{"id":7667,"date":"2015-09-11T17:30:25","date_gmt":"2015-09-11T15:30:25","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=7667"},"modified":"2015-09-11T17:30:25","modified_gmt":"2015-09-11T15:30:25","slug":"leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2015\/09\/11\/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112\/","title":{"rendered":"L’effet Casimir…et le retour de 1+2+3+4+5+…=-1\/12 !"},"content":{"rendered":"

\"casimirs\"<\/a>Cela fait plusieurs fois ces derniers temps que je vous parle de l’\u00e9nergie du vide<\/strong>, sous une forme ou sous une autre.<\/p>\n

Je vous ai d\u00e9j\u00e0 expliqu\u00e9 qu’en cosmologie, l’expansion acc\u00e9l\u00e9r\u00e9e de l’Univers peut s’interpr\u00e9ter comme \u00e9tant due \u00e0 une forme d’\u00e9nergie du vide (voir ce billet<\/a>).<\/p>\n

Par ailleurs, du c\u00f4t\u00e9 de l’infiniment petit, la th\u00e9orie quantique des champs pr\u00e9dit justement que le vide doit poss\u00e9der une \u00e9nergie<\/strong>.<\/p>\n

Mais manque de bol, comme je le racontais dans ma vid\u00e9o sur le sujet<\/a>, l’\u00e9nergie du vide pr\u00e9dite par la th\u00e9orie quantique est \\(10^{120}\\) fois trop \u00e9lev\u00e9e pour expliquer l’expansion de l’Univers que l’on observe exp\u00e9rimentalement !<\/p>\n

Aujourd’hui je voudrai revenir justement sur cette facette quantique de l’\u00e9nergie du vide. Les calculs de la th\u00e9orie quantique des champs conduisant \u00e0 une valeur aussi ridiculement \u00e9lev\u00e9e, on est en droit de penser qu’il y a quelque chose de fondamentalement faux dans le raisonnement qui conduit \u00e0 cette \u00e9nergie du vide \u00ab\u00a0quantique\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Or il se trouve qu’il existe une exp\u00e9rience qui permet de mettre en \u00e9vidence une cons\u00e9quence bien r\u00e9elle de cette \u00e9nergie quantique du vide<\/strong> : l’effet Casimir.<\/p>\n

Dans ce billet, je vais vous pr\u00e9senter ce qu’est l’effet Casimir, comment il d\u00e9coule de la th\u00e9orie quantique des champs, et en plus vous allez voir qu’il va nous permettre de reparler de l’inf\u00e2me et immonde somme<\/p>\n

\\(\\displaystyle 1+2+3+4+5+6+\\cdots = -\\frac{1}{12}\\)<\/p>\n

L’effet Casimir a \u00e9t\u00e9 baptis\u00e9 ainsi non pas en r\u00e9f\u00e9rence au personnage de l’\u00eele aux enfants, mais au physicien hollandais Hendrik Casimir, qui travaillait \u00e0 l’\u00e9poque chez Philips. L’effet Casimir, c’est le fait que dans un vide parfait, deux plaques m\u00e9talliques parfaitement conductrices doivent s’attirer<\/strong> avec une force inversement proportionnelle au carr\u00e9 de la distance qui les s\u00e9pare, et ce…\u00e0 cause de l’\u00e9nergie du vide !<\/p>\n

Pr\u00e9dit en 1948 par Casimir, cet effet n’a \u00e9t\u00e9 observ\u00e9 exp\u00e9rimentalement pour la premi\u00e8re fois qu’en 1997<\/strong>. Alors pour comprendre comment Casimir en est arriv\u00e9 l\u00e0 gr\u00e2ce \u00e0 ses calculs, revenons d’abord sur ce qu’est cette myst\u00e9rieuse \u00e9nergie du vide qui appara\u00eet en m\u00e9canique quantique.<\/p>\n

Un simple ressort<\/h3>\n

Consid\u00e9rez le probl\u00e8me simple d’une masse \\(m\\) plac\u00e9e \u00e0 l’extr\u00e9mit\u00e9 d’un ressort de raideur \\(k\\). On va n\u00e9gliger la gravit\u00e9 et toute forme de frottement.<\/p>\n

Je pense que c’est au programme du lyc\u00e9e scientifique de montrer que si on met la masse en mouvement, elle va osciller autour de sa position d’\u00e9quilibre \u00e0 une fr\u00e9quence (ou plut\u00f4t une pulsation)<\/p>\n

\\(\\displaystyle\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}}\\).<\/p>\n

Un autre truc simple qu’on peut \u00e9crire sur ce syst\u00e8me (toujours programme de lyc\u00e9e je pense), c’est son \u00e9nergie m\u00e9canique totale<\/strong> : la somme de son \u00e9nergie cin\u00e9tique (qui d\u00e9pend de la vitesse v) et de l’\u00e9nergie potentielle \u00e9lastique du ressort, qui d\u00e9pend de l’\u00e9longation x du ressort<\/p>\n

\\(\\displaystyle E=\\frac12 mv^2 + \\frac12kx^2\\)<\/p>\n

Vous voyez sur cette expression que l’\u00e9nergie m\u00e9canique est minimale et nulle quand v=0 et x=0<\/strong>, c’est-\u00e0-dire quand la masse est immobile dans la position o\u00f9 le ressort a une \u00e9longation nulle.<\/p>\n

\u00c7a para\u00eet normal, non ?<\/p>\n

\"energie<\/p>\n

Un ressort quantique<\/h3>\n

Maintenant imaginez que le ressort que nous venons de consid\u00e9rer soit microscopique, et ob\u00e9isse donc aux lois de la m\u00e9canique quantique. Le principe d’incertitude de Heisenberg nous dit qu’un objet quantique ne peut pas avoir simultan\u00e9ment une position et une vitesse parfaitement d\u00e9finies<\/strong>. Donc en particulier la position et la vitesse de notre masse ne peuvent pas \u00eatre toutes les deux nulles en m\u00eame temps : cela implique que l’\u00e9nergie m\u00e9canique totale de notre ressort (je devrais plut\u00f4t dire \u00ab\u00a0oscillateur harmonique\u00a0\u00bb) ne pourra jamais \u00eatre parfaitement \u00e9gale \u00e0 0.<\/p>\n

On peut interpr\u00e9ter \u00e7a en disant que les fluctuations quantiques de la position et de la vitesse contribueront \u00e0 un minimum d’\u00e9nergie, m\u00eame quand le ressort est suppos\u00e9ment\u00a0au repos. On appelle ce minimum l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro<\/strong>.<\/p>\n

Il faut savoir que m\u00eame sans faire les v\u00e9ritables calculs de la m\u00e9canique quantique, on peut quand m\u00eame estimer avec les mains la valeur de ce minimum d’\u00e9nergie<\/strong>.\u00a0Le principe d’incertitude de Heisenberg nous dit qu’au mieux on a \\(px\\approx\\hbar\\) donc<\/p>\n

\\(\\displaystyle mvx \\sim \\hbar\\)<\/p>\n

On peut alors en tirer que \\(v\\) vaut au minimum \\(\\hbar\/mx\\), injecter \u00e7a dans l’expression de l’\u00e9nergie m\u00e9canique totale et minimiser par rapport \u00e0 x. Je vous passe les calculs mais on trouve alors que l’\u00e9nergie minimum d’un oscillateur harmonique quantique<\/strong> est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

\\(\\displaystyle E_0 = \\frac12\\hbar\\omega\\)<\/p>\n

o\u00f9 je vous le rappelle \\(\\omega\\) est la fr\u00e9quence de l’oscillateur.<\/p>\n

Un champ \u00e9lectromagn\u00e9tique quantique<\/h3>\n

Consid\u00e9rez maintenant le champ \u00e9lectromagn\u00e9tique. On peut toujours voir toute onde \u00e9lectromagn\u00e9tique comme la superposition d’ondes poss\u00e9dant chacune une fr\u00e9quence bien d\u00e9finie, et qui ob\u00e9issent \u00e0 des \u00e9quations qui sont analogues \u00e0 celles d’un oscillateur harmonique. Evidemment je vous demande de me croire sur parole, mais on peut montrer que si l’on prend en compte les effets quantiques, le champ \u00e9lectromagn\u00e9tique poss\u00e8de lui aussi une \u00e9nergie de point z\u00e9ro<\/strong> \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\frac12\\hbar\\omega\\)<\/p>\n

pour chacune de ses fr\u00e9quences \\(\\omega\\) possibles. Cette \u00e9nergie minimale du champ \u00e9lectromagn\u00e9tique quantique sera l\u00e0 quoi qu’il arrive, m\u00eame si on est dans le vide parfait, dans lequel a priori aucune onde \u00e9lectromagn\u00e9tique ne se propage. Cette \u00e9nergie de point z\u00e9ro se comporte donc comme une forme d’\u00e9nergie du vide<\/strong>.<\/p>\n

\"casimir-706x530-1425276452\"<\/a>Evidemment vous voyez sans doute le probl\u00e8me : puisqu’il y a un nombre infini de fr\u00e9quences possibles, tout \u00e7a nous fait une \u00e9nergie du vide infinie !<\/strong> Mais faisons mine d’ignorer cette difficult\u00e9 pour l’instant.<\/p>\n

Pour rendre un peu moins critique le probl\u00e8me des infinis, on peut s’amuser \u00e0 r\u00e9duire les fr\u00e9quences possibles en enfermant notre champ \u00e9lectromagn\u00e9tique entre deux plaques m\u00e9talliques. En effet sur des plaques parfaitement conductrices, le champ \u00e9lectrique doit s’annuler : ainsi les fr\u00e9quences susceptibles de s’\u00e9tablir entre deux plaques parall\u00e8les sont limit\u00e9es, de la m\u00eame mani\u00e8re qu’une corde de guitare attach\u00e9e en ses deux extr\u00e9mit\u00e9s ne vibre qu’\u00e0 certaines fr\u00e9quences.<\/p>\n

\"quantification<\/a><\/p>\n

Pour une guitare, les fr\u00e9quences possibles sont les multiples de sa fr\u00e9quence fondamentale. Eh bien pour le champ \u00e9lectromagn\u00e9tique c’est pareil : si x d\u00e9signe la distance entre les deux plaques, les seules fr\u00e9quences du champ \u00e9lectromagn\u00e9tique susceptibles d’exister sont les multiples entiers de la fr\u00e9quence fondamentale<\/strong><\/p>\n

\\(\\displaystyle \\omega_0 = \\cfrac{\\pi c}{x}\\)<\/p>\n

o\u00f9 \\(c\\) est la vitesse de propagation des ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques, c’est-\u00e0-dire la vitesse de la lumi\u00e8re !<\/p>\n

Si on calcule l’\u00e9nergie du vide totale qui se trouve entre deux plaques m\u00e9tallique, on trouve donc<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac12 \\hbar (n\\omega_0) = \\frac12\\hbar\\omega_0\\left(\\sum_{n=1}^{+\\infty} n\\right)\\)<\/p>\n

Evidemment, tout ceci est encore m\u00e9chamment infini, mais vous allez voir qu’on peut quand m\u00eame en faire quelque chose !<\/p>\n

Plus il y a de fr\u00e9quences qui peuvent exister, plus l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro sera \u00e9lev\u00e9e. Or intuitivement on sent que si on rapproche les deux plaques, il y a de moins en moins de modes qui vont pouvoir s’\u00e9tablir, donc cela va faire diminuer l’\u00e9nergie. Or qui dit \u00ab\u00a0possibilit\u00e9 de baisser l’\u00e9nergie en bougeant\u00a0\u00bb dit \u00ab\u00a0force\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Voici donc l’argument intuitif pour l’effet Casimir : deux plaques m\u00e9talliques parfaitement conductrices plac\u00e9es dans le vide vont s’attirer car leur rapprochement permet de minimiser l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro du champ \u00e9lectromagn\u00e9tique dans la cavit\u00e9<\/strong>.<\/p>\n

Tout \u00e7a c’est tr\u00e8s bien, mais pour l’instant je ne fais qu’agiter les mains et \u00e9crire des \u00e9quations qui valent toujours l’infini. Alors est-ce que l’on peut calculer quelque chose de raisonnable et mesurable exp\u00e9rimentalement pour cette force ? Casimir nous dit que oui !<\/p>\n

Le raccourci 1+2+3+4+5+\u2026=-1\/12<\/h3>\n

Un peu plus bas, je vais d\u00e9tailler pour ceux que \u00e7a int\u00e9resse le calcul v\u00e9ritable tel que l’avait plus ou moins propos\u00e9 Casimir. Mais avant je voudrais vous montrer un raccourci qui va nous donner la r\u00e9ponse tout de suite en deux lignes !<\/strong> Si vous vous int\u00e9ressez un peu \u00e0 la vulgarisation scientifique (ce que je suppose si vous avez tenu jusque l\u00e0), vous n’avez pas \u00e9chapp\u00e9 aux nombreux d\u00e9bats qu’il y a eu il y a quelques mois au sujet de apparemment absurde affirmation que la somme de tous les entiers jusqu’\u00e0 l’infini \u00e9tait \u00e9gale \u00e0 -1\/12.<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\sum_n n = -\\frac{1}{12}\\)<\/p>\n

Je ne vais pas revenir sur les raisons pour lesquelles cette affirmation n’est pas compl\u00e8tement d\u00e9bile, j’en ai d\u00e9j\u00e0 longuement parl\u00e9 ici<\/a>, mais je vais vous illustrer le fait que ce r\u00e9sultat peut servir en physique.<\/p>\n

Reprenons le calcul de l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro totale qui se trouve entre deux plaques m\u00e9talliques parfaitement conductrices est donc a priori<\/p>\n

\\(\\displaystyle \\frac12\\hbar\\omega_0 \\left(\\sum_{n=1}^{+\\infty} n\\right) = \\frac12 \\frac{\\hbar c \\pi}{x}\\left(\\sum_{n=1}^{+\\infty} n\\right) \\)<\/p>\n

Si j’applique mon \u00e9galit\u00e9 inf\u00e2me qui dit que\u00a0la somme de tous les entiers vaut -1\/12, je trouve\u00a0pour l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro en fonction de la distance \\(x\\) entre les plaques<\/p>\n

\\(\\displaystyle E(x) = -\\frac{\\pi\\hbar c}{24 x}\\)<\/p>\n

La force de Casimir<\/h3>\n

Nous avons gr\u00e2ce \u00e0 notre raccourci obtenu une expression finie pour l’\u00e9nergie du vide contenue entre deux plaques parall\u00e8les infinies parfaitement conductrices. On voit bien que l’\u00e9nergie diminue quand les plaques se rapprochent, signe qu’il existe une force attractive entre elles.<\/p>\n

On peut voir cette \u00e9nergie comme une \u00e9nergie \u00ab\u00a0potentielle\u00a0\u00bb, et classiquement l’expression de la force s’obtient en d\u00e9rivant par rapport \u00e0 \\(x\\), on trouve<\/p>\n

\\(\\displaystyle F(x) = \\frac{\\pi\\hbar c}{24 x^2}\\)<\/p>\n

Et vous avez l\u00e0 l’expression de la force de Casimir, qui n’est pas du tout infinie.<\/strong> On peut calculer sa valeur pour une distance donn\u00e9e; et comme je vous le disais en introduction, cette force a \u00e9t\u00e9 observ\u00e9e exp\u00e9rimentalement<\/strong> et les valeurs mesur\u00e9es pour la force en fonction de la distance sont en accord avec la pr\u00e9diction th\u00e9orique !<\/p>\n

(Pour les curieux :\u00a0Bressi, Giacomo, et al. \u00ab\u00a0Measurement of the Casimir force between parallel metallic surfaces.<\/a>\u00a0\u00bb Physical review letters 88.4 (2002): 041804.)<\/em><\/p>\n

Donc deux conclusions \u00e9tonnantes s’imposent :<\/p>\n

Premi\u00e8rement, l’\u00e9nergie du vide semble bel et bien exister<\/strong>, puisqu’on est capables d’en d\u00e9tecter ses manifestations, et notamment ses variations \u00e0 travers la force de Casimir.<\/p>\n

Deuxi\u00e8mement, l’immonde somme 1+2+3+4+5+…=-1\/12 n’est pas totalement absurde<\/strong>, puisqu’elle trouve au moins une utilisation valide\u00a0en physique.<\/p>\n

Quelques pr\u00e9cautions oratoires quand m\u00eame sur le sens de ce r\u00e9sultat.\u00a0L’utilisation de la somme en question doit vraiment \u00eatre vue comme un raccourci<\/strong> : il existe en effet plusieurs mani\u00e8res plus propres de faire v\u00e9ritablement le calcul, et je vous en pr\u00e9sente une ci-dessous dans la section \u00ab\u00a0Pour aller plus loin…\u00a0\u00bb. Et bien s\u00fbr, m\u00eame si utiliser cette s\u00e9rie divergente permet de simplifier certains calculs, \u00e7a ne signifie pas que \u00ab\u00a0la somme\u00a01+2+3+4+5+…=-1\/12 est\u00a0d\u00e9montr\u00e9e exp\u00e9rimentalement\u00a0\u00bb <\/em>comme on l’entend parfois !<\/p>\n

Les s\u00e9ries divergentes sont un outil math\u00e9matique, qui se trouve \u00eatre\u00a0utile en physique, s’il est bien utilis\u00e9.<\/p>\n

Et pis c’est tout.<\/p>\n

\n

Pour aller plus loin… : Le vrai calcul d\u00e9taill\u00e9 !<\/em><\/h3>\n

Pour calculer l’intensit\u00e9 de la force de Casimir, j’ai utilis\u00e9 le raccourci de l’inf\u00e2me s\u00e9rie divergente \\(\\sum n = -1\/12\\). Or la valeur de la force qu’on trouve en faisant est la bonne, la vraie valeur mesur\u00e9e exp\u00e9rimentalement. Cela nous dit que malgr\u00e9 son caract\u00e8re douteux, le fait d’utiliser cette somme doit quand m\u00eame vaguement correspondre \u00e0 quelque chose de raisonnable.<\/em><\/p>\n

Et c’est le cas. Le fait d’utiliser cette somme est un raccourci qui permet de faire en rapide ce que l’on peut faire de mani\u00e8re plus propre et plus longue : un calcul r\u00e9gularis\u00e9. C’est ce que je vais vous faire ci-dessous : on va retrouver la m\u00eame bonne valeur, mais en ne faisant que des op\u00e9rations math\u00e9matiques l\u00e9gales, et en utilisant des petites hypoth\u00e8ses physiques afin de pouvoir donner un sens aux infinis.<\/em><\/p>\n

Voyons le calcul dans les d\u00e9tails, sans utiliser l’inf\u00e2me s\u00e9rie divergente. Prenons donc deux plaques infinies parfaitement conductrices plac\u00e9es dans le vide, et puis on va faire le calcul dans seulement une dimension au lieu des 3 habituelles. Pour commencer on va supposer que seule l’une des deux plaques peut bouger (on se place dans le r\u00e9f\u00e9rentiel de la premi\u00e8re si vous voulez). On note donc x la distance entre les deux.<\/em><\/p>\n

Pour pallier au probl\u00e8me des infinis, on va imaginer que les plaques ont une \u00e9paisseur finie a. Dans ces conditions, il est vraisemblable que notre calcul va devoir \u00eatre modifi\u00e9 par le fait que les fr\u00e9quences tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9es (et donc les longueurs d’ondes tr\u00e8s courtes) vont \u00eatre sensibles \u00e0 cette \u00e9paisseur non-nulle des plaques.<\/em><\/p>\n

Une mani\u00e8re classique de prendre en compte cet effet est de r\u00e9gulariser la s\u00e9rie divergente en introduisant un facteur d’att\u00e9nuation, c’est-\u00e0-dire de supposer que l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro d\u00e9croit exponentiellement quand la longueur d’onde approche l’\u00e9paisseur a. Avec cette hypoth\u00e8se, l’\u00e9nergie r\u00e9gularis\u00e9e du mode n vaut<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle\\frac12 \\hbar \\omega_n e^{-a\/\\lambda_n}\\)<\/em><\/p>\n

o\u00f9 la fr\u00e9quence du mode n est<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle\\omega_n = \\frac{n\\pi c}{x}\\)<\/em><\/p>\n

tandis que sa longueur d’onde est<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle\\lambda_n = \\frac{2x}{n}\\)<\/em><\/p>\n

On obtient donc pour l’\u00e9nergie totale r\u00e9gularis\u00e9e pour des plaques d’\u00e9paisseur a situ\u00e9es \u00e0 distance x
\n<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle E_a(x) =\\sum_n \\frac12 \\frac{\\hbar \\pi c}{x} n \\exp\\left(-\\frac{an}{2 x}\\right)\\)<\/em><\/p>\n

Pour les forts en maths, on peut facilement calculer cette somme, comme \u00e9tant la d\u00e9riv\u00e9e d’une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique de raison \\(r=e^{-a\/2x}\\), un truc du genre<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle\\sum_n n r^n = r \\frac{d}{dr}\\left(\\sum_n r^n\\right)= r \\frac{d}{dr} \\frac{1}{1-r} = \\frac{r}{(1-r)^2}\\)<\/em><\/p>\n

Je vous \u00e9pargne le calcul d\u00e9taill\u00e9, on trouve<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle E_a(x) = \\frac12\\hbar\\frac{\\pi c}{x} \\frac{e^{-a\/2x}}{(1-e^{-a\/2x})^2}\\)<\/em><\/p>\n

Ensuite puisqu’on va s’int\u00e9resser \u00e0 faire tendre l’\u00e9paisseur des plaques vers 0, on peut se prendre le d\u00e9veloppement limit\u00e9 pour les petites valeurs de a. Il est un peu taquin, mais si on s’y met gentiment on trouve<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle E_a(x) = \\frac{\\hbar\\pi c x}{2a^2} – \\frac{\\hbar\\pi c}{24x} + …\\)<\/em><\/p>\n

Maintenant pour s’en sortir, on va utiliser une astuce. On va imaginer qu’il existe une troisi\u00e8me plaque situ\u00e9e \u00e0 distance L de la premi\u00e8re, avec L tr\u00e8s grand par rapport \u00e0 x.<\/em><\/p>\n

L’\u00e9nergie totale du syst\u00e8me est donc<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle E_a(x) + E_a(L-x) = \\frac{L \\hbar\\pi c}{2a^2} -\\frac{\\hbar\\pi c}{24x} + \\frac{\\hbar \\pi c}{24(L-x)}\\)<\/em><\/p>\n

\u00c9videmment, si on fait tendre a vers 0, tout ceci est encore\u00a0m\u00e9chamment\u00a0infini. Mais ce qui nous int\u00e9resse n’est pas l’\u00e9nergie, mais la force qui comme de coutume peut s’\u00e9crire comme le gradient de l’\u00e9nergie. On trouve<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle F(x) = \\frac{\\hbar\\pi c}{24x^2} + \\frac{\\hbar\\pi c}{24(L-x)^2}\\)<\/p>\n

qui miraculeusement ne d\u00e9pend plus de a ! Evidemment, elle d\u00e9pend encore de L, mais puisqu’on a suppos\u00e9 que L \u00e9tait tr\u00e8s grand devant x, on peut l’envoyer \u00e0 l’infini et on r\u00e9cup\u00e8re au final<\/em><\/p>\n

\\(\\displaystyle F(x) = \\frac{\\hbar \\pi c}{24x^2}\\)<\/em><\/p>\n

Vous voyez qu’en utilisant un sch\u00e9ma de r\u00e9gularisation ad\u00e9quat supposant une \u00e9paisseur a finie des plaques et une distance L pour la troisi\u00e8me plaque, puis en se d\u00e9barrassant de a et L en les faisant tendre respectivement vers 0 et vers l’infini, on trouve une valeur finie (et correcte !) pour la force de Casimir. <\/em><\/p>\n

\u00c9videmment, vous \u00eates en droit de penser que si on avait utilis\u00e9 un sch\u00e9ma de r\u00e9gularisation diff\u00e9rent, on aurait trouv\u00e9 un r\u00e9sultat diff\u00e9rent. Eh bien non, pas vraiment. Le r\u00e9sultat est relativement insensible au sch\u00e9ma de r\u00e9gularisation, et le fait d’utiliser la s\u00e9rie divergente est une mani\u00e8re rapide d’acc\u00e9der directement au r\u00e9sultat qu’on aurait en faisant une r\u00e9gularisation propre.
\n<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Cela fait plusieurs fois ces derniers temps que je vous parle de l’\u00e9nergie du vide, sous une forme ou sous une autre. Je vous ai d\u00e9j\u00e0 expliqu\u00e9 qu’en cosmologie, l’expansion acc\u00e9l\u00e9r\u00e9e de l’Univers peut s’interpr\u00e9ter comme \u00e9tant due \u00e0 une forme d’\u00e9nergie du vide (voir ce billet). Par ailleurs, du c\u00f4t\u00e9 de l’infiniment petit, la<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[42],"class_list":{"0":"post-7667","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-mecanique-quantique"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7667","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7667"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7667\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7667"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7667"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7667"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}