{"id":8694,"date":"2020-03-05T17:01:31","date_gmt":"2020-03-05T16:01:31","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=8694"},"modified":"2021-01-22T07:35:12","modified_gmt":"2021-01-22T06:35:12","slug":"le-paradoxe-des-jumeaux","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2020\/03\/05\/le-paradoxe-des-jumeaux\/","title":{"rendered":"Le paradoxe des jumeaux"},"content":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour parle d\u2019un sujet que j\u2019avais bri\u00e8vement \u00e9voqu\u00e9 dans mon \u00e9pisode sur la relativit\u00e9 restreinte, mais qui m\u00e9ritait bien un traitement sp\u00e9cifique : le paradoxe des jumeaux de Langevin.<\/p>\n<p><iframe title=\"Le paradoxe des jumeaux : rajeunir \u00e0 la vitesse de la lumi\u00e8re ?\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/T-z_zRcLGAk?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<h3>Et si les jumeaux communiquent ?<\/h3>\n<p><em>(Edit 08\/03\/20) Je n&rsquo;avais pas anticip\u00e9 que tant de gens poseraient la question de ce qu&rsquo;il se passe si les deux jumeaux communiquent \u00ab\u00a0par t\u00e9l\u00e9phone\u00a0\u00bb (ou autre) pour comparer leurs \u00e2ges en permanence.<\/em><\/p>\n<p>Eh bien \u00e7a ne marche pas de fa\u00e7on si simple, car la communication ne peut pas aller plus vite que la lumi\u00e8re ! Voici un sch\u00e9ma qui montre \u00e0 quoi pourrait ressembler la conversation. Au bout d&rsquo;un an dans son r\u00e9f\u00e9rentiel, le jumeau terrestre envoie un message pour donner son \u00e2ge (1 an donc). L&rsquo;autre le re\u00e7oit au bout de 2 ans et quelques (dans son r\u00e9f\u00e9rentiel), et d\u00e9cide de r\u00e9pondre. Le jumeau terrestre n&rsquo;aura la r\u00e9ponse qu&rsquo;\u00e0 5 ans (dans son r\u00e9f\u00e9rentiel).<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/14-diagramme-communication.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-8717 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/14-diagramme-communication.png?w=676\" alt=\"\" width=\"676\" height=\"380\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/14-diagramme-communication.png 1920w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/14-diagramme-communication-300x169.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/14-diagramme-communication-1024x576.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/14-diagramme-communication-768x432.png 768w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/14-diagramme-communication-1536x864.png 1536w\" data-sizes=\"(max-width: 676px) 100vw, 676px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 676px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 676\/380;\" \/><\/a><\/p>\n<h3>Temps propre et temps des coordonn\u00e9es<\/h3>\n<p>Il y a un point essentiel \u00e0 bien comprendre pour saisir toute la saveur du paradoxe des jumeaux, et j\u2019esp\u00e8re avoir r\u00e9ussi \u00e0 le faire passer dans la vid\u00e9o : <strong>la diff\u00e9rence entre la notion de temps propre, et celle de \u00ab\u00a0temps des coordonn\u00e9es\u00a0\u00bb<\/strong>.<!--more--><\/p>\n<p>Prenons deux \u00e9v\u00e9nements E1 et E2 de l\u2019espace-temps. On peut choisir un r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel, et exprimer les coordonn\u00e9es de ces deux \u00e9v\u00e8nements dans ce r\u00e9f\u00e9rentiel : \\((x_1,t_1)\\) et \\((x_2,t_2)\\). On peut alors calculer l\u2019\u00e9cart de temps<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\Delta t = t_2 &#8211; t_1\\),<\/p>\n<p>entre ces deux \u00e9v\u00e9nements, \u00e9cart mesur\u00e9 dans le r\u00e9f\u00e9rentiel qu&rsquo;on a choisit. Comme je l\u2019explique dans la vid\u00e9o, cet \u00e9cart d\u00e9pend du r\u00e9f\u00e9rentiel et dans un r\u00e9f\u00e9rentiel diff\u00e9rent, les \u00e9v\u00e8nements auront d&rsquo;autres coordonn\u00e9es et on obtiendra une autre valeur \\(\\Delta t^\\prime\\).<\/p>\n<p>Le temps propre (souvent not\u00e9 \\(\\tau\\)) est, lui, <strong>une grandeur associ\u00e9e \u00e0 une trajectoire<\/strong>, pas juste aux 2 \u00e9v\u00e9nements qui se trouvent aux extr\u00e9mit\u00e9s. En revanche, et c&rsquo;est important,\u00a0<strong>cette grandeur est absolue<\/strong>, ind\u00e9pendante du r\u00e9f\u00e9rentiel. Pour le voir, regardons dans le d\u00e9tail comment on calcule ce temps propre.<\/p>\n<p>Prenons deux \u00e9v\u00e9nements, et une trajectoire qui les relie. Pour commencer simple, imaginons une trajectoire rectiligne uniforme. Pla\u00e7ons nous dans le r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel qui co\u00efncide avec cette trajectoire. Dans ce cas, le temps propre est \u00e9gal \u00e0 l&rsquo;\u00e9cart de temps des coordonn\u00e9es \\(\\Delta t\\) mesur\u00e9 dans ce r\u00e9f\u00e9rentiel. Mais attention, \u00e7a n\u2019est pas comme \u00e7a qu\u2019il faut se le repr\u00e9senter ! Il faut plut\u00f4t le voir comme la distance d\u2019espace-temps \\(\\Delta s\\) qui s\u00e9pare ces deux \u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n<p>La distance d&rsquo;espace-temps entre deux \u00e9v\u00e8nements se d\u00e9finit comme<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\Delta s = \\sqrt{(c \\Delta t)^2 &#8211; (\\Delta x)^2}\\)<\/p>\n<p>Evidemment, dans le r\u00e9f\u00e9rentiel qu\u2019on vient de choisir, les deux \u00e9v\u00e8nements se produisent au m\u00eame endroit, donc \\(\\Delta x=0\\) et \\(\\Delta s = \\Delta t\\). Mais d\u00e9finir le temps propre comme \\(\\Delta s\\) est plus g\u00e9n\u00e9rique, puisque cette d\u00e9finition marche dans n\u2019importe quel r\u00e9f\u00e9rentiel et fourni une quantit\u00e9 absolue : je le rappelle, <strong>la distance d&rsquo;espace-temps est la m\u00eame dans tous les r\u00e9f\u00e9rentiels<\/strong>.<\/p>\n<p>L\u00e0 on l&rsquo;a fait pour une trajectoire rectiligne uniforme. Maintenant imaginez une trajectoire quelconque. Pour faire simple on va se la repr\u00e9senter comme une succession de petites trajectoire rectilignes uniformes. Dans ce cas l\u00e0 on peut calculer la distance d\u2019espace-temps \\(ds\\) sur chacun de ces petits bouts de trajectoire, et additionner le tout.<\/p>\n<p>Math\u00e9matiquement, on peut d\u00e9finir le temps propre entre deux \u00e9v\u00e9nements le long d\u2019une trajectoire T quelconque comme l&rsquo;int\u00e9grale de la distance d&rsquo;espace-temps<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\tau = \\int_T ds\\).<\/p>\n<p>Et l\u00e0 on a bien une grandeur invariante, absolue, qu\u2019on peut calculer dans n\u2019importe quel r\u00e9f\u00e9rentiel : <strong>le temps propre est la longueur d\u2019espace-temps de la trajectoire<\/strong>.<\/p>\n<p>Maintenant un point important \u00e0 pr\u00e9ciser : derri\u00e8re l\u2019id\u00e9e du paradoxe des jumeaux, il y a une hypoth\u00e8se sous-entendue, qui n\u2019est pas forc\u00e9ment apparente, qu\u2019on appelle <strong>l\u2019hypoth\u00e8se de l\u2019horloge<\/strong>. Cette hypoth\u00e8se dit que le temps mesur\u00e9 le long d\u2019une trajectoire par une horloge physique (quel que soit son m\u00e9canisme, suppos\u00e9 sans d\u00e9fauts) est justement le temps propre de cette trajectoire. <strong>Les horloges physiques mesurent le temps propre<\/strong>.<\/p>\n<p>On peut trouver cette hypoth\u00e8se \u00ab\u00a0\u00e9vidente\u00a0\u00bb \u2026 ou pas ! Mais elle fait partie des \u00ab\u00a0axiomes\u00a0\u00bb de la relativit\u00e9 restreinte. Et le test de Hafele et Keating (et les autres depuis) ont justement permis d&rsquo;aller dans le sens de cette hypoth\u00e8se.<\/p>\n<p>(Cette hypoth\u00e8se est tr\u00e8s bien mise en avant et discut\u00e9e dans l&rsquo;article de Pierre Spagnou dont je parle un peu plus bas.)<\/p>\n<h3>Distance d&rsquo;espace-temps et contraction des longueurs<\/h3>\n<p>Dans cet \u00e9pisode, je me suis concentr\u00e9 sur les effets temporels, et donc je n\u2019ai \u00e9voqu\u00e9 que la \u00ab\u00a0dilatation du temps\u00a0\u00bb, mais pas son ph\u00e9nom\u00e8ne sym\u00e9trique :<strong> la \u00ab\u00a0contraction des longueurs\u00a0\u00bb.<\/strong><\/p>\n<p>Et pour une interpr\u00e9tation compl\u00e8te, il faut y faire r\u00e9f\u00e9rence quand on regarde les d\u00e9tails. Prenons les muons cosmiques. Vus de la Terre, les muons \u00ab vivent \u00bb environ 20 microsecondes\u2026et comme on les voit se d\u00e9placer \u00e0 une vitesse proche de celle de la lumi\u00e8re, on les voit parcourir environ 6 kilom\u00e8tres.<\/p>\n<p>Mais le muon, lui, ne vit que 2 microsecondes dans son propre r\u00e9f\u00e9rentiel. Il verra donc la surface de la Terre se rapprocher de seulement 600 m\u00e8tres.<\/p>\n<p>6 kilom\u00e8tres vs 600 m\u00e8tres : la distance entre deux \u00e9v\u00e8nements est relative.<\/p>\n<p>Il se passe la m\u00eame chose avec nos jumeaux. Celui de la Terre voit l\u2019autre aller aux 2\/3 de la vitesse de la lumi\u00e8re, et consid\u00e8re que la distance Terre-Proxima est de 4 ann\u00e9es-lumi\u00e8re : il en d\u00e9duit donc que le temps de parcours de son frangin sera de 6 ans.<\/p>\n<p>Celui de la fus\u00e9e se consid\u00e8re immobile (dans son propre r\u00e9f\u00e9rentiel) et voit Proxima se rapprocher de lui aux 2\/3 de la vitesse de la lumi\u00e8re. Mais \u00e0 quelle distance voit-il Proxima au d\u00e9but ? Puisque le voyage ne va durer que 4 ans 1\/2, cela ne peut pas \u00eatre 4 ann\u00e9es-lumi\u00e8res. Cela sera seulement environ 3 ann\u00e9es-lumi\u00e8re.<\/p>\n<p>La distance Terre-Proxima n\u2019est pas la m\u00eame suivant le r\u00e9f\u00e9rentiel. Du fait de son mouvement, celui de la fus\u00e9e \u00ab\u00a0voit\u00a0\u00bb cette distance plus courte que son fr\u00e8re terrestre.<\/p>\n<p>Si tout cela vous semble confusant : une chouette r\u00e9f\u00e9rence c\u2019est <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LKjaBPVtvms\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">la s\u00e9rie de MinutePhysics<\/a> o\u00f9 il joue avec un objet qu\u2019il s\u2019appelle le \u00ab\u00a0globe d\u2019espace-temps\u00a0\u00bb, qui permet de visualiser les changements de r\u00e9f\u00e9rentiels. Une belle invention !<\/p>\n<h3>L\u2019acc\u00e9l\u00e9ration<\/h3>\n<p>Parlons un peu de l\u2019acc\u00e9l\u00e9ration. C\u2019est souvent source de confusion, car on lit parfois que la relativit\u00e9 restreinte ne traite pas des corps en acc\u00e9l\u00e9ration. C\u2019est \u00e9videmment faux ! On peut tr\u00e8s bien traiter l\u2019acc\u00e9l\u00e9ration, et il y a l\u2019\u00e9quivalent de la loi de Newton, mais qu\u2019on \u00e9crit avec des \u00ab\u00a0quadrivecteurs\u00a0\u00bb :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(F^{\\mu} = m A^{\\mu}\\)<\/p>\n<p>C\u2019est d\u2019ailleurs un exercice classique de relativit\u00e9 restreinte que de traiter le cas d\u2019un objet uniform\u00e9ment acc\u00e9l\u00e9r\u00e9.<\/p>\n<p>Comme je le disais plus haut, dans le cas g\u00e9n\u00e9rique d\u2019une trajectoire acc\u00e9l\u00e9r\u00e9e, on peut calculer le temps propre en faisant une int\u00e9grale qui consid\u00e8re en chaque point le r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel localement co\u00efncident.<\/p>\n<p>Je le discute dans la vid\u00e9o, on peut se demander si c\u2019est l\u2019acc\u00e9l\u00e9ration en elle-m\u00eame qui provoque la diff\u00e9rence entre les deux jumeaux ? Comme je l\u2019ai dit, stricto sensu c\u2019est plut\u00f4t le caract\u00e8re non-inertiel de la trajectoire qui induit la diff\u00e9rence. Mais \u00e9videmment <strong>le caract\u00e8re non-inertiel est ici une cons\u00e9quence directe de l\u2019existence d\u2019une acc\u00e9l\u00e9ration<\/strong>.<\/p>\n<p>Prenons une analogie : sur un terrain plat, la trajectoire en ligne droite est la plus courte. Une trajectoire qui ne va pas tout droit sera plus longue. Une telle trajectoire comprend n\u00e9cessairement \u00ab\u00a0des virages\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/11-carte-2.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-8706 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/11-carte-2.png?w=676\" alt=\"\" width=\"676\" height=\"380\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/11-carte-2.png 1920w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/11-carte-2-300x169.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/11-carte-2-1024x576.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/11-carte-2-768x432.png 768w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/11-carte-2-1536x864.png 1536w\" data-sizes=\"(max-width: 676px) 100vw, 676px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 676px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 676\/380;\" \/><\/a><\/p>\n<p>Est-ce qu\u2019on peut dire que ce sont \u00ab\u00a0les virages\u00a0\u00bb qui rallongent la trajectoire ? Pas vraiment, mais le caract\u00e8re \u00ab\u00a0non-direct\u00a0\u00bb de la trajectoire est concomitant avec l\u2019existence de virages.<\/p>\n<p>Bref, savoir si c\u2019est vraiment \u00ab\u00a0l\u2019acc\u00e9l\u00e9ration\u00a0\u00bb qui cr\u00e9e la diff\u00e9rence n\u2019a pas vraiment de sens. Surtout que comme je l\u2019ai dit, <strong>la diff\u00e9rence n\u2019existe de fa\u00e7on absolue qu\u2019une fois les jumeaux r\u00e9unis<\/strong>.<\/p>\n<p>Il existe une variante de l\u2019exp\u00e9rience qui pr\u00e9tend d\u00e9montrer que l\u2019acc\u00e9l\u00e9ration n\u2019a pas de r\u00f4le, et qui se fait avec 3 jumeaux portant des horloges (un qui reste sur Terre, un qui part, et un qui part de Proxima). Quand les deux jumeaux voyageurs se croise, celui parti de la Terre communique \u00e0 l&rsquo;autre la valeur de son horloge. Pas d&rsquo;acc\u00e9l\u00e9ration, mais je n\u2019aime pas trop cette fa\u00e7on de faire car dans cet exp\u00e9rience, on perd la notion d\u2019une m\u00eame horloge physique faisant toute la trajectoire.<\/p>\n<p>Une autre exp\u00e9rience amusante consiste \u00e0 prendre des univers ayant des topologies non-triviales (disons un tore) et donc le fait que le jumeau de la fus\u00e9e puisse revenir au point de d\u00e9part et retrouver son fr\u00e8re sans avoir jamais du faire demi-tour ! Dans ce cas, il faut r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 la notion de r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel dans un espace de ce genre.<\/p>\n<p>J\u2019en retoucherai un mot plus tard. Pour les curieux :<\/p>\n<p><em>Barrow, J. D., &amp; Levin, J. (2001). Twin paradox in compact spaces. Physical Review A, 63(4), 044104.<\/em><\/p>\n<p><em>Uzan, J. P., Luminet, J. P., Lehoucq, R., &amp; Peter, P. (2002). The twin paradox and space topology. European journal of physics, 23(3), 277.<\/em><\/p>\n<h3>L\u2019exp\u00e9rience de Hafele-Keating<\/h3>\n<p>Je dois vous avouer une chose : quand j\u2019ai appris la relativit\u00e9 restreinte (en master \u00e0 l&rsquo;\u00e9poque), je ne m\u2019\u00e9tais pas du tout int\u00e9ress\u00e9 \u00e0 l\u2019exp\u00e9rience de Hafele-Keating. Je ne suis m\u00eame pas s\u00fbr qu\u2019elle ait \u00e9t\u00e9 mentionn\u00e9e dans mon cours, ou peut-\u00eatre qu\u2019elle l\u2019a \u00e9t\u00e9 et que je n\u2019y ai pas pr\u00eat\u00e9 attention.<\/p>\n<p>Dans ma t\u00eate, on avait test\u00e9 le paradoxe avec des horloges atomiques, mais je n\u2019avais jamais retenu les d\u00e9tails.<\/p>\n<p>Or un article tr\u00e8s int\u00e9ressant sur le sujet est celui de Pierre Spagnou :<a href=\"http:\/\/www.bibnum.education.fr\/physique\/relativite\/l-experience-cruciale-de-hafele-et-keating\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> l&rsquo;exp\u00e9rience cruciale de Hafele et Keating<\/a>. Il m&rsquo;a appris plusieurs choses sur cette exp\u00e9rience.<\/p>\n<p>Cet article met tr\u00e8s bien en lumi\u00e8re l\u2019importance de l\u2019exp\u00e9rience. On y trouve l\u2019expression de la valeur du d\u00e9calage (relatif) d\u2019une horloge qui voyage :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\delta = \\frac{1}{c^2} \\left(gh &#8211; vR \\omega \\cos \\lambda &#8211; \\frac{1}{2} v^2 \\right)\\)<\/p>\n<p>o\u00f9 h d\u00e9signe l\u2019altitude, R le rayon de la Terre, \\(\\omega\\) la vitesse angulaire de rotation de la Terre, et v la vitesse de l\u2019avion : positive pour un voyage vers l\u2019est et n\u00e9gative pour un voyage vers l\u2019ouest. Intervient aussi la latitude \\(\\lambda\\).<\/p>\n<p>On retrouve bien ici l\u2019influence gravitationnelle (le premier terme) et les termes cin\u00e9matiques.<\/p>\n<p>Un autre article amusant cit\u00e9 par Pierre Spagnou est celui de JM L\u00e9vy-Leblond,<\/p>\n<p>L\u00e9vy-Leblond, J. M. (2015). Two new variations on the twins pseudoparadox. European Journal of Physics, 36(6), 065023.<\/p>\n<p>Dans cet article, l&rsquo;auteur imagine une exp\u00e9rience du \u00ab\u00a0Li\u00e8vre et de la Tortue\u00a0\u00bb relativiste, dans lequel le li\u00e8vre part apr\u00e8s la Tortue, arrive apr\u00e8s elle. Le temps entre son d\u00e9part et son arriv\u00e9e sera jug\u00e9 plus important par l&rsquo;arbitre (le renard), mais <strong>le temps propre associ\u00e9 \u00e0 la trajectoire du li\u00e8vre sera plus court que celui de la trajectoire de la tortue<\/strong> !<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/capture-de28099c3a9cran-2020-03-02-c3a0-21.35.39.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-8708 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/capture-de28099c3a9cran-2020-03-02-c3a0-21.35.39.png?w=676\" alt=\"\" width=\"676\" height=\"647\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/capture-de28099c3a9cran-2020-03-02-c3a0-21.35.39.png 2002w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/capture-de28099c3a9cran-2020-03-02-c3a0-21.35.39-300x287.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/capture-de28099c3a9cran-2020-03-02-c3a0-21.35.39-1024x980.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/capture-de28099c3a9cran-2020-03-02-c3a0-21.35.39-768x735.png 768w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/capture-de28099c3a9cran-2020-03-02-c3a0-21.35.39-1536x1470.png 1536w\" data-sizes=\"(max-width: 676px) 100vw, 676px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 676px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 676\/647;\" \/><\/a><\/p>\n<h3>Version gravitationnelle<\/h3>\n<p>Dans la vid\u00e9o, j\u2019ai bri\u00e8vement pr\u00e9sent\u00e9 la version\u00a0\u00ab\u00a0gravitationnelle\u00a0\u00bb du paradoxe des jumeaux, mais il s\u2019agit bien d\u2019un seul et m\u00eame ph\u00e9nom\u00e8ne ! On peut unifier tout \u00e7a en introduisant la notion de <strong>m\u00e9trique d\u2019espace-temps<\/strong> \\(g_{\\mu\\nu}\\) et en \u00e9crivant que le temps propre s\u2019obtient comme<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\tau = \\int \\sqrt{g_{\\mu\\nu} dx^{\\mu}dx^{\\nu}}\\)<\/p>\n<p>En relativit\u00e9 restreinte, on utilise simplement la m\u00e9trique \u00ab\u00a0plate\u00a0\u00bb de Minkowski \\(\\eta_{\\mu\\nu}\\).<\/p>\n<p>Dans le cas d\u2019une m\u00e9trique en faible champ gravitationnel (o\u00f9 l\u2019on retrouve la gravit\u00e9 de Newton), le seul coefficient de la m\u00e9trique qui se distingue de la m\u00e9trique plate est le coefficient \\(tt\\) qui au lieu de valoir -1 (comme dans la m\u00e9trique de Minkowski) vaut \\(&#8211; (1+2\\Phi)\\) o\u00f9 on a \\(\\Phi\\) le potentiel gravitationnel newtonien.<\/p>\n<p>C\u2019est ce terme \\(tt\\) qui provoque (en champ faible) la dilatation \u00ab\u00a0gravitationnelle\u00a0\u00bb du temps, mais \u00e9galement le fait de retrouver la loi de Newton. Et c\u2019est en ce sens que ces deux ph\u00e9nom\u00e8nes sont essentiellement dus \u00e0 la \u00ab\u00a0courbure du temps\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p>Dans le cas g\u00e9n\u00e9ral de la m\u00e9trique de Schwarzschild (qui d\u00e9crit notamment les trous noirs), on peut calculer le temps propre sur une trajectoire qui part de l\u2019horizon pour aller vers la singularit\u00e9.<\/p>\n<p>Pour un objet qui commence au repos sur l\u2019horizon des \u00e9v\u00e9nements, le temps propre de chute est proportionnel \u00e0 la masse du trou noir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\tau = \\frac{\\pi G M}{c^3}\\)<\/p>\n<p>Et c\u2019est le temps propre maximal que l\u2019on puisse esp\u00e9rer. Si au cours de la chute on essaye de freiner \u00ab\u00a0pour tomber moins vite\u00a0\u00bb, on va en fait diminuer le temps propre de la trajectoire jusqu\u2019\u00e0 la singularit\u00e9, \u00e9tonnant non ?<\/p>\n<p>Pour \u00eatre tout \u00e0 fait complet, notons que dans le cas g\u00e9n\u00e9ral, si on croise l\u2019horizon avec certaines trajectoires, alors la chute libre n\u2019est plus n\u00e9cessairement ce qui maximise le temps propre.<\/p>\n<p><em>Lewis, G. F., &amp; Kwan, J. (2007). <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/pdf\/0705.1029.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">No Way Back: Maximizing survival time below the Schwarzschild event horizon<\/a>. Publications of the Astronomical Society of Australia, 24(2), 46-52.<\/em><\/p>\n<p>https:\/\/arxiv.org\/pdf\/0705.1029.pdf<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Et si on enl\u00e8ve tout ? Le principe de Mach<\/h3>\n<p>Maintenant je voudrai m\u2019attaquer \u00e0 une question un peu plus difficile, et pourtant que certains se seront pos\u00e9s : quand je dis que la situation n\u2019est pas sym\u00e9trique entre les deux jumeaux, pourquoi et-ce que ce serait le jumeau terrestre qui serait inertiel ?<\/p>\n<p>La relativit\u00e9 restreinte (tout comme la relativit\u00e9 galil\u00e9enne) nous dit de fa\u00e7on un peu abstraite \u00ab\u00a0il existe des r\u00e9f\u00e9rentiels inertiels\u00a0\u00bb, mais ne nous dit pas a priori comment les trouver ! Comme on sait qu\u2019ils sont tous reli\u00e9s par des translations rectilignes uniforme (ou des translations ou rotations fixes) : il suffit d\u2019en trouver au moins un, et on les a tous. Ok, mais comment en trouve-t-on UN avec certitude ?<\/p>\n<p>On a une d\u00e9finition exp\u00e9rimentale du r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel : c\u2019est un r\u00e9f\u00e9rentiel dans lequel les corps ne subissant aucune force ont une trajectoire rectiligne uniforme. Donc on peut exp\u00e9rimentalement en chercher un.<\/p>\n<p>Le r\u00e9f\u00e9rentiel terrestre a l\u2019air d\u2019\u00eatre un bon r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel. Quand on fait des exp\u00e9riences, on remarque que c\u2019est le cas. Sauf que dans certaines situations, on touche les limite. La terre n\u2019est pas un pur r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel du fait de sa rotation. Et cette rotation provoque des ph\u00e9nom\u00e8nes mesurables : pensez au pendule de Foucault ou aux aliz\u00e9s, qui sont dus \u00e0 la force de Coriolis.<\/p>\n<p>Si on fait des exp\u00e9riences \u00e0 des \u00e9chelles de temps et d\u2019espace qui font que la Terre n\u2019est plus un bon r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel, on peut se placer dans le r\u00e9f\u00e9rentiel h\u00e9liocentrique, celui du Soleil. Mais lui non plus n\u2019est pas un r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel parfait, car le Soleil se situe sur le bord de notre galaxie, et effectue un mouvement de r\u00e9volution autour d\u2019elle en environ 250 millions d\u2019ann\u00e9es.<\/p>\n<p>On peut continuer comme \u00e7\u00e0, mais la question demeure : qu\u2019est-ce qui donne son caract\u00e8re inertiel \u00e0 un r\u00e9f\u00e9rentiel plut\u00f4t qu\u2019\u00e0 un autre ? En particulier, que se passe-t-il si on fait l\u2019exp\u00e9rience des jumeaux dans un univers qui ne contiendrait absolument rien d\u2019autre que nos deux jumeaux (pas de Terre, d\u2019\u00e9toiles, de galaxies\u2026) On aurait une situation en apparence parfaitement sym\u00e9trique : qu\u2019est-ce qui ferait que l\u2019un serait plus inertiel que l\u2019autre ?<\/p>\n<p>La r\u00e9ponse \u00e0 cette question se trouve \u00eatre la m\u00eame que celle d\u2019une autre fameuse exp\u00e9rience de pens\u00e9e : l\u2019exp\u00e9rience du seau, imagin\u00e9e par Newton et revisit\u00e9e par Mach.<\/p>\n<p>Prenez un seau rempli d\u2019eau, et faites le tourner autour de son axe vertical. La surface de l\u2019eau ne sera plus plate, et prendra une forme incurv\u00e9e. Maintenant refaites cette exp\u00e9rience dans le vide absolu, en imaginant qu\u2019il n\u2019y ait plus ni Terre, ni \u00e9toiles, ni galaxies, rien. (et que l\u2019eau reste gentiment liquide). Dans ces conditions, si on fait tourner le seau, il ne tourne plus par rapport \u00e0 rien. Donc pourquoi la surface devrait s\u2019incurver ?<\/p>\n<p>La r\u00e9solution de ce paradoxe, c\u2019est de dire qu\u2019en conditions normales, c\u2019est la distribution de toute la mati\u00e8re de l\u2019Univers qui fixe une notion absolue de \u00ab\u00a0pas de rotation\u00a0\u00bb. C\u2019est donc cette distribution qui d\u00e9termine ce qui est un r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel, de ce qui n\u2019en est pas un.<\/p>\n<p>Dans le paradoxe des jumeaux, c\u2019est pareil : le r\u00e9f\u00e9rentiel terrestre est (\u00e0 peu pr\u00e8s) inertiel du fait de sa vitesse relative par rapport au reste de la mati\u00e8re de l\u2019univers, contrairement \u00e0 la fus\u00e9e.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour parle d\u2019un sujet que j\u2019avais bri\u00e8vement \u00e9voqu\u00e9 dans mon \u00e9pisode sur la relativit\u00e9 restreinte, mais qui m\u00e9ritait bien un traitement sp\u00e9cifique : le paradoxe des jumeaux de Langevin. Et si les jumeaux communiquent ? 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