u00e9e beaucoup d\u2019\u00e9tats excit\u00e9s qui ne sont pas celui que l\u2019on veut, Alain Aspect a utilis\u00e9 une excitation laser qui permettait avec une absorption \u00e0 deux photons d\u2019arriver pile dans l\u2019\u00e9tat excit\u00e9, et donc d\u2019am\u00e9liorer beaucoup la puret\u00e9 du signal.<\/p>\n<p>On le voit ci-dessous, on am\u00e8ne l&rsquo;atome dans un \u00e9tat excit\u00e9 par l&rsquo;absorption successive de deux photons, qui doivent \u00eatre\u00e0 la bonne longueur d&rsquo;onde, d&rsquo;o\u00f9 l&rsquo;utilisation de lasers accord\u00e9s comme il faut.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-9061 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Radiative-cascade-in-40-Ca-calcium-atoms-used-to-produce-heralded-singlephoton-pulses.png\" alt=\"\" width=\"764\" height=\"491\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Radiative-cascade-in-40-Ca-calcium-atoms-used-to-produce-heralded-singlephoton-pulses.png 764w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Radiative-cascade-in-40-Ca-calcium-atoms-used-to-produce-heralded-singlephoton-pulses-300x193.png 300w\" data-sizes=\"(max-width: 764px) 100vw, 764px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 764px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 764\/491;\" \/><\/p>\n<h3>Statistiques<\/h3>\n<p>Je n\u2019ai pas forc\u00e9ment beaucoup insist\u00e9 l\u00e0-dessus, mais la violation des in\u00e9galit\u00e9s de Bell est une violation statistique. Ca se voit dans mon exemple o\u00f9 je dis que je prends 100 paires de photons. Quand je dis qu\u2019il ne peut pas y en avoir plus que 7 dans la case \u00ab\u00a0passe \u00e0 0 et est absorb\u00e9 \u00e0 22.5\u00a0\u00bb. C\u2019est \u00e9videmment 7 en moyenne. Si \u00e7a se produit avec 100 photons \u00e7a peut \u00eatre une anomalie statistique. Si \u00e7a se produit avec 100 000, \u00e7a devient d\u00e9j\u00e0 beaucoup plus significatif !<\/p>\n<p>Il existe un tr\u00e8s bel exemple d\u2019une violation des in\u00e9galit\u00e9s de Bell qui n\u2019a pas besoin de corr\u00e9lations statistiques. C\u2019est une id\u00e9e que l\u2019on doit aux physiciens Greenberger, Horne et Zeilinger, qui ont montr\u00e9 que si on intriquait 3 particules (un m\u00e9lange de +++ et &#8211; &#8211; -), on pouvait mesurer une certaine propri\u00e9t\u00e9 qui d\u2019apr\u00e8s la m\u00e9canique quantique donne toujours un r\u00e9sultat +1, mais d\u2019apr\u00e8s toute th\u00e9orie \u00e0 variable cach\u00e9e donne toujours un r\u00e9sultat -1. Donc il suffit (en th\u00e9orie) d\u2019une exp\u00e9rience sur un seul triplet de photons pour violer les in\u00e9galit\u00e9s de Bell !<\/p>\n<p>https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Greenberger\u2013Horne\u2013Zeilinger_state<\/p>\n<p>Pour un autre exemple d\u2019une violation tr\u00e8s \u00e9l\u00e9gante des in\u00e9galit\u00e9s de Bell, il y a l\u2019\u00e9tat de Hardy dont j\u2019avais parl\u00e9 dans <a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/2020\/06\/05\/lexperience-des-gateaux-quantiques\/\">ma vid\u00e9o sur les \u00ab\u00a0g\u00e2teaux quantiques\u00a0\u00bb<\/a>.<\/p>\n<h3>Echappatoires<\/h3>\n<p>Je n\u2019ai pas trop comment\u00e9 sur les autres \u00e9chappatoires qui ont subsist\u00e9 apr\u00e8s le travail d\u2019Alain Aspect. Il y en avait notamment une qui concernait l\u2019efficacit\u00e9 des d\u00e9tecteurs. Pour \u00eatre certain qu\u2019une conspiration n\u2019existait pas, il fallait des d\u00e9tecteurs de photons qui aient une efficacit\u00e9 sup\u00e9rieure \u00e0 70%. Ce qui a \u00e9t\u00e9 fait par la suite.<\/p>\n<p>En th\u00e9orie, il existe encore des \u00e9chappatoires ! Par exemple celle du superd\u00e9terminisme, qui dit que tout est absolument pr\u00e9vu d\u2019avance, et que l\u2019exp\u00e9rience que je vais faire, les choix des r\u00e9glages etc.<span class=\"Apple-converted-space\">\u00a0 <\/span>est absolument calcul\u00e9 d\u00e8s le d\u00e9part pour donner ces r\u00e9sultats l\u00e0, et donc sans avoir besoin d\u2019invoquer de l\u2019action instantan\u00e9e \u00e0 distance. Mais bon le probl\u00e8me avec cette id\u00e9e l\u00e0, c&rsquo;est qu&rsquo;elle remet m\u00eame en cause l\u2019id\u00e9e de faire de la physique pour essayer d\u2019y comprendre quelque chose ! <span class=\"Apple-converted-space\">\u00a0N&rsquo;importe quel r\u00e9sultat exp\u00e9rimental violant n&rsquo;importe quelle loi physique peut s&rsquo;expliquer en invoquant un\u00a0superd\u00e9terminisme.<\/span><\/p>\n<p>Autre \u00e9chappatoire aux in\u00e9galit\u00e9s de Bell : les mondes multiples. Il existe une hypoth\u00e8se implicite (qui semble naturelle) dans le travail de Bell : on suppose que chaque mesure ne donne qu&rsquo;un r\u00e9sultat \u00e0 la fois. Si on l\u00e8ve cette restriction, on tombe sur l&rsquo;interpr\u00e9tation des mondes multiples d&rsquo;Everett, qui permet \u00e0 la fois d&rsquo;expliquer les corr\u00e9lations observ\u00e9es en m\u00e9canique quantique, tout en pr\u00e9servant la localit\u00e9.<\/p>\n<h3>Et la relativit\u00e9 restreinte l\u00e0-dedans<\/h3>\n<p>Il y a une question que j\u2019ai un peu esquiv\u00e9e, c\u2019est celle de savoir comment ces r\u00e9sultats sur l\u2019intrication quantique affectent la th\u00e9orie de la relativit\u00e9.<\/p>\n<p>Il est bien s\u00fbr faux de dire que gr\u00e2ce \u00e0 l\u2019intrication quantique, on peut communiquer \u00e0 distance de fa\u00e7on instantan\u00e9e. L\u2019intrication ne peut pas \u00eatre utilis\u00e9e pour envoyer instantan\u00e9ment des messages et permettre des paradoxes temporels.<\/p>\n<p>N\u00e9anmoins, \u00e9vacuer le probl\u00e8me en disant \u00ab\u00a0pas de messages, pas de probl\u00e8mes\u00a0\u00bb me parait \u00e9galement un peu exag\u00e9r\u00e9. D\u2019apr\u00e8s la version la plus aboutie du th\u00e9or\u00e8me de Bell, l\u2019intrication quantique permet de violer la \u00ab\u00a0causalit\u00e9 locale\u00a0\u00bb, \u00e7a n\u2019est quand m\u00eame pas rien. Certes on ne peut pas d\u00e9tourner ce ph\u00e9nom\u00e8ne \u00e0 notre profit, mais \u00e7a reste une violation de la localit\u00e9 quand m\u00eame, donc on a une forme de contradiction avec la relativit\u00e9 restreinte (m\u00eame si encore une fois \u00e7a ne fout pas tout en l\u2019air).<\/p>\n<h3>Comment d\u00e9montrer les in\u00e9galit\u00e9s de Bell ?<\/h3>\n<p>Quand j\u2019ai entendu parler pour la premi\u00e8re fois des in\u00e9galit\u00e9s de Bell, \u00e7a m\u2019a fait le m\u00eame effet que quand j\u2019ai d\u00e9couvert le th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del. Comment est-il m\u00eame possible de d\u00e9montrer un truc pareil ? Comment un tel r\u00e9sultat peut-il \u00eatre accessible \u00e0 la d\u00e9monstration ?<span class=\"Apple-converted-space\">\u00a0<\/span><\/p>\n<p>Je ne vais pas d\u00e9tailler toutes les \u00e9tapes, mais je vais essayer de vous en donner une saveur. Pour d\u00e9montrer l&rsquo;in\u00e9galit\u00e9 de Bell, on a besoin de quelques d\u00e9finitions, de quelques lignes de calcul alg\u00e9brique sans grande subtilit\u00e9, et d&rsquo;<strong>UN argument qui contient toute la physique du truc<\/strong>. Je vais vous donner les d\u00e9finitions et l&rsquo;argument, je vais zapper quelques calculs.<\/p>\n<p>Prenons le dispositif g\u00e9n\u00e9rique dont on a parl\u00e9 : deux mesures en deux points distants A et B de l\u2019espace, avec deux r\u00e9glages possibles pour chaque : on va appeler \\(\\alpha\\) le r\u00e9glage en A, et dire qu&rsquo;il peut prendre deux valeurs (\\(\\alpha=0\\) ou \\(\\alpha=1\\) par exemple, mais \u00e7a n&rsquo;a aucune esp\u00e8ce d&rsquo;importance), et \\(\\beta\\) le r\u00e9glage en B. Chaque mesure peut donner soit le r\u00e9sultat +1, soit le r\u00e9sultat -1. On va appeler \\(a\\) le r\u00e9sultat d&rsquo;une mesure en A, et \\(b\\) le r\u00e9sultat d&rsquo;une mesure en B.<\/p>\n<p>Souvenez vous du tableau de la vid\u00e9o : il avait 16 cases car 4 r\u00e9glages possibles, et 4 r\u00e9sultats possibles :<\/p>\n<p>\\((a=+1,b=+1), (a=+1,b=-1), (a=-1,b=+1),(a=-1,b=-1)\\).<\/p>\n<p>On s&rsquo;int\u00e9resse de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale \u00e0 la probabilit\u00e9, quand on r\u00e9alise un run de l&rsquo;exp\u00e9rience, d&rsquo;obtenir le r\u00e9sultat \\((a,b)\\) sachant qu&rsquo;on a r\u00e9gl\u00e9 les appareils sur les r\u00e9glages \\((\\alpha,\\beta)\\). C&rsquo;est une probabilit\u00e9 conditionnelle, on va la noter :<\/p>\n<p>\\(p(a,b|\\alpha,\\beta)\\).<\/p>\n<p>Petite d\u00e9finition qui nous servira ensuite : on va s&rsquo;int\u00e9resser, pour un r\u00e9glage donn\u00e9 de l&rsquo;exp\u00e9rience, \u00e0 la corr\u00e9lation qu&rsquo;on obtient entre les mesures de chaque c\u00f4t\u00e9.\u00a0C&rsquo;est un truc assez simple que j&rsquo;ai \u00e9crit vite fait dans la vid\u00e9o : c&rsquo;est la somme des probabilit\u00e9s des cas identiques moins la somme des probabilit\u00e9s des cas diff\u00e9rents :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(C = p(+ +) + p(- -) &#8211; p(+ -) &#8211; p(- +)\\).<\/p>\n<p>Et je vous laisse vous convaincre que c&rsquo;est la m\u00eame chose que d&rsquo;\u00e9crire<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(C(\\alpha,\\beta) = \\sum_{a,b=\\pm1} ab p(a,b | \\alpha,\\beta)\\).<\/p>\n<p>Alors laissons la corr\u00e9lation de c\u00f4t\u00e9 5 minutes, et revenons \u00e0 la probabilit\u00e9 conditionnelle.\u00a0Imaginons qu&rsquo;il y ait effectivement des variables cach\u00e9es qui pour chaque run de l&rsquo;exp\u00e9rience pr\u00e9d\u00e9terminent le r\u00e9sultat. On va noter \\(\\lambda\\) ces variables cach\u00e9es : \u00e0 chaque run de l&rsquo;exp\u00e9rience, on va avoir un nouveau \\(\\lambda\\). Je ne dis pas exactement ce qu&rsquo;est \\(\\lambda\\), \u00e7a peut \u00eatre un truc tr\u00e8s compliqu\u00e9 dans un espace tr\u00e8s grand, mais la seule chose dont j&rsquo;ai besoin, c&rsquo;est que\u00a0c&rsquo;est une variable al\u00e9atoire sur un certain espace \\(\\lambda \\in \\Lambda\\), avec une distribution de probabilit\u00e9 \\(\\rho(\\lambda)\\).<\/p>\n<p>Je peux d\u00e9composer ma probabilit\u00e9 conditionnelle de d\u00e9part avec les valeurs des variables cach\u00e9es :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(p(a,b|\\alpha,\\beta) = \\int_{\\Lambda} d\\lambda\\ \\rho(\\lambda) p(a,b|\\alpha,\\beta, \\lambda)\\)<\/p>\n<p>Pour l&rsquo;instant je n&rsquo;ai rien \u00e9crit de r\u00e9volutionnaire : j&rsquo;ai juste appliqu\u00e9 les probabilit\u00e9s conditionnelles. <strong>Et maintenant, voici la cl\u00e9<\/strong> : si la causalit\u00e9 locale est respect\u00e9e, ce qu&rsquo;il se passe en A ne peut d\u00e9pendre que de \\(\\alpha\\) et de \\(\\lambda\\), et ce qu&rsquo;il se passe en B ne peut d\u00e9pendre que de \\(\\beta\\) et de \\(\\lambda\\).<\/p>\n<p>On peut alors factoriser les probabilit\u00e9s :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(p(a,b|\\alpha,\\beta, \\lambda) = p(a|\\alpha, \\lambda)\u00a0p(b|\\beta, \\lambda)\\)<\/p>\n<p>Voil\u00e0, c&rsquo;est \u00e7a la seule ligne du raisonnement o\u00f9 on \u00e9crit un truc non-trivial, et qui contient toute l&rsquo;essence de la d\u00e9monstration. Et une fois qu&rsquo;on est l\u00e0, c&rsquo;est seulement de la cuisine alg\u00e9brique. Tout l&rsquo;argument tient dans l&rsquo;affirmation pr\u00e9c\u00e9dente. Je vous fais quand m\u00eame un bout de la cuisine.<\/p>\n<p>Reprenons ma d\u00e9finition de la corr\u00e9lation, et injectons-y la d\u00e9composition que je viens de faire, on a alors<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(C(\\alpha,\\beta) = \\int_{\\Lambda} d\\lambda \\rho(\\lambda) \\sum_{a,b=\\pm1} ab p(a|\\alpha, \\lambda)\u00a0p(b|\\beta, \\lambda)\\)<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">que l&rsquo;on peut factoriser en<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(C(\\alpha,\\beta) = \\int_{\\Lambda} d\\lambda \\rho(\\lambda) \\left(\\sum_{a=\\pm1} a p(a|\\alpha, \\lambda)\\right)\\left(\\sum_{b=\\pm1}b p(b|\\beta, \\lambda)\\right)\\)<\/p>\n<p>que l&rsquo;on peut r\u00e9crire<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(C(\\alpha,\\beta) = \\int_{\\Lambda} d\\lambda \\rho(\\lambda) {\\cal A}(\\alpha,\\lambda) {\\cal B}(\\beta,\\lambda)\\)<\/p>\n<p>en d\u00e9finissant \\({\\cal A}\\) et \\({\\cal B}\\) comme il faut, c&rsquo;est \u00e0 dire la valeur moyenne obtenue pour un r\u00e9glage donn\u00e9 sachant que la variable cach\u00e9e vaut \\(\\lambda\\).<\/p>\n<p>Avec \u00e7a, on a plus qu&rsquo;\u00e0 construire la quantit\u00e9 :<\/p>\n<p>\\({\\cal I} = C(0,0) + C(1,0) + C(0,1) -C(1,1)\\),<\/p>\n<p>transformer chaque \\(C(,)\\) en son expression int\u00e9grale :<\/p>\n<p>\\({\\cal I} = \\int_{\\Lambda} d\\lambda \\rho(\\lambda) \\left[{\\cal A}(0,\\lambda) {\\cal B}(0,\\lambda) + {\\cal A}(1,\\lambda) {\\cal B}(0,\\lambda) + {\\cal A}(0,\\lambda) {\\cal B}(1,\\lambda) &#8211; {\\cal A}(1,\\lambda) {\\cal B}(1,\\lambda)\\right]\\)<\/p>\n<p>faire une ou deux manipulations sous l&rsquo;int\u00e9grale pour d\u00e9montrer la borne :<\/p>\n<p>\\(|{\\cal I}| \\leq 2\\).<\/p>\n<p>Un point assez subtil de l&rsquo;argument : ici, on n&rsquo;a PAS suppos\u00e9 le d\u00e9terminisme, juste la causalit\u00e9 locale. Ajouter l&rsquo;hypoth\u00e8se du d\u00e9terminisme, \u00e7a reviendrait \u00e0 dire que pour une valeur donn\u00e9e de la variable cach\u00e9e \\(\\lambda\\), et pour un r\u00e9glage donn\u00e9 \\(\\alpha\\), la probabilit\u00e9 \\(p(a | \\alpha, \\lambda)\\) vaut 1 pour une valeur de \\(a\\) et 0 pour l&rsquo;autre (et que par cons\u00e9quent \\({\\cal A}(\\alpha, \\lambda)\\) vaut +1 ou -1. Mais en fait, rien dans l&rsquo;argument n&rsquo;oblige \u00e0 \u00e7a ! On peut tenir ce raisonnement m\u00eame en l&rsquo;absence de d\u00e9terminisme.<\/p>\n<p>Autre point, il y a en fait 4 in\u00e9galit\u00e9s de Bell. J&rsquo;ai construit la quantit\u00e9 \\({\\cal I}\\) en mettant un signe n\u00e9gatif devant le terme 1,1, mais j&rsquo;aurai pu choisir n&rsquo;importe lequel des 3 autres termes, puisqu&rsquo;ils jouent un r\u00f4le sym\u00e9trique.<\/p>\n<p><span class=\"Apple-converted-space\">\u00a0<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Je pourrais probablement \u00e9crire une tonne de pr\u00e9cisions pleines d\u2019\u00e9quations pour cet \u00e9pisode, je vais essayer de me limiter. Et pour les curieux, une saveur de la d\u00e9monstration des in\u00e9galit\u00e9s de Bell se trouve \u00e0 la fin du billet ! Les citations d\u2019Einstein Tout le monde le sait, les citations d\u2019Einstein c\u2019est un truc tr\u00e8s<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":9048,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[42],"class_list":{"0":"post-9047","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-physique","8":"tag-mecanique-quantique"},"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/vignette.png","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9047","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=9047"}],"version-history":[{"count":23,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9047\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":9074,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9047\/revisions\/9074"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/9048"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=9047"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=9047"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=9047"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}