Aujourd’hui, voici un gros morceau sur lequel je travaillais depuis longtemps : la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale !<\/p>\n
<\/iframe><\/p>\n<p>Comme toujours ci-dessous, petit floril\u00e8ge des choses que j’aurais aim\u00e9 dire ou pr\u00e9ciser, mais que j’ai d\u00fb couper par manque de place, ou d\u00e9sir de ne pas compliquer encore plus cette vid\u00e9o d\u00e9j\u00e0 bien lourde !<!--more--><\/p>\n<h3>Sur le principe d’\u00e9quivalence<\/h3>\n<p>L’id\u00e9e nouvelle et perturbante qu’Einstein d\u00e9duit du principe d’\u00e9quivalence, c’est que la trajectoire naturelle des corps est la chute libre. C’est la trajectoire \u00ab\u00a0de repos\u00a0\u00bb, celle quand aucune force ne s’applique (puisqu’on ne compte plus la gravit\u00e9 dans les forces).<\/p>\n<p>Une cons\u00e9quence amusante de \u00e7a, c’est que <strong>quand vous \u00eates affal\u00e9s dans votre canap\u00e9, vous n’\u00eates pas au repos<\/strong>. Dans la vision newtonienne classique, vous subissez deux forces qui se compensent : votre poids et la r\u00e9action du canap\u00e9. En relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, vous ne subissez que la r\u00e9action du canap\u00e9, dirig\u00e9e vers le haut. Et vous n’\u00eates plus au repos puisque la r\u00e9action vous emp\u00eache de suivre votre trajectoire naturelle qui serait de continuer \u00e0 tomber vers la Terre. <strong>Le canap\u00e9 vous d\u00e9vie de votre g\u00e9od\u00e9sique, et par rapport \u00e0 elle il vous fait acc\u00e9l\u00e9rer vers le haut<\/strong> ! Bizarre non ?<\/p>\n<h3>F = ma<\/h3>\n<p>Un point que j’ai cach\u00e9 sous le tapis pour ne pas m’en aller trop loin, c’est la forme exacte de la loi F=ma quand on passe en relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale. D\u00e9j\u00e0 en relativit\u00e9 restreinte elle ne s’\u00e9crit pas comme celle qu’on apprend en physique au lyc\u00e9e, et une bonne raison pour \u00e7a est qu’on est pass\u00e9s en 4 dimensions. Force et acc\u00e9l\u00e9ration ne sont donc plus des vecteurs mais des <strong>quadrivecteurs<\/strong>. On note souvent \u00e7a avec des indices grecs, et l’\u00e9quation correcte serait plut\u00f4t :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle{F^{\\mu}= m a^{\\mu}}\\)<\/p>\n<p>Pour aller vite, cette \u00e9quation est toujours valable en relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, mais elle s’applique localement.<\/p>\n<h3>Le r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en parfait ?<\/h3>\n<p>Parmi les motivations pour d\u00e9velopper la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, j’ai parl\u00e9 de la propagation instantan\u00e9e de l’information en gravit\u00e9 newtonienne, mais il en existe une autre qui est int\u00e9ressante, et qui porte sur les notions de r\u00e9f\u00e9rentiel.<\/p>\n<p>J’ai cit\u00e9 la Terre comme exemple de r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en, sauf que dans certaines circonstantes, elle n’est pas un bon r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en. En effet, elle est en rotation sur elle-m\u00eame, et autour du Soleil. Pour des exp\u00e9riences suffisamment courtes \u00e7a ne pose pas de probl\u00e8mes, mais \u00e0 plus grande \u00e9chelle, on peut se rendre compte qu’elle n’est pas un v\u00e9ritable r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en. En pratique, cela se traduit par des \u00ab\u00a0forces virtuelles\u00a0\u00bb comme la force de Coriolis, qui est celle qui explique que les aliz\u00e9s se dirigent vers l’ouest, ou encore que le pendule de Foucault tourne.<\/p>\n<p>Si la Terre n’est pas un bon r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en, on pourrait aller chercher la taille au-dessus : le Soleil. Sauf qu’\u00e0 une certaine \u00e9chelle, lui aussi est en mouvement dans la galaxie, galaxie qui elle-m\u00eame se d\u00e9place.<\/p>\n<p>Bref <strong>quand on cherche un r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en \u00ab\u00a0parfait\u00a0\u00bb, on en trouve pas<\/strong>. C’est un peu bizarre comme id\u00e9e de poser qu’il existe des r\u00e9f\u00e9rentiels galil\u00e9ens, mais de r\u00e9aliser qu’il n’en existe en fait aucun.<\/p>\n<p>La relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale permet de r\u00e9soudre ce probl\u00e8me, en supprimant le besoin d’un\u00a0 r\u00e9f\u00e9rentiel galil\u00e9en parfait, puisqu’une trajectoire en chute libre fait l’affaire d\u00e8s qu’aucune autre force ne s’applique.<\/p>\n<p>(Ces id\u00e9es sont aussi un peu reli\u00e9e au principe de Mach, qui dit que l’inertie d’un objet est d\u00e9pendante de toute la distribution de mati\u00e8re dans le reste de l’Univers…mais \u00e7a nous emm\u00e8nerait un peu loin !)<\/p>\n<h3>Les signes de la m\u00e9trique<\/h3>\n<p>Passons maintenant aux math\u00e9matiques de la courbure. Autant le dire tout de suite, les paragraphes qui vont suivre pourraient occuper 200 pages, puisque des livres entiers sont consacr\u00e9s \u00e0 la g\u00e9om\u00e9trie riemanienne.<\/p>\n<p><em>(J’en profite pour glisser un petit conseil lecture pour les plus furieux d’entre vous. Pour ma part, j’ai appris la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale dans le bouquin de Wald. C’est un livre qui conviendra bien aux esprits matheux : le chemin est court mais la pente est raide. En gros \u00e7a commence par 2 chapitres de g\u00e9om\u00e9trie riemanienne bien bourrin, et au chapitre suivant l’essentiel physique va hyper vite car on a les bases de maths.)<\/em><\/p>\n<p>Allons-y pour les pr\u00e9cisions. Tout d’abord comme je l’ai dit rapidement dans la vid\u00e9o, toute l’histoire se passe en 4 dimensions; mais il y a une subtilit\u00e9 suppl\u00e9mentaire : quand on applique le \u00ab\u00a0th\u00e9or\u00e8me de Pythagore\u00a0\u00bb, on calcule une <strong>distance d’espace-temps<\/strong>, qui a un sens particulier puisqu’on compte le temps et les distances avec un signe oppos\u00e9. En l’absence de courbure, la distance d’espace-temps s’\u00e9crit<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle{ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2}\\)<\/p>\n<p>Ce que vous avez l\u00e0 est la m\u00e9trique d’un espace-temps plat. Pour ceux que cette notion de distance d’espace-temps intrigue, je vous invite \u00e0 d’abord la regarder \u00e0 la relativit\u00e9 restreinte car elle y joue un r\u00f4le essentiel. Pour un espace temps-courbe, la m\u00e9trique a une forme plus g\u00e9n\u00e9rale qu’on peut repr\u00e9senter comme une matrice 4×4 sym\u00e9trique, et la condition se traduit par le fait qu’elle doit avoir une valeur propre n\u00e9gative et trois positives.<\/p>\n<h3>Vitesse et direction spatio-temporelle<\/h3>\n<p>Autre pr\u00e9cision li\u00e9e \u00e0 l’id\u00e9e d’espace-temps. Quand on fait de la g\u00e9om\u00e9trie courbe en 2D comme sur toutes les illustrations que j’ai faites, pour d\u00e9finir une g\u00e9od\u00e9sique il faut un point de d\u00e9part et une direction. On applique alors l’\u00e9quation des g\u00e9od\u00e9siques \u00e0 ces donn\u00e9es initiales, et on construit la g\u00e9od\u00e9sique. Mais c’est de la pure g\u00e9om\u00e9trie, il n’y a pas de notion de vitesse.<\/p>\n<p>En physique, la vitesse joue bien s\u00fbr un r\u00f4le sur la trajectoire. La g\u00e9od\u00e9sique que vous allez suivre au cours d’une chute libre va donc d\u00e9pendre de votre point de d\u00e9part, de votre direction mais aussi de votre vitesse. Cette d\u00e9pendance \u00e0 la vitesse apparait naturellement du fait qu’on travaille avec des espaces-temps.<\/p>\n<p>En effet je vous laisse vous convaincre que le vecteur vitesse (avec sa direction et son norme) est simplement une direction dans l’espace-temps. Si vous \u00eates au m\u00eame endroit, que vous allez dans la m\u00eame direction (de l’espace) mais pas \u00e0 la m\u00eame vitesse que moi, nous avons des directions (de l’espace-temps) diff\u00e9rentes.<\/p>\n<h3>Fibr\u00e9, connexion et transport parall\u00e8le<\/h3>\n<p>Pour rester accessible, j’ai du passer sur les tr\u00e8s jolies structures math\u00e9matiques qui se cachent derri\u00e8re la math\u00e9matisation de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale. Il y a notamment les notions de fibr\u00e9 et de connexion, qui sont \u00e9galement au coeur de la formulation des th\u00e9ories de jauge en th\u00e9orie quantique des champs !<\/p>\n<p><em>Pour ma part, j’ai \u00e9tudi\u00e9 ces notions dans <a href=\"http:\/\/www.cpt.univ-mrs.fr\/~coque\/EspacesFibresCoquereaux.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">le formidable polycopi\u00e9 de Robert Coquereaux<\/a>, que je recommande chaudement aux \u00e9tudiants en physique th\u00e9orique !<\/em><\/p>\n<p>Pour ceux qui veulent juste un aper\u00e7u : imaginez une surface courbe (oui, vous avez le droit de la visualiser comme \u00ab\u00a0tordue\u00a0\u00bb), prenez un point sur la surface et repr\u00e9sentez vous un vecteur vitesse en ce point. Ce vecteur ne vit pas \u00ab\u00a0dans la surface\u00a0\u00bb, mais dans un espace tangent \u00e0 celle-ci : imaginez un plan tangent \u00e0 la surface en ce point.<\/p>\n<p>Si vous voulez pouvoir consid\u00e9rer toutes les vitesses possibles en tous les points, vous voyez qu’il vous faut un plan tangent en chaque point de la surface. \u00ab\u00a0Au-dessus\u00a0\u00bb de chaque point de la surface existe un espace tangent, qui, lui, est un bon vieil espace plat. C’est cette combinaison d’une surface et des espaces tangents qui existent au-dessus de chacun de ses points qu’on appelle <strong>un fibr\u00e9<\/strong>.<\/p>\n<p>Le point cl\u00e9, c’est que pour une surface quelconque, <strong>il n’existe pas de fa\u00e7on naturelle de comparer un vecteur dans l’espace tangent au point M \u00e0 un vecteur dans l’espace tangent \u00e0 un autre point M’<\/strong> situ\u00e9 un peu plus loin. Quand la surface est plate, \u00e7a se fait naturellement; d\u00e8s qu’elle ne l’est plus, c’est fichu. En particulier, si vous prenez deux points voisins sur un espace-courbe et un vecteur tangent en chacun de ces deux points, on a pas de notion de \u00ab\u00a0c’est le m\u00eame vecteur aux deux points\u00a0\u00bb. Et sans cette notion, impossible de d\u00e9finir la notion de parall\u00e8le, ou encore de \u00ab\u00a0ligne droite\u00a0\u00bb (qui est une ligne qui avance toujours de fa\u00e7on parall\u00e8le \u00e0 elle-m\u00eame).<\/p>\n<p>Pour d\u00e9finir une mani\u00e8re de relier les espaces tangents de points voisins (et comparer les vecteurs qui y vivent), on peut d\u00e9finir une \u00ab\u00a0connexion\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire un objet math\u00e9matique qui va permettre de faire ce lien en transportant un vecteur d’un espace tangent \u00e0 un autre. La connexion est un objet \u00e0 3 indices \\(C^i_{jk}\\), qui dit que si on transporte le vecteur \\(x\\) dans la direction \\(y\\), il se transforme selon<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle x^i \\to x^i + C^i_{jk}x^jy^k\\).<\/p>\n<p>On appelle cette op\u00e9ration <strong>le transport parall\u00e8le<\/strong>. Un point important est qu’une fois qu’on a d\u00e9finit une notion de transport parall\u00e8le sur une surface, on peut avoir une notion de d\u00e9riv\u00e9e. En effet l’id\u00e9e de d\u00e9riv\u00e9e impose de pouvoir comparer des quantit\u00e9s (notamment des vecteurs) d’un point \u00e0 un autre de la surface. Par exemple, la d\u00e9riv\u00e9e d’un champ de vecteurs est nulle si le vecteur est \u00ab\u00a0le m\u00eame\u00a0\u00bb, et pour faire cette comparaison vous voyez que pour \u00e7a on a besoin d’une connexion.<\/p>\n<p>Chaque fois qu’on d\u00e9finit une connexion, celle-ci fixe une mani\u00e8re de calculer des d\u00e9riv\u00e9es, on appelle \u00e7a la \u00ab\u00a0<strong>d\u00e9riv\u00e9e covariante<\/strong>\u00a0\u00bb associ\u00e9e \u00e0 la connexion, et on la note g\u00e9n\u00e9ralement \\(\\nabla\\) pour faire la distinction avec la d\u00e9riv\u00e9e usuelle.<\/p>\n<h3>Les symboles de Christoffel<\/h3>\n<p>A part quelques petites conditions, si on se choisit un fibr\u00e9 \u00ab\u00a0nu\u00a0\u00bb, on a une grande libert\u00e9 sur le choix de la connexion et on peut prendre un peu ce qu’on veut. Sauf que si sur notre espace-courbe on a pr\u00e9alablement d\u00e9fini une m\u00e9trique, alors l\u00e0 on n’a plus le choix : <strong>il existe une unique connexion \u00ab\u00a0naturelle\u00a0\u00bb qui est d\u00e9coule de cette m\u00e9trique<\/strong>, on la note \\(\\Gamma\\) et on appelle \u00e7a <strong>les symboles de Christoffel<\/strong>.<\/p>\n<p>On peut alors d\u00e9finir le transport parall\u00e8le qui soit compatible avec la m\u00e9trique qu’on s’est choisie, et c’est cela qui permet de d\u00e9finir les g\u00e9od\u00e9siques associ\u00e9es \u00e0 une m\u00e9trique donn\u00e9e, selon l’\u00e9quation des g\u00e9od\u00e9siques qui utilise les symboles de Christoffel<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\frac {d^2x^a}{ds^2}+\\Gamma_{bc}^{a} \\frac {dx^b}{ds}\\frac {dx^c}{ds}=0\\)<\/p>\n<p>Petite pr\u00e9cision : par ce proc\u00e9d\u00e9 l\u00e0, on obtient des g\u00e9od\u00e9siques qui sont coh\u00e9rentes avec la notion de \u00ab\u00a0plus court chemin selon la m\u00e9trique\u00a0\u00bb, c’est \u00e0 dire que si on d\u00e9finit une g\u00e9od\u00e9sique comme la trajectoire qui extr\u00e9malise la distance entre deux points, calcul\u00e9e avec la m\u00e9trique<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\({\\displaystyle S=\\int {\\sqrt {-g_{\\mu \\nu }{\\frac {dx^{\\mu }}{d\\lambda }}{\\frac {dx^{\\nu }}{d\\lambda }}}}d\\lambda }\\)<\/p>\n<p>on retrouve l’\u00e9quation des g\u00e9od\u00e9siques.<\/p>\n<p>(Ah oui au fait, j’ai cach\u00e9 \u00e7a sous le tapis dans la vid\u00e9o, mais une g\u00e9od\u00e9sique ne minimise pas forc\u00e9ment le trajet entre deux points, mais elle l’extr\u00e9malise c’est-\u00e0-dire que c’est un minimum ou un maximum local.)<\/p>\n<p><strong>Morale de l’histoire : la m\u00e9trique permet de calculer les distances, la connexion permet de d\u00e9finir une notion de transport parall\u00e8le, et si on a le bon go\u00fbt de choisir la connexion compatible avec la m\u00e9trique, ces deux concepts permettent de d\u00e9finir de fa\u00e7on coh\u00e9rente et identique les g\u00e9od\u00e9siques de notre espace.<\/strong><\/p>\n<h3>Riemann, Ricci et Einstein<\/h3>\n<p>Maintenant qu’on a parl\u00e9 de m\u00e9trique et de Christoffel, on peut aborder les autres objets \u00e9tranges qui peuplent les cours de relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale : les tenseurs de Riemann, de Ricci et d’Einstein.<\/p>\n<p>Commen\u00e7ons par Riemann. Je vous ai dit que de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale, une connexion (et en particulier celle associ\u00e9e \u00e0 une m\u00e9trique) permet de d\u00e9finir une notion de transport parall\u00e8le, c’est-\u00e0-dire de prendre un vecteur (qui vit dans l’espace tangent \u00e0 un point M) et de le transporter dans l’espace tangent \u00e0 un point M’ voisin, pour voir ce qu’il vaut dans cet espace tangent. Un point essentiel et un peu contre-intuitif, c’est que <strong>le r\u00e9sultat va d\u00e9pendre du chemin suivi pendant le transport.<\/strong><\/p>\n<p>Prenons un cas concret, on va transporter un vecteur \\(X\\) en suivant deux chemins diff\u00e9rent : d’abord selon \\(dY\\) puis selon \\(dZ\\) pour le premier chemin, et selon \\(dZ\\) d’abord puis selon \\(dY\\) pour le second. Ces deux fa\u00e7on de transporter ne donneront pas le m\u00eame r\u00e9sultat, c’est-\u00e0-dire que le vecteur X transport\u00e9 par un chemin ne sera pas le m\u00eame que le vecteur X transport\u00e9 par l’autre. On peut calculer la diff\u00e9rence entre ces deux vecteurs X transport\u00e9, et elle s’exprime comme :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle \\delta x^{\\rho} = R^{\\rho}_{\\sigma\\mu\\nu}x^{\\sigma}y^{\\mu}z^{\\nu}\\)<\/p>\n<p>o\u00f9 le tenseur de Riemann se calcule \u00e0 partir des symboles de Christoffel en prenant en gros le commutateur des d\u00e9riv\u00e9es covariantes<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\({\\displaystyle R^{\\rho }{}_{\\sigma \\mu \\nu }=\\partial _{\\mu }\\Gamma ^{\\rho }{}_{\\nu \\sigma }-\\partial _{\\nu }\\Gamma ^{\\rho }{}_{\\mu \\sigma }+\\Gamma ^{\\rho }{}_{\\mu \\lambda }\\Gamma ^{\\lambda }{}_{\\nu \\sigma }-\\Gamma ^{\\rho }{}_{\\nu \\lambda }\\Gamma ^{\\lambda }{}_{\\mu \\sigma }}\\)<\/p>\n<p>Bien s\u00fbr le d\u00e9tail de la formule n’est pas important, mais il faut retenir l’id\u00e9e que <strong>ce tenseur exprime la \u00ab\u00a0non-commutativit\u00e9\u00a0\u00bb du transport parall\u00e8le associ\u00e9 \u00e0 une connexion.<\/strong><\/p>\n<p>On appelle ce tenseur \u00ab\u00a0le tenseur de courbure\u00a0\u00bb, car <strong>c’est le fait qu’il soit non-nul qui caract\u00e9rise v\u00e9ritablement l’existence d’une courbure<\/strong>. On peut avoir des m\u00e9triques avec des formes tordues, et des symboles de Christoffel qui ont l’air compliqu\u00e9s, mais que tout cela ne d\u00e9crive en r\u00e9alit\u00e9 qu’un espace plat param\u00e9tris\u00e9 de fa\u00e7on bizarre. Le crit\u00e8re pour savoir si un espace est \u00ab\u00a0vraiment courbe\u00a0\u00bb, c’est cette non-commutativit\u00e9 du transport parall\u00e8le, et donc le fait que le tenseur de Riemann ne soit pas nul.<\/p>\n<p>Le tenseur de Ricci quant \u00e0 lui est une \u00ab\u00a0contraction\u00a0\u00bb du tenseur de Riemann, c’est-\u00e0-dire qu’on somme sur 2 indices<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle R_{\\mu\\nu} = R^{\\sigma}_{\\mu\\sigma\\nu}\\)<\/p>\n<p>Il repr\u00e9sente lui-aussi une certaine id\u00e9e de la courbure, \u00e0 travers la notion de contraction et dilatation d’un volume.<\/p>\n<p>Prenons un exemple concret : imaginez un cube d’1 m\u00e8tre de c\u00f4t\u00e9 fait de petites billes, et que vous lachez \u00e0 une certaine altitude de la Terre, sans vitesse initiale. Le cube va tomber et va se d\u00e9former. Les billes du bas \u00e9tant acc\u00e9l\u00e9r\u00e9es plus fortement que celle du haut, le cube va s’\u00e9tirer dans la direction verticale (et mesurer plus d’un m\u00e8tre), en revanche les billes situ\u00e9es sur les c\u00f4t\u00e9s vont se rapprocher de celles du centre, pour la raison que j’illustre dans la vid\u00e9o : en tombant vers le centre de la Terre, les pommes se rapproche.<\/p>\n<p>Mon cube va donc se contracter dans la direction transverse. Au total le cube se d\u00e9forme et une question qu’on peut se poser, c’est si son volume global va changer. C’est en gros ce qu’exprime le tenseur de Ricci. Et comme l’\u00e9quation d’Einstein relie le tenseur de Ricci au tenseur \u00e9nergie-impulsion, dans le vide (c’est \u00e0 dire en un point de l’espace sans mati\u00e8re ou \u00e9nergie), le tenseur de Ricci est nul ce qui exprime que le volume du cube se conserve.<\/p>\n<p>Enfin dernier ingr\u00e9dient, donc, le tenseur d’Einstein, qui s’exprime simplement \u00e0 partir du tenseur de Ricci et du scalaire de Ricci \\(R\\) qui correspond simplement \u00e0 la contraction du tenseur de Ricci.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(G_{\\mu\\nu} = R_{\\mu\\nu} – \\frac12Rg_{\\mu\\nu}\\)<\/p>\n<p>Une question qu’on peut se poser, c’est pourquoi diable l’\u00e9quation qui lie courbure et mati\u00e8re est \\(G_{\\mu\\nu} = T_{\\mu\\nu}\\) plut\u00f4t que \\(R_{\\mu\\nu} = T_{\\mu\\nu}\\). Un \u00e9l\u00e9ment de r\u00e9ponse est donn\u00e9 par une propri\u00e9t\u00e9 du tenseur d’Einstein : <strong>sa divergence est nulle quand on utilise la d\u00e9riv\u00e9e covariante<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\nabla^{\\mu}G_{\\mu\\nu} = 0\\)<\/p>\n<p>ce qui est bien pratique, car c’est justement aussi ce qu’on attend du tenseur \u00e9nergie-impulsion, pour exprimer une forme de \u00ab\u00a0conservation de l’\u00e9nergie\u00a0\u00bb<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\nabla^{\\mu}T_{\\mu\\nu} = 0\\)<\/p>\n<p>J’en profite pour glisser qu’en Relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, <strong>l’\u00e9nergie n’est plus conserv\u00e9e au sens classique du terme<\/strong>, mais que c’est cette relation plus permissive qui la remplace. Et c’est cela qui permet des ph\u00e9nom\u00e8nes qui a priori violent la conservation de l’\u00e9nergie, comme la production d’\u00e9nergie du vide quand on a une constante cosmologique.<\/p>\n<h3>Comment r\u00e9soudre l’\u00e9quation d’Einstein ?<\/h3>\n<p>Je l’ai mentionn\u00e9 bri\u00e8vement, on ne peut explicitement r\u00e9soudre l’\u00e9quation d’Einstein que dans des cas tr\u00e8s simple. La m\u00e9thode de r\u00e9solution est en gros la suivante : on identifie les sym\u00e9tries du probl\u00e8me, et on en d\u00e9duit une forme r\u00e9duite de la m\u00e9trique, param\u00e9tris\u00e9e de fa\u00e7on simple. On injecte cette forme dans l’\u00e9quation qui donne les symboles de Christoffel, puis dans celle qui donne le tenseur de Riemann et enfin le tenseur de Ricci et d’Einstein. Et l\u00e0 on r\u00e9sout l’\u00e9quation.<\/p>\n<p>Comme vous le voyez, c’est un long chemin tr\u00e8s calculatoire, qui rend ces parties de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale un peu indigestes !<\/p>\n<h3>La courbure sans dimension suppl\u00e9mentaire<\/h3>\n<p>Une des id\u00e9es principales que j’ai essay\u00e9 de faire passer dans la vid\u00e9o, c’est le fait que math\u00e9matiquement, <strong>on n’a pas du tout besoin d’une dimension de plus pour parler de courbure<\/strong>. Et c’est m\u00eame encore pire que \u00e7a : les courbures repr\u00e9sentables avec une dimension suppl\u00e9mentaire (qu’on appelle extrins\u00e8ques) ne sont qu’une toute petite partie des courbures envisageables (intrins\u00e8ques). En particulier, une m\u00e9trique simple comme celle de Schwarzschild n’est pas repr\u00e9sentable de la sorte, ce qui est encore un d\u00e9faut de la repr\u00e9sentation \u00ab\u00a0classique\u00a0\u00bb du drap tordu, qui justement ne peut pas repr\u00e9senter correctement la courbure induite par une masse sph\u00e9rique.<\/p>\n<p>Voyons \u00e7a en d\u00e9tail sur le cas simple des surfaces 2D courbes. De fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale, une m\u00e9trique s’exprime sous la forme<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\n$latex \\left(\\begin{matrix}<br \/>\n\\alpha(x,y) & \\beta(x,y) \\\\<br \/>\n\\beta(x,y) & \\delta(x,y)<br \/>\n\\end{matrix}\\right)\n<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">o\u00f9 on a impos\u00e9 la condition de sym\u00e9trie de la m\u00e9trique. Il faut donc 3 fonctions ind\u00e9pendantes pour la sp\u00e9cifier compl\u00e8tement. On va essayer de r\u00e9soudre le \u00ab\u00a0probl\u00e8me inverse\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire essayer de trouver une \u00ab\u00a0surface 2D tordue\u00a0\u00bb dont la m\u00e9trique soit la m\u00eame.<\/p>\n<p>Imaginez donc une surface \u00ab\u00a0tordue\u00a0\u00bb en 3D, de la forme \\(z = f(x,y)\\), o\u00f9 f est une fonction. L’espace 3D \u00e9tant lui-m\u00eame plat, la m\u00e9trique est :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \\)<\/p>\n<p>Puisque sur la surface \\(z=f(x,y)\\) la m\u00e9trique induite s’obtient en exprimant<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle dz=\\frac{\\partial f}{\\partial x} dx + \\frac{\\partial f}{\\partial y}dy\\)<\/p>\n<p>et on a donc pour la m\u00e9trique<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">\\(\\displaystyle ds^2 = (1 + \\left(\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\right)^2 ) dx^2 + (1 + \\left(\\frac{\\partial f}{\\partial y}\\right)^2 ) dy^2 + 2\\frac{\\partial f}{\\partial x}\\frac{\\partial f}{\\partial y}dxdy\\)<\/p>\n<p>Vous pouvez maintenant essayer de vous amuser \u00e0 r\u00e9soudre le probl\u00e8me inverse, et vous convaincre que sauf condition tr\u00e8s particuli\u00e8re sur \\(\\alpha, \\beta, \\delta\\), \u00e7a ne marche pas !<br \/>\nUne mani\u00e8re encore plus simple de s’en rendre compte, c’est que 3 fonctions d\u00e9finissent en g\u00e9n\u00e9ral une m\u00e9trique (intrins\u00e8que) alors que sous la forme extrins\u00e8que, on en a qu’une \u00e0 choisir : \\(f\\).<\/p>\n<p>En particulier, si on prend la m\u00e9trique de Schwarzschild projet\u00e9e en 2D sur les coordonn\u00e9es r et t, il n’est pas possible de r\u00e9soudre le probl\u00e8me inverse. Donc il n’est pas possible de repr\u00e9senter la m\u00e9trique de Schwarzschild comme \u00ab\u00a0une surface tordue\u00a0\u00bb. (Pour \u00eatre pr\u00e9cis, c’est possible \u00e0 condition d’aller en 6 dimensions !)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Aujourd’hui, voici un gros morceau sur lequel je travaillais depuis longtemps : la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale ! Comme toujours ci-dessous, petit floril\u00e8ge des choses que j’aurais aim\u00e9 dire ou pr\u00e9ciser, mais que j’ai d\u00fb couper par manque de place, ou d\u00e9sir de ne pas compliquer encore plus cette vid\u00e9o d\u00e9j\u00e0 bien lourde !<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[132,31],"class_list":{"0":"post-8467","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-astrophysique","8":"tag-relativite"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8467","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8467"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8467\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":9280,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8467\/revisions\/9280"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8467"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8467"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8467"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}