{"id":7102,"date":"2014-10-20T00:01:47","date_gmt":"2014-10-19T22:01:47","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=7102"},"modified":"2014-10-20T00:01:47","modified_gmt":"2014-10-19T22:01:47","slug":"la-premiere-conjecture-de-hardy-littlewood","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/10\/20\/la-premiere-conjecture-de-hardy-littlewood\/","title":{"rendered":"La premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood"},"content":{"rendered":"

\"trinity<\/a>La semaine derni\u00e8re, je vous ai parl\u00e9 de ce qu’on appelle la deuxi\u00e8me conjecture de Hardy-Littlewood<\/em><\/a>, qui affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N.<\/p>\n

Cette conjecture a de quoi intriguer, car on n\u2019en a jamais trouv\u00e9 un seul contre-exemple, et pourtant les sp\u00e9cialistes sont convaincus qu’elle est fausse. Mais ils estiment que pour trouver un contre-exemple, il faut aller chercher au-del\u00e0 de \\(10^{174}\\) !<\/p>\n

Aujourd’hui, nous allons voir ce qui permet de faire cette estimation. Il s’agit d’une autre conjecture propos\u00e9e au m\u00eame moment par les m\u00eames math\u00e9maticiens : celle qu’on appelle la premi\u00e8re<\/em> conjecture de Hardy-Littlewood.<\/p>\n

Une affaire de contradiction<\/h3>\n

L’histoire a commenc\u00e9 en 1923, quand G. Hardy et J. Littlewood ont \u00e9crit un article [1] dans lequel ils ont propos\u00e9 deux conjectures. La deuxi\u00e8me est la plus simple, c’est celle dont j’ai parl\u00e9 la semaine derni\u00e8re. La premi\u00e8re est plus technique et je vais vous la pr\u00e9senter aujourd’hui. Mais avant cela, voyons pourquoi ces deux conjectures sont si particuli\u00e8res.<\/p>\n

Quand un math\u00e9maticien propose une conjecture, c’est souvent qu’il pense qu’elle est vraie, mais qu’il ne sait pas la d\u00e9montrer. Dans le cas de Hardy et Littlewood, ils pensaient probablement que\u00a0leurs deux conjectures \u00e9taient correctes\u00a0: elles avaient l’air parfaitement raisonnables et il n’en existait pas de contre-exemple apparent.<\/p>\n

Cinquante ans plus tard, personne n’avait encore pu trouver ni d\u00e9monstration, ni contre-exemple. Tout le monde continuait donc \u00e0 penser que les deux conjectures devaient \u00eatre vraies. Mais pas de bol, en 1974 quelqu\u2019un d\u00e9montre que ces deux conjectures sont incompatibles : si l’une est vraie, alors l’autre est obligatoirement fausse<\/strong>\u00a0! [2]<\/p>\n

Or les sp\u00e9cialistes du domaine sont convaincus que la premi\u00e8re conjecture est vraie, et donc que la deuxi\u00e8me est fausse. Il faut donc que je vous explique ce que dit cette premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood\u00a0; mais pour cela, on va d\u2019abord s\u2019\u00e9chauffer avec une autre conjecture plus simple\u00a0: celle des nombres premiers jumeaux<\/strong>.<\/p>\n

La conjecture des nombres premiers jumeaux<\/h3>\n

Des nombres premiers jumeaux, ce sont deux nombres premiers qui ne sont s\u00e9par\u00e9s que de 2 unit\u00e9s. Par exemple 5 et 7, ou 17 et 19. La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme simplement qu’il en existe une infinit\u00e9. D\u2019ailleurs tant qu’on en cherche, on en trouve\u00a0:\u00a0les plus grands nombres premiers jumeaux connus \u00e0 ce jour sont<\/p>\n

\\(3756801695685\\times 2^{666669} \\pm 1\\).<\/p>\n

On peut g\u00e9n\u00e9raliser le cas des nombres premiers jumeaux. Par exemple on parle de nombres premiers \u00ab\u00a0cousins\u00a0\u00bb<\/strong> s\u2019ils sont s\u00e9par\u00e9s de 4, ou de nombres premiers \u00ab\u00a0sexy\u00a0\u00bb<\/strong> s’ils sont s\u00e9par\u00e9s de 6. On peut \u00e9crire toutes ces conjectures\u00a0sous une forme un peu plus g\u00e9n\u00e9rale\u00a0:<\/p>\n

Conjecture (0,K)\u00a0: il existe une infinit\u00e9 de p tels que (p,p+K) soient premiers.<\/em><\/p>\n

La conjecture des nombres premiers jumeaux est donc la conjecture (0,2), celle des nombres premiers sexy est la conjecture (0,6), etc. On pense que pour toute valeur de K paire, la conjecture (0,K) est vraie. Mais on ne sait en d\u00e9montrer aucune !<\/p>\n

Il faut d’ailleurs ici mentionner un progr\u00e8s spectaculaire r\u00e9alis\u00e9 il y a peu, et qui a fait grand bruit dans la communaut\u00e9 math\u00e9matique. En Avril 2013 un math\u00e9maticien nomm\u00e9 Yitang Zhang a d\u00e9montr\u00e9 qu’il existe au moins une valeur de K pour laquelle la conjecture (0,K) est vraie<\/strong>, et que cette valeur est inf\u00e9rieure \u00e0 70 millions. Cette d\u00e9monstration a doublement fait l’effet d’une bombe : d’une part car le r\u00e9sultat est fondateur; d’autre part, parce qu’il est le fait d’un math\u00e9maticien totalement inconnu de la communaut\u00e9 \u00e0 l\u2019\u00e9poque. Y. Zhang enseignait les\u00a0math\u00e9matiques dans une petite universit\u00e9 du New Hampshire et ne faisait m\u00eame pas officiellement de la recherche. (Il \u00e9tait ce qu’on appelle lecturer<\/em>, mais opportun\u00e9ment l’universit\u00e9 l’a depuis catapult\u00e9 full professor<\/em> !)<\/p>\n

Voici donc pour les nombres premiers jumeaux et assimil\u00e9s, passons maintenant \u00e0 l\u2019\u00e9tage sup\u00e9rieur.<\/p>\n

Jumeaux, tripl\u00e9s, k-uplets<\/h3>\n

Si on peut parler de nombres premiers jumeaux, pourquoi pas parler de tripl\u00e9s\u00a0? Par exemple\u00a0:<\/p>\n

Conjecture (0,2,6)\u00a0: il existe une infinit\u00e9 de p tels que (p,p+2,p+6) soient premiers.<\/em><\/p>\n

Et on peut g\u00e9n\u00e9raliser\u00a0! Prenons n\u2019importe quelle suite croissante de k\u00a0nombres nombres \\(0<a_2<a_3<\\cdots<a_k\\). On appelle cela un k-uplet<\/strong>. On peut poser<\/p>\n

Conjecture \\((0,a_2,a_3,\\cdots,a_k)\\) : il existe une infinit\u00e9 de p tels que \\((p,p+a_2,p+a_3,\\cdots,p+a_k)\\) soient tous premiers.<\/em><\/p>\n

Alors attention, toutes ces conjectures ne sont pas vraies\u00a0! Certaines sont fausses de mani\u00e8re \u00ab\u00a0\u00e9vidente\u00a0\u00bb, par exemple la conjecture (0,2,4). Si p est premier, alors soit p+2, soit p+4, est forc\u00e9ment un multiple de 3 !<\/p>\n

Heureusement, il est assez facile de caract\u00e9riser les k-uplets pour lesquels\u00a0la conjecture est \u00ab\u00a0\u00e9videmment\u00a0\u00bb fausse. Tous les autres k-uplets sont dits \u00ab\u00a0admissibles\u00a0\u00bb, et on pense que pour tous les k-uplets admissibles, la conjecture est vraie<\/strong>.<\/p>\n

(Pour les violents, un k-uplet est admissible si pour tout p, il ne contient pas tous les restes possibles modulo p : \\(\\forall p\\ \\exists r\\ \\forall i\\ a_i\\not\\equiv r [p]\\))<\/em><\/p>\n

La premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood<\/h3>\n

Continuons notre chemin. Prenons un k-uplet admissible \\((0,a_2,a_3,\\cdots,a_k)\\). Le plus grand nombre \\(a_k\\) est appel\u00e9 le diam\u00e8tre du k-uplet. Or ce qui est amusant pour un math\u00e9maticien, c\u2019est de regarder des k-uplets de plus petit diam\u00e8tre possible. En effet la conjecture \\((0,a_2,a_3,\\cdots,a_k)\\) associ\u00e9e \u00e0 ces k-uplets va correspondre \u00e0 des s\u00e9quences de nombres premiers aussi proches les uns des autres que possible. Un k-uplet admissible de diam\u00e8tre minimal est appel\u00e9 une constellation<\/strong>.<\/p>\n

Nous sommes enfin pr\u00e8ts \u00e0 \u00e9noncer la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood\u00a0! Elle nous dit deux choses\u00a0: premi\u00e8rement pour toute constellation \\((0,a_2,a_3,\\cdots,a_k)\\), il existe une infinit\u00e9 de nombres p tels que \\((p,p+a_2,\\cdots,p+a_k)\\) soient tous premiers\u00a0; deuxi\u00e8mement la r\u00e9partition des nombres p qui marchent n’est pas quelconque<\/strong>, mais suit asymptotiquement une loi imbitable\u00a0dont je vous \u00e9pargne l’\u00e9criture mais que vous pouvez trouver ici<\/a>.<\/p>\n

Voil\u00e0, tout cela vous para\u00eet peut \u00eatre affreusement abstrait, mais nous allons voir maintenant pourquoi si la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood est vraie, alors la deuxi\u00e8me est automatiquement fausse\u00a0!<\/p>\n

Les constellations int\u00e9ressantes<\/h3>\n

Revenons \u00e0 la d\u00e9finition d\u2019une constellation\u00a0: il s\u2019agit d\u2019un k-uplet de taille minimale. Si la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood est vraie, chaque constellation va donner naissance \u00e0 une infinit\u00e9 de s\u00e9quences de nombres premiers. Comme les constellations sont aussi petites que possibles, cela correspond donc \u00e0 des paquets de nombres premiers aussi proches que possible les uns des autres<\/strong>.<\/p>\n

Eh bien figurez-vous qu’il existe des constellations comportant K nombres, dont le diam\u00e8tre D est tel que la quantit\u00e9 de nombres premiers entre 0 est D est inf\u00e9rieure \u00e0 K\u00a0:\u00a0\\(\\Phi(D)<K\\). Ca veut dire que si \u2013 comme l\u2019affirme la premi\u00e8re conjecture \u2013 ces constellations donnent effectivement naissance \u00e0 ne serait-ce qu\u2019une seule s\u00e9quence de nombre premiers \\((p,p+a_2,\\cdots,p+a_k)\\), alors cette s\u00e9quence va violer la deuxi\u00e8me conjecture\u00a0: elle contiendra plus de nombres premiers que l\u2019intervalle situ\u00e9 entre 0 et D. Vous voyez donc que si la premi\u00e8re conjecture est vraie, elle permet de construire des contres-exemples \u00e0 la deuxi\u00e8me<\/strong>.<\/p>\n

Soyons clairs, des constellations int\u00e9ressantes susceptibles de fournir ces contre-exemples, il n\u2019y en a pas l\u00e9gion\u00a0! Une des plus petites comporte 447 nombres et son diam\u00e8tre est 3159. Or il n\u2019y a que 446 nombres premiers entre 2 et 3159.\u00a0 Ce qu\u2019il y a d\u2019int\u00e9ressant, c\u2019est que la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood permet d\u2019estimer la r\u00e9partition des nombres premiers bas\u00e9s sur une constellation donn\u00e9e. Et pour celle dont je viens de parler, le premier exemple est attendu quelque part entre \\(10^{174}\\) et \\(10^{1197}\\) (voir [4]). On n’est probablement pas pr\u00e8s de le trouver\u00a0!<\/p>\n

Enfin petite sp\u00e9culation pour finir\u00a0: comme la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood\u00a0ne donne qu\u2019une r\u00e9partition asymptotique des contre-exemples, je me demande si on peut imaginer que cette estimation soit assez fausse\u00a0pour les petites valeurs, et donc qu\u2019un contre-exemple soit trouv\u00e9 beaucoup plus t\u00f4t qu\u2019attendu\u00a0?<\/p>\n

\n

R\u00e9f\u00e9rences<\/h4>\n

[1] Hardy, Godfrey H., and John E. Littlewood. \u00ab\u00a0Some problems of \u2018Partitio numerorum\u2019; III: On the expression of a number as a sum of primes.\u00a0\u00bb Acta Mathematica<\/i> 44.1 (1923): 1-70.<\/p>\n

[2] Richards, Ian. \u00ab\u00a0On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem.\u00a0\u00bb Bull. Amer. Math. Soc<\/i> 80 (1974).<\/p>\n

[3] Zhang, Yitang. \u00ab\u00a0Bounded gaps between primes.<\/a>\u00a0\u00bb Annals of Mathematics<\/i> (2013).<\/p>\n

[4] Le site de Thomas J Engelsma<\/a><\/p>\n

Credits<\/h4>\n

Trinity College<\/a>, Cambridge<\/strike> Dublin (dont Hardy et Littlewood \u00e9taient tout les deux fellows<\/em> — de Cambridge, donc.)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La semaine derni\u00e8re, je vous ai parl\u00e9 de ce qu’on appelle la deuxi\u00e8me conjecture de Hardy-Littlewood, qui affirme qu’il y a toujours plus de nombres premiers entre 0 et N que dans tout autre intervalle de longueur N. Cette conjecture a de quoi intriguer, car on n\u2019en a jamais trouv\u00e9 un seul contre-exemple, et pourtant<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[2,116,5],"class_list":{"0":"post-7102","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-arithmetique","8":"tag-conjec","9":"tag-nombres-premiers"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7102","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7102"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7102\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7102"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7102"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7102"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}