{"id":7749,"date":"2015-10-09T17:00:26","date_gmt":"2015-10-09T15:00:26","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=7749"},"modified":"2015-10-09T17:00:26","modified_gmt":"2015-10-09T15:00:26","slug":"le-principe-dincertitude-de-heisenberg-avec-des-sons","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2015\/10\/09\/le-principe-dincertitude-de-heisenberg-avec-des-sons\/","title":{"rendered":"Le principe d’incertitude de Heisenberg avec des sons"},"content":{"rendered":"

\"hei1\"<\/a>La semaine derni\u00e8re, je vous ai propos\u00e9 une vid\u00e9o d’introduction \u00e0 la m\u00e9canique quantique<\/a>. Comme on peut s’en douter avec ce genre de sujet, pas mal de commentaires ont \u00e9t\u00e9 faits et beaucoup de questions ont \u00e9t\u00e9 soulev\u00e9es, et les r\u00e9ponses ne se trouvaient pas toujours dans la vid\u00e9o ou dans le billet qui l’accompagnait.<\/p>\n

Je voudrais aujourd’hui revenir sur un point particulier : l’analogie que j’ai faite entre le principe d’incertitude d’Heisenberg et le rapport entre la dur\u00e9e et la fr\u00e9quence d’un son<\/strong>. Cette image\u00a0n’a pas convaincu tout le monde, alors je vais la d\u00e9tailler un peu, et essayer de vous persuader qu’elle est en fait bien mieux qu’une analogie : il s’agit pour ainsi dire du m\u00eame ph\u00e9nom\u00e8ne que le principe d’incertitude de Heisenberg !<\/p>\n

Le spectre d’un son<\/h3>\n

Consid\u00e9rons ce qu’on visualise g\u00e9n\u00e9ralement quand on enregistre un son : l’intensit\u00e9 du signal sonore en fonction du temps. Ci-dessous vous voyez un exemple d’un signal enregistr\u00e9 (un des sons de ma guitare que j’utilise dans la vid\u00e9o).<\/p>\n

\"Capture<\/a><\/p>\n

On va noter \\(x(t)\\) cette intensit\u00e9 en fonction du temps. (Dans un enregistrement num\u00e9rique, ce signal \\(x(t)\\) n’est pas une fonction continue du temps, puisque le son est \u00e9chantillonn\u00e9 \u00e0 une certaine fr\u00e9quence, par exemple 44 000 Hz. Mais en pratique si la fr\u00e9quence d’\u00e9chantillonnage est suffisamment \u00e9lev\u00e9e, on peut faire comme si le signal \u00e9tait continu.)<\/p>\n

Quand on a un signal de ce genre, on peut consid\u00e9rer sa d\u00e9composition en fr\u00e9quences, c’est-\u00e0-dire essayer de le repr\u00e9senter comme une somme de sinuso\u00efdes. Math\u00e9matiquement pour faire cette d\u00e9composition on effectue une op\u00e9ration appel\u00e9e transform\u00e9e de Fourier<\/strong>.<\/p>\n

Le coefficient de Fourier associ\u00e9 \u00e0 la fr\u00e9quence \\(f\\) pour le signal \\(x(t)\\) se calcule par<\/p>\n

\\(\\displaystyle X(f) = \\int dt\\ x(t) e^{2i\\pi f x}\\)<\/p>\n

En repr\u00e9sentant la norme de \\(X(f)\\) en fonction de f, on obtient l’intensit\u00e9 de chacune des fr\u00e9quences de la d\u00e9composition, ce qu’on appelle parfois le spectre du signal<\/strong>.\u00a0Dans ma vid\u00e9o, j’ai montr\u00e9 rapidement comment faire l’op\u00e9ration avec Audacity, un logiciel de traitement du son qui permet notamment d’analyser et de tracer rapidement le spectre d’un enregistrement sonore.<\/p>\n

\"Capture<\/a><\/p>\n

Le spectre d’un signal court<\/h3>\n

Ce que j’expliquais dans la vid\u00e9o, c’est que la dur\u00e9e d’un signal et l’\u00e9talement de son spectre sont li\u00e9s par une relation analogue \u00e0 celle du principe d’incertitude<\/strong>. Cette relation implique qu’il est impossible d’avoir un son qui soit \u00e0 la fois tr\u00e8s court et poss\u00e9dant un spectre tr\u00e8s pur. Nous allons voir num\u00e9riquement et math\u00e9matiquement pourquoi c’est vrai, et en quoi \u00e7a a \u00e0 voir avec Heisenberg.<\/p>\n

Pour s’en convaincre, on va faire tout \u00e7a proprement en g\u00e9n\u00e9rant nous m\u00eame un signal et en faisant la transform\u00e9e de Fourier (pour ceux que \u00e7a int\u00e9resse, j’ai fait \u00e7a en\u00a0Python.)<\/p>\n

Consid\u00e9rons un signal \u00e9chantillonn\u00e9 \u00e0 44 000 Hz et compos\u00e9 d’une sinuso\u00efde pure de fr\u00e9quence 440 Hz, le fameux \u00ab\u00a0La\u00a0\u00bb qui sert de r\u00e9f\u00e9rence aux musiciens.<\/p>\n

\"Capture<\/a><\/p>\n

Je vous ai repr\u00e9sent\u00e9 ci-dessus 0,1 seconde d’un tel signal et vous pouvez compter 44 p\u00e9riodes d’oscillations sur le graphique.<\/p>\n

Consid\u00e9rons une seconde enti\u00e8re de ce signal<\/strong> (elle contient donc 440 p\u00e9riodes de la sinuso\u00efde), calculons sa transform\u00e9e de Fourier et tra\u00e7ons le spectre associ\u00e9.<\/p>\n

\"Capture<\/a><\/p>\n

Vous voyez que c’est z\u00e9ro partout et qu’il y a un pic parfait \u00e0 440 Hz. Logique, non ? C’est la fr\u00e9quence de notre sinuso\u00efde !<\/p>\n

Tr\u00e8s bien. Maintenant raccourcissons la dur\u00e9e du signal, de sorte qu’il ne fasse que 0,05 secondes<\/strong>, et ne contienne donc que 22 p\u00e9riodes. Voici le signal et le spectre que l’on obtient :<\/p>\n

\"Capture<\/a><\/p>\n

Vous remarquez quelque chose ? On voit des fr\u00e9quences parasites appara\u00eetre<\/strong>, \u00e0 un niveau heureusement assez faible. Poussons le bouchon avec un signal ne contenant que 10 p\u00e9riodes<\/p>\n

\"Capture<\/a><\/p>\n

Puis 5 p\u00e9riodes<\/p>\n

\"Capture<\/a><\/p>\n

Et carr\u00e9ment une seule p\u00e9riode :<\/p>\n

\"Capture<\/a><\/p>\n

Vous voyez le ph\u00e9nom\u00e8ne ? Plus on raccourcit la dur\u00e9e du signal sinuso\u00efdal, plus des fr\u00e9quences parasites viennent s’ajouter et produire au final un spectre bien plus \u00e9tal\u00e9<\/strong> que le pur \u00ab\u00a0440Hz\u00a0\u00bb que l’on attendait.<\/p>\n

La justification math\u00e9matique<\/h3>\n

Ce ph\u00e9nom\u00e8ne d’\u00e9talement du spectre n’est pas un artefact num\u00e9rique li\u00e9 \u00e0 l’algorithme qui fait la transform\u00e9e de Fourier, c’est une r\u00e9alit\u00e9 math\u00e9matique : plus un signal est court, plus sa largeur spectrale est importante. Et ce m\u00eame quand on a un signal que l’on imagine \u00eatre \u00ab\u00a0pur\u00a0\u00bb en fr\u00e9quence.<\/p>\n

Je voudrais donner plusieurs arguments pour expliquer ce ph\u00e9nom\u00e8ne : un argument plut\u00f4t physique, un argument num\u00e9rique et un argument franchement th\u00e9orique.<\/p>\n

Sur l’aspect physique des choses, souvenez vous qu’un spectre repr\u00e9sente une d\u00e9composition du signal sonore. En particulier il est possible de reconstruire le son d’origine en superposant des sinuso\u00efdes pures<\/strong> dont les coefficients sont donn\u00e9s par la transform\u00e9e de Fourier (c’est la transform\u00e9e de Fourier inverse).<\/p>\n

Il est du coup facile d’imaginer qu’un signal sinuso\u00efdal infiniment long et un signal sinuso\u00efdal fini ne peuvent pas avoir le m\u00eame spectre, puisqu’en faisant l’op\u00e9ration de transform\u00e9e de Fourier inverse on doit retomber sur le signal d’origine. Si la sinuso\u00efde infiniment longue a un spectre pur ne contenant qu’une fr\u00e9quence, alors la sinuso\u00efde \u00ab\u00a0finie\u00a0\u00bb doit forc\u00e9ment contenir d’autres fr\u00e9quences<\/strong>. Physiquement on peut comprendre que ces fr\u00e9quences suppl\u00e9mentaires sont n\u00e9cessaires car pour passer de la zone de 0 \u00e0 une sinuso\u00efde, puis revenir \u00e0 0, il faut introduire des fr\u00e9quences suppl\u00e9mentaires, et ce d’autant plus que la dur\u00e9e de la sinuso\u00efde est courte.<\/p>\n

Un argument un peu plus num\u00e9rique mais qui dit la m\u00eame chose, plut\u00f4t pour ceux qui connaissent un peu la transform\u00e9e de Fourier. Un r\u00e9sultat tr\u00e8s important c’est que la transform\u00e9e de Fourier d’un produit de 2 signaux est \u00e9gale \u00e0 la convolution des transform\u00e9es de Fourier de ces signaux<\/strong>. Or une sinuso\u00efde de dur\u00e9e finie peut-\u00eatre vue comme le produit d’une sinuso\u00efde infinie et d’une fonction \u00ab\u00a0porte\u00a0\u00bb qui vaut 1 l\u00e0 o\u00f9 la sinuso\u00efde est allum\u00e9e, et 0 l\u00e0 o\u00f9 elle est \u00e9teinte.<\/p>\n

La transform\u00e9e de Fourier de la sinuso\u00efde finie va donc n\u00e9cessairement contenir par convolution la transform\u00e9e de Fourier de la porte<\/strong>, et c’est celle-l\u00e0 m\u00eame qui provoque l’\u00e9talement du spectre.<\/p>\n

(Petite digression : cet effet de porte peut justement \u00eatre assez g\u00eanant quand vous voulez analyser le spectre d’un signal fini…ce qui souvent est le cas en pratique ! C’est pour \u00e7a que lorsqu’on traite un signal on essaye de le multiplier par une fonction qui va cro\u00eetre puis d\u00e9croitre d’une mani\u00e8re plus douce que la porte brutale, et ce afin de minimiser les fr\u00e9quences parasites. On parle de fonction \u00ab\u00a0fen\u00eatre\u00a0\u00bb et il en existe tout un tas, mais par d\u00e9finition aucune ne peut \u00eatre parfaite. D’ailleurs si vous faites de l’analyse de spectre avec Audacity, il est vraissemblable qu’il int\u00e8gre d\u00e9j\u00e0 ce genre de correction.)<\/em><\/p>\n

Un th\u00e9or\u00e8me math\u00e9matique !<\/h3>\n

Dernier argument purement th\u00e9orique, on peut d\u00e9montrer une forme math\u00e9matiquement pr\u00e9cise et g\u00e9n\u00e9rique de cette id\u00e9e que l’\u00e9talement temporel d’un signal et son \u00e9talement spectral ne peuvent pas \u00eatre simultan\u00e9ment aussi petits que l’on veut.<\/p>\n

Ce th\u00e9or\u00e8me dit que<\/p>\n

\\(\\displaystyle V(x)V(X) \\geq \\frac{1}{16}\\pi^2\\)<\/p>\n

o\u00f9 \\(V(x)\\) repr\u00e9sente la variance du signal et \\(V(X)\\) la variance de sa transform\u00e9e de Fourier, d\u00e9finies comme<\/p>\n

\\(\\displaystyle V(x) = \\int dt\\ t^2 x(t)\\)<\/p>\n

\\(\\displaystyle V(X) = \\int df\\ f^2 X(f)\\)<\/p>\n

(ici on suppose un signal centr\u00e9 sur z\u00e9ro mais le r\u00e9sultat reste m\u00eame si \u00e7a n’est pas le cas).<\/p>\n

Bref j’esp\u00e8re vous avoir convaincu que ce que je raconte dans la vid\u00e9o est absolument correct : la dur\u00e9e et la largeur spectrale d’un son ne peuvent pas \u00eatre simultan\u00e9ment aussi petites que l’on veut, leur produit est born\u00e9 inf\u00e9rieurement d’une mani\u00e8re qui rappelle furieusement Heisenberg<\/strong>.<\/p>\n

Ce que nous dit ce r\u00e9sultat, c’est que LA fr\u00e9quence d’un son et LE moment o\u00f9 il se produit ne sont pas des concepts parfaitement d\u00e9termin\u00e9s.<\/p>\n

Notez bien que ce th\u00e9or\u00e8me est totalement g\u00e9n\u00e9rique : prenez une fonction math\u00e9matique, prenez sa transform\u00e9e de Fourier : il existe une in\u00e9galit\u00e9 qui dit que plus l’une est localis\u00e9e, moins l’autre peut l’\u00eatre.<\/p>\n

Pourquoi Heisenberg c’est \u00e7a ?<\/h3>\n

Le lien avec la m\u00e9canique quantique c’est que c’est exactement ce qui s’y passe pour l’onde de probabilit\u00e9 en position et l’onde de probabilit\u00e9 en impulsion. Elles sont la transform\u00e9e de Fourier l’une de l’autre !<\/p>\n

Si \\(\\Psi(x)\\) est l’amplitude de probabilit\u00e9 en position, alors \\(\\Phi(p)\\) l’amplitude de probabilit\u00e9 en impulsion vaut<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\Phi(p) = \\int\\ dx \\Psi(x) e^{ipx\/\\hbar}.\\)<\/p>\n

Dans cette relation, l’impulsion \\(p\\) joue le r\u00f4le de fr\u00e9quence spatiale pour l’onde de probabilit\u00e9.<\/p>\n

La probabilit\u00e9 en position et celle en impulsion \u00e9tant transform\u00e9es de Fourier l’une de l’autre, il existe entre ces deux fonctions la m\u00eame in\u00e9galit\u00e9 que ce qu’on a vu pr\u00e9c\u00e9demment : plus notre particule est localis\u00e9e en position, moins elle l’est en impulsion, et r\u00e9ciproquement !<\/strong><\/p>\n

Et pr\u00e9cision importante, comme dans le cas du son, il s’agit bien d’une relation d’ind\u00e9termination<\/strong> : il n’y a pas de sens \u00e0 parler de LA position et de LA fr\u00e9quence d’une une onde de probabilit\u00e9. Ces concepts ne sont pas parfaitement d\u00e9termin\u00e9s simultan\u00e9ment.<\/p>\n

Evidemment sur le plan exp\u00e9rimental, cette ind\u00e9termination va se traduire par ce qui ressemble \u00e0 une incertitude : si je prends plein de particules d\u00e9crites toutes par le m\u00eame \u00e9tat (la m\u00eame fonction d’onde) et que je les mesure plein de fois, je vais observer une dispersion en position et en vitesse. Mais cette dispersion n’est pas de nature exp\u00e9rimentale mais bien fondamentale, c’est une ind\u00e9termination et pas une incertitude.<\/p>\n

Apparemment la petite histoire c’est qu’Heisenberg dans son article original avait utilis\u00e9 le mot allemand pour ind\u00e9termination<\/strong> (\u00ab\u00a0Ungenauigkeit\u00a0\u00bb), mais avait aussi employ\u00e9 une fois le mot pour incertitude (\u00ab\u00a0Unsicherheit\u00a0\u00bb). Quand le concept a \u00e9t\u00e9 traduit et popularis\u00e9, c’est malheureusement celui-ci qui a \u00e9t\u00e9 retenu…m\u00eame s’il est finalement un peu inappropri\u00e9 !<\/p>\n

Voil\u00e0 j’esp\u00e8re que tout cela vous aide \u00e0 bien comprendre ce principe d’incertitude\/ind\u00e9termination, qui n’est en fin de compte pas si myst\u00e9rieux car tout \u00e0 fait naturel dans le cas du son.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La semaine derni\u00e8re, je vous ai propos\u00e9 une vid\u00e9o d’introduction \u00e0 la m\u00e9canique quantique. Comme on peut s’en douter avec ce genre de sujet, pas mal de commentaires ont \u00e9t\u00e9 faits et beaucoup de questions ont \u00e9t\u00e9 soulev\u00e9es, et les r\u00e9ponses ne se trouvaient pas toujours dans la vid\u00e9o ou dans le billet qui l’accompagnait.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[42],"class_list":{"0":"post-7749","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-mecanique-quantique"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7749","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7749"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7749\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7749"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7749"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7749"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}