{"id":7222,"date":"2014-11-24T06:00:18","date_gmt":"2014-11-24T05:00:18","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=7222"},"modified":"2014-11-24T06:00:18","modified_gmt":"2014-11-24T05:00:18","slug":"interstellar-et-le-paradoxe-des-jumeaux","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/11\/24\/interstellar-et-le-paradoxe-des-jumeaux\/","title":{"rendered":"Interstellar et le paradoxe des jumeaux"},"content":{"rendered":"

\"interstellar_gargantua\"<\/a>Trois semaines apr\u00e8s sa sortie, j’imagine que beaucoup d’entre vous auront vu le film Interstellar<\/em> de Christopher Nolan. Il se trouve que ce film utilise un r\u00e9sultat tr\u00e8s connu de la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 d’Einstein, le paradoxe des jumeaux, mais dans sa version \u00ab\u00a0gravitationnelle\u00a0\u00bb. Je me suis dit que c’\u00e9tait l’occasion de vous parler de ce ph\u00e9nom\u00e8ne bizarre et souvent mal compris !<\/p>\n

Pour les puristes qui n’auraient pas encore vu le film, rassurez-vous je ne vais pas du tout parler ni de l’intrigue, ni des personnages. Je vais juste parler de physique, mais si vous connaissez l’histoire, vous verrez sans probl\u00e8me o\u00f9 est le lien.<\/p>\n

De Newton \u00e0 Einstein<\/h3>\n

Avant Einstein, le monde \u00e9tait simple. Isaac Newton nous avait pr\u00e9sent\u00e9 la physique comme se d\u00e9roulant dans un espace absolu et selon un temps absolu. L’espace absolu, cela signifie qu’il n’existe pas d’ambigu\u00eft\u00e9 quant \u00e0 la position des objets ou leurs dimensions. Si je prends disons un b\u00e2ton, et que je demande \u00e0 diff\u00e9rents observateurs de le mesurer, ils seront d’accord sur sa taille.<\/p>\n

Dans le monde de Newton, le temps aussi est absolu. Tout se passe comme si il existait une grande horloge universelle qui permette de dater de mani\u00e8re pr\u00e9cise tous les \u00e9v\u00e9nements o\u00f9 qu’ils aient lieu. Gr\u00e2ce \u00e0 cette horloge universelle, tout le monde donne la m\u00eame r\u00e9ponse quand il est question de mesurer la dur\u00e9e de l’intervalle de temps qui s\u00e9pare deux \u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

Une cons\u00e9quence particuli\u00e8re, c’est que dans la physique de Newton, la notion de simultan\u00e9it\u00e9 est universelle<\/strong>. Tous les observateurs seront d’accord pour dire si deux \u00e9v\u00e9nements sont simultan\u00e9s ou non. Donc une question du genre \u00ab\u00a0Que se passe-t-il en ce moment sur la Lune ?\u00a0\u00bb<\/em> a un sens.<\/p>\n

\u00c9videmment, si j’insiste sur tout \u00e7a, c’est parce que Einstein a d\u00e9moli ce monde simple et rassurant. En effet la physique de Newton est incompatible avec l’id\u00e9e d’une vitesse de la lumi\u00e8re ind\u00e9passable, et identique dans tous les r\u00e9f\u00e9rentiels. Ce qu’a montr\u00e9 Einstein, c’est que si on veut que la vitesse de la lumi\u00e8re soit absolue, alors il faut en payer le prix : abandonner l’id\u00e9e que le temps et l’espace soient absolus.<\/p>\n

La relativit\u00e9 restreinte<\/h3>\n

En relativit\u00e9 restreinte, donc, la vitesse de la lumi\u00e8re est la m\u00eame pour tous les observateurs, mais les notions d’espace et de temps ne le sont plus : elles deviennent relatives; c’est-\u00e0-dire qu’elles d\u00e9pendent de l’observateur (ou du r\u00e9f\u00e9rentiel si l’on pr\u00e9f\u00e8re). Les cons\u00e9quences de ce changement sont dramatiques : a priori deux observateurs ne seront plus n\u00e9cessairement d’accord sur la longueur d’un b\u00e2ton ou la dur\u00e9e qui s\u00e9pare deux \u00e9v\u00e9nements<\/strong>.<\/p>\n

Autre notion qu’Einstein a fait voler en \u00e9clat : celle de simultan\u00e9it\u00e9. Deux \u00e9v\u00e9nements A et B pourront \u00eatre consid\u00e9r\u00e9s comme simultan\u00e9s par Pierre, alors que d’un c\u00f4t\u00e9 Paul aura mesur\u00e9 que A pr\u00e9c\u00e8de B, et de l’autre pour Jacques, c’est B qui pr\u00e9c\u00e8de A ! Dans la th\u00e9orie de la relativit\u00e9, la question \u00ab\u00a0Que se passe-t-il en ce moment sur la Lune ?\u00a0\u00bb<\/em> n’a pas de sens<\/strong>. Ou plut\u00f4t son sens est relatif \u00e0 l’observateur, puisque la notion de \u00ab\u00a0en ce moment\u00a0\u00bb va d\u00e9pendre du r\u00e9f\u00e9rentiel.<\/p>\n

Heureusement \u00e7a n’arrive pas dans la vie courante, car ces ph\u00e9nom\u00e8nes ne se manifestent qu’\u00e0 des vitesses proches de celle de la lumi\u00e8re. Vous imaginez une comp\u00e9tition d’athl\u00e9tisme o\u00f9 les sportifs et les juges ne seraient pas d’accord sur la longueur du lancer du javelot ou le temps mis pour courir le 100 m\u00e8tres ! En revanche en physique des particules, ces d\u00e9saccords existent bel et bien, et peuvent m\u00eame \u00eatre spectaculaires.<\/p>\n

En voici un exemple : sous l’effet des rayons cosmiques qui bombardent notre plan\u00e8te, des particules appel\u00e9es muons<\/strong> sont cr\u00e9\u00e9es dans la couche sup\u00e9rieure de l’atmosph\u00e8re. Mais les muons sont instables et leur dur\u00e9e de vie moyenne est d’environ 2 microsecondes. Et quand je dis \u00ab\u00a0dur\u00e9e de vie\u00a0\u00bb<\/em>, je dois pr\u00e9ciser dans quel r\u00e9f\u00e9rentiel je la mesure : dans ce cas pr\u00e9cis, dans le r\u00e9f\u00e9rentiel du muon lui-m\u00eame. Mais comme ces muons vont \u00e0 des vitesses de l’ordre de 99.5% de celle de la lumi\u00e8re, si nous les Terriens nous mesurons le temps moyen qui s’\u00e9coule entre la cr\u00e9ation du muon et sa d\u00e9sint\u00e9gration, nous trouvons des dur\u00e9es de l’ordre de 20 \u00e0 100 microsecondes, soit 10 \u00e0 50 fois plus que la \u00ab\u00a0vraie\u00a0\u00bb dur\u00e9e de vie du muon. Une sacr\u00e9e diff\u00e9rence ! Nous allons voir plus bas comment on peut faire ce calcul.<\/p>\n

La distance d’espace-temps<\/h3>\n

Je vous l’ai dit, dans le monde d’Einstein, le temps et l’espace sont relatifs, les mesures de dur\u00e9es et de distances ne sont donc plus absolues. Heureusement, il existe quelque chose dont le caract\u00e8re absolu est maintenu, c’est la distance d’espace-temps<\/strong>. Le principe en est simple : quand un objet effectue un mouvement, en plus de compter la distance X qu’il a parcouru dans l’espace et le temps T qu’il a mis, on va combiner les deux pour fabriquer la distance d’espace-temps.<\/p>\n

On la d\u00e9finit par<\/p>\n

\\(s = \\sqrt{T^2 – \\frac{X^2}{c^2}}\\).<\/p>\n

Cette d\u00e9finition ressemble beaucoup \u00e0 la d\u00e9finition de la distance dans l’espace usuel (genre le carr\u00e9 de l’hypoth\u00e9nuse), mais il y a deux diff\u00e9rence essentielles. La premi\u00e8re c’est que la vitesse de la lumi\u00e8re qui intervient, pour que les unit\u00e9s soient bonnes quand on m\u00e9lange des longueurs et des temps. La seconde, c’est qu’il y a un signe n\u00e9gatif devant X au carr\u00e9. Oui, vous lisez bien, un signe n\u00e9gatif ! Plus on se d\u00e9place dans l’espace, plus la distance d’espace-temps que l’on parcours est petite…bizarre, non ?<\/p>\n

Ce qu’il y a de bien avec la distance d’espace-temps, c’est que contrairement \u00e0 la distance spatiale X ou \u00e0 la dur\u00e9e T, elle est absolue. Tous les observateurs en translation uniforme les uns par rapport aux autres seront d’accord sur sa valeur. Ils ne mesureront peut-\u00eatre pas le m\u00eame X et le m\u00eame T, mais \u00e0 la fin la distance d’espace-temps \\(s\\) qu’ils trouveront sera la m\u00eame.<\/p>\n

Le temps propre<\/h3>\n

Arm\u00e9s de cette id\u00e9e de distance d’espace-temps, on peut d\u00e9finir une notion cruciale de la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 : le temps propre<\/strong>. Revenons \u00e0 notre muon : je vous ai dit tout \u00e0 l’heure qu’il allait se d\u00e9sint\u00e9grer au bout de 2 microsecondes, mais que pour nous cela pouvait para\u00eetre beaucoup plus long. Normal, nous et le muon sommes dans des r\u00e9f\u00e9rentiels diff\u00e9rents, et nous ne sommes pas d’accord sur la mesure des dur\u00e9es.<\/p>\n

Le muon estime qu’il se sera \u00e9coul\u00e9 un temps \\(\\tau\\) entre sa cr\u00e9ation dans l’atmosph\u00e8re et sa d\u00e9sint\u00e9gration, mais d’un autre c\u00f4t\u00e9 il consid\u00e8rera avoir parcouru une distance nulle (normal, il mesure les distances dans son propre r\u00e9f\u00e9rentiel, et dans son propre r\u00e9f\u00e9rentiel, il n’a pas boug\u00e9 !). Donc pour lui la distance d’espace-temps parcourue est simplement<\/p>\n

\\(s = \\sqrt{\\tau^2 – 0^2} = \\tau\\).<\/p>\n

On apprend l\u00e0 un truc essentiel : la distance d’espace-temps d’une trajectoire mesure exactement le temps per\u00e7u par un observateur qui ferait cette trajectoire. On appelle cela le temps propre.<\/strong><\/p>\n

Nous de notre c\u00f4t\u00e9, nous le voyons arriver \u00e0 une vitesse v, et parcourir une distance X dans l’atmosph\u00e8re, en un temps T simplement \u00e9gal \u00e0 X\/v. Pour nous la distance d’espace-temps parcourue par le muon est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

\\(s = \\sqrt{T^2 – \\frac{X^2}{c^2}}\\).<\/p>\n

Encore une fois : nous et le muons ne sommes pas d’accord sur les distances et les dur\u00e9es, mais par contre la distance d’espace-temps parcourue doit \u00eatre la m\u00eame de son point de vue et du n\u00f4tre. C’est \u00e0 dire qu’on a forc\u00e9ment<\/p>\n

\\(\\tau = \\sqrt{T^2 – \\frac{X^2}{c^2}}\\).<\/p>\n

En rempla\u00e7ant X par vT, on obtient que<\/p>\n

\\(\\tau = \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}} T\\)<\/p>\n

ou encore<\/p>\n

\\(T= \\frac{\\tau}{\\sqrt{1-v^2\/c^2}}\\)<\/p>\n

Vous obtenez l\u00e0 un r\u00e9sultat cl\u00e9 de la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 restreinte : la dilatation du temps<\/strong>. Le temps T per\u00e7u par un observateur ext\u00e9rieur sera toujours plus long que le temps propre \\(\\tau\\). Et c’est ce qui explique que les 2 microsecondes de dur\u00e9e de vie du muon nous paraissent sur Terre durer 10 fois plus.<\/p>\n

Le paradoxe des jumeaux<\/h3>\n

A premi\u00e8re vue, le paradoxe des jumeaux ressemble beaucoup \u00e0 l’id\u00e9e de dilatation du temps que nous venons de voir. Mais pour le traiter correctement, il va falloir pr\u00e9ciser exactement ce qu’on regarde.<\/p>\n

Je pense que vous connaissez l’histoire dans les grandes lignes : on a deux jumeaux, l’un part faire un tour dans l’espace \u00e0 une vitesse proche de celle de la lumi\u00e8re puis revient sur Terre. Celui rest\u00e9 sur Terre a plus vieilli que celui qui a pris la fus\u00e9e. Tout d’abord pour \u00eatre bien s\u00fbrs de quoi on parle, il s’agit bien d’un ph\u00e9nom\u00e8ne physique et pas biologique. Les horloges aussi ont ralenti : le temps s’est \u00e9coul\u00e9 plus lentement.<\/p>\n

\u00c9crivons \u00e7a en terme de trajectoires d’espace-temps. Supposons pour simplifier que le jumeau voyageur quitte la Terre \u00e0 une vitesse v, voyage pendant ce qui lui para\u00eet \u00e0 lui \u00eatre un temps \\(\\tau\\), puis fasse demi-tour et revienne vers la Terre toujours \u00e0 vitesse v (ce qui de son point de vue lui prendra \u00e9galement un temps \\(\\tau\\).) Vu de la Terre la premi\u00e8re partie de sa trajectoire a dur\u00e9<\/p>\n

\\(T= \\frac{\\tau}{\\sqrt{1-v^2\/c^2}}\\)<\/p>\n

Mais on peut aussi \u00e9crire la m\u00eame chose pour la partie \u00ab\u00a0retour\u00a0\u00bb de son voyage. Donc au total, le voyageur aura voyag\u00e9 (de son point de vue) un temps \\(2\\tau\\), mais sur Terre il se sera \u00e9coul\u00e9 un temps \\(2 T\\). Comme T est sup\u00e9rieur \u00e0 \\(\\tau\\), le jumeau terrien aura donc vieilli plus !<\/p>\n

Pourquoi le paradoxe est paradoxal<\/h3>\n

\"paradoxe<\/a>Ce r\u00e9sultat est un paradoxe, car il est contraire \u00e0 notre intuition : comment le temps peut-il s’\u00e9couler diff\u00e9remment pour deux personnes ! Mais il y a aussi un paradoxe dans le paradoxe.<\/p>\n

Le jumeau terrien voit son fr\u00e8re s’\u00e9loigner puis revenir \u00e0 vitesse v. Et il vieillit plus que lui. Mais le jumeau de la fus\u00e9e peut tenir absolument le m\u00eame raisonnement, et conclure que c’est lui qui sera le plus vieux<\/strong> ! Alors, o\u00f9 est l’erreur ? Est-ce que l’un des deux sera vraiment plus vieux que l’autre ?<\/p>\n

La solution du paradoxe, c’est que c’est bien le jumeau terrien qui sera le plus vieux<\/strong>. La raison en est que contrairement aux apparences la situation n’est pas sym\u00e9trique. En effet le jumeau terrien ne subit aucune force et aucune acc\u00e9l\u00e9ration : il est inerte. Le jumeau de la fus\u00e9e lui doit agir pour modifier sa trajectoire, et notamment freiner et repartir dans l’autre sens.<\/p>\n

Or il y a un r\u00e9sultat g\u00e9n\u00e9ralisable qui va nous \u00eatre tr\u00e8s utile pour la suite : parmi toutes les trajectoires qui m\u00e8nent d’un point de l’espace-temps \u00e0 un autre, c’est toujours la trajectoire inertielle (sans acc\u00e9l\u00e9ration) qui maximise la distance d’espace-temps, et donc le temps propre<\/strong>. Et vous allez voir que gr\u00e2ce \u00e0 ce r\u00e9sultat, en relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale ce sera \u00e0 peine plus compliqu\u00e9 !<\/p>\n

La th\u00e9orie de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n

Dix ans apr\u00e8s avoir propos\u00e9 la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 restreinte et boulevers\u00e9 nos conceptions de l’espace et du temps, Einstein a r\u00e9cidiv\u00e9. Cette fois pour cr\u00e9er la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, qui comme son nom l’indique \u00e9tend la th\u00e9orie restreinte, en y incorporant la gravit\u00e9. L’id\u00e9e centrale de cette nouvelle th\u00e9orie, c’est de ne plus compter la gravit\u00e9 comme une force normale, mais de l’inclure dans la courbure de l’espace-temps.<\/p>\n

L’ajout de la courbure de l’espace-temps va nous forcer \u00e0 modifier les raisonnements que l’on a tenu. En effet en relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, pour calculer les distances d’espace-temps<\/strong>, on ne va plus simplement pouvoir faire \\(\\sqrt{T^2-X^2}\\) : on va devoir prendre en compte la courbure<\/strong>, un peu de la m\u00eame mani\u00e8re que mesurer des distances sur la Terre courbe est plus compliqu\u00e9 de les mesurer \u00e0 plat.<\/p>\n

La mani\u00e8re exacte dont le calcul va \u00eatre affect\u00e9 d\u00e9pend de la courbure, et donc de la r\u00e9partition des corps massifs qui la cr\u00e9ent. Mais consid\u00e9rons le cas simple d’un corps sph\u00e9rique massif, comme une plan\u00e8te de masse M, ou m\u00eame un trou noir si \u00e7a vous fait plaisir.<\/p>\n

Si vous \u00eates \u00e0 une distance \\(r\\) du centre, alors on peut montrer que la distance d’espace-temps associ\u00e9e \u00e0 un d\u00e9placement infinit\u00e9simal \\(dr\\) pendant un temps \\(dt\\) se calcule par<\/p>\n

\\(ds^2 = (1 – \\frac{R_S}{r}) dt^2 – \\frac{1}{c^2(1 – \\frac{R_S}{r})} dr^2 \\)<\/p>\n

o\u00f9 \\(R_S = 2GM\/c^2\\), c’est le fameux rayon de Schwarzschild qui repr\u00e9sente le rayon seuil en-dessous duquel se cr\u00e9e un trou noir.<\/p>\n

Le paradoxe des jumeaux \u00ab\u00a0gravitationnel\u00a0\u00bb<\/h3>\n

Si vous regardez cette formule qui donne la distance d’espace-temps pr\u00e8s d’une plan\u00e8te, vous pouvez noter quelque chose\u00a0: si \\(r\\) diminue, alors la distance d’espace-temps diminue. Or souvenez vous, la distance d’espace-temps, c’est le temps propre ! Donc comme dans le paradoxe des jumeaux, si vous descendez vers le trou noir et que vous remontez, vous aurez parcouru une distance d’espace-temps plus courte que votre copain qui sera rest\u00e9 plus haut en orbite<\/strong>. Donc il aura plus vieilli que vous !<\/p>\n

Dans le d\u00e9tail, on peut montrer que s’il s’\u00e9coule un temps \\(t_0\\) pour un observateur situ\u00e9 loin du champ gravitationnel, alors pour quelqu’un situ\u00e9 \u00e0 distance \\(r\\) le temps sera<\/p>\n

\\(t = t_0 \\sqrt{1-\\frac{R_S}{r}}\\)<\/p>\n

On touche ici la version \u00ab\u00a0gravitationnelle\u00a0\u00bb du paradoxe des jumeaux. Le temps s’\u00e9coule en quelque sorte plus lentement dans un champ de gravit\u00e9 plus fort. D’ailleurs on est m\u00eame maintenant capable de mettre en \u00e9vidence de ph\u00e9nom\u00e8ne avec des horloges atomiques tr\u00e8s pr\u00e9cises. Dans une publication spectaculaire, des chercheurs ont pu mesurer que deux horloges plac\u00e9es \u00e0 un m\u00e8tre de hauteur de diff\u00e9rence subissaient un champ de gravit\u00e9 diff\u00e9rent d’un pouilli\u00e8me, et que \u00e7a suffisait \u00e0 les d\u00e9caler [1].<\/p>\n

Si vous avez vu le film Interstellar, je vous laisse faire les calculs et vous rendre compte que les\u00a0effets\u00a0invoqu\u00e9s dans le film sont tr\u00e8s exag\u00e9r\u00e9s ! Mais on va pas chipoter…<\/p>\n

\n

Pour aller plus loin… : La trajectoire inertielle maximise le temps propre<\/em><\/h3>\n

Pour finir, je voudrai vous donner un exemple qui montre que le r\u00e9sum\u00e9 rapide \u00ab\u00a0le champ de gravit\u00e9 fait passer le temps plus lentement\u00a0\u00bb n’est pas tout \u00e0 fait exact.<\/em><\/p>\n

Consid\u00e9rez deux personnes, Igor et Grichka, qui se lancent en m\u00eame temps en chute libre vers une grosse plan\u00e8te ou un trou noir. Mais Igor d\u00e9cide de freiner sa chute (avec son jetpack) et de laisser filer Grichka. Finalement pris de remords, Igor remet les gaz sur son jetpack rattrape Grichka qui lui est rest\u00e9 en chute libre tout le long.<\/em><\/p>\n

Lequel des deux a le plus vieilli ? On pourrait se dire que Grichka est rest\u00e9 plus longtemps pr\u00e8s du trou noir, donc qu’il a moins vieilli. Mais c’est faux, c’est Igor qui a le moins vieilli !<\/em><\/p>\n

La raison en est\u00a0que la r\u00e8gle d’or\u00a0nous dit: entre deux points de l’espace-temps, c’est toujours la trajectoire inertielle maximise le temps propre. Or dans la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 d’Einstein, la trajectoire inertielle c’est la chute libre. C’est d’ailleurs le point fondateur de la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale : la chute libre, c’est comme\u00a0l’apesanteur.<\/em><\/p>\n

Toute force visant \u00e0 nous acc\u00e9l\u00e9rer ou \u00e0 nous d\u00e9c\u00e9l\u00e9rer est donc une d\u00e9viation de la trajectoire inertielle, et conduira \u00e0 avoir\u00a0une distance d’espace-temps plus courte, donc un temps propre plus court. Entre le point o\u00f9 Igor et Grichka se quittent, et celui o\u00f9 il se retrouvent, Grichka a fait une chute libre. Il maximis\u00e9 le temps propre, et a donc plus vieilli que tout autre astronaute l’ayant suivi mais en\u00a0acc\u00e9l\u00e9rant et\u00a0d\u00e9c\u00e9l\u00e9rant en chemin avec son jetpack.<\/em><\/p>\n

[1] Chou, Chin-Wen, et al. \u00ab\u00a0Optical clocks and relativity<\/a>.\u00a0\u00bb Science<\/i> 329.5999 (2010): 1630-1633.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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