{"id":7476,"date":"2015-05-11T00:01:33","date_gmt":"2015-05-10T22:01:33","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=7476"},"modified":"2015-05-11T00:01:33","modified_gmt":"2015-05-10T22:01:33","slug":"cosmologie-2-forme-et-destin-de-lunivers","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2015\/05\/11\/cosmologie-2-forme-et-destin-de-lunivers\/","title":{"rendered":"Cosmologie 2 : forme et destin de l&rsquo;Univers"},"content":{"rendered":"<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/640px-milky_way_arch.jpg\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-7505 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/640px-milky_way_arch.jpg?w=600\" alt=\"640px-Milky_Way_Arch\" width=\"600\" height=\"201\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/640px-milky_way_arch.jpg 640w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/640px-milky_way_arch-300x100.jpg 300w\" data-sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 600px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 600\/201;\" \/><\/a><\/p>\n<p>Apr\u00e8s une petite interruption, je continue\u00a0ma s\u00e9rie de billets consacr\u00e9s aux bases th\u00e9oriques de la cosmologie.<\/p>\n<p><em><span style=\"text-decoration:underline;\">R\u00e9sum\u00e9 de l&rsquo;\u00e9pisode pr\u00e9c\u00e9dent :<\/span> Si vous avez lu <a title=\"Cosmologie 1 : le Big-Bang\" href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2015\/04\/13\/cosmologie-1-le-big-bang\/\">mon premier billet sur le Big-Bang<\/a>, vous savez d\u00e9j\u00e0 que l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein appliqu\u00e9e au cas d\u2019un Univers isotrope et homog\u00e8ne se r\u00e9duit \u00e0 une \u00e9quation diff\u00e9rentielle assez simple, l\u2019\u00e9quation de Friedmann. <\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\left(\\frac{da}{dt}\\right)^2=\\frac{8\\pi G\\rho_0}{3}\\frac{1}{a(t)}\\)<\/p>\n<p><em>Cette \u00e9quation permet en particulier de d\u00e9crire le fait que l\u2019Univers est en expansion, ce que l\u2019on constate\u00a0en observant les galaxies s\u2019\u00e9loigner de nous. Gr\u00e2ce aux mesures exp\u00e9rimentales de son taux d\u2019expansion actuel, il est possible de rembobiner l\u2019\u00e9quation de Friedman pour reconstituer la jeunesse de l\u2019Univers. Et c\u2019est ainsi qu\u2019on en arrive \u00e0 l\u2019id\u00e9e du Big Bang, cette p\u00e9riode dense et chaude o\u00f9 l\u2019Univers \u00e9tait extraordinairement courb\u00e9.<\/em><\/p>\n<p>Aujourd\u2019hui nous allons nous int\u00e9resser non pas au pass\u00e9 mais \u00e0 l\u2019avenir de notre Univers, et voir en quoi <strong>son destin est irr\u00e9m\u00e9diablement li\u00e9 \u00e0 sa forme<\/strong>. Et pour \u00e7a, il faut d\u2019abord vous avouer que je vous ai menti sur l\u2019\u00e9quation de Friedmann. La version que je vous ai donn\u00e9e est en r\u00e9alit\u00e9 incompl\u00e8te, et voici pourquoi.<!--more--><\/p>\n<h3>La courbure de l&rsquo;Univers<\/h3>\n<p>Je vous ai dit dans l\u2019\u00e9pisode pr\u00e9c\u00e9dent que si l\u2019Univers est homog\u00e8ne et isotrope, on peut se contenter de le d\u00e9crire en sp\u00e9cifiant son facteur d\u2019\u00e9chelle \\(a(t)\\), qui mesure de combien l\u2019Univers est dilat\u00e9 ou contract\u00e9 par rapport au temps pr\u00e9sent. Mais j\u2019ai cach\u00e9 quelque chose sous le tapis\u00a0: il existe un param\u00e8tre suppl\u00e9mentaire \u00e0 consid\u00e9rer.<\/p>\n<p>En effet si on suppose un Univers homog\u00e8ne et isotrope, cela implique notamment que la courbure de l\u2019Univers est n\u00e9cessairement la m\u00eame en tout point de l\u2019espace (sinon il ne serait pas homog\u00e8ne\u00a0!). Mais cela n\u2019oblige pas \u00e0 ce que cette courbure soit nulle.<\/p>\n<p>Pour d\u00e9crire l&rsquo;\u00e9tat de l&rsquo;Univers \u00e0 un instant donn\u00e9, cela laisse trois possibilit\u00e9s\u00a0:<\/p>\n<ul>\n<li>Une courbure spatiale homog\u00e8ne positive\u00a0: on dit que l\u2019Univers est <strong>sph\u00e9rique<\/strong>\u00a0;<\/li>\n<li>Une courbure spatiale homog\u00e8ne n\u00e9gative\u00a0: l\u2019Univers est dit <strong>hyperbolique<\/strong>\u00a0;<\/li>\n<li>Une courbure nulle partout\u00a0: l\u2019Univers est <strong>plat<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Il n\u2019est pas tr\u00e8s facile de se repr\u00e9senter ce que sont ces espaces tridimensionnels, alors on utilise souvent des images de leurs analogues en 2 dimensions. Un espace sph\u00e9rique est comme la surface d\u2019une sph\u00e8re, un espace hyperbolique ressemble plut\u00f4t \u00e0 une selle de cheval infinie.<a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/courbures1.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7489 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/courbures1.png\" alt=\"courbures\" width=\"600\" height=\"379\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/courbures1.png 600w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/courbures1-300x190.png 300w\" data-sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 600px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 600\/379;\" \/><\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Notez que dans le cas sph\u00e9rique, l\u2019Univers est n\u00e9cessairement de taille finie (mais sans bords\u00a0!) tandis que dans les deux autres, il est forc\u00e9ment de taille infinie.<\/p>\n<p><em>(PS\u00a01\u00a0: j\u2019en profite pour glisser qu\u2019il est parfaitement possible en math\u00e9matiques de d\u00e9crire des espaces courbes sans forc\u00e9ment faire appel \u00e0 une dimension suppl\u00e9mentaire\u00a0! Dire que l\u2019Univers se d\u00e9crit comme un espace courbe n\u2019implique pas qu\u2019il existe une dimension dans laquelle il serait courb\u00e9\u00a0!)<\/em><\/p>\n<p><em>(PS 2\u00a0: en maths il me semble qu\u2019on d\u00e9crit souvent ces espaces comme \u00e9tant \u00ab\u00a0\u00e0 courbure constante\u00a0\u00bb, mais comme en physique le terme constant signifie souvent \u00ab\u00a0constant dans le temps\u00a0\u00bb, je pr\u00e9f\u00e8re dire \u00ab\u00a0homog\u00e8ne\u00a0\u00bb pour dire \u00ab\u00a0constant dans l\u2019espace\u00a0\u00bb. Par ailleurs ici, je n\u00e9glige les cas associ\u00e9s aux topologies non-triviales, comme par exemple le le tore ou le dod\u00e9cah\u00e8dre)<\/em><\/p>\n<p>Sans le dire, dans le billet pr\u00e9c\u00e9dent, j\u2019ai implicitement adopt\u00e9 la troisi\u00e8me hypoth\u00e8se (espace plat). Dans le cas le plus g\u00e9n\u00e9ral, il faut donc ajouter un param\u00e8tre suppl\u00e9mentaire dans notre description de l&rsquo;Univers qui est \\(R_0\\), son rayon de courbure au moment pr\u00e9sent.<\/p>\n<p>Muni de ce petit changement, si l\u2019on remouline l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein, on trouve la v\u00e9ritable \u00e9quation de Friedmann compl\u00e8te<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\left(\\frac{da}{dt}\\right)^2=\\frac{8\\pi G\\rho_0}{3}\\frac{1}{a(t)} \\pm \\frac{c^2}{R_0^2}\\)<\/p>\n<p>Ou le &#8211; est pour le cas sph\u00e9rique et le + pour le cas hyperbolique.<\/p>\n<p>Si l\u2019on veut conna\u00eetre le destin de l\u2019Univers \u00e0 partir de cette \u00e9quation, on peut la r\u00e9soudre comme un bourrin. Sinon, on peut lancer des cailloux.<\/p>\n<h3>Lancer de cailloux<\/h3>\n<p>Faisons un petit d\u00e9tour par un probl\u00e8me en apparence beaucoup plus simple que le destin de l\u2019Univers \u00a0: celui d\u2019une pierre qu\u2019on lancerait en l\u2019air verticalement depuis la surface de la Terre. Une mani\u00e8re de d\u00e9crire ce probl\u00e8me, c\u2019est de consid\u00e9rer les \u00e9nergies qui interviennent\u00a0: <strong>l\u2019\u00e9nergie cin\u00e9tique et l\u2019\u00e9nergie potentielle de pesanteur<\/strong><\/p>\n<p>Si \\(x(t)\\) d\u00e9signe la distance entre la pierre et le centre de la Terre au temps \\(t\\), l\u2019\u00e9nergie potentielle de pesanteur est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(-\\frac{mMG}{x(t)}\\),<\/p>\n<p>o\u00f9 m est la masse de la pierre, M celle de la Terre et G la constante de gravitation universelle. De son c\u00f4t\u00e9, l\u2019\u00e9nergie cin\u00e9tique est simplement \u00e9gale \u00e0<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\frac12 m v^2 = \\frac12 m\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2\\)<\/p>\n<p>En m\u00e9canique l\u2019\u00e9nergie totale est conserv\u00e9e, donc si on \u00e9crit que la somme de l&rsquo;\u00e9nergie cin\u00e9tique et de l&rsquo;\u00e9nergie potentielle de gravit\u00e9 est \u00e9gale \u00e0 une constante C, on obtient<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\\(\\frac12 m\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 &#8211; \\frac{mMG}{x(t)} = C\\)<\/p>\n<p style=\"text-align:left;\">que l&rsquo;on peut r\u00e9crire<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">\u00a0\\(\\frac12 m\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 = \\frac{mMG}{x(t)} + C\\)<\/p>\n<p><strong>Vous ne trouvez pas qu\u2019il y a une tr\u00e8s forte similitude avec l\u2019\u00e9quation de Friedmann qui r\u00e9git l\u2019\u00e9volution du facteur d\u2019\u00e9chelle<\/strong>\u00a0?<\/p>\n<p>Eh bien si, remplacez \\(a(t)\\) par \\(x(t)\\) et c\u2019est en gros la m\u00eame\u00a0! Donc interpr\u00e9ter l&rsquo;\u00e9quation de Friedmann n&rsquo;est pas diff\u00e9rent d&rsquo;interpr\u00e9ter l&rsquo;\u00e9quation qui r\u00e9git le mouvement d&rsquo;un caillou jet\u00e9 en l&rsquo;air.<\/p>\n<h3>Destin de l&rsquo;Univers<\/h3>\n<p>Pour savoir ce que sera le destin de l\u2019Univers, on peut se r\u00e9f\u00e9rer \u00e0 ce qu\u2019il peut se passer pour notre pierre. Si vous la lancez initialement avec une force mod\u00e9r\u00e9e, elle va s\u2019\u00e9lever, atteindre une hauteur maximum puis retomber. Cela correspond au cas o\u00f9 la constance C est n\u00e9gative. Au contraire si vous la lancez fabuleusement fort, elle pourra s\u2019arracher \u00e0 l\u2019attraction terrestre et s\u2019en aller dans l\u2019espace, c\u2019est le cas o\u00f9 la constante C est positive. Enfin on peut aussi envisager le cas C=0, qui est celui o\u00f9 vous balancez votre pierre avec juste la force n\u00e9cessaire pour l\u2019arracher de la surface.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/pierre.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7494 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/pierre.png\" alt=\"pierre\" width=\"450\" height=\"288\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/pierre.png 450w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/pierre-300x192.png 300w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/pierre-360x230.png 360w\" data-sizes=\"(max-width: 450px) 100vw, 450px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 450px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 450\/288;\" \/><\/a><\/p>\n<p>Si on revient \u00e0 l\u2019\u00e9quation qui d\u00e9crit l\u2019\u00e9volution du facteur d\u2019\u00e9chelle, on voit qu\u2019il se passe la m\u00eame chose, sauf que c\u2019est la courbure de l\u2019Univers qui joue le r\u00f4le de la constante C. Si l&rsquo;espace est sph\u00e9rique, la constante est n\u00e9gative. Le facteur d&rsquo;\u00e9chelle \\(a(t)\\) atteindra alors un maximum et l\u2019Univers finira par se recontracter sur lui-m\u00eame et finir dans ce qu\u2019on appelle un <strong>Big Crunch.<\/strong> Tandis que si l&rsquo;espace est hyperbolique, la constante sera positive et l\u2019Univers partira en expansion \u00e9ternelle : c&rsquo;est le <strong>Big Chill<\/strong> (grand refroidissement).<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/univers.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-7495 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/univers.png\" alt=\"univers\" width=\"555\" height=\"297\" data-srcset=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/univers.png 555w, https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2015\/05\/univers-300x161.png 300w\" data-sizes=\"(max-width: 555px) 100vw, 555px\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 555px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 555\/297;\" \/><\/a><\/p>\n<p>Ce qui est fascinant dans cette histoire, c\u2019est que <strong>le destin de l\u2019Univers est intimement li\u00e9 \u00e0 sa forme<\/strong>\u00a0: si l\u2019Univers est sph\u00e9rique et fini, il finira en Big Crunch\u00a0; s\u2019il est hyperbolique et infini, il s\u2019\u00e9tendra pour toujours et finira en Big Chill.<\/p>\n<p>Je trouve \u00e7a incroyable que <strong>ces deux questions fondamentales sur l\u2019Univers (est il fini ou infini\u00a0? \/ comment finira-t-il\u00a0?) ne soient en fait qu\u2019une seule et m\u00eame question<\/strong>. Pour ma part, j\u2019ai toujours du mal \u00e0 l\u2019admettre\u00a0!<\/p>\n<p><em>Et dans le prochain billet, nous verrons pourquoi tout cela a vol\u00e9 en \u00e9clat en 1998&#8230;<\/em><\/p>\n<p>Photo : http:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Milky_Way_Arch.jpg<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Apr\u00e8s une petite interruption, je continue\u00a0ma s\u00e9rie de billets consacr\u00e9s aux bases th\u00e9oriques de la cosmologie. R\u00e9sum\u00e9 de l&rsquo;\u00e9pisode pr\u00e9c\u00e9dent : Si vous avez lu mon premier billet sur le Big-Bang, vous savez d\u00e9j\u00e0 que l\u2019\u00e9quation d\u2019Einstein appliqu\u00e9e au cas d\u2019un Univers isotrope et homog\u00e8ne se r\u00e9duit \u00e0 une \u00e9quation diff\u00e9rentielle assez simple, l\u2019\u00e9quation de<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[46],"class_list":{"0":"post-7476","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-cosmologie"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7476","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7476"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7476\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7476"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7476"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7476"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}