{"id":8311,"date":"2017-09-13T17:03:04","date_gmt":"2017-09-13T15:03:04","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=8311"},"modified":"2017-09-13T17:03:04","modified_gmt":"2017-09-13T15:03:04","slug":"relativite-restreinte-einstein","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2017\/09\/13\/relativite-restreinte-einstein\/","title":{"rendered":"La th\u00e9orie de la relativit\u00e9 restreinte"},"content":{"rendered":"<p>Et voil\u00e0 le gros morceau ! Cela faisait un moment que je voulais produire quelque chose sur la relativit\u00e9 restreinte, mais je ne trouvais pas l\u2019angle qui me plaisait. C\u2019est chose faite, mais du coup c\u2019est un peu long !<\/p>\n<p><iframe title=\"La Th\u00e9orie de Relativit\u00e9 Restreinte d&#039;Einstein \u2014 Science \u00e9tonnante #45\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/M86YM6QA4-M?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<p>Et pour ceux qui auraient encore faim apr\u00e8s 36 minutes de visionnage, voici quelques compl\u00e9ments.<\/p>\n<p><!--more--><\/p>\n<h3>Une perspective anti-historique<\/h3>\n<p>Commen\u00e7ons par un petit commentaire g\u00e9n\u00e9ral concernant l&rsquo;angle p\u00e9dagogique que j&rsquo;ai choisi. Je dis \u00e0 la fin de la vid\u00e9o que j&rsquo;ai \u00ab\u00a0escamot\u00e9\u00a0\u00bb la perspective historique. <strong>Le mot \u00ab\u00a0escamoter\u00a0\u00bb n&rsquo;est pas assez fort, je l&rsquo;ai carr\u00e9ment distordue, et c&rsquo;est parfaitement volontaire !<\/strong> Quand on parle de d\u00e9couvertes scientifiques complexes comme la relativit\u00e9 restreinte, il est assez classique de se baser sur l&rsquo;encha\u00eenement historique des choses. Mais pour ma part, j&rsquo;aime bien faire autrement.<\/p>\n<p>On sait que la recherche scientifique avance souvent de mani\u00e8re erratique, \u00e7a n&rsquo;est pas un processus lin\u00e9aire. Les acteurs eux-m\u00eames des d\u00e9couvertes n&rsquo;avaient pas \u00e0 l&rsquo;\u00e9poque l&rsquo;\u00e9tendue de la compr\u00e9hension que l&rsquo;on peut avoir aujourd&rsquo;hui. Raconter les concepts scientifiques au moyen de la succession historique des d\u00e9couvertes nous oblige \u00e0 suivre un chemin qui n&rsquo;est pas toujours le plus court, le plus simple ou le plus clair. Je crois que c&rsquo;est particuli\u00e8rement le cas pour la relativit\u00e9 restreinte, et c&rsquo;est pour \u00e7a que j&rsquo;ai choisi de faire une pr\u00e9sentation mettant plut\u00f4t en avant la logique, telle qu\u2019on peut la percevoir aujourd\u2019hui apr\u00e8s un si\u00e8cle de \u00ab\u00a0digestion\u00a0\u00bb, que l\u2019histoire et ses h\u00e9ros scientifiques. De fait certaines des choses que je dis sont des anachronismes.<\/p>\n<p>L&rsquo;exemple le plus caricatural est la fa\u00e7on dont je pr\u00e9sente la relativit\u00e9 restreinte comme un \u00ab\u00a0simple\u00a0\u00bb changement de formule, o\u00f9 l&rsquo;on d\u00e9cide d&rsquo;adopter la transformation de Lorentz en lieu et place de celle de Galil\u00e9e pour faire un changement de r\u00e9f\u00e9rentiel. Historiquement, \u00e7a ne s&rsquo;est pas pass\u00e9 de mani\u00e8re aussi imm\u00e9diate, et Einstein n&rsquo;a pas \u00e9crit un article qui aurait explicitement consist\u00e9 en cela. Mais si on regarde les choses dans leur ensemble, maintenant qu&rsquo;on a bien dig\u00e9r\u00e9 la relativit\u00e9 restreinte, du point de vue scientifique c&rsquo;est \u00e0 cela que \u00e7a revient.<\/p>\n<p>Et il me semble que c&rsquo;est plus simple \u00e0 raconter comme \u00e7a que de repasser par les diff\u00e9rents errements qu&rsquo;ont connu les savants de l&rsquo;\u00e9poque, avant de converger lentement vers l&rsquo;\u00e9difice qu&rsquo;on connait aujourd&rsquo;hui. Bref, en quelques mots : cette vid\u00e9o n&rsquo;est pas une vid\u00e9o d&rsquo;histoire des sciences !<\/p>\n<h3>Les r\u00e9f\u00e9rentiels inertiels<\/h3>\n<p>Il y a un point important que je laisse de c\u00f4t\u00e9 dans cette vid\u00e9o, et que je n&rsquo;ai pas r\u00e9ussi \u00e0 caser harmonieusement, c&rsquo;est l&rsquo;id\u00e9e de r\u00e9f\u00e9rentiel \u00ab\u00a0galil\u00e9en\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0inertiel\u00a0\u00bb. J&rsquo;ai expliqu\u00e9 comment passer d&rsquo;un r\u00e9f\u00e9rentiel \u00e0 un autre qui serait en mouvement rectiligne uniforme par rapport \u00e0 lui, mais je n&rsquo;ai pas explicitement discut\u00e9 le fait qu&rsquo;on postule l&rsquo;existence d&rsquo;une classe particuli\u00e8re de r\u00e9f\u00e9rentiels, \u00ab\u00a0galil\u00e9ens\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0inertiels\u00a0\u00bb, qui sont ceux dans lesquels l&rsquo;absence de force appliqu\u00e9e conduit \u00e0 un mouvement rectiligne uniforme, et qui sont tels que si le mouvement est rectiligne uniforme dans un r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel, il l&rsquo;est dans tous les autres.<\/p>\n<p>En pratique, cette notion est une abstraction puisque aucun des r\u00e9f\u00e9rentiels qu&rsquo;on utilise dans les exp\u00e9riences n&rsquo;est v\u00e9ritablement inertiel (d&rsquo;ailleurs quand je dis que le jumeau rest\u00e9 sur Terre est dans un r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel, c&rsquo;est faux stricto sensu puisque la Terre est en rotation et r\u00e9volution). Mais la plupart du temps, on trouve toujours un r\u00e9f\u00e9rentiel approch\u00e9 \u00ab\u00a0suffisamment inertiel\u00a0\u00bb (celui de la Terre, du syst\u00e8me solaire, de la galaxie&#8230;)<\/p>\n<h3>Galil\u00e9e. Lorentz. C&rsquo;est tout ? Un peu de th\u00e9orie des groupes<\/h3>\n<p>Une question que l&rsquo;on peut se poser quand on est confront\u00e9 aux transformations de Lorentz et de Galil\u00e9e, c&rsquo;est de savoir <strong>s&rsquo;il en existerait pas d&rsquo;autres qui pourraient \u00eatre utilis\u00e9es pour passer d&rsquo;un r\u00e9f\u00e9rentiel \u00e0 un autre<\/strong>.\u00a0 Et la r\u00e9ponse est essentiellement que non ! Il existe une tr\u00e8s jolie d\u00e9monstration du fait les seules transformations envisageables sont ces deux l\u00e0.<\/p>\n<p>Pour cela, on n&rsquo;a m\u00eame pas besoin de l&rsquo;id\u00e9e de vitesse de la lumi\u00e8re (ni m\u00eame de lumi\u00e8re), on fait uniquement appel \u00e0 la th\u00e9orie des groupes. Si on postule que les transformations recherch\u00e9es pour passer d&rsquo;un r\u00e9f\u00e9rentiel inertiel \u00e0 un autre doivent former une structure de groupe, c&rsquo;est-\u00e0-dire qu&rsquo;on peut les composer et les inverser, on peut d\u00e9montrer que les seules solutions possibles sont le groupe de Galil\u00e9e et le groupe de Lorentz. (Petite note au passage le groupe de Galil\u00e9e est un cas particulier du groupe de Lorentz pour c infinie).<\/p>\n<p>J&rsquo;esquisse la d\u00e9monstration. Pour simplifier on prend une dimension d&rsquo;espace et une de temps, et on suppose que les deux r\u00e9f\u00e9rentiels co\u00efncident pour t=0, et sont en mouvement rectiligne uniforme \u00e0 vitesse v. Pour qu&rsquo;un mouvement rectiligne uniforme dans l&rsquo;un soit un mouvement rectiligne uniforme dans l&rsquo;autre, la transformation qui permet de passer des coordonn\u00e9es (x,t) aux coordonn\u00e9es (x&rsquo;,t&rsquo;) est n\u00e9cessairement une transformation lin\u00e9aire, c&rsquo;est-\u00e0-dire une matrice 2&#215;2, dont les coefficients d\u00e9pendent de la vitesse v.<\/p>\n<div><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/matrix-transfo.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-8317 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/matrix-transfo.png?w=676\" alt=\"\" width=\"447\" height=\"66\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/matrix-transfo.png 813w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/matrix-transfo-300x44.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/09\/matrix-transfo-768x113.png 768w\" data-sizes=\"(max-width: 447px) 100vw, 447px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 447px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 447\/66;\" \/><\/a><\/div>\n<p>On impose ensuite que les transformations forment une structure de groupe c&rsquo;est-\u00e0-dire que l&rsquo;inversion correspond \u00e0 une transformation de vitesse -v<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\\(T(v)^{-1} = T(-v)\\)<\/div>\n<p>et que deux transformations successives de vitesses v et w correspondent \u00e0 une unique transformation de vitesse v+w<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\\(T(v)T(w) = T(v+w)\\)<\/div>\n<p>Ces simples restrictions suffisent \u00e0 montrer qu&rsquo;il n&rsquo;existe qu&rsquo;une solution, la transformation de Lorentz (dont la transformation de Galil\u00e9e est un cas sp\u00e9cifique pour \\(c=\\infty\\).<\/p>\n<p>Pour en savoir plus sur cette d\u00e9monstration :<\/p>\n<div><\/div>\n<div><a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Derivations_of_the_Lorentz_transformations#From_group_postulates\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Derivations_of_the_Lorentz_transformations#From_group_postulates<\/a><\/div>\n<div><\/div>\n<div>Vous pouvez en lire une version vulgaris\u00e9e ici :<\/div>\n<div><\/div>\n<div><a href=\"http:\/\/webinet.blogspot.fr\/2008\/09\/toute-la-lumire-sans-lumire-sur-la.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">http:\/\/webinet.blogspot.fr\/2008\/09\/toute-la-lumire-sans-lumire-sur-la.html<\/a><\/div>\n<div><\/div>\n<h3>Mesurer la longueur du bateau<\/h3>\n<p>Je n&rsquo;ai pas trop d\u00e9taill\u00e9 dans la vid\u00e9o comment on mesure effectivement la longueur du bateau en mouvement depuis le r\u00e9f\u00e9rentiel de la plage, mais c&rsquo;est un bon exemple du fait que pour ne pas dire de b\u00eatises en relativit\u00e9 restreinte, il faut vraiment revenir \u00e0 des notions d&rsquo;\u00e9v\u00e8nements spatiotemporels. Pour d\u00e9montrer la \u00ab\u00a0dilatation du temps\u00a0\u00bb, c&rsquo;est facile car on a des \u00e9v\u00e8nements clairs (coups sur un tambour par exemple), pour les longueurs il faut faire attention et se demander vraiment comment on ferait en pratique pour mesurer un bateau?<\/p>\n<p>Pour mesurer un bateau avec des \u00e9v\u00e8nements, il faut se donner un \u00ab\u00a0tic\u00a0\u00bb d&rsquo;horloge de notre r\u00e9f\u00e9rentiel de la plage, et rep\u00e9rer les coordonn\u00e9es spatiales des extr\u00e9mit\u00e9s du bateau au moment de ce tic d&rsquo;horloge. Une des subtilit\u00e9s vient du fait que ces deux \u00ab\u00a0tics\u00a0\u00bb localis\u00e9s \u00e0 chacune des extr\u00e9mit\u00e9s du bateau ne seront pas vu comme simultan\u00e9s dans le r\u00e9f\u00e9rentiel du bateau ! Il faut vraiment se demander en quels points de l&rsquo;espace-temps se trouve les extr\u00e9mit\u00e9s du bateau au moment o\u00f9 on d\u00e9cide de faire la mesure.<\/p>\n<h3>Quelques r\u00e9flexions sur les muons<\/h3>\n<div>\u00a0Un mot sur le temps de vie du muon. Comme je l&rsquo;ai expliqu\u00e9, vu de la Terre, le temps de vie du muon est de 20 microsecondes, mais cela est du \u00e0 un facteur de Lorentz d&rsquo;environ 10. Si on \u00e9tait dans le r\u00e9f\u00e9rentiel du muon, ce temps de vie serait de seulement 2 microsecondes.<\/div>\n<p>Ce temps de vie, on peut le mesurer \u00e0 partir d&rsquo;exp\u00e9riences sur des muons autres que ceux qui nous arrivent des gerbes cosmiques, mais ce qui est beau, c&rsquo;est qu&rsquo;on peut aussi estimer ce temps de vie \u00e0 partir de consid\u00e9rations th\u00e9oriques sur les diff\u00e9rents modes de d\u00e9sint\u00e9gration<\/p>\n<div><a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Muon#Theoretical_decay_rate\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Muon#Theoretical_decay_rate<\/a><\/div>\n<div><\/div>\n<div>Un point que j&rsquo;ai saut\u00e9 par manque de temps, c&rsquo;est qu&rsquo;en se pla\u00e7ant du point de vue du muon, on peut aussi d\u00e9montrer la contraction des longueurs. Dans notre r\u00e9f\u00e9rentiel, le muon vit (en moyenne) 20 microsecondes et parcours environ 6 km. Dans son r\u00e9f\u00e9rentiel, le muon ne vit que 2 microsecondes, et la distance qu&rsquo;il se voit parcourir correspond \u00e0 ces m\u00eames 6km, mais affect\u00e9s du facteur de contraction des longueurs. Donc la couche d&rsquo;atmosph\u00e8re que le muon traverse, mesur\u00e9e dans son propre r\u00e9f\u00e9rentiel, n&rsquo;a une \u00e9paisseur que de 600m (attention, c&rsquo;est bien la m\u00eame couche d&rsquo;atmosph\u00e8re, mais l&rsquo;\u00e9paisseur de celle-ci d\u00e9pend du r\u00e9f\u00e9rentiel de laquelle on la regarde !)<\/div>\n<h3>Pr\u00e9servation de la causalit\u00e9<\/h3>\n<p>Un petit compl\u00e9ment sur la perte de notion de simultan\u00e9it\u00e9. La transformation de Lorentz nous fait aboutir \u00e0 ce r\u00e9sultat \u00e9tonnant que deux \u00e9v\u00e8nements A et B situ\u00e9s en des points diff\u00e9rents de l&rsquo;espace peuvent tr\u00e8s bien \u00eatre simultan\u00e9s dans un r\u00e9f\u00e9rentiel, mais survenir dans un certain ordre (disons A avant B) dans un autre r\u00e9f\u00e9rentiel, et dans l&rsquo;ordre inverse (B avant A) dans un troisi\u00e8me r\u00e9f\u00e9rentiel. Malgr\u00e9 tout, il y a des limites ! Cela ne peut se produire que si les \u00e9v\u00e8nements sont suffisamment \u00e9loign\u00e9s pour ne pas pouvoir \u00eatre causalement reli\u00e9s (c&rsquo;est \u00e0 dire \u00eatre reli\u00e9 par exemple par un rayon lumineux).<\/p>\n<h3>O\u00f9 sont les invariants ?<\/h3>\n<div>\u00a0En passant de la transformation de Galil\u00e9e \u00e0 celle de Lorentz, on n&rsquo;a vu que beaucoup de choses qui \u00e9taient avant des invariants deviennent relatif. Il y a quand m\u00eame un invariant important dont je n&rsquo;ai pas parl\u00e9 : la distance d&rsquo;espace-temps.<\/div>\n<p>Prenez deux \u00e9v\u00e8nements, choisissez un r\u00e9f\u00e9rentiel et consid\u00e9rez l&rsquo;intervalle d&rsquo;espace \\(\\Delta x\\) et l&rsquo;intervalle de temps \\(\\Delta t\\) qui les s\u00e9parent dans ce r\u00e9f\u00e9rentiel. Si vous changez de r\u00e9f\u00e9rentiels, ces intervalles seront diff\u00e9rents. En revanche, l&rsquo;intervalle d&rsquo;espace-temps d\u00e9fini comme :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\((\\Delta s)^2 = (\\Delta x)^2 &#8211; c^2 (\\Delta t)^2\\)<\/p>\n<p>est lui un invariant, il sera le m\u00eame pour tous les r\u00e9f\u00e9rentiels.<\/p>\n<h3>\u00c9lectromagn\u00e9tisme et groupe de Galil\u00e9e<\/h3>\n<div>\u00a0Il y aurait plein de choses \u00e0 dire sur l&rsquo;\u00e9lectromagn\u00e9tisme et le fait qu&rsquo;il ne colle pas avec le groupe de Galil\u00e9e. Juste un petit point pour vous le faire sentir. Vous savez peut-\u00eatre qu&rsquo;une particule charg\u00e9e soumise \u00e0 un champ \u00e9lectrique E et un champ magn\u00e9tique B subit une force<\/div>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(F = q(E + v \\wedge B)\\)<\/p>\n<p>\u00a0Si vous observez attentivement cette expression, vous devez voir qu&rsquo;il y a un truc qui ne colle pas. Elle ressemble un peu \u00e0 ma \u00ab\u00a0loi de Neuton\u00a0\u00bb qui faisait intervenir la vitesse. Comme on peut toujours se placer dans un r\u00e9f\u00e9rentiel diff\u00e9rent, une telle loi ne devrait pas pouvoir d\u00e9pendre de la vitesse v sans violer le principe de relativit\u00e9. Et on s&rsquo;en sort en imposant que les champs E et B eux-m\u00eames d\u00e9pendent du r\u00e9f\u00e9rentiel dans lequel on se place.<\/p>\n<p>Pour en savoir plus : https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Moving_magnet_and_conductor_problem<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Et voil\u00e0 le gros morceau ! Cela faisait un moment que je voulais produire quelque chose sur la relativit\u00e9 restreinte, mais je ne trouvais pas l\u2019angle qui me plaisait. C\u2019est chose faite, mais du coup c\u2019est un peu long ! Et pour ceux qui auraient encore faim apr\u00e8s 36 minutes de visionnage, voici quelques compl\u00e9ments.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[31],"class_list":{"0":"post-8311","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-relativite"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8311","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8311"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8311\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8311"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8311"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8311"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}