Ma nouvelle vid\u00e9o porte sur le concept le plus simple et le plus d\u00e9routant des math\u00e9matiques : les nombres premiers !<\/p>\n
<\/iframe><\/p>\n<h3>Qu’est-ce qu’un nombre premier ?<\/h3>\n<p>Une petite pr\u00e9cision de d\u00e9finition pour commencer : je n’ai pas voulu alourdir l’introduction en donnant une d\u00e9finition totalement pr\u00e9cise de ce qu’est un nombre premier. Et je suis pass\u00e9 notamment sur cette convention de ne pas consid\u00e9rer 1 comme un nombre premier. Une mani\u00e8re \u00e9l\u00e9gante et compacte c’est de dire qu’un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs distincts (1 et lui-m\u00eame).<\/p>\n<h3>Le r\u00e9sultat de Zhang<\/h3>\n<p>Pour \u00eatre pr\u00e9cis, ce qu’\u00e0 montr\u00e9 Zhang [3], c’est qu’il existe une infinit\u00e9 de paires de nombres premiers cons\u00e9cutifs s\u00e9par\u00e9s d’un <em>gap<\/em> de moins de 70 millions. Je vous laisse vous convaincre que l’on en d\u00e9duit que forc\u00e9ment parmi les conjectures des nombres premiers jumeaux, cousins, sexys, etc. jusqu’\u00e0 70 millions, il y a en a au moins une de correcte.<!--more--><\/p>\n<p>Ce qui a \u00e9t\u00e9 ensuite accompli par <a href=\"http:\/\/michaelnielsen.org\/polymath1\/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">le projet Polymath 8 men\u00e9 par Terry Tao<\/a>, c’est de faire passer la borne de 70 millions \u00e0 246 (voir \u00e0 8 si on suppose certaines autres conjectures vraies).<\/p>\n<h3>La premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood<\/h3>\n<p>Passons au gros morceau. Je ne suis pas rentr\u00e9 dans les d\u00e9tails, mais ce que je raconte \u00e0 la fin correspond \u00e0 ce qu’on appelle les conjectures de Hardy-Littlewood [1]. Il faut savoir qu’on dispose de conjectures encore plus pr\u00e9cises concernant la r\u00e9partition des nombres premiers comme les jumeaux, les cousins, etc. et m\u00eame des combinaisons plus compliqu\u00e9es du type trois nombres premiers s\u00e9par\u00e9s par 2 puis 4 (p,p+2,p+6). On peut ainsi \u00e9noncer la conjecture suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>Conjecture (0,2,6)\u00a0: il existe une infinit\u00e9 de p tels que (p,p+2,p+6) soient premiers.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Et on peut g\u00e9n\u00e9raliser\u00a0! Prenons n\u2019importe quelle suite croissante de k\u00a0nombres nombres \\(0<a_2<a_3<\\cdots<a_k\\). On appelle cela <strong>un k-uplet<\/strong>. On peut poser<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Conjecture \\((0,a_2,a_3,\\cdots,a_k)\\) : il existe une infinit\u00e9 de p tels que \\((p,p+a_2,p+a_3,\\cdots,p+a_k)\\) soient tous premiers.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Alors attention, toutes ces conjectures ne sont pas vraies\u00a0! Certaines sont fausses de mani\u00e8re \u00ab\u00a0\u00e9vidente\u00a0\u00bb, par exemple la conjecture (0,2,4). Si p est premier, alors soit p+2, soit p+4, est forc\u00e9ment un multiple de 3 !<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Heureusement, il est assez facile de caract\u00e9riser les k-uplets pour lesquels\u00a0la conjecture est \u00ab\u00a0\u00e9videmment\u00a0\u00bb fausse. Tous les autres k-uplets sont dits \u00ab\u00a0admissibles\u00a0\u00bb, et <strong>on pense que pour tous les k-uplets admissibles, la conjecture est vraie<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>(Pour les violents, un k-uplet est admissible si pour tout p, il ne contient pas tous les restes possibles modulo p : \\(\\forall p\\ \\exists r\\ \\forall i\\ a_i\\not\\equiv r [p]\\))<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Continuons notre chemin. Prenons un k-uplet admissible \\((0,a_2,a_3,\\cdots,a_k)\\). Le plus grand nombre \\(a_k\\) est appel\u00e9 le diam\u00e8tre du k-uplet. Or ce qui est amusant pour un math\u00e9maticien, c\u2019est de regarder des k-uplets de plus petit diam\u00e8tre possible. En effet la conjecture \\((0,a_2,a_3,\\cdots,a_k)\\) associ\u00e9e \u00e0 ces k-uplets va correspondre \u00e0 des s\u00e9quences de nombres premiers aussi proches les uns des autres que possible. Un k-uplet admissible de diam\u00e8tre minimal est appel\u00e9<strong> une constellation<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Nous sommes enfin pr\u00eats \u00e0 \u00e9noncer la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood\u00a0! Elle nous dit deux choses\u00a0: premi\u00e8rement pour toute constellation \\((0,a_2,a_3,\\cdots,a_k)\\), il existe une infinit\u00e9 de nombres p tels que \\((p,p+a_2,\\cdots,p+a_k)\\) soient tous premiers\u00a0; deuxi\u00e8mement <strong>la r\u00e9partition des nombres p qui marchent n’est pas quelconque<\/strong>, mais suit asymptotiquement une loi imbitable\u00a0dont je vous \u00e9pargne l’\u00e9criture mais que vous pouvez trouver <a href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/k-TupleConjecture.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">ici<\/a>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">La conjecture de Hardy-Littlewood est donc beaucoup plus puissante que le conjecture des nombres premiers jumeaux, puisque non seulement elle la g\u00e9n\u00e9ralise \u00e0 tout un tas d’autres configurations, mais en plus elle ne se contente pas de dire qu’il y en a une infinit\u00e9, mais elle en propose une loi asymptotique pour leur r\u00e9partition !<\/p>\n<h3>La deuxi\u00e8me conjecture de Hardy-Littlewood<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">La deuxi\u00e8me conjecture de Hardy-Littlewood concerne la \u00ab\u00a0sous-additivit\u00e9\u00a0\u00bb de la fonction qui compte les nombres premiers<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">\\(\\Pi(M+N) – \\Pi(M) \\leq \\Pi(N)\\)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Comme je l’explique dans la vid\u00e9o, cette conjecture semble parfaitement vraie quand on essaye num\u00e9riquement. Et pourtant on pense qu’en allant suffisamment loin, elle devient fausse !<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">La raison, c’est qu’un jour <strong>un petit malin a d\u00e9montr\u00e9 que les deux conjectures de Hardy-Littlewood sont contradictoires [2] ! <\/strong>Et on pense que c’est plut\u00f4t la premi\u00e8re qui doit \u00eatre vraie, et donc la seconde doit poss\u00e9der un contre-exemple. Et gr\u00e2ce \u00e0 la r\u00e9partition asymptotique propos\u00e9e par la premi\u00e8re conjecture, on peut faire le portrait robot du contre exemple<\/p>\n<h3 style=\"text-align:justify;\">A la recherche du contre-exemple<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Revenons \u00e0 la d\u00e9finition d\u2019une constellation\u00a0: il s\u2019agit d\u2019un k-uplet de taille minimale. Si la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood est vraie, chaque constellation va donner naissance \u00e0 une infinit\u00e9 de s\u00e9quences de nombres premiers. Comme les constellations sont aussi petites que possibles, cela correspond donc \u00e0 <strong>des paquets de nombres premiers aussi proches que possible les uns des autres<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Eh bien figurez-vous qu’il existe des constellations comportant K nombres, dont le diam\u00e8tre D est tel que la quantit\u00e9 de nombres premiers entre 0 est D est inf\u00e9rieure \u00e0 K\u00a0:\u00a0\\(\\Phi(D)<K\\). Ca veut dire que si \u2013 comme l\u2019affirme la premi\u00e8re conjecture \u2013 ces constellations donnent effectivement naissance \u00e0 ne serait-ce qu\u2019une seule s\u00e9quence de nombre premiers \\((p,p+a_2,\\cdots,p+a_k)\\), alors cette s\u00e9quence va violer la deuxi\u00e8me conjecture\u00a0: elle contiendra plus de nombres premiers que l\u2019intervalle situ\u00e9 entre 0 et D. Vous voyez donc que <strong>si la premi\u00e8re conjecture est vraie, elle permet de construire des contres-exemples \u00e0 la deuxi\u00e8me<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Soyons clairs, des constellations int\u00e9ressantes susceptibles de fournir ces contre-exemples, il n\u2019y en a pas l\u00e9gion\u00a0! Une des plus petites comporte 447 nombres et son diam\u00e8tre est 3159. Or il n\u2019y a que 446 nombres premiers entre 2 et 3159.\u00a0 Ce qu\u2019il y a d\u2019int\u00e9ressant, c\u2019est que la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood permet d\u2019estimer la r\u00e9partition des nombres premiers bas\u00e9s sur une constellation donn\u00e9e. Et pour celle dont je viens de parler, le premier exemple est attendu quelque part entre \\(10^{174}\\) et \\(10^{1197}\\) (voir [4]). On n’est probablement pas pr\u00e8s de le trouver\u00a0!<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Enfin petite sp\u00e9culation pour finir\u00a0: comme la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood\u00a0ne donne qu\u2019une r\u00e9partition asymptotique des contre-exemples, je me demande si on peut imaginer que cette estimation soit assez fausse\u00a0pour les petites valeurs, et donc qu\u2019un contre-exemple soit trouv\u00e9 beaucoup plus t\u00f4t qu\u2019attendu\u00a0?<\/p>\n<hr \/>\n<h4 style=\"text-align:justify;\">R\u00e9f\u00e9rences<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">[1] Hardy, Godfrey H., and John E. Littlewood. \u00ab\u00a0Some problems of \u2018Partitio numerorum\u2019; III: On the expression of a number as a sum of primes.\u00a0\u00bb <i>Acta Mathematica<\/i> 44.1 (1923): 1-70.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">[2] Richards, Ian. \u00ab\u00a0On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem.\u00a0\u00bb <i>Bull. Amer. Math. Soc<\/i> 80 (1974).<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">[3] Zhang, Yitang. \u00ab\u00a0<a href=\"http:\/\/www.valleytalk.org\/wp-content\/uploads\/2013\/05\/YitangZhang.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Bounded gaps between primes.<\/a>\u00a0\u00bb <i>Annals of Mathematics<\/i> (2013).<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">[4] <a href=\"http:\/\/www.opertech.com\/primes\/residues.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Le site de Thomas J Engelsma<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ma nouvelle vid\u00e9o porte sur le concept le plus simple et le plus d\u00e9routant des math\u00e9matiques : les nombres premiers ! Qu’est-ce qu’un nombre premier ? Une petite pr\u00e9cision de d\u00e9finition pour commencer : je n’ai pas voulu alourdir l’introduction en donnant une d\u00e9finition totalement pr\u00e9cise de ce qu’est un nombre premier. 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