{"id":8319,"date":"2017-09-29T17:01:44","date_gmt":"2017-09-29T15:01:44","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=8319"},"modified":"2017-09-29T17:01:44","modified_gmt":"2017-09-29T15:01:44","slug":"emc%c2%b2-et-le-boson-de-higgs","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2017\/09\/29\/emc%c2%b2-et-le-boson-de-higgs\/","title":{"rendered":"E=mc\u00b2 et le boson de Higgs"},"content":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour est la suite naturelle de la pr\u00e9c\u00e9dente : on y parle de E=mc2, de ce que \u00e7a signifie, et du rapport que \u00e7a a avec le boson de Higgs.<\/p>\n<p><iframe title=\"E=mc\u00b2 et le boson de Higgs \u2014 Science \u00e9tonnante #46\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KIGfevsoS8Q?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<h3>Peut-on vraiment d\u00e9montrer E=mc2 ?<\/h3>\n<p>Mon premier compl\u00e9ment concerne la \u00ab\u00a0d\u00e9monstration\u00a0\u00bb de E=mc2. Ben oui, une formule aussi importante, on doit bien pouvoir la d\u00e9montrer, non ? Eh bien en fait \u00e7a n&rsquo;est pas si simple, loin de l\u00e0 !<!--more--><\/p>\n<p>Comme je l&rsquo;explique dans la vid\u00e9o, le raisonnement initial d&rsquo;Einstein consiste \u00e0 imaginer une situation bien particuli\u00e8re, un corps perdant de l&rsquo;\u00e9nergie en \u00e9mettant deux photons identiques dans des directions oppos\u00e9es, et \u00e0 montrer via des changements de r\u00e9f\u00e9rentiel en relativit\u00e9 restreinte que la conservation de l&rsquo;\u00e9nergie et de l&rsquo;impulsion impose une diminution de la masse \u00e9gale \u00e0 la perte d&rsquo;\u00e9nergie divis\u00e9e par \\(c^2\\). Si cette d\u00e9monstration vous int\u00e9resse, elle est pr\u00e9sent\u00e9e par<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=GZqpMXBmRuU\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> Science4All dans sa vid\u00e9o<\/a>.<\/p>\n<p>Il y a plusieurs critiques que l&rsquo;on peut faire \u00e0 cette d\u00e9monstration d&rsquo;Einstein. Tout d&rsquo;abord son cas d&rsquo;application tr\u00e8s restreint : un corps perdant de l&rsquo;\u00e9nergie par rayonnement sous la forme de deux photons identiques de direction oppos\u00e9e. C&rsquo;est quand m\u00eame tr\u00e8s sp\u00e9cifique. Autre d\u00e9tail, Einstein utilise une approximation \u00ab\u00a0non-relativiste\u00a0\u00bb pour l&rsquo;\u00e9nergie cin\u00e9tique. Tout \u00e7a ne remet pas en cause la beaut\u00e9 de l&rsquo;id\u00e9e, mais on peut s&rsquo;imaginer qu&rsquo;une d\u00e9monstration plus g\u00e9n\u00e9rique existe.<\/p>\n<p><strong>Id\u00e9alement, on voudrait que E=mc2 puisse \u00eatre d\u00e9duit de principes g\u00e9n\u00e9riques<\/strong> comme le principe de relativit\u00e9, la conservation de l&rsquo;\u00e9nergie et de l&rsquo;impulsion, et l&rsquo;utilisation de la transformation de Lorentz comme \u00e9tant la \u00ab\u00a0bonne\u00a0\u00bb transformation pour les changements de r\u00e9f\u00e9rentiel. Cette d\u00e9monstration existe, mais elle est finalement peu connue, et rarement pr\u00e9sent\u00e9e dans son ensemble.<\/p>\n<p>Le point cl\u00e9 (et non-trivial !), c&rsquo;est de d\u00e9montrer que <strong>l&rsquo;\u00e9nergie et l&rsquo;impulsion d&rsquo;un syst\u00e8me forment un quadrivecteur de Lorentz<\/strong>, c&rsquo;est-\u00e0-dire un quadrivecteur pour lequel on change de r\u00e9f\u00e9rentiel en appliquant la transformation de Lorentz (comme c&rsquo;est le cas pour les coordonn\u00e9es d&rsquo;espace-temps d&rsquo;un \u00e9v\u00e8nement)<\/p>\n<p>Evidemment, \u00ab\u00a0on sait bien\u00a0\u00bb que l&rsquo;\u00e9nergie et l&rsquo;impulsion d&rsquo;un syst\u00e8me sont deux quantit\u00e9s que l&rsquo;on peut rapprocher : ce sont des quantit\u00e9s conserv\u00e9es, et qui sont les quantit\u00e9s conjugu\u00e9es associ\u00e9es au temps et \u00e0 l&rsquo;espace (et qui traduisent les invariances par translation.) Donc pour le physicien, \u00e7a parait \u00ab\u00a0compl\u00e8tement naturel\u00a0\u00bb de les associer et de dire qu&rsquo;ils forment un quadrivecteur&#8230;encore faut-il le d\u00e9montrer !<\/p>\n<p>C&rsquo;est ce l&rsquo;objet du th\u00e9or\u00e8me de Klein, publi\u00e9 une dizaine d&rsquo;ann\u00e9es apr\u00e8s le papier d&rsquo;Einstein. Mais ce r\u00e9sultat technique reste peu connu. Je ne vais pas vous faire la d\u00e9mo, prenons le pour acquis !\u00a0<em>(Pour les bourrins :\u00a0Ohanian, H. C. (2012). Klein&rsquo;s theorem and the proof of E0= mc 2. American Journal of Physics, 80(12), 1067-1072.)<\/em><\/p>\n<p>On peut donc construire pour tout syst\u00e8me son quadrivecteur \u00ab\u00a0\u00e9nergie\/impulsion\u00a0\u00bb de la fa\u00e7on suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(P^{\\mu} = (E\/c,\\vec{p})\\)<\/p>\n<p>Dire que ce truc est un quadrivecteur de Lorentz, c&rsquo;est dire que ses composantes (\u00e9nergie et impulsion) vont d\u00e9pendre du r\u00e9f\u00e9rentiel dans lequel on se place, et qu&rsquo;on passe d&rsquo;un r\u00e9f\u00e9rentiel \u00e0 un autre en appliquant les transformations de Lorentz.<\/p>\n<p>Pla\u00e7ons nous en particulier dans le r\u00e9f\u00e9rentiel propre de l&rsquo;objet, l&rsquo;impulsion y est nulle, on a donc<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(P^{\\mu} = (E_0\/c,0)\\)<\/p>\n<p>Maintenant regardons les composantes dans un autre r\u00e9f\u00e9rentiel se d\u00e9pla\u00e7ant \u00e0 vitesse relative v par rapport au r\u00e9f\u00e9rentiel propre. On applique une transformation de Lorentz et on obtient les composantes :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(P^{\\mu} = (E\/c,\\vec{p})= (\\gamma E_0\/c,-\\gamma\\vec{v}E_0\/c^2)\\)<\/p>\n<p>Par ailleurs en relativit\u00e9 resteinte, l&rsquo;impulsion d&rsquo;un syst\u00e8me vu depuis un syst\u00e8me qui est en vitesse relative \\(\\vec{v}\\) est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\vec{p} = \\gamma m v\\)<\/p>\n<p>En identifiant les deux formules pr\u00e9c\u00e9dentes, on obtient alors le fameux \\(E_0 = mc^2\\). L&rsquo;\u00e9nergie \u00ab\u00a0au repos\u00a0\u00bb (dans le r\u00e9f\u00e9rentiel propre) est \u00e9gale \u00e0 la masse fois le carr\u00e9 de la vitesse de la lumi\u00e8re. Oui mais comment on fait quand on est pas dans le r\u00e9f\u00e9rentiel propre ? Eh bien on utilise la transformation de Lorentz !<\/p>\n<p>Donc dans le r\u00e9f\u00e9rentiel propre l&rsquo;expression du quadrivecteur \u00e9nergie\/impulsion :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(P^{\\mu} = (mc,0)\\)<\/p>\n<p>On peut alors utiliser le fait que la norme d&rsquo;un quadrivecteur est un invariant (qui ne d\u00e9pend pas du r\u00e9f\u00e9rentiel), et que sur le quadrivecteur pr\u00e9c\u00e9dent, cette norme vaut donc \\(m^2c^2\\). En \u00e9crivant que la norme est celle-ci dans un r\u00e9f\u00e9rentiel quelconque, on sort la formule g\u00e9n\u00e9rique vraie dans tout r\u00e9f\u00e9rentiel<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\\)<\/p>\n<p>Ce qui est int\u00e9ressant avec cette formule, c&rsquo;est qu&rsquo;on peut l&rsquo;\u00e9crire avec une racine carr\u00e9e en factorisant<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(E = mc^2 \\sqrt{\\frac{p^2}{m^2c^2} +1}\\)<\/p>\n<p>et qu&rsquo;on peut en faire un d\u00e9veloppement limit\u00e9 pour \\(p &lt;&lt; mc\\) et obtenir<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(E = mc^2 + \\frac{p^2}{2m}\\)<\/p>\n<p>qui n&rsquo;est autre que la formule semi-classique qui dit que l&rsquo;\u00e9nergie est \u00e9gale \u00e0 la somme de l&rsquo;\u00e9nergie au repos et de l&rsquo;\u00e9nergie cin\u00e9tique (et bien s\u00fbr on pourrait pousser plus loin le d\u00e9veloppement limit\u00e9 pour avoir les corrections relativistes.)<\/p>\n<p>Autre int\u00e9r\u00eat de la formule g\u00e9n\u00e9rique\u00a0\\(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\\), c&rsquo;est qu&rsquo;elle s&rsquo;applique aussi au cas des photons, qui ont une masse nulle, mais une impulsion non-nulle ! Elle est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(p=\\hbar k\\)<\/p>\n<p>o\u00f9 \\(k=2\\pi\/\\lambda\\) est le vecteur d&rsquo;onde et \\(\\lambda\\) la longueur d&rsquo;onde. Quand on injecte \u00e7a dans la formule, on retombe sur notre bon vieux<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(E=\\hbar\\omega\\)<\/p>\n<p>pour l&rsquo;\u00e9nergie du photon (car \\(\\omega = 2\\pi f = 2\\pi c\/\\lambda\\).)<\/p>\n<h3>La formation de l&rsquo;helium<\/h3>\n<p>Dans mon explication de la \u00ab\u00a0perte de masse\u00a0\u00bb du noyau d&rsquo;h\u00e9lium, j&rsquo;ai repr\u00e9sent\u00e9 les choses comme si ces noyaux s&rsquo;assemblaient effectivement par combinaison de 2 protons et 2 neutrons. C&rsquo;est une exp\u00e9rience de pens\u00e9e car en pratique le proc\u00e9d\u00e9 de synth\u00e8se des noyaux d&rsquo;h\u00e9lium (tel qu&rsquo;on le trouve par exemple dans les \u00e9toiles) est plus complexe, et fait intervenir plusieurs \u00e9tapes et plusieurs chemins de r\u00e9action. On peut citer les deux suivants (<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Stellar_nucleosynthesis#Hydrogen_fusion\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">merci Wikip\u00e9dia<\/a>)<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/reactions.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-8323 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/reactions.png\" alt=\"\" width=\"656\" height=\"428\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/reactions.png 656w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/reactions-300x196.png 300w\" data-sizes=\"(max-width: 656px) 100vw, 656px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 656px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 656\/428;\" \/><\/a><\/p>\n<p><em>[By Borb, CC BY-SA 3.0, https:\/\/commons.wikimedia.org\/w\/index.php?curid=691758]<\/em><\/p>\n<p>J&rsquo;aime bien ce deuxi\u00e8me qu&rsquo;on appelle cycle CNO, si vous l&rsquo;observez attentivement, vous verrez que c&rsquo;est un cycle qui convertit au total 4 protons en un noyau d&rsquo;h\u00e9lium, et dans lequel le carbone joue le r\u00f4le de \u00ab\u00a0catalyseur\u00a0\u00bb en passant successivement par l&rsquo;azote et l&rsquo;oxyg\u00e8ne avant de retourner \u00e0 son \u00e9tat initial.<\/p>\n<h3>Nucl\u00e9ons et quarks<\/h3>\n<p>Comme je l&rsquo;ai dit dans la vid\u00e9o, se faire une image pr\u00e9cise de ce que contient vraiment un nucl\u00e9on est assez difficile. Il y a une soupe de quarks, d&rsquo;antiquarks et de gluons, qui \u00e9volue sans cesse en transformant en permanence de l&rsquo;\u00e9nergie des gluons en paire quark\/antiquark et r\u00e9ciproquement.<\/p>\n<p>Il y a une question qu&rsquo;on peut se poser \u00e0 ce sujet, c&rsquo;est de savoir quels types de paires on peut trouver dans cette soupe. En effet les quarks charm, top et bottom ont une masse sup\u00e9rieure \u00e0 celle d&rsquo;un nucl\u00e9on. Donc on aurait envie de penser que ce dernier ne contient pas assez d&rsquo;\u00e9nergie pour cr\u00e9er ces paires, et que dans la soupe, on aurait donc des quarks et antiquarks up, down et (au maximum) une paire strange\/antistrange (car le strange est lourd lui aussi !).<\/p>\n<p>Mais dans le cadre du mod\u00e8le standard, ces particules sont ce qu&rsquo;on appelle des \u00ab\u00a0particules virtuelles\u00a0\u00bb. Ce serait un peu long de d\u00e9tailler, mais ce qu&rsquo;il faut savoir c&rsquo;est que ces particules peuvent temporairement violer la conservation de l&rsquo;\u00e9nergie, on dit qu&rsquo;elles sont \u00ab\u00a0hors de la couche de masse\u00a0\u00bb. Donc on peut bien avoir des quarks lourds dans la soupe.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour est la suite naturelle de la pr\u00e9c\u00e9dente : on y parle de E=mc2, de ce que \u00e7a signifie, et du rapport que \u00e7a a avec le boson de Higgs. Peut-on vraiment d\u00e9montrer E=mc2 ? Mon premier compl\u00e9ment concerne la \u00ab\u00a0d\u00e9monstration\u00a0\u00bb de E=mc2. 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