{"id":7597,"date":"2015-08-21T19:45:24","date_gmt":"2015-08-21T17:45:24","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=7597"},"modified":"2023-04-23T18:54:58","modified_gmt":"2023-04-23T16:54:58","slug":"les-fractions-continues","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2015\/08\/21\/les-fractions-continues\/","title":{"rendered":"Les fractions continues"},"content":{"rendered":"

\"digits\"<\/a><\/p>\n

Aujourd’hui je voudrais vous parler d’une construction math\u00e9matique tr\u00e8s jolie et injustement m\u00e9connue : les fractions continues.<\/span><\/p>\n

Vous allez voir que les fractions continues sont \u00e0 la fois simples, amusantes, belles et utiles ! <\/span><\/p>\n

Que demander de plus ?<\/span><\/p>\n

Pi, \u00e7a vaut combien en gros ?<\/h3>\n

M\u00eame si vous n’\u00eates pas un super-geek, il est vraisemblable que vous connaissiez au moins les quelques premi\u00e8res d\u00e9cimales du nombre \\(\\pi\\). L’\u00e9criture d\u00e9cimale d’un nombre comme \\(\\pi\\), c’est un truc pratique mais forc\u00e9ment imparfait. En effet quel que soit le nombre de d\u00e9cimales qu’on choisisse de mettre, il ne s’agira que d’une approximation, qui n’est jamais exactement \u00e9gale au v\u00e9ritable \\(\\pi\\), par exemple<\/p>\n

\\(\\pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582…\\)<\/p>\n

Les fractions continues, c’est une autre mani\u00e8re de repr\u00e9senter et d’approximer des nombres r\u00e9els<\/strong>, une alternative \u00e0 l’\u00e9criture d\u00e9cimale.<\/p>\n

Pour commencer, si on veut approximer \\(\\pi\\) et qu’on est vraiment fain\u00e9ant, on peut d\u00e9cider de laisser tomber les chiffres apr\u00e8s la virgule et simplement dire que<\/p>\n

\\(\\pi \\approx 3\\)<\/p>\n

C’est un peu cru, alors voyons ce que l’on peut faire de mieux. \\(\\pi\\) est \u00e9gal \u00e0 3, plus un petit quelque chose<\/p>\n

\\(\\pi = 3 + 0,1415926…\\)<\/p>\n

On peut d\u00e9cider de prendre l’inverse de ce petit quelque chose<\/p>\n

\\(\\frac{1}{0,1415926…} = 7,062513…\\)<\/p>\n

et donc d’\u00e9crire<\/p>\n

\\(\\pi = 3 + \\frac{1}{7,062513…}\\)<\/p>\n

Si maintenant on laisse tomber ce qu’il y a apr\u00e8s la virgule derri\u00e8re le nombre 7, on obtient<\/p>\n

\\(\\pi \\approx 3 + \\frac{1}{7}\\)<\/p>\n

Voil\u00e0 qui est mieux que de simplement dire que \\(\\pi\\) est \u00e9gal \u00e0 3 !<\/p>\n

Sauf que plut\u00f4t que de laisser tomber ce qu’il y avait apr\u00e8s la virgule du nombre 7,062513, on aurait pu \u00e0 nouveau inverser ce petit quelque chose et voir que<\/p>\n

\\(0,062513\\cdots \\approx 1\/15\\)<\/p>\n

Si on injecte \u00e7a dans notre approximation, on obtient<\/p>\n

\\(\\pi \\approx 3 + \\frac{1}{7+\\frac{1}{15}}\\)<\/p>\n

Evidemment vous me voyez venir, on peut continuer \u00e0 jouer \u00e0 ce petit jeu plusieurs fois de suite<\/strong> et obtenir que<\/p>\n

\\(\\pi=3 + \\frac{1}{7+\\frac{1}{15+\\frac{1}{1+\\frac{1}{292+\\frac{1}{1+\\ddots}}}}}\\)<\/p>\n

Je vous \u00e9pargne les calculs qui m\u00e8nent \u00e0 cette \u00e9criture, mais vous noterez les points de suspension tout en bas : en fait on peut empiler les \u00e9tages \u00e0 l’infini sans que \u00e7a ne s’arr\u00eate jamais.<\/p>\n

Une repr\u00e9sentation des nombres r\u00e9els<\/h3>\n

De mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale, on appelle fraction continue une expression de la forme :<\/p>\n

\\(a_0 + \\frac{1}{a_1+\\frac{1}{a_2+\\frac{1}{a_3+\\frac{1}{a_4+\\frac{1}{a_5+\\ddots}}}}}\\)<\/p>\n

Ce qu’il y a d’int\u00e9ressant, c’est que tout nombre r\u00e9el peut s’\u00e9crire sous cette forme<\/strong>. Et r\u00e9ciproquement sp\u00e9cifier\u00a0la suite des nombres entiers \\(a_0, a_1, a_2, \\cdots\\) suffit pour reconstruire le nombre de d\u00e9part. Il s’agit donc d’une mani\u00e8re nouvelle\u00a0de repr\u00e9senter ou d’identifier un nombre r\u00e9el.<\/p>\n

Pour \u00e9viter de remplir des pages de fractions qui s’empilent, on utilise une notation plus compacte, on \u00e9crit simplement<\/p>\n

\\([a_0; a_1; a_2; a_3; \\cdots]\\)<\/p>\n

Vous pouvez tr\u00e8s bien voir cette \u00e9criture comme une alternative au d\u00e9veloppement d\u00e9cimal : plut\u00f4t que de sp\u00e9cifier un nombre en \u00e9crivant la suite de ses d\u00e9cimales, vous pouvez donner la suite de son d\u00e9veloppement en fraction continue<\/strong>.<\/p>\n

Cette \u00e9criture a comme avantage qu’elle est ind\u00e9pendante du choix d’une base, alors que l’\u00e9criture d\u00e9cimale est bien s\u00fbr li\u00e9e \u00e0 la base 10 : en base 6 ou 23, les \u00ab\u00a0d\u00e9cimales\u00a0\u00bb de \\(\\pi\\)\u00a0seraient bien s\u00fbr diff\u00e9rentes ! Mais le d\u00e9veloppement en fraction continue a plein d’autres avantages pratiques et esth\u00e9tiques : commen\u00e7ons par la pratique.<\/p>\n

\"pi_universe\"<\/a><\/p>\n

Faire des approximations<\/h3>\n

Un truc que l’on fait tout le temps avec le d\u00e9veloppement d\u00e9cimal, c’est de le tronquer pour faire des approximations. Par exemple si j’\u00e9cris \\(\\pi\\approx 3,1415\\), j’approxime \\(\\pi\\) en tronquant son d\u00e9veloppement d\u00e9cimal.<\/p>\n

Avec le d\u00e9veloppement en fraction continue, on peut faire pareil.\u00a0Si on tronque le d\u00e9veloppement de \\(\\pi\\) apr\u00e8s le deuxi\u00e8me nombre, on obtient<\/p>\n

\\(\\pi \\approx [3;7] = 3 + \\frac{1}{7}\\)<\/p>\n

Si je r\u00e9duis le membre de droite au m\u00eame d\u00e9nominateur, cela donne<\/p>\n

\\(\\pi \\approx \\frac{22}{7}=3.14285\\cdots\\)<\/p>\n

qui est une fameuse approximation<\/strong> de \\(\\pi\\). [Notez d’ailleurs que de fait le 22 Juillet (22\/7) est un \u00ab\u00a0Jour de \\(\\pi\\)\u00a0\u00bb\u00a0bien plus l\u00e9gitime que le classique 14 Mars, qui lui aussi n’est finalement qu’une approximation, et en plus marche surtout pour les am\u00e9ricains qui \u00e9crivent le mois avant le jour (3.14)]<\/em><\/p>\n

Mais si je tronque plus loin le d\u00e9veloppement en fraction continue de \\(\\pi\\), et apr\u00e8s r\u00e9duction au m\u00eame d\u00e9nominateur, j’obtiens d’autres approximations rationnelles<\/strong> (c’est-\u00e0-dire sous forme de fractions)<\/p>\n

\\(\\pi \\approx [3;7;15] = \\frac{333}{106}=3.14150943396226\\)<\/p>\n

\\(\\pi \\approx [3;7;15;1] = \\frac{355}{113}=3.14159292035398\\)<\/p>\n

\\(\\pi \\approx [3;7;15;1;292] = \\frac{103993}{33102}=3.14159265301190\\)<\/p>\n

Alors vous allez me dire que l’\u00e9criture d\u00e9cimale fournit elle aussi des approximations rationnelles de \\(\\pi\\), par exemple quand on \u00e9crit que \\(\\pi\\) est \u00e9gal \u00e0 3,1415, on \u00e9crit en fait que<\/p>\n

\\(\\pi \\approx \\frac{31415}{10000}\\)<\/p>\n

Mais vous voyez qu’il faut aller chercher des d\u00e9nominateurs et num\u00e9rateurs tr\u00e8s \u00e9lev\u00e9s, l\u00e0 o\u00f9 les approximations issues du d\u00e9veloppement en fraction continue utilisent des nombres bien plus petits.<\/p>\n

En fait on peut m\u00eame d\u00e9montrer que les approximations rationnelles issues des fractions continues sont les meilleures possibles de toutes<\/strong> (\u00ab\u00a0meilleures\u00a0\u00bb dans le sens : tout approximation rationnelle meilleure que \u00e7a devra faire appel \u00e0 des num\u00e9rateurs et d\u00e9nominateurs plus \u00e9lev\u00e9s).<\/p>\n

L’approximation 355\/113 de \\(\\pi\\) est particuli\u00e8rement int\u00e9ressante, car elle est vraiment excellente (6 chiffres apr\u00e8s la virgule) tout en utilisant un d\u00e9nominateur pas trop grand<\/strong><\/p>\n

\\(\\frac{355}{113}=3,141592\\cdots\\)<\/p>\n

Une des raisons pour lesquelles cette approximation est particuli\u00e8rement bonne, c’est qu’elle est issue d’une troncation du d\u00e9veloppement en fraction continue effectu\u00e9e juste avant un grand nombre (292), puisque<\/p>\n

\\(\\pi = [3;7;15;1;292;1;1;2;1;\\cdots]\\).<\/p>\n

Or si vous reprenez les constructions du d\u00e9but, vous constaterez qu’un grand nombre \u00e0 un endroit donn\u00e9 du d\u00e9veloppement signifie un petit \u00ab\u00a0pouilli\u00e8me\u00a0\u00bb apr\u00e8s la virgule. Bref si vous utilisez des fractions continues pour cr\u00e9er des approximations rationnelles de nombres r\u00e9els, c’est en g\u00e9n\u00e9ral une bonne id\u00e9e de les couper juste avant un grand nombre<\/strong>.<\/p>\n

Voil\u00e0, \u00e7a c’\u00e9tait pour l’int\u00e9r\u00eat pratique, passons maintenant \u00e0 l’esth\u00e9tique math\u00e9matique.<\/p>\n

Quelques d\u00e9veloppements en fractions continues sympathiques<\/h3>\n

Un truc que vous savez peut-\u00eatre (j’en avais parl\u00e9 l\u00e0<\/a>), c’est que le d\u00e9veloppement d\u00e9cimal d’un nombre rationnel est p\u00e9riodique, par exemple<\/p>\n

\\(1\/7=0,142857\\ 142857\\ 142857\\ 142857\\cdots\\)<\/p>\n

(ou tout du moins il fini toujours par \u00eatre p\u00e9riodique). En revanche,\u00a0il n’est que rarement fini (\u00e7a ne se produit que quand le d\u00e9nominateur n’admet que 2 et\/ou 5 comme facteur premier).<\/p>\n

Au contraire\u00a0le d\u00e9veloppement en fraction continue d’un rationnel est lui toujours fini<\/strong>. Et quand il est infini mais p\u00e9riodique, c’est que l’on a affaire \u00e0 des nombres dits irrationnels quadratiques<\/strong> : ceux qui sont de la forme \\(p+q\\sqrt{N}\\). Un exemple simple c’est \\(\\sqrt{2}\\) dont le d\u00e9veloppement en fraction continue est enfantin<\/p>\n

\\(\\sqrt{2} = [1;2;2;2;2;2;2;\\cdots]\\)<\/p>\n

Mais le plus beau des d\u00e9veloppements en fraction continue est celui du c\u00e9l\u00e8bre nombre d’or<\/strong><\/p>\n

\\(\\phi = [1;1;1;1;1;1;1;1;1;\\cdots]\\)<\/p>\n

Joli, non ?<\/p>\n

Petite remarque au passage : on a dit que de grands nombres dans le d\u00e9veloppement signifiaient que le nombre s’approximait efficacement. Le fait que celui du nombre d’or ne contienne que des 1 implique que le nombre d’or est le nombre r\u00e9el le plus difficile \u00e0 approximer par des rationnels<\/strong> ! De l\u00e0 \u00e0 dire que le nombre d’or a \u00e9t\u00e9 cr\u00e9\u00e9 par le Diable, il n’y a qu’un pas que je ne franchirai pas !<\/p>\n

La constante de Khintchine<\/h3>\n

Je vais finir par une des propri\u00e9t\u00e9s les plus \u00e9poustouflantes des d\u00e9veloppements en fractions continues. Prenez un nombre r\u00e9el quelconque et calculez son d\u00e9veloppement en fractions continues<\/p>\n

\\(x=[a_0;a_1;a_2;a_3;…]\\)<\/p>\n

Maintenant effectuez la moyenne g\u00e9om\u00e9trique des n\u00a0premiers termes<\/strong> du d\u00e9veloppement<\/p>\n

\\((a_0 a_1 a_2 a_3\\cdots a_{n-1})^{1\/n}\\)<\/p>\n

Si vous prenez de plus en plus de termes, c’est-\u00e0-dire que vous faites tendre \\(n\\) vers l’infini, la moyenne g\u00e9om\u00e9trique va toujours converger vers la m\u00eame valeur<\/p>\n

\\((a_0 a_1 a_2 a_3\\cdots a_{n-1})^{1\/n}\\to 2,685452\\cdots\\)<\/p>\n

qu’on appelle la constante de Khintchine<\/strong>.<\/p>\n

Incroyable, non ? Pourquoi est-ce que tous les d\u00e9veloppements en fractions continues de tous les nombres r\u00e9els seraient-ils reli\u00e9s entre eux ainsi ?<\/p>\n

Moi \u00e7a m’\u00e9pate…<\/p>\n

Billets reli\u00e9s<\/h4>\n