{"id":8523,"date":"2019-09-03T17:01:12","date_gmt":"2019-09-03T15:01:12","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=8523"},"modified":"2020-09-02T23:00:44","modified_gmt":"2020-09-02T21:00:44","slug":"comment-les-avions-volent-ils","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2019\/09\/03\/comment-les-avions-volent-ils\/","title":{"rendered":"Comment les avions volent-ils ?"},"content":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour parle d\u2019un sujet \u00e9tonnamment controvers\u00e9 : le vol des avions !<\/p>\n<p><iframe title=\"Comment les avions volent-ils ? \u2014 Science \u00e9tonnante #61\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/r-ESaj_4ujc?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<h3>Bernoulli et Newton sont dans un octogone<\/h3>\n<p>Peut-\u00eatre aurez vous \u00e9t\u00e9 surpris d\u2019apprendre qu\u2019il existait de f\u00e9roces d\u00e9bats sur les ph\u00e9nom\u00e8nes \u00e0 l\u2019origine de la portance. J\u2019avoue que moi-m\u00eame je l\u2019ai \u00e9t\u00e9 quand je me suis int\u00e9ress\u00e9 pour la premi\u00e8re fois \u00e0 ces questions, il y a quelques ann\u00e9es. En particulier la controverse Bernoulli vs Newton me paraissait pour le moins \u00e9tonnante, vu que les deux explications me semblaient parfaitement raisonnable.<!--more--><\/p>\n<p>Comme je l\u2019ai dit dans la vid\u00e9o, on peut d\u00e9montrer que <strong>la force de portance calcul\u00e9e par l\u2019application du principe de Bernoulli est strictement \u00e9gale \u00e0 celle que l\u2019on obtient en regardant l\u2019action\/r\u00e9action selon la troisi\u00e8me loi de Newton<\/strong>.<\/p>\n<p>En un sens, cette \u00e9galit\u00e9 est \u00ab\u00a0\u00e9vidente\u00a0\u00bb sur le plan physique, mais je n\u2019en avais jamais vu de d\u00e9monstration math\u00e9matique, c\u2019est pour cela que j\u2019avais \u00e9crit <a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2016\/09\/25\/comment-un-avion-vole-t-il\/\">ce billet<\/a> il y a 3 ans, o\u00f9 je montrais comment faire ce calcul.<\/p>\n<p>Bien entendu il s\u2019agit de deux facettes du m\u00eame ph\u00e9nom\u00e8ne, comme de regarder la chute acc\u00e9l\u00e9r\u00e9e d\u2019un objet en parlant de force de gravit\u00e9 ou de conservation de l\u2019\u00e9nergie m\u00e9canique. On ne peut pas dire que l\u2019un est plus vrai que l\u2019autre. Comme je le dis dans la vid\u00e9o, j\u2019ai une pr\u00e9f\u00e9rence p\u00e9dagogique pour l\u2019explication \u00e0 la Bernoulli, qui me semble donner une explication \u00ab\u00a0proximale\u00a0\u00bb plut\u00f4t qu\u2019une justification a posteriori.<\/p>\n<h3>Navier-Stokes (in)compressible<\/h3>\n<p>D\u2019un certain point de vue, on pourrait dire que la raison du vol des avions tient en une seule explication : les \u00e9quations de Navier-Stokes (qui peuvent d\u2019ailleurs servir \u00e0 d\u00e9montrer le principe de Bernoulli). Mais vous le savez peut-\u00eatre, ces \u00e9quations sont notoirement difficiles \u00e0 r\u00e9soudre, et il y a un point sur lequel je souhaiterai revenir en particulier concernant ces \u00e9quations : la notion d\u2019incompressibilit\u00e9.<\/p>\n<p>Il est tr\u00e8s fr\u00e9quent de consid\u00e9rer les \u00e9quations de Navier-Stokes dans le cas simplifi\u00e9 d\u2019un fluide incompressible, c\u2019est-\u00e0-dire dont la densit\u00e9 ne varie pas de fa\u00e7on significative ni dans le temps, ni dans l\u2019espace. C\u2019est une approximation tout-\u00e0-fait raisonnable quand on parle d\u2019eau, laquelle est effectivement tr\u00e8s peu compressible. Mais dans certains cas, on peut aussi faire cette approximation pour l\u2019air, ce que l\u2019on fait d\u2019ailleurs tr\u00e8s souvent quand on fait des simulations d\u2019\u00e9coulement autour d\u2019une aile.<\/p>\n<p>Mais si l\u2019air est consid\u00e9r\u00e9 comme incompressible, pourquoi ai-je parl\u00e9 de diff\u00e9rence de densit\u00e9 pour expliquer la portance ?\u00a0Pour comprendre cela, il faut bien comprendre ce que signifie cette approximation d\u2019incompressibilit\u00e9.<\/p>\n<p>Partons des \u00e9quations de Navier-Stokes g\u00e9n\u00e9riques, sans faire cette hypoth\u00e8se. Elles se composent de deux parties : la premi\u00e8re exprime que la variation de quantit\u00e9 de mouvement est due \u00e0 l\u2019action des forces : les forces de pression, les forces visqueuses, \u00e9ventuellement la gravit\u00e9, etc.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\rho\\left(\\frac{\\partial v}{\\partial t}+v\\cdot\\nabla v \\right) = -\\nabla P + \\rho g + \\mu\\nabla^2 v + f_{ext}\\)<\/p>\n<p>La seconde \u00e9quation exprime la conservation de la masse : si du fluide s\u2019accumule \u00e0 un endroit, alors la densit\u00e9 doit augmenter.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} + \\nabla(\\rho v) = 0\\)<\/p>\n<p>Si vous faites le compte, vous remarquerez il y a 4 \u00e9quations (la premi\u00e8re compte triple puisqu\u2019elle est vectorielle) et 5 inconnues : la vitesse, la densit\u00e9 et la pression. Il nous manque donc une \u00e9quation !<\/p>\n<p>Pour \u00ab\u00a0fermer\u00a0\u00bb le syst\u00e8me, il faut ajouter une \u00e9quation d\u2019\u00e9tat du fluide, qui relie la pression et la densit\u00e9. Il y a plusieurs choix : on peut prendre l\u2019\u00e9quation du gaz parfait pour l\u2019air, et consid\u00e9rer soit que le fluide est \u00e0 temp\u00e9rature constante et impos\u00e9e, auquel cas on a<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(P = \\rho R_S T_0\\)<\/p>\n<p>soit qu\u2019il subit des transformations adiabatiques, auquel cas on a<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(P^{\\gamma &#8211; 1} = C T^{\\gamma}\\)<\/p>\n<p>o\u00f9 gamma est le coefficient adiabatique.<\/p>\n<p>Dans tous les cas, une telle \u00e9quation qui relie la pression \u00e0 la densit\u00e9 permet de compl\u00e9ter les \u00e9quations de Navier-Stokes.<\/p>\n<p>Maintenant qu\u2019est-ce que \u00e7a signifie que faire une approximation d\u2019incompressibilit\u00e9 ? On pose que la densit\u00e9 ne varie pas de fa\u00e7on significative, et l\u2019\u00e9quation de conservation de la masse devient simplement<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\nabla v = 0\\)<\/p>\n<p>Dans ce cas, les 4 \u00e9quations d\u2019origine se suffisent \u00e0 elles-m\u00eames : la vitesse et la pression sont les 4 inconnues. Cette op\u00e9ration revient \u00e0 \u00ab\u00a0d\u00e9connecter\u00a0\u00bb le lien entre pression et densit\u00e9, \u00e0 oublier l\u2019\u00e9quation d\u2019\u00e9tat et \u00e0 consid\u00e9rer la pression comme une variable ind\u00e9pendante. Cela a un sens puisque pour un liquide tr\u00e8s peu compressible (pensez \u00e0 l\u2019eau), quand la pression varie, la densit\u00e9 change \u00e0 peine.<\/p>\n<p>Mais il y a dans cette op\u00e9ration un truc bizarre qui est qu<strong>\u2019on fait comme si la pression existait ind\u00e9pendamment des variations de densit\u00e9<\/strong>, alors qu\u2019au niveau microscopique, c\u2019est quand m\u00eame toujours les (infimes) variations de densit\u00e9 qui causent les variations de pression. C\u2019est \u00e9vident pour un gaz mais c\u2019est aussi le cas pour un fluide comme l\u2019eau : on peut d\u2019ailleurs \u00e9crire une \u00e9quation d\u2019\u00e9tat pour l\u2019eau qui montre explicitement ce lien.<\/p>\n<p><em>(Petite remarque au passage, cette version \u00ab\u00a0incompressible\u00a0\u00bb de l\u2019\u00e9quation de Navier Stokes est aussi un facteur de complexification sur le plan math\u00e9matique, puisqu\u2019on n\u2019a plus une bonne vieille \u00e9quation diff\u00e9rentielle ordinaire explicite, mais que la pression est seulement d\u00e9finie de fa\u00e7on implicite, du fait de la condition de divergence nulle de la vitesse : on parle d\u2019\u00e9quation diff\u00e9rentielle alg\u00e9brique&#8230;j\u2019y reviendrai un jour !)<\/em><\/p>\n<p>Bref, c\u2019est pour cela que m\u00eame si on fait souvent l\u2019approximation \u00ab\u00a0incompressible\u00a0\u00bb pour les simulations dont j\u2019ai parl\u00e9, il ne faut pas perdre de vue qu\u2019une variation de pression est associ\u00e9e malgr\u00e9 tout \u00e0 une variation de densit\u00e9 au niveau microscopique, et que c\u2019est cette variation de densit\u00e9 qui explique les variations de nombre de collisions et donc la portance.<\/p>\n<h3>Bernoulli, le retour<\/h3>\n<p>Dans la vid\u00e9o, j\u2019ai fait une petite allusion au fait que la traditionnelle exp\u00e9rience qui consiste \u00e0 souffler sur une feuille n\u2019est pas une bonne illustration du principe de Bernoulli. Je vais expliquer pourquoi, mais avant cela sachez que je consid\u00e8re cela comme une illustration tout de m\u00eame assez raisonnable et \u00e9clairante du ph\u00e9nom\u00e8ne de portance, donc j\u2019utilise cette petite exp\u00e9rience avec plaisir quand c\u2019est n\u00e9cessaire.<\/p>\n<p>Mais voyons o\u00f9 \u00e7a coince : il y a un risque avec le principe de Bernoulli, c\u2019est de n\u2019en retenir qu\u2019une version tronqu\u00e9e du genre \u00ab\u00a0la vitesse cr\u00e9e de la d\u00e9pression\u00a0\u00bb. Or c\u2019est faux, car le th\u00e9or\u00e8me de Bernoulli s\u2019applique le long d\u2019une ligne de flux uniquement. Il exprime le fait que le long de n\u2019importe quelle ligne, la quantit\u00e9<\/p>\n<p>\\(\\frac12 \\rho v^2 + P\\)<\/p>\n<p>est conserv\u00e9e.<\/p>\n<p>Stricto sensu, <strong>on n\u2019a donc le droit de ne comparer des choses que le long d\u2019une ligne<\/strong>. Quand on souffle sur la feuille, ce qu\u2019il se passe au-dessus et au-dessous rel\u00e8vent de deux lignes de flux diff\u00e9rente, donc on n\u2019a pas le droit de les comparer et d\u2019avancer un argument du genre \u00ab\u00a0le fluide va plus vite au-dessus donc la pression y est plus basse qu\u2019en dessous\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p>Et l\u00e0 vous allez me dire : mais c\u2019est exactement ce qu\u2019on fait avec l\u2019aile d\u2019avion ! Oui mais il y a une grosse diff\u00e9rence : le fait que loin de l\u2019aile (en amont), le fluide est partout \u00e0 la m\u00eame vitesse \\(v_0\\) et \u00e0 la m\u00eame pression \\(P_0\\). Donc pour la ligne de flux qui passe au dessus on peut \u00e9crire<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\frac12 \\rho v_1^2 + P_1 = \\frac12 \\rho v_0^2 + P_0\\)<\/p>\n<p>Et pour celle qui passe en dessous on peut \u00e9crire<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\frac12 \\rho v_2^2 + P_2= \\frac12 \\rho v_0^2 + P_0\\)<\/p>\n<p>Et \u00e9videmment en reliant les deux, on montre que la vitesse sup\u00e9rieure au-dessus provoque effectivement une d\u00e9pression par rapport \u00e0 en-dessous.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\frac12 \\rho v_2^2 + P_2= \\frac12 \\rho v_1^2 + P_1\\)<\/p>\n<p>Maintenant voyons ce qu\u2019il se passe dans mon exp\u00e9rience de la feuille. Les deux lignes de flux (au-dessus et en dessous) ne sont pas identiques en amont. Celle qui passe au-dessus a pour origine ma bouche, o\u00f9 r\u00e8gne une vitesse \\(v_0\\) et une pression \\(P_0\\), et celle qui passe en dessous a pour origine la m\u00eame pression $P_0$ et une vitesse nulle. On ne peut donc pas les comparer !<\/p>\n<p>Et comme vous \u00eates attentifs, vous allez me dire : et pourtant la feuille se soul\u00e8ve quand m\u00eame ! Eh bien oui mais c\u2019est la courbure initiale qui permet cela, si la feuille est initialement plate, \u00e7a ne marche pas. J\u2019en veux pour preuve que si vous posez une feuille \u00e0 plat sur une table et que vous soufflez dessus, elle ne se met pas \u00e0 d\u00e9coller.<\/p>\n<p>Alors je vous l\u2019accorde, tout cela est un peu du pinaillage, mais si vous utilisez cette exp\u00e9rience de la feuille pour illustrer le principe de Bernoulli, sachez que \u00e7a n\u2019est pas une bonne illustration, et faites le en connaissance de cause \ud83d\ude42<\/p>\n<h3>Kutta-Jukowski<\/h3>\n<p>Je crois que je pourrais \u00e9crire des pages sur la th\u00e9orie de Kutta-Jukowski, et comme \u00e7a ferait fuir tout le monde et que \u00e7a m\u2019obligerait \u00e0 taper des tonnes d\u2019\u00e9quations, je vais m\u2019abstenir. Sachez juste que je trouve \u00e7a magnifique que des tr\u00e8s jolis r\u00e9sultats d\u2019analyse complexe puissent permettre de faire des calculs explicite sur tout un tas de formes d\u2019ailes, gr\u00e2ce au g\u00e9nie de ce qu\u2019on appelle la transformation de Joukowski, et qui permet de ramener la r\u00e9solution de l\u2019\u00e9quation pour une aile de forme sym\u00e9trique ou cambr\u00e9e \u00e0 la r\u00e9solution de l\u2019\u00e9quation pour un cercle.<\/p>\n<p>C\u2019est \u00e9videmment ces principes que j\u2019ai utilis\u00e9 pour mes illustrations et animations : pour les curieux,<a href=\"https:\/\/github.com\/scienceetonnante\/KuttaJoukowski\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> je mets mon code en partage<\/a>. A noter que je n\u2019ai trouv\u00e9 nulle part une documentation compl\u00e8te de comment proc\u00e9der et que j\u2019ai du retrouver certains trucs par moi-m\u00eame (notamment cette p**** d\u2019inversion de la transformation de Joukowski), c\u2019est pourquoi je devrais peut-\u00eatre \u00e9crire un truc plus propre un jour.<\/p>\n<h3>Simuler vraiment Navier-Stokes ?<\/h3>\n<p>Comme je l\u2019ai expliqu\u00e9 dans la vid\u00e9o, il est quasi-impossible de simuler vraiment Navier-Stokes dans des g\u00e9om\u00e9tries aussi complexes que celle d\u2019un v\u00e9ritable avion \u00ab\u00a0en 3 dimensions\u00a0\u00bb. Un des raisons tient dans les ph\u00e9nom\u00e8nes de turbulence qui se manifestent dans la couche limite au voisinage de l\u2019aile et dans le sillage. A ma connaissance on ne sait pas le faire dans des cas pratiques sans approximations du genre \u00ab\u00a0d\u00e9composition de Reynolds\u00a0\u00bb (ou \u00e9quation RANS : Reynolds-averaged Navier Stokes).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour parle d\u2019un sujet \u00e9tonnamment controvers\u00e9 : le vol des avions ! Bernoulli et Newton sont dans un octogone Peut-\u00eatre aurez vous \u00e9t\u00e9 surpris d\u2019apprendre qu\u2019il existait de f\u00e9roces d\u00e9bats sur les ph\u00e9nom\u00e8nes \u00e0 l\u2019origine de la portance. 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