{"id":8406,"date":"2018-02-16T17:01:06","date_gmt":"2018-02-16T16:01:06","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=8406"},"modified":"2018-02-16T17:01:06","modified_gmt":"2018-02-16T16:01:06","slug":"theorie-du-chaos-et-effet-papillon","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2018\/02\/16\/theorie-du-chaos-et-effet-papillon\/","title":{"rendered":"Th\u00e9orie du chaos et effet papillon"},"content":{"rendered":"<p>Le sujet du jour est un grand classique, l&rsquo;une des d\u00e9couvertes majeures du XXe si\u00e8cle : la th\u00e9orie du chaos.<\/p>\n<p><iframe title=\"Effet Papillon et Th\u00e9orie du Chaos \u2014 Science \u00e9tonnante #52\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/YrOyRCD7M14?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<p>On pourrait \u00e9crire tout un bouquin sur le sujet \u2014 et d&rsquo;ailleurs il y en a, cf J.Gleick ou I.Stewart \u2014 alors je ne vais pas chercher dans ce billet \u00e0 compl\u00e9ter tout ce que je n&rsquo;ai pas dit dans la vid\u00e9o, mais au moins \u00e0 pointer vers quelques pistes ou r\u00e9sultats int\u00e9ressants.<\/p>\n<p><em>Edit : tous les codes Python des simulations sont l\u00e0 :\u00a0<a href=\"https:\/\/github.com\/scienceetonnante\/Chaos\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/github.com\/scienceetonnante\/Chaos<\/a><\/em><!--more--><\/p>\n<h3>L&rsquo;\u00e9tude des syst\u00e8mes dynamiques<\/h3>\n<p>Commen\u00e7ons par un peu de formalisme pour bien poser le cadre math\u00e9matique dans lequel on \u00e9tudie les syst\u00e8mes dynamiques dont on a parl\u00e9. Nous en avons vu deux types dans la vid\u00e9o : les syst\u00e8mes en temps continu (pendule, plan\u00e8tes, \u00e9quations de Lorenz&#8230;) et les syst\u00e8mes en temps discret (transformation logistique, de H\u00e9non&#8230;).<\/p>\n<p>Pour les syst\u00e8mes en temps discret, le jeu est relativement simple. On a des variables qui d\u00e9crivent l&rsquo;\u00e9tat du syst\u00e8me. Et pour passer au pas de temps suivant, on applique une transformation qui agit sur ces variables.<\/p>\n<p>Pour les syst\u00e8mes en temps continu, c&rsquo;est plus subtil. Imaginons que l&rsquo;on ait un certain nombre N de variables num\u00e9riques d\u00e9crivant l&rsquo;\u00e9tat de notre syst\u00e8me \u00e0 un instant donn\u00e9 : \\(x_1, x_2, x_3&#8230;x_N\\). On peut regrouper toutes ces variables en un vecteur \\(\\vec{X}\\) de dimension N (dans la suite, je vais laisser tomber les fl\u00e8ches).<\/p>\n<p>L&rsquo;espace des \u00e9tats possible (l&rsquo;espace dans lequel X prend ses valeurs) est appel\u00e9 <strong>espace des phases.<\/strong> On reviendra sur ce terme. Pour sch\u00e9matiser on va dire que l&rsquo;espace des phases est \\(\\mathbb{R}^N\\), mais on peut tr\u00e8s bien avoir des variables qui varient sur un domaine plus restreint.<\/p>\n<p>On consid\u00e8re pour X une \u00e9quation d&rsquo;\u00e9volution de la forme<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\frac{dX}{dt} = F(X(t))\\)<\/p>\n<p>Ceci est une \u00e9quation diff\u00e9rentielle du 1er ordre, et dans cette expression F est une fonction de \\(\\mathbb{R}^N\\) vers \\(\\mathbb{R}^N\\).<\/p>\n<p>Toute l&rsquo;\u00e9volution du syst\u00e8me est contenue dans cette fonction F. Si on sait calculer F, on peut simuler num\u00e9riquement l&rsquo;\u00e9volution du syst\u00e8me en choisissant un intervalle de temps tr\u00e8s petit \\(\\Delta t\\), et en calculant l&rsquo;\u00e9volution \\(\\Delta X\\) des variables X par<\/p>\n<p>\\(\\Delta X = F(X) \\Delta t\\).<\/p>\n<p>C&rsquo;est comme \u00e7a que j&rsquo;ai fait toutes les simulations du syst\u00e8me de Lorenz (et que lui avait fait \u00e0 l&rsquo;\u00e9poque sur son LGP-30 !)<\/p>\n<p>Autre repr\u00e9sentation alternative de F, la voir comme un <strong>champ de vecteurs<\/strong>. F nous donne l&rsquo;\u00e9volution de X en renvoyant un vecteur en chaque point de l&rsquo;espace des phases. Et donc l&rsquo;int\u00e9gralit\u00e9 de l&rsquo;information contenue dans F peut se retrouver dans une repr\u00e9sentation graphique sous forme d&rsquo;un champ de vecteur sur l&rsquo;espace des phases, un truc du genre :<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/3d-vector-field-chart.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-8407 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/3d-vector-field-chart.png\" alt=\"\" width=\"460\" height=\"345\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/3d-vector-field-chart.png 460w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/3d-vector-field-chart-300x225.png 300w\" data-sizes=\"(max-width: 460px) 100vw, 460px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 460px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 460\/345;\" \/><\/a><\/p>\n<p>Pour calculer une trajectoire \u00e0 partir d&rsquo;un point de l&rsquo;espace des phases dans ce champ de vecteur, c&rsquo;est en principe tr\u00e8s simple : on suit les fl\u00e8ches ! \u00ab\u00a0Suivre les fl\u00e8ches\u00a0\u00bb est la version graphique de la m\u00e9thode de calcul que j&rsquo;ai pr\u00e9sent\u00e9e ci-dessus, o\u00f9 on fait une simulation par petits intervalles de temps discret. On dit dans les deux cas qu&rsquo;on int\u00e8gre la trajectoire.<\/p>\n<p>Une pr\u00e9cision importante : j&rsquo;ai parl\u00e9 dans ma vid\u00e9o de syst\u00e8mes qui ne sont pas <em>a priori<\/em> r\u00e9gis par une \u00e9quation d&rsquo;\u00e9volution du 1er ordre, mais du 2nd ordre. C&rsquo;est le cas des syst\u00e8mes m\u00e9caniques en g\u00e9n\u00e9ral, par exemple le pendule simple<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\frac{d^2\\theta}{dt^2}=-\\frac{g}{L}\\sin\\theta\\)<\/p>\n<p>Dans ce cas il y a une fa\u00e7on simple d&rsquo;en faire un syst\u00e8me du premier ordre : d\u00e9doubler les variables. Pour d\u00e9crire l&rsquo;\u00e9tat complet du pendule, et pr\u00e9dire son \u00e9volution, son angle\u00a0\\(\\theta\\) ne suffit pas, il nous faut aussi sa vitesse angulaire \\(\\omega\\), qui bien s\u00fbr est \u00e9gale \u00e0 la d\u00e9riv\u00e9e de l&rsquo;angle.<\/p>\n<p>On peut donc remplacer l&rsquo;\u00e9quation du second ordre par les deux \u00e9quations du premier ordre<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\frac{d\\omega}{dt}=-\\frac{g}{L}\\sin\\theta\\)<br \/>\n\\(\\frac{d\\theta}{dt}=\\omega\\)<\/p>\n<p>On regroupe donc les 2 variables dans un vecteur, et on est bons. Pour le pendule simple, l&rsquo;espace des phases est donc \u00e0 2 dimensions, et pour le pendule double, \u00e0 4 dimensions. On voit donc que l&rsquo;espace des phases du syst\u00e8me de Lorenz est d&rsquo;une dimension inf\u00e9rieure \u00e0 celui du double pendule. D&rsquo;un certain point de vue, on peut dire que le syst\u00e8me de Lorenz est un des plus \u00ab\u00a0petits\u00a0\u00bb syst\u00e8mes continus chaotiques possibles.<\/p>\n<p>D&rsquo;ailleurs c&rsquo;est l&rsquo;occasion de revenir sur une affirmation de la vid\u00e9o qui vous a peut-\u00eatre choqu\u00e9e : math\u00e9matiquement, <strong>deux orbites ne peuvent jamais se croiser<\/strong>. Ici, on parle bien d&rsquo;orbites <em>dans l&rsquo;espace des phases<\/em> ! Prenons le cas d&rsquo;une plan\u00e8te dans un champ gravitationnel : il faut 3 nombres pour d\u00e9crire sa position (x,y,z), mais comme l&rsquo;\u00e9quation du mouvement est du second ordre, il faut 6 nombres pour l&rsquo;espace des phases : aux 3 positions on doit ajouter les 3 vitesses (ou les 3 impulsions).<\/p>\n<p>Les orbites de deux plan\u00e8tes peuvent tr\u00e8s bien se croiser en un m\u00eame point de l&rsquo;espace, mais pas de l&rsquo;espace des phases ! Ce sont bien les orbites de l&rsquo;espace des phases qui ne peuvent pas se croiser.<\/p>\n<p>Une fa\u00e7on simple de le voir : vu que l&rsquo;\u00e9volution d&rsquo;un point est enti\u00e8rement d\u00e9termin\u00e9e par sa position dans l&rsquo;espace des phases (en suivant le champ de vecteur), si deux trajectoires se rencontrent, elles doivent forc\u00e9ment suivre la m\u00eame \u00e9volution par la suite (et c&rsquo;est cette observation qui a donn\u00e9 \u00e0 Lorenz l&rsquo;intuition que son attracteur ne pouvait pas avoir une structure simple).<\/p>\n<h3>Le mod\u00e8le de Lorenz<\/h3>\n<p>Tout d&rsquo;abord, laissez moi mentionner l&rsquo;article fondateur de Lorenz que je n&rsquo;ai pas cit\u00e9 explicitement. Je vous le recommande car il est d&rsquo;une rare profondeur. C&rsquo;est incroyable qu&rsquo;il soit pass\u00e9 inaper\u00e7u des math\u00e9maticiens pendant pr\u00e8s de 10 ans.<\/p>\n<p><em>Lorenz, E. N. (1963). <a href=\"https:\/\/journals.ametsoc.org\/doi\/pdf\/10.1175\/1520-0469(1963)020%3C0130:DNF%3E2.0.CO;2\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Deterministic nonperiodic flow<\/a>.\u00a0Journal of the atmospheric sciences,\u00a020(2), 130-141.<\/em><\/p>\n<p>(Au fait, je ne l&rsquo;ai pas pr\u00e9cis\u00e9, mais ce Lorenz est \u00e9videmment diff\u00e9rent du LorenTz de la relativit\u00e9 !) Pour les fans de m\u00e9canique des fluides, on peut dire un tout petit mot du syst\u00e8me de Lorenz, que j&rsquo;ai pr\u00e9sent\u00e9 dans une forme qui semble ne pas avoir grand chose \u00e0 voir avec l&rsquo;atmosph\u00e8re.<\/p>\n<p>Pour l&rsquo;origine de l&rsquo;\u00e9quation, on peut en gros s&rsquo;imaginer qu&rsquo;on part d&rsquo;un mod\u00e8le complet d&rsquo;une couche de fluide soumis \u00e0 la gravit\u00e9 et \u00e0 un gradient de temp\u00e9rature : chaud en bas, froid en haut. Le mouvement de convection correspond \u00e0 l&rsquo;\u00e9l\u00e9vation du fluide chaud, son refroidissement, puis sa redescente.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2000px-convection_cells-svg.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-8411 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2000px-convection_cells-svg.png?w=676\" alt=\"\" width=\"676\" height=\"355\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2000px-convection_cells-svg.png 2000w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2000px-convection_cells-svg-300x158.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2000px-convection_cells-svg-1024x538.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2000px-convection_cells-svg-768x404.png 768w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2000px-convection_cells-svg-1536x807.png 1536w\" data-sizes=\"(max-width: 676px) 100vw, 676px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 676px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 676\/355;\" \/><\/a><\/p>\n<p>Il s&rsquo;agit donc d&rsquo;un mod\u00e8le tr\u00e8s simplifi\u00e9 de convection sous l&rsquo;effet d&rsquo;un gradient de temp\u00e9rature, comme on en a \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur de la terre, dans l&rsquo;atmosph\u00e8re, dans une casserole ou dans ces lampes bizarres.<\/p>\n<p>Le mod\u00e8le de Lorenz s&rsquo;obtient grossi\u00e8rement \u00e0 partir d&rsquo;une \u00e9quation initiale, qu&rsquo;on va simplifier en ne gardant que les modes principaux. Et si on tronque \u00e0 l&rsquo;extr\u00eame, on se retrouve avec seulement 3 variables.<\/p>\n<p>Dans le syst\u00e8me d&rsquo;\u00e9quations, la variable x repr\u00e9sente en gros l&rsquo;intensit\u00e9 de la convection, la variable y le gradient de temp\u00e9rature, et la variable z la \u00ab\u00a0non-lin\u00e9arit\u00e9\u00a0\u00bb du gradient, c&rsquo;est-\u00e0-dire \u00e0 quel point le gradient dans l&rsquo;\u00e9paisseur s&rsquo;\u00e9loigne d&rsquo;un truc gentiment lin\u00e9aire.<\/p>\n<p>Le syst\u00e8me d&rsquo;\u00e9quation poss\u00e8de 3 param\u00e8tres, j&rsquo;ai repris les valeurs num\u00e9riques classiques qui figuraient dans l&rsquo;article de Lorenz. \\(\\rho\\) est en gros le nombre de Rayleigh, et on le prend suffisamment \u00e9lev\u00e9 pour que la convection se d\u00e9clenche. Le param\u00e8tre \\(\\sigma\\) est assimilable au nombre de Prandtl.<\/p>\n<h3>Quand peut-on dire d&rsquo;un syst\u00e8me qu&rsquo;il est chaotique ?<\/h3>\n<p>Il n&rsquo;y a pas de d\u00e9finition absolument unifi\u00e9e de ce qui d\u00e9finit un syst\u00e8me chaotique. Dans la vid\u00e9o, j&rsquo;ai essentiellement sugg\u00e9r\u00e9 qu&rsquo;il s&rsquo;agissait d&rsquo;un syst\u00e8me soumis \u00e0 l&rsquo;effet papillon&#8230;Dans la premi\u00e8re version de la vid\u00e9o, j&rsquo;ai aussi bri\u00e8vement mentionn\u00e9 l&rsquo;histoire du m\u00e9lange des trajectoires, mais je l&rsquo;ai finalement coup\u00e9e dans le montage final, alors on va pr\u00e9ciser.<\/p>\n<p>Pour qualifier et quantifier l&rsquo;effet papillon, on utilise une d\u00e9finition math\u00e9matiquement plus pr\u00e9cise : on a un syst\u00e8me chaotique si deux points tr\u00e8s proches initialement divergent dans le temps avec une trajectoire exponentielle. Prenons deux points \\(x_A\\) et \\(x_B\\) s\u00e9par\u00e9s initialement par une distance \\(\\Delta x(0)\\) faible. Si au bout d&rsquo;un temps t on a<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\Delta x(t) \\sim \\Delta x(0) exp(\\gamma t)\\)<\/p>\n<p>c&rsquo;est que les deux trajectoires divergent avec un \u00e9cart qui croit exponentiellement avec le temps (\u00e9videmment on regarde \u00e7a pour les temps pas trop long, puisque dans un syst\u00e8me de Lorenz les trajectoires sont born\u00e9es, donc \u00e7a ne diverge pas exponentiellement jusqu&rsquo;\u00e0 la St-Glinglin&#8230;)<\/p>\n<p>Le coefficient \\(\\gamma\\) d\u00e9crit l&rsquo;intensit\u00e9 de la divergence, et on l&rsquo;appelle <strong>l&rsquo;exposant de Lyapunov<\/strong>. Physiquement, il est homog\u00e8ne \u00e0 l&rsquo;inverse d&rsquo;un temps, donc on peut le mettre sous une autre forme en \u00e9crivant \\(\\gamma = 1\/\\tau\\) et avoir une divergence en \\(e^{t\/\\tau}\\). Dans ce cas on appelle \\(\\tau\\) <strong>le temps de Lyapunov<\/strong>, et il correspond en gros au temps au bout duquel deux trajectoires initialement proches auront bien diverg\u00e9. Pour faire simple, cela est li\u00e9 au temps au bout duquel on a du mal \u00e0 pr\u00e9dire l&rsquo;\u00e9volution du syst\u00e8me (par exemple quand on dit 2-3 semaines pour la m\u00e9t\u00e9o).<\/p>\n<p>Mais pour bien qualifier un syst\u00e8me chaotique, cette divergence exponentielle ne suffit pas. Pour preuve, consid\u00e9rez le syst\u00e8me suivant<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\frac{dx}{dt} = x(t)\\)<\/p>\n<p>dont on connait \u00e9videmment la solution explicite :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(x(t) = e^t\\)<\/p>\n<p>Vous pouvez vous convaincre que par construction, <strong>deux points initialement tr\u00e8s proches vont diverger de fa\u00e7on exponentielle&#8230;et pourtant on peut difficilement le qualifier de syst\u00e8me chaotique !<\/strong> Pour faire la discrimination avec les \u00ab\u00a0vrais\u00a0\u00bb syst\u00e8mes chaotiques, on peut ajouter une condition suppl\u00e9mentaire : celle du m\u00e9lange des trajectoires. Clairement un syst\u00e8me comme celui-l\u00e0 ne m\u00e9lange pas les trajectoires.<\/p>\n<p>Dans la version initiale de la vid\u00e9o j&rsquo;avais pr\u00e9sent\u00e9 la petite simulation suivante : on prend plein de points dans l&rsquo;intervalle \\(0.37 \\pm 10^{-9}\\) (courbe en noir), et plein de points dans l&rsquo;intervalle \\(0.55 \\pm 10^{-9}\\). Si on applique successivement la fonction logistique \u00e0 tous ces points, les trajectoires rouges et noires finissent par diverger et se m\u00e9langer.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/capture-d_ecc81cran-2018-02-16-acc80-10-35-09.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-8421 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/capture-d_ecc81cran-2018-02-16-acc80-10-35-09.png?w=676\" alt=\"\" width=\"676\" height=\"378\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/capture-d_ecc81cran-2018-02-16-acc80-10-35-09.png 1401w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/capture-d_ecc81cran-2018-02-16-acc80-10-35-09-300x168.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/capture-d_ecc81cran-2018-02-16-acc80-10-35-09-1024x573.png 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/capture-d_ecc81cran-2018-02-16-acc80-10-35-09-768x430.png 768w\" data-sizes=\"(max-width: 676px) 100vw, 676px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 676px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 676\/378;\" \/><\/a><\/p>\n<p>Math\u00e9matiquement, dans un syst\u00e8me chaotique, si on prend deux petits intervalles ouverts quelconques, aussi petits qu&rsquo;on veut, et qu&rsquo;on simule leur \u00e9volution, au bout d&rsquo;un certain temps les trajectoires seront totalement m\u00e9lang\u00e9es. C&rsquo;est une condition qu&rsquo;on ajoute, outre l&rsquo;effet papillon, pour les syst\u00e8mes chaotiques.<\/p>\n<p>C&rsquo;est ce qu&rsquo;illustre <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Chaos_theory#\/media\/File:LogisticTopMixing1-6.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">ce petit gif anim\u00e9<\/a>\u00a0qui montre les it\u00e9rations successives d&rsquo;un syst\u00e8me chaotique \u00e0 partir d&rsquo;un ensemble de d\u00e9part.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/logistictopmixing1-6.gif\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-8412 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/logistictopmixing1-6.gif?w=676\" alt=\"\" width=\"676\" height=\"507\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 676px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 676\/507;\" \/><\/a>On trouve parfois une troisi\u00e8me condition : l&rsquo;existence d&rsquo;orbites p\u00e9riodiques denses. De fa\u00e7on remarquable, Lorenz avait d\u00e9j\u00e0 not\u00e9 \u00e7a dans son article fondateur !<\/p>\n<h3>Syst\u00e8mes continus vs syst\u00e8mes discrets<\/h3>\n<p>En r\u00e9alit\u00e9 les syst\u00e8mes continus et les syst\u00e8mes discrets ne sont pas comme deux mondes \u00e0 part. On peut notamment les relier au moyen de ce qu&rsquo;on appelle <strong>une section de Poincar\u00e9<\/strong>.<\/p>\n<p>Avant de parler de cette id\u00e9e, qu&rsquo;il me soit permit de dire un mot de Poincar\u00e9, qui d&rsquo;une certaine mani\u00e8re peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme l&rsquo;un des premiers d\u00e9couvreurs de l&rsquo;effet papillon. En effet il avait not\u00e9 avant tout le monde qu&rsquo;un syst\u00e8me de 3 corps en interactions pouvait conduire \u00e0 des instabilit\u00e9s, des sensibilit\u00e9s aux conditions initiales, et devenait vite impr\u00e9dictible<\/p>\n<p>En particulier dans Science et M\u00e9thode, en 1908, il \u00e9crivait :<\/p>\n<blockquote><p><span style=\"color:#666699;\">Une cause tr\u00e8s petite, qui nous \u00e9chappe, d\u00e9termine un effet consid\u00e9rable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est d\u00fb au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l\u2019univers \u00e0 l\u2019instant initial, nous pourrions pr\u00e9dire exactement la situation de ce m\u00eame univers \u00e0 un instant ult\u00e9rieur. Mais, lors m\u00eame que les lois naturelles n\u2019auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons conna\u00eetre la situation initiale qu\u2019approximativement. Si cela nous permet de pr\u00e9voir la situation ult\u00e9rieure avec la m\u00eame approximation, c\u2019est tout ce qu\u2019il nous faut, nous disons que le ph\u00e9nom\u00e8ne a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9vu, qu\u2019il est r\u00e9gi par des lois\u00a0; mais il n\u2019en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites diff\u00e9rences dans les conditions initiales en engendrent de tr\u00e8s grandes dans les ph\u00e9nom\u00e8nes finaux\u00a0; une petite erreur sur les premi\u00e8res produirait une erreur \u00e9norme sur les derniers. La pr\u00e9diction devient impossible et nous avons le ph\u00e9nom\u00e8ne fortuit.<\/span><\/p><\/blockquote>\n<p>Revenons \u00e0 la section de Poincar\u00e9. L&rsquo;id\u00e9e est assez simple : prenez un syst\u00e8me continu en dimension D (pensez \u00e0 celui de Lorenz, donc D=3) et consid\u00e9rez un hyperplan de l&rsquo;espace des phases, de dimension D-1. Les trajectoires vont croiser de nombreuses fois ce plan, et on peut consid\u00e9rer les points d&rsquo;intersection successifs au fur et \u00e0 mesure que la trajectoire se prolonge. L&rsquo;application qui a un point du plan associe le point suivant et une transformation en temps discret sur le plan.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/poincare_map.gif\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-8414 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/poincare_map.gif\" alt=\"\" width=\"237\" height=\"199\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 237px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 237\/199;\" \/><\/a><\/p>\n<p>La transformation de H\u00e9non a, en fait, \u00e9t\u00e9 initialement con\u00e7ue par Michel H\u00e9non comme une variante du syst\u00e8me de Lorenz apr\u00e8s section de Poincar\u00e9, dans le but de pouvoir r\u00e9v\u00e9ler la structure fractale de l&rsquo;attracteur de fa\u00e7on plus facile que le syst\u00e8me de Lorenz.<\/p>\n<p>Lorenz lui m\u00eame avait d\u00e9j\u00e0 imagin\u00e9 une astuce de ce genre. Il avait sugg\u00e9r\u00e9 que les deux ailes de son attracteur semblaient se recoller au niveau d&rsquo;un segment, et que toute trajectoire sembler passer par ce segment de fa\u00e7on p\u00e9riodique. On peut donc consid\u00e9rer l&rsquo;application qui a un point du segment associe le point suivant sur la trajectoire. Lorenz avait montr\u00e9 que l&rsquo;application en question ressemblait beaucoup \u00e0 une fonction en forme de tente, qui exhibe un comportement chaotique du m\u00eame genre que la fonction logistique.<\/p>\n<p>D&rsquo;ailleurs le caract\u00e8re chaotique de la fonction logistique n&rsquo;est pas du tout sp\u00e9cifique de cette fonction en particulier. Si on prend une fonction croissante puis d\u00e9croissante de [0;1] dans lui-m\u00eame, on peut obtenir le m\u00eame genre de comportement, par exemple avec \\(f(x) = \\sin(\\pi x)\\).<\/p>\n<p>Encore plus fort, ce qu&rsquo;on a observ\u00e9 sur le diagramme de bifurcation de la fonction logistique est en fait assez g\u00e9n\u00e9rique. En particulier les \u00e9carts entre les points pour lesquels on observe un d\u00e9doublement.<\/p>\n<p>Dans le cas de la fonction logistique, notons \\(r_n\\) le point de bifurcation au-del\u00e0 duquel on a une orbite p\u00e9riodique constitu\u00e9e de \\(2^n\\) points, et ce jusqu&rsquo;au point \\(r_{n+1}\\).<\/p>\n<p>On a donc vu que \\(r_1=3\\), puis que \\(r_2\\approx 3.449\\), et \\(r_3\\approx 3.544\\). On a remarqu\u00e9 que les intervalles sont de plus en plus petits. En fait on peut montrer deux choses : d&rsquo;une part que \\(r_n\\) tend vers \\(\\approx 3.56995&#8230;\\), qui marque donc l&rsquo;entr\u00e9e dans le r\u00e9gime chaotique; et d&rsquo;autre part que le ratio entre un intervalle et le suivant tend vers une constante, \\(C\\approx 4.66920\\), appel\u00e9e <strong>constante de Feigenbaum<\/strong>.<\/p>\n<p>Ce qui est extraordinaire, c&rsquo;est que cette constante est la m\u00eame pour toutes les transformations du m\u00eame genre. On aurait pu prendre un sinus \u00e0 la place de la fonction logistique, on aurait trouv\u00e9 la m\u00eame constante, c&rsquo;est un truc universel !<\/p>\n<p>Et d&rsquo;ailleurs on retrouve la m\u00eame chose pour l&rsquo;ensemble de Mandelbrot que j&rsquo;ai juste figur\u00e9 via la vid\u00e9o de El JJ. On retrouve la constante de Feigenbaum comme ratio de taille de cercles successifs sur l&rsquo;axe r\u00e9el dans l&rsquo;ensemble de Mandelbrot.<\/p>\n<h3>Chaos et Fractales<\/h3>\n<p>C&rsquo;est du coup le bon moment pour commenter un peu plus les liens qui unissent la th\u00e9orie du chaos et les fractales. Les deux sont tr\u00e8s fr\u00e9quemment associ\u00e9s, surtout dans la vulgarisation autour du sujet, mais le lien n&rsquo;est pas si \u00e9vident que cela \u00e0 comprendre.<\/p>\n<p>Tout d&rsquo;abord, si vous connaissez par exemple<strong> l&rsquo;ensemble de Mandelbrot<\/strong>, vous voyez qu&rsquo;il existe au moins un lien : la notion d&rsquo;it\u00e9ration successive d&rsquo;une application. L&rsquo;ensemble de Mandelbrot est d\u00e9finir \u00e0 partir de la fonction du plan complexe<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(f_c(z) = z^2 + c\\)<\/p>\n<p>et consiste \u00e0 regarder les valeurs de c pour lesquels l&rsquo;it\u00e9ration r\u00e9p\u00e9t\u00e9e de la fonction \\(f_c\\) \u00e0 partir du point z=0 ne diverge pas \u00e0 l&rsquo;infini.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1280px-mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-8416 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1280px-mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg?w=676\" alt=\"\" width=\"676\" height=\"507\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1280px-mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg 1280w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1280px-mandel_zoom_00_mandelbrot_set-300x225.jpg 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1280px-mandel_zoom_00_mandelbrot_set-1024x768.jpg 1024w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1280px-mandel_zoom_00_mandelbrot_set-768x576.jpg 768w\" data-sizes=\"(max-width: 676px) 100vw, 676px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 676px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 676\/507;\" \/><\/a><\/p>\n<p>Nous avons vu que dans le domaine des syst\u00e8mes chaotiques, les fractales surgissent d&rsquo;au moins deux fa\u00e7ons :<\/p>\n<ul>\n<li>les attracteurs peuvent avoir une structure fractale (comme l&rsquo;attracteur de Lorenz ou celui de H\u00e9non)<\/li>\n<li>les diagrammes de bifurcation peuvent avoir une structure fractale.<\/li>\n<\/ul>\n<p>De fa\u00e7on plus philosophique, on peut comprendre le lien entre fractales et syst\u00e8mes chaotiques par l&rsquo;id\u00e9e g\u00e9n\u00e9rale que aussi proches que soient deux points dans l&rsquo;espace, ils peuvent \u00ab\u00a0\u00eatre loin\u00a0\u00bb du point de vue des propri\u00e9t\u00e9s. Dans le syst\u00e8me chaotique, parce que l&rsquo;\u00e9volution du syst\u00e8me va les s\u00e9parer de fa\u00e7on exponentielle. Dans les fractales parce que, par exemple, si on prend une courbe fractale (pensez \u00e0 la c\u00f4te bretonne), deux points tr\u00e8s proches \u00ab\u00a0\u00e0 vol d&rsquo;oiseau\u00a0\u00bb peuvent se trouver \u00e0 grande distance l&rsquo;un de l&rsquo;autre si on suit la courbe. (J&rsquo;agite un peu les mains mais vous voyez l&rsquo;id\u00e9e).<\/p>\n<p>Si on creuse un peu, on peut montrer que certains attracteurs \u00e9trange on une structure qui est en gros le produit d&rsquo;un sous-espace \u00ab\u00a0normal\u00a0\u00bb par un sous-espace fractal du type \u00ab\u00a0<strong>ensemble de Cantor<\/strong>\u00ab\u00a0. C&rsquo;est le cas d&rsquo;ailleurs pour H\u00e9non et Lorenz.<\/p>\n<p>Ci-dessous un rappel de comment on construit l&rsquo;ensemble de Cantor : on prend un segment, puis on enl\u00e8ve le tiers du milieu, et on it\u00e8re.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/infinity3fig1a.jpg\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-8417 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/infinity3fig1a.jpg\" alt=\"\" width=\"534\" height=\"163\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/infinity3fig1a.jpg 534w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/infinity3fig1a-300x92.jpg 300w\" data-sizes=\"(max-width: 534px) 100vw, 534px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 534px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 534\/163;\" \/><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le sujet du jour est un grand classique, l&rsquo;une des d\u00e9couvertes majeures du XXe si\u00e8cle : la th\u00e9orie du chaos. 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