{"id":7066,"date":"2014-10-13T00:01:13","date_gmt":"2014-10-12T22:01:13","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=7066"},"modified":"2014-10-13T00:01:13","modified_gmt":"2014-10-12T22:01:13","slug":"deuxieme-conjecture-hardy-littlewood","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/10\/13\/deuxieme-conjecture-hardy-littlewood\/","title":{"rendered":"La deuxi\u00e8me conjecture de Hardy-Littlewood"},"content":{"rendered":"

\"hardy\"<\/a>C’est l’histoire d’un physicien \u00e0 qui on demande d’\u00e9tudier la conjecture<\/p>\n

\u00ab\u00a0Tout nombre impair est un nombre premier.\u00a0\u00bb<\/em><\/span><\/p>\n

Il commence donc \u00e0 regarder les nombres impairs les uns apr\u00e8s les autres :<\/p>\n

1 : ok.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 3 : ok.\u00a0\u00a0\u00a0 5 : ok. \u00a0\u00a0\u00a0 7 : ok.\u00a0\u00a0\u00a0 9 : \u2026hum. \u00a0\u00a0\u00a0 11 : ok. \u00a0\u00a0\u00a0 <\/em><\/p>\n

13 : ok. \u00a0\u00a0\u00a0 15 : \u2026euh. \u00a0\u00a0\u00a0 17 : ok. \u00a0\u00a0\u00a0 19 : ok.<\/em><\/p>\n

Et le physicien finit par conclure :<\/p>\n

\u00ab\u00a0La conjecture est vraie; …en premi\u00e8re approximation.\u00a0\u00bb<\/em><\/span><\/p>\n

Au-del\u00e0 du fait que cette conjecture est \u00e9videmment carr\u00e9ment fausse, cette histoire illustre le fait qu’en math\u00e9matiques il n’y a pas de demi-mesure : soit une conjecture est vraie pour ABSOLUMENT TOUS les nombres, soit elle est fausse ! Un seul contre-exemple suffit pour d\u00e9molir l’\u00e9difice.<\/p>\n

Et pourtant aujourd’hui nous allons parler d’une conjecture un peu \u00e9trange : la deuxi\u00e8me conjecture de Hardy-Littlewood. Personne n’en a jamais trouv\u00e9 de contre-exemple, et malgr\u00e9 cela les sp\u00e9cialistes sont convaincus qu’elle est fausse ! Mais le premier contre-exemple est attendu fabuleusement loin, au point qu’on estime que la conjecture est vraie jusqu’\u00e0 au moins 10 puissance 174 !<\/strong><\/p>\n

L’\u00e9nonc\u00e9 de la conjecture<\/h3>\n

Si vous vous amusez \u00e0 regarder une liste de nombres premiers, vous devez vous apercevoir d’une chose : il y en a de moins en moins. Plus vous allez vers des valeurs \u00e9lev\u00e9es, plus les nombres premiers se rar\u00e9fient<\/strong>. On peut m\u00eame mesurer ce ph\u00e9nom\u00e8ne et constater que la proportion de nombres premiers aux environs de N est de l’ordre de \\(1\/log(N)\\).<\/p>\n

Un cas particulier de cette rar\u00e9faction, c’est que si vous comptez les nombres premiers entre 0 et N, il semble y en avoir toujours plus (ou autant) que dans n’importe quel intervalle de longueur N situ\u00e9 plus loin<\/strong>. Et c’est cela qu’on appelle la deuxi\u00e8me conjecture de Hardy-Littlewood.<\/p>\n

\"hl2\"<\/a><\/p>\n

On peut \u00e9crire la conjecture plus formellement. Si \\(\\Pi(N)\\) d\u00e9signe la quantit\u00e9 de nombres premiers entre 0 et N, alors pour tout M et tout N sup\u00e9rieurs \u00e0 2 :<\/p>\n

\\(\\Pi(M+N) – \\Pi(M) \\leq \\Pi(N)\\)<\/p>\n

[une autre mani\u00e8re de le dire, c’est d’affirmer que la fonction \\(\\Pi()\\) est ce qu’on appelle \u00ab\u00a0sous-additive\u00a0\u00bb puisqu’on a alors \\(\\Pi(M+N) \\leq \\Pi(M) + \\Pi(N)\\).]<\/em><\/p>\n

Voil\u00e0, c’est une conjecture. Il faut donc essayer de savoir si elle est vraie ou fausse !<\/p>\n

V\u00e9rifier la conjecture par ordinateur<\/h3>\n

Quand on fait des conjectures en arithm\u00e9tique, il est assez pratique d’essayer de les v\u00e9rifier par ordinateur aussi loin qu’on le peut. Par exemple dans un billet pr\u00e9c\u00e9dent, j’ai eu l’occasion de vous parler de la c\u00e9l\u00e8bre conjecture de Goldbach<\/a>, qui affirme que tout nombre pair peut toujours s’\u00e9crire comme somme de deux nombres premiers.<\/p>\n

Personne n’a jamais trouv\u00e9 de d\u00e9monstration de cette conjecture, mais par ordinateur on a pu v\u00e9rifier qu’elle \u00e9tait correcte jusqu’\u00e0 au moins \\(10^{20}\\). Du coup tous les math\u00e9maticiens s’accordent \u00e0 penser qu’elle est vraie et qu’il doit donc bien en exister une d\u00e9monstration. Il se passe d’ailleurs exactement la m\u00eame chose pour une autre conjecture c\u00e9l\u00e8bre : la conjecture dite de Syracuse<\/a>.<\/p>\n

Alors qu’en est-il pour la conjecture de Hardy-Littlewood ?<\/p>\n

Commen\u00e7ons petit joueur : si vous avez acc\u00e8s \u00e0 une liste de nombre premiers, vous pouvez faire quelques exp\u00e9riences num\u00e9riques. Par exemple il y a 25 nombres premiers entre 0 et 100. Il n’y en a que 16 entre 1100 et 1000, et plus que 6 entre 100100 et 100000. (Wolfram Alpha fait \u00e7a tr\u00e8s bien aussi<\/a>) La conjecture marche bien sur ces exemples.<\/p>\n

Si vous savez un peu coder, vous pouvez facilement programmer un test num\u00e9rique de la conjecture. J’ai \u00e9crit un petit code en C qui v\u00e9rifie en moins de 10 minutes que la conjecture est vraie pour (M+N) inf\u00e9rieur \u00e0 1 million. (J’ai aussi \u00e9crit un code en Python qui fait la m\u00eame chose en 24 heures.)<\/p>\n

Je n’ai pas pu trouver dans la litt\u00e9rature jusqu’\u00e0 quelle valeur la seconde conjecture de Hardy-Littlewood a \u00e9t\u00e9 v\u00e9rifi\u00e9e num\u00e9riquement, mais \u00e0 ce jour aucun contre-exemple n’a jamais \u00e9t\u00e9 trouv\u00e9 !<\/p>\n

Existe-t-il un contre-exemple ?<\/h3>\n

Pourtant pour invalider la conjecture, c’est pas compliqu\u00e9 ! Il suffit de trouver une seule<\/em> valeur de N et une seule<\/em> valeur de M telles qu’il y ait plus de nombres premiers entre M et M+N qu’entre 0 et N.<\/p>\n

Comme pour Syracuse ou Goldbach, si on ne trouve aucun contre-exemple jusqu’\u00e0 des nombres astronomiques, le bon sens pousserait \u00e0 consid\u00e9rer que la deuxi\u00e8me conjecture de Hardy-Littlewood doit \u00eatre vraie elle aussi.<\/p>\n

Et pourtant les math\u00e9maticiens sp\u00e9cialistes du sujet sont convaincus qu’elle est fausse et qu’un contre exemple doit exister<\/strong>. Et d’apr\u00e8s leurs estimations, le premier contre-exemple doit se situer quelque part entre \\(10^{174}\\) et \\(10^{1198}\\) !<\/p>\n

Mais qu’est-ce qui leur permet de penser cela ?\u00a0 Eh bien c’est ce qu’on appelle la premi\u00e8re<\/em> conjecture de Hardy-Littlewood<\/strong>.<\/p>\n

En effet dans leur article de 1923 [1], les math\u00e9maticiens John Littlewood et Godfrey Hardy n’ont pas seulement \u00e9nonc\u00e9 la conjecture que je viens de vous pr\u00e9senter — qu’on appelle la \u00ab\u00a0deuxi\u00e8me\u00a0\u00bb –, mais ils en ont propos\u00e9 une autre ! Les deux conjectures leurs semblaient raisonnables, et ils pensaient donc qu’elles \u00e9taient toutes les deux vraies.<\/p>\n

Mais pas de bol, en 1974 un petit malin nomm\u00e9 Ian Richards a montr\u00e9 que les deux conjectures sont incompatibles<\/strong> ! Si l’une est vraie, l’autre est obligatoirement fausse [2]. Et pour diverses raisons les chercheurs du sujet pensent que c’est la premi\u00e8re qui est vraie, et donc que la deuxi\u00e8me est n\u00e9cessairement fausse.<\/p>\n

La semaine prochaine je vous parlerai donc de cette premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood, et de comment on peut s’en servir pour esp\u00e9rer trouver un contre-exemple \u00e0 la deuxi\u00e8me.<\/p>\n

UPDATE : la suite ici avec la premi\u00e8re conjecture de Hardy-Littlewood<\/a><\/strong><\/p>\n

Billets reli\u00e9s<\/h4>\n