{"id":8543,"date":"2019-10-04T17:01:25","date_gmt":"2019-10-04T15:01:25","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=8543"},"modified":"2020-09-02T22:59:08","modified_gmt":"2020-09-02T20:59:08","slug":"lhypothese-de-riemann","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2019\/10\/04\/lhypothese-de-riemann\/","title":{"rendered":"L&rsquo;hypoth\u00e8se de Riemann"},"content":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour parle de l\u2019Hypoth\u00e8se de Riemann !<\/p>\n<p><iframe title=\"L&#039;Hypoth\u00e8se de Riemann \u2014 Science \u00e9tonnante #62\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KvculWl-jhE?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<p>J\u2019ai essay\u00e9 comme toujours de rendre \u00e7a accessible, mais je suis conscient que \u00e7a n\u2019est pas \u00e9vident car cela demande au minimum de conna\u00eetre les nombres complexes.<\/p>\n<p>J\u2019ai pris soin toutefois d\u2019\u00e9viter la notation \\(\\Sigma\\) pour d\u00e9signer les s\u00e9ries. Il me semble que sur un \u00e9pisode court \u00e7a n\u2019apporte pas grand chose \u00e0 part demander au lecteur un effort de d\u00e9cryptage suppl\u00e9mentaire.<!--more--><\/p>\n<h3>La transform\u00e9e de M\u00f6bius<\/h3>\n<p>Le seul endroit o\u00f9 je me suis permis de le glisser, c\u2019est dans la d\u00e9finition de la transform\u00e9e de M\u00f6bius que je n\u2019ai donn\u00e9 de toute fa\u00e7on qu\u2019en \u00ab\u00a0note de bas de page\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p>Une petite pr\u00e9cision concernant ladite transformation. A premi\u00e8re vue, on pourrait croire que la somme comporte une infinit\u00e9 de termes, ce qui rendrait non-triviales les questions de convergence. Mais il n\u2019en est rien ! Quand n augmente, \\(x^{1\/n}\\) diminue et tend vers 1. Or la fonction Li() est nulle en dessous de 2. Donc quelque soit \\(x\\), la transform\u00e9e ne comporte qu\u2019un nombre fini de termes.<\/p>\n<p>Je suis pass\u00e9 rapidement sur la formule d\u2019Euler, avec son produit infini. Euler en a fait une tr\u00e8s belle d\u00e9monstration (un peu \u00ab\u00a0\u00e0 la main\u00a0\u00bb), avec des op\u00e9rations de base : si vous ne l&rsquo;avez jamais vue,\u00a0<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Proof_of_the_Euler_product_formula_for_the_Riemann_zeta_function\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">je vous recommande de la lire<\/a>.<\/p>\n<h3>L&rsquo;impasse sur le prolongement analytique<\/h3>\n<p>Passons au gros morceau : le prolongement analytique, sur lequel j&rsquo;ai fait le service minimum. ElJJ et 3Blue1Brown font \u00e7a tr\u00e8s bien, donc je ne me suis pas risqu\u00e9 \u00e0 donner des d\u00e9tails. Ce qui d\u2019ailleurs aurait \u00e9t\u00e9 compliqu\u00e9 sans rentrer frontalement dans l\u2019analyse complexe.<\/p>\n<p>Toute la beaut\u00e9 de la chose r\u00e9side dans l\u2019unicit\u00e9 du prolongement : a priori on pourrait imaginer prolonger la fonction de n\u2019importe quelle fa\u00e7on ou presque, mais si on impose la contrainte suppl\u00e9mentaire que le prolongement soit \u00ab\u00a0analytique\u00a0\u00bb, alors il est unique.<\/p>\n<p>Ah oui, sinon je suis s\u00fbr que quelques matheux ont d\u00fb s\u2019\u00e9trangler en m\u2019entendant dire que l\u2019on prolongeait la fonction sur tous le plan complexe, en fait c\u2019est vrai sauf en z=1. Mais bon, c\u2019est vrai \u00ab\u00a0presque partout\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p>Et non, je ne couvrirai pas le d\u00e9bat sur -1\/12, j&rsquo;ai d\u00e9j\u00e0 donn\u00e9 !<\/p>\n<h3>O\u00f9 trouver des z\u00e9ros ?<\/h3>\n<p>Sur la r\u00e9partition des z\u00e9ros sur la droite critique, je dis que certains sont parfois tr\u00e8s proches les uns des autres mais sur les premiers que j&rsquo;ai trac\u00e9, rien de tr\u00e8s flagrant. Mais par exemple voici deux z\u00e9ros cons\u00e9cutifs (enfin leur parties imaginaires) :<\/p>\n<p>7005,0628&#8230;<\/p>\n<p>et<\/p>\n<p>7005,1005&#8230;<\/p>\n<p>De fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale, on peut \u00e9tudier plein de chose sur<a href=\"https:\/\/www.sciencedirect.com\/science\/article\/pii\/S0022314X13000577\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> l&rsquo;espacement des z\u00e9ros<\/a> : de l&rsquo;espacement moyen au fait que des espacements arbitrairement petits ou grands.<\/p>\n<p>J&rsquo;ai aussi gliss\u00e9 \u00e0 la fin de fa\u00e7on impr\u00e9cise le fait que \u00ab\u00a0l&rsquo;immense majorit\u00e9 des z\u00e9ros est tr\u00e8s proche de la droite critique\u00a0\u00bb, ce qui ne veut rien dire de pr\u00e9cis. Concr\u00e8tement, on sait qu&rsquo;au moins 40% des z\u00e9ros sont sur la droite, et que pour tout \\(\\epsilon\\), \u00ab\u00a0presque tous\u00a0\u00bb les \u00a0z\u00e9ros sont dans une bande de largeur \\(\\epsilon\\).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour parle de l\u2019Hypoth\u00e8se de Riemann ! J\u2019ai essay\u00e9 comme toujours de rendre \u00e7a accessible, mais je suis conscient que \u00e7a n\u2019est pas \u00e9vident car cela demande au minimum de conna\u00eetre les nombres complexes. J\u2019ai pris soin toutefois d\u2019\u00e9viter la notation \\(\\Sigma\\) pour d\u00e9signer les s\u00e9ries. 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