{"id":8218,"date":"2017-03-03T17:04:48","date_gmt":"2017-03-03T16:04:48","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=8218"},"modified":"2017-03-03T17:04:48","modified_gmt":"2017-03-03T16:04:48","slug":"la-theorie-des-jeux","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2017\/03\/03\/la-theorie-des-jeux\/","title":{"rendered":"La th\u00e9orie des jeux"},"content":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour est une introduction \u00e0 la th\u00e9orie des jeux !<\/p>\n<p><iframe title=\"La Th\u00e9orie des Jeux \u2014\u00a0Science \u00e9tonnante #39\" width=\"770\" height=\"433\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/StRqGx9ri2I?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" class=\"lazyload\" data-load-mode=\"1\"><\/iframe><\/p>\n<p>Il y a deux choses que je voudrais ajouter en compl\u00e9ment, et qui concernent des strat\u00e9gies possibles : la premi\u00e8re \u00e0 <em>Golden Balls<\/em>, et la seconde au dilemme du prisonnier r\u00e9p\u00e9t\u00e9.<!--more--><\/p>\n<p><em>(PS pour les habitu\u00e9s des lieux : je recycle de vieux billets sur le sujet)<\/em><\/p>\n<h3>Comment hacker <em>Golden Balls<\/em> ?<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Avec <em>Golden Balls<\/em>, tout fonctionnait selon le plan pr\u00e9vu (par le producteur TV) jusqu&rsquo;\u00e0 ce qu&rsquo;un petit malin trouve un moyen de hacker le jeu. Ce petit malin s&rsquo;appelle Nick, et il s&rsquo;est retrouv\u00e9 un jour dans la phase finale du jeu contre un autre joueur appel\u00e9 Ibrahim. Quand la phase de n\u00e9gociation (avant le choix des boules) a commenc\u00e9, Nick a d&#8217;embl\u00e9e annonc\u00e9 :<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><strong>Nick :<\/strong> <em>&#8211; Ibrahim, je veux que tu me fasses confiance, \u00e0 100%, je vais choisir la boule STEAL (voler)<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><strong>Ibrahim interloqu\u00e9 :<\/strong> <em>&#8211; Pardon ? Tu vas prendre la boule\u2026<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><strong>Nick :<\/strong> <em>&#8211; Je vais prendre la boule STEAL.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Puis Nick explique sa strat\u00e9gie : <em>&#8211; Je vais prendre la boule STEAL, je veux que tu prennes la boule SPLIT, et je te promets que je partagerai l&rsquo;argent avec toi apr\u00e8s.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Ibrahim est incr\u00e9dule. Le public rigole. Le pr\u00e9sentateur TV semble nerveux.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Puis Nick pr\u00e9cise son id\u00e9e. Il soutient mordicus que quoi qu&rsquo;il arrive, il choisira de toute fa\u00e7on STEAL. Si Ibrahim choisit aussi STEAL ils repartiront tous les deux sans rien. Donc la seule chose raisonnable que puisse faire Ibrahim, c&rsquo;est de choisir SPLIT, de laisser Nick empocher tout le magot, et de lui faire confiance pour que celui-ci partage apr\u00e8s la fin du jeu.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">S&rsquo;ensuit une n\u00e9gociation interminable, et largement coup\u00e9e au montage, mais qui para\u00eet-il aurait dur\u00e9 45 minutes.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Et voici ce qui arriva \u00e0 la fin \u2026 (Nick est \u00e0 droite, Ibrahim \u00e0 gauche)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">[youtube=http:\/\/www.youtube.com\/watch?v=S0qjK3TWZE8&amp;start=280]<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Sous la contrainte, Ibrahim a choisi de suivre le raisonnement de Nick, et a choisi SPLIT. Quant \u00e0 Nick, &#8230; il a choisi SPLIT \u00e9galement ! Bien jou\u00e9, non ?<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Un point important \u00e0 noter toutefois, c&rsquo;est que <strong><em>Golden Balls<\/em> n&rsquo;est pas un v\u00e9ritable dilemme du prisonnier<\/strong>. Si vous comparez avec l&rsquo;exemple que je donne dans la vid\u00e9o, vous verrez qu&rsquo;il y a une petite diff\u00e9rence dans les valeurs des gains. Ainsi si <em>Golden Balls<\/em> mimait v\u00e9ritablement le dilemme du prisonnier, on devrait avoir quelque chose comme<\/p>\n<ul style=\"text-align:justify;\">\n<li>Si les 2 joueurs choisissent SPLIT, ils prennent chacun 50% du magot;<\/li>\n<li>Si l&rsquo;un choisit SPLIT et l&rsquo;autre STEAL, ce dernier repart avec 80% du magot (et l&rsquo;autre rien du tout);<\/li>\n<li>Si les deux choisissent STEAL, ils repartent chacun avec 10% du magot.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:justify;\">Cette r\u00e9partition des gains ob\u00e9it \u00e0 deux conditions qu&rsquo;on ne retrouve pas dans <em>Golden Balls<\/em> : d&rsquo;une part <strong>la collaboration est en moyenne strictement avantageuse<\/strong> (100% du magot est distribu\u00e9 contre 80% en cas de trahison par l&rsquo;un des deux); d&rsquo;autre part on gagne plus en faisant deux STEAL\u00a0(10%) qu&rsquo;en se faisant entuber (0%).<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Je vous laisse y r\u00e9fl\u00e9chir, mais vous voyez que <strong>ces deux conditions invalident la strat\u00e9gie de Nick<\/strong> ! Son argumentaire ne tient plus car d&rsquo;une part le \u00ab\u00a0je prends tout et on partage apr\u00e8s\u00a0\u00bb est moins avantageux qu&rsquo;une collaboration directe; d&rsquo;autre part si Ibrahim est s\u00fbr que Nick va voler, il a int\u00e9r\u00eat \u00e0 voler aussi pour au moins repartir avec 10% du magot. <strong>La strat\u00e9gie de Nick fonctionne donc parce que <em>Golden Balls<\/em> n&rsquo;est pas un vrai dilemme du prisonnier<\/strong>, mais seulement une forme dite faible. Cette strat\u00e9gie ne fonctionnerait pas avec la forme normale du jeu.<\/p>\n<h3 style=\"text-align:justify;\">Les strat\u00e9gies \u00e0 d\u00e9terminant nul<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Pour ce deuxi\u00e8me compl\u00e9ment, on va passer une vitesse suppl\u00e9mentaire et \u00e9tudier une nouvelle famille de strat\u00e9gies assez incroyables, propos\u00e9e il y a quelques temps par deux chercheurs : William Press et Freeman Dyson (oui, le c\u00e9l\u00e8bre physicien !).<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Ces strat\u00e9gies concernent le dilemme du prisonnier dans sa version \u00ab\u00a0r\u00e9p\u00e9t\u00e9e\u00a0\u00bb, et les auteurs se sont plac\u00e9s dans le cas le plus simple : celui o\u00f9 <strong>les joueurs ne prennent en compte que de ce qu&rsquo;il s&rsquo;est pass\u00e9 au tour pr\u00e9c\u00e9dent<\/strong> (je reviendrai plus loin sur cette apparente limitation.)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">En pratique, avec ces hypoth\u00e8ses,\u00a0la strat\u00e9gie d&rsquo;un joueur est compl\u00e8tement caract\u00e9ris\u00e9e par la donn\u00e9e de 4 probabilit\u00e9s\u00a0p1, p2, p3 et p4, telles que :<\/p>\n<ul style=\"text-align:justify;\">\n<li>si au tour pr\u00e9c\u00e9dent les deux ont collabor\u00e9, le joueur\u00a0collaborera avec une probabilit\u00e9 p1;<\/li>\n<li>s&rsquo;il a collabor\u00e9 et l&rsquo;autre a trahi, il\u00a0collaborera avec une probabilit\u00e9 p2;<\/li>\n<li>s&rsquo;il a trahi et l&rsquo;autre a collabor\u00e9, il\u00a0collaborera avec une probabilit\u00e9 p3;<\/li>\n<li>si les deux ont trahit, il collaborera avec une probabilit\u00e9 p4.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:justify;\">Voici plant\u00e9 le cadre. Nous avons donc un premier joueur (appelons le \u00ab\u00a0A\u00a0\u00bb) dont la strat\u00e9gie est d\u00e9crite par des probabilit\u00e9s p1, p2, p3 et p4, et un deuxi\u00e8me joueur \u00ab\u00a0B\u00a0\u00bb dont la strat\u00e9gie est diff\u00e9rente et donn\u00e9e par q1, q2, q3 et q4. La question que chacun se pose est donc : <strong>comment choisir au mieux ces 4 nombres ?<\/strong><\/p>\n<h4 style=\"text-align:justify;\">La magie du d\u00e9terminant nul<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">C&rsquo;est l\u00e0 qu&rsquo;intervient la d\u00e9couverte incroyable de Press et Dyson. Appelons \\(G_A\\) le gain moyen du joueur A apr\u00e8s un grand nombre de tours, et \\(G_B\\) le gain moyen du joueur B. Prenons 3 nombres \\(\\alpha, \\beta, \\gamma\\) quelconques, les deux auteurs ont d\u00e9montr\u00e9 qu&rsquo;il existait une relation<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\alpha G_A + \\beta G_B &#8211; \\gamma = \\Delta\\)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">o\u00f9 \\(\\Delta\\) est <strong>le d\u00e9terminant d&rsquo;une matrice 4&#215;4<\/strong>, matrice qui d\u00e9pend de \\(\\alpha, \\beta, \\gamma\\) et des probabilit\u00e9s \\(p_i\\) et \\(q_i\\) choisies par les 2 joueurs.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">La belle affaire, vous allez me dire !<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Mais l\u00e0 o\u00f9 \u00e7a devient croustillant, c&rsquo;est qu&rsquo;<strong>il est possible de rendre nul ce d\u00e9terminant, en jouant uniquement sur les 4 nombres p1, p2, p3 et p4<\/strong>. Imaginons que le joueur A choisisse effectivement des probabilit\u00e9s permettant d&rsquo;annuler \\(\\Delta\\), on a alors :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\alpha G_A + \\beta G_B &#8211; \\gamma = 0\\)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Cela veut dire que <strong>le joueur A, \u00e0 lui tout seul, est capable d&rsquo;imposer une relation lin\u00e9aire entre son gain et celui du joueur B<\/strong>. Et rappelez vous : \\(\\alpha, \\beta, \\gamma\\) peuvent \u00eatre quelconques, donc A est en mesure d&rsquo;imposer n&rsquo;importe quelle relation lin\u00e9aire ! \u2026 ou presque, voyons dans le d\u00e9tail ce qu&rsquo;il est r\u00e9ellement possible de faire avec ces strat\u00e9gies dites \u00ab\u00a0de d\u00e9terminant z\u00e9ro\u00a0\u00bb.<\/p>\n<h4 style=\"text-align:justify;\">Contr\u00f4ler le gain de l&rsquo;adversaire<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Reprenons le calcul pr\u00e9c\u00e9dent. Imaginons que l&rsquo;on choisisse \\(\\alpha=0\\) et qu&rsquo;on calcule p1,\u2026,p4 pour annuler le d\u00e9terminant. Cela veut dire qu&rsquo;on impose la relation<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(G_B = \\gamma\/\\beta\\)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">En clair,<strong> le joueur A, en agissant uniquement sur sa propre strat\u00e9gie est capable de fixer le gain moyen du joueur B.<\/strong> Relisez bien \u00e7a car c&rsquo;est pour moi incroyable : quelle que soit la strat\u00e9gie de B, quelles que soient les probabilit\u00e9s q1, \u2026, q4 qu&rsquo;il choisisse, son gain est enti\u00e8rement sous le contr\u00f4le du joueur A ! J&rsquo;ai d\u00fb le programmer moi-m\u00eame pour le croire, et \u00e7a marche !<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">En pratique toutefois, le joueur A ne peut pas faire compl\u00e8tement n&rsquo;importe quoi. Il peut toujours choisir p1, \u2026 p4 qui annulent le d\u00e9terminant, mais la solution n&rsquo;est pas toujours telle que les 4 nombres soient entre 0 et 1. Si on fait le calcul dans le d\u00e9tail, on trouve qu&rsquo;il existe des solutions telles que <strong>A peut imposer \u00e0 B n&rsquo;importe quel score entre 1 et 3<\/strong> (c&rsquo;est-\u00e0-dire entre le gain de la trahison mutuelle et celui de la collaboration mutuelle).<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Le joueur A peut donc contr\u00f4ler le gain du joueur B, tr\u00e8s bien; mais est-ce qu&rsquo;il ne pourrait pas plut\u00f4t essayer de contr\u00f4ler son propre gain ? Ce qui serait quand m\u00eame plus int\u00e9ressant. Malheureusement \u00e7a ne marche pas ! Dans le cas g\u00e9n\u00e9ral il n&rsquo;existe pas de solutions p1,\u2026,p4 entre 0 et 1 qui permettent \u00e0 A de fixer son propre gain. Dommage !<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Un inconv\u00e9nient de cette strat\u00e9gie, c&rsquo;est donc qu&rsquo;<strong>on contr\u00f4le le gain de l&rsquo;adversaire mais pas le sien<\/strong>, et qu&rsquo;on peut donc se retrouver \u00e0 gagner moins que lui ! Heureusement il existe une solution : l\u2019extorsion.<\/p>\n<h4 style=\"text-align:justify;\">Extorquer l&rsquo;adversaire<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Si on reprend la formule faisant intervenir le d\u00e9terminant, on peut aussi choisir les 3 nombres \\(\\alpha, \\beta, \\gamma\\) de mani\u00e8re \u00e0 <strong>imposer que le gain de A soit strictement sup\u00e9rieur au gain de B<\/strong>. En pratique, Press et Dyson ont montr\u00e9 que pour tout nombre \\(\\chi\\), le joueur A pouvait toujours choisir ses probabilit\u00e9s de mani\u00e8re \u00e0 imposer :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(G_A-1 = \\chi (G_B-1)\\)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Le nombre \\(\\chi\\) est appel\u00e9 facteur d&rsquo;extorsion. Le -1 vient du fait que 1 est le en quelque sorte le minimum syndical correspondant au gain en cas de trahison mutuelle, mais tout ce qui est au-del\u00e0, le joueur A peut l&rsquo;extorquer avec un facteur \\(\\chi\\).<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">L\u00e0 aussi, il faut le voir pour le croire : \u00e7a marche ! Quoi que B choisisse de faire, son gain (au-del\u00e0 de 1) sera toujours inf\u00e9rieur \u00e0 celui de A d&rsquo;un facteur \\(\\chi\\) ! En pratique, les choix de B vont quand m\u00eame fixer le niveau global des gains, mais <strong>le ratio entre les deux est totalement contr\u00f4l\u00e9 par A<\/strong>.<\/p>\n<h4 style=\"text-align:justify;\">Axelrod revisit\u00e9<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-6727 aligncenter lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/06\/axelrod.png?w=600\" alt=\"axelrod\" width=\"300\" height=\"343\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 300px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 300\/343;\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Eh bien figurez vous que deux chercheurs ont r\u00e9p\u00e9t\u00e9 le tournoi d&rsquo;Axelrod en incluant des strat\u00e9gies de d\u00e9terminant nul [2], et <strong>l&rsquo;une d&rsquo;elles (ZDGTFT-2) a battu toutes les autres, y compris \u00ab\u00a0donnant-donnant\u00a0\u00bb (TFT)<\/strong>, voir le tableau ci-contre extrait de [2].<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Mais un point qui n&rsquo;\u00e9tait pas du tout clair dans la publication d&rsquo;origine et que je n&rsquo;ai exhib\u00e9 qu&rsquo;avec l&rsquo;aide des commentaires d&rsquo;un billet pr\u00e9c\u00e9dent, c&rsquo;est le fait que la strat\u00e9gie ZDGTFT-2 est en fait une strat\u00e9gie d&rsquo;anti-extorsion, une strat\u00e9gie \u00ab\u00a0de sacrifice\u00a0\u00bb o\u00f9 l&rsquo;on choisit au contraire de s&rsquo;imposer un gain plus faible que l&rsquo;adversaire.<\/p>\n<h4 style=\"text-align:justify;\">Kramer contre Kramer<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Tel que je l&rsquo;ai d\u00e9crit jusqu&rsquo;ici, A fait un peu ce qu&rsquo;il veut de B. Oui mais le jeu est sym\u00e9trique ! <strong>Que se passe-t-il si B d\u00e9cide lui aussi de jouer une strat\u00e9gie du d\u00e9terminant nul ?<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Premi\u00e8re possibilit\u00e9, les joueurs essayent mutuellement de fixer le gain de l&rsquo;autre. Eh bien dans ce cas il n&rsquo;y a pas de contradiction : le gain de A est enti\u00e8rement d\u00e9termin\u00e9 par B, et celui de B enti\u00e8rement d\u00e9termin\u00e9 par A ! C&rsquo;est m\u00eame une situation fort int\u00e9ressante, car <strong>les deux joueurs peuvent passer un trait\u00e9 et se fixer mutuellement leurs gains \u00e0 une valeur identique<\/strong> et maximale. Ce qu&rsquo;il y a de bien, c&rsquo;est qu&rsquo;un joueur n&rsquo;a aucune incitation \u00e0 ne pas respecter le trait\u00e9, puisqu&rsquo;en le violant cela n&rsquo;aurait aucune incidence sur son propre gain !<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Autre cas de figure, les deux joueurs d\u00e9cident chacun d&rsquo;extorquer l&rsquo;autre d&rsquo;un facteur \\(\\chi\\). L\u00e0 \u00e9videmment, \u00e7a coince. Si on regarde le d\u00e9tail, on voit que dans ce cas <strong>les deux joueurs vont vers leur ruine mutuelle<\/strong>. En effet selon les calculs de Press et Dyson, la strat\u00e9gie d&rsquo;extorsion n\u00e9cessite de fixer p4=0. C&rsquo;est-\u00e0-dire que si j&rsquo;ai trahi et l&rsquo;autre aussi, au tour suivant je choisirai syst\u00e9matiquement de trahir. Vous voyez que si les deux joueurs appliquent cette strat\u00e9gie, il vont rapidement se trouver dans une spirale infernale de trahison mutuelle.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Cela transforme le jeu de mani\u00e8re int\u00e9ressante. Si le joueur A commence \u00e0 appliquer une strat\u00e9gie d&rsquo;extorsion et que le joueur B s&rsquo;en rend compte, il n&rsquo;a que deux options : jouer le jeu et se laisser extorquer, ou faire de m\u00eame et entra\u00eener les deux dans la ruine mutuelle. <strong>Ce principe ram\u00e8ne le dilemme du prisonnier \u00e0 ce qu&rsquo;on appelle un jeu de l&rsquo;ultimatum.<\/strong> Si le joueur B suit son propre int\u00e9r\u00eat uniquement, il doit accepter l&rsquo;injustice pour maximiser son score; mais il a la possibilit\u00e9 de s&rsquo;infliger lui-m\u00eame des pertes, dans le seul but de faire pression sur A pour qu&rsquo;il change de strat\u00e9gie. Comme le font remarquer Press et Dyson, cela d\u00e9pend si A a effectivement la possibilit\u00e9 de changer de strat\u00e9gie, ou bien s&rsquo;il a programm\u00e9 sa strat\u00e9gie et est parti ailleurs manger ou jouer au foot&#8230;<\/p>\n<h3 style=\"text-align:justify;\"><em>Pour aller plus loin&#8230;<\/em><\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Si vous \u00eates curieux je vous invite \u00e0 aller lire le papier directement. Un premier point int\u00e9ressant \u00e0 mentionner concerne le fait qu&rsquo;avec cette strat\u00e9gie on peut toujours manipuler un joueur \u00ab\u00a0\u00e9volutionnaire\u00a0\u00bb, que les auteurs d\u00e9finissent comme un joueur capable de modifier sa strat\u00e9gie (donc ses probabilit\u00e9s q1, &#8230;, q4) mais uniquement en fonction de son propre int\u00e9r\u00eat (c&rsquo;est-\u00e0-dire en maximisant son gain, mais sans tenir compte de celui de l&rsquo;adversaire). <\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Le second point \u00e0 remarquer concerne l&rsquo;apparente limitation \u00e0 des strat\u00e9gies n&rsquo;ayant la m\u00e9moire que d&rsquo;un seul tour. Press et Dyson (au fait, c&rsquo;est bien le physicien Freeman Dyson !) montrent que m\u00eame si un joueur A poss\u00e8de une strat\u00e9gie \u00e9labor\u00e9e prenant en compte les 42 tours pr\u00e9c\u00e9dents, alors si son adversaire B ne regarde lui que le dernier tour, tout se passe comme si A jouait une strat\u00e9gie plus simple ne consid\u00e9rant que le dernier tour. En gros, le joueur ayant la m\u00e9moire la plus courte fixe les strat\u00e9gies possibles. Rien ne sert d&rsquo;avoir la m\u00e9moire longue si votre adversaire a la m\u00e9moire courte ! Je ne suis pas s\u00fbr de comprendre compl\u00e8tement leur d\u00e9monstration, mais cela revient \u00e0 dire que se limiter aux strat\u00e9gies \u00e0 m\u00e9moire \u00e0 un tour&#8230;n&rsquo;est pas une limitation !<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Enfin pour ceux qui &#8211; comme moi &#8211; ont du mal \u00e0 croire au fait que les strat\u00e9gies de d\u00e9terminant nul marchent vraiment, je vous invite \u00e0 coder \u00e7a rapido. Ci-dessous mon bout de code Python&#8230;<\/em><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/gist.github.com\/anonymous\/14e40dc51d541be3daf9\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/gist.github.com\/anonymous\/14e40dc51d541be3daf9<\/a><\/p>\n<h4 style=\"text-align:justify;\">R\u00e9f\u00e9rences<\/h4>\n<p>[1] Press, William H., and Freeman J. Dyson. \u00ab\u00a0<a href=\"http:\/\/www.pnas.org\/content\/109\/26\/10409.full\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Iterated Prisoner\u2019s Dilemma contains strategies that dominate any evolutionary opponent<\/a>.\u00a0\u00bb Proceedings of the National Academy of Sciences 109.26 (2012): 10409-10413.<\/p>\n<p>[2] Stewart, Alexander J., and Joshua B. Plotkin. \u00ab\u00a0<a href=\"http:\/\/www.pnas.org\/content\/109\/26\/10134.full\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Extortion and cooperation in the Prisoner\u2019s Dilemma.<\/a>\u00a0\u00bb Proceedings of the National Academy of Sciences 109.26 (2012): 10134-10135.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La vid\u00e9o du jour est une introduction \u00e0 la th\u00e9orie des jeux ! Il y a deux choses que je voudrais ajouter en compl\u00e9ment, et qui concernent des strat\u00e9gies possibles : la premi\u00e8re \u00e0 Golden Balls, et la seconde au dilemme du prisonnier r\u00e9p\u00e9t\u00e9.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4,11],"tags":[18],"class_list":{"0":"post-8218","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"category-sciences-sociales","8":"tag-theorie-des-jeux"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8218","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8218"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8218\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8218"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8218"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8218"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}