{"id":704,"date":"2011-11-14T00:01:04","date_gmt":"2011-11-13T23:01:04","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=704"},"modified":"2011-11-14T00:01:04","modified_gmt":"2011-11-13T23:01:04","slug":"quand-la-musique-est-bonne-312-219","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2011\/11\/14\/quand-la-musique-est-bonne-312-219\/","title":{"rendered":"Quand la musique est bonne, 3^12 = 2^19"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Dans ce billet nous allons voir en quoi l\u2019existence de la musique occidentale repose sur le fait que 3 puissance 12 est (presque) \u00e9gal \u00e0 2 puissance 19 ! Et pour cela, construisons un piano\u00a0!<\/p>\n

Le principe est simple : on va partir d’une premi\u00e8re corde, dont la vibration produit une certaine note, et on va chercher successivement \u00e0 construire les autres cordes du piano. Notre crit\u00e8re \u00e9tant d’introduire de nouvelles cordes dont les sons \u00ab\u00a0vont bien\u00a0\u00bb avec ceux des cordes que l’on poss\u00e8de d\u00e9j\u00e0.<\/p>\n

Et voyons o\u00f9 cela nous m\u00e8ne !<\/p>\n

Notre premi\u00e8re s\u00e9rie de notes<\/strong><\/h3>\n

Imaginons que nous disposions pour commencer d’une corde tendue. Une corde qui vibre produit un son dont la fr\u00e9quence d\u00e9pend de sa longueur, de sa masse et de sa tension<\/strong>. Plus la corde est longue et massive, plus la vibration sera grave; plus la corde est tendue, plus le son sera aigu. Supposons que notre corde de d\u00e9part vibre naturellement \u00e0 une fr\u00e9quence de 131 Hz. Cette vibration produit un son plut\u00f4t grave, appelons cette note \u00ab\u00a0Do\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Pour chercher des notes qui \u00ab\u00a0vont bien\u00a0\u00bb avec notre note de d\u00e9part, on va se r\u00e9f\u00e9rer \u00e0 la physique des vibrations. En effet on sait que si un objet vibre naturellement \u00e0 une certaine fr\u00e9quence F, il a tendance \u00e0 \u00e9galement vibrer un peu \u00e0 la fr\u00e9quence double, 2F, c’est-\u00e0-dire dans dans notre cas 2 x 131 = 262Hz.<\/p>\n

On comprend cela assez bien en observant une vraie corde et ses modes de vibration :<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

La cons\u00e9quence de cela est d\u2019une part que les sons produits \u00e0 ces deux fr\u00e9quences vont parfaitement aller ensemble<\/strong>, et d\u2019autre part que notre oreille ressent ces deux sons de mani\u00e8re tr\u00e8s analogue\u00a0: on va d\u2019ailleurs leur donner le m\u00eame nom\u00a0\u00ab\u00a0Do\u00a0\u00bb. On dit que le deuxi\u00e8me Do est \u00ab\u00a0une octave plus haute\u00a0\u00bb que le premier.<\/p>\n

Nous avons une nouvelle note qui va bien avec notre note initiale : on d\u00e9cide donc d\u2019ajouter une seconde corde (plus courte, plus tendue ou plus l\u00e9g\u00e8re) qui vibrera \u00e0 262Hz.<\/p>\n

Mais \u00e9videmment en r\u00e9p\u00e9tant le raisonnement, une corde \u00e0 524 Hz ira parfaitement avec celle \u00e0 262 Hz, et une corde \u00e0 1048 Hz avec celle \u00e0 524 Hz, etc. Pour construire notre piano, on d\u00e9cide donc de fabriquer toute une s\u00e9rie de cordes \u00e0 ces fr\u00e9quences\u00a0:<\/p>\n

131, 262, 524, 1048, 2096, 4192, etc.
\n<\/em><\/p>\n

Une deuxi\u00e8me s\u00e9rie de notes<\/strong><\/h3>\n

Nous avons vu que physiquement si une corde vibre \u00e0 la fr\u00e9quence F, elle vibrera aussi un peu \u00e0 la fr\u00e9quence 2F. Mais pour les m\u00eames raisons, elle vibrera aussi l\u00e9g\u00e8rement \u00e0 la fr\u00e9quence 3F. On peut donc regarder ce qu’on obtient comme note en fabriquant une nouvelle corde \u00e0 la fr\u00e9quence 3 x 131 = 393Hz.<\/p>\n

A l\u2019oreille, la note obtenue \u00e0 cette fr\u00e9quence produit une sensation clairement diff\u00e9rente des pr\u00e9c\u00e9dentes, mais qui s\u2019accorde tr\u00e8s bien avec notre note initiale<\/strong>. On dit que cette nouvelle note (que l\u2019on appellera Sol) est la quinte<\/strong> du Do.<\/p>\n

Mais bien entendu avec cette nouvelle note, on peut aussi appliquer le premier principe et multiplier (ou diviser) la fr\u00e9quence par 2 pour construire toute une nouvelle s\u00e9rie de cordes, qui seront donc tous des \u00ab\u00a0Sol\u00a0\u00bb.<\/p>\n

On d\u00e9cide ainsi d’ajouter \u00e0 notre instrument une s\u00e9rie de cordes aux fr\u00e9quences suivantes\u00a0:<\/p>\n

197, 393, 786, 1572, 3144, 6288, etc.<\/em><\/p>\n

A ce stade, on a retrouv\u00e9 un certain nombre de notes du piano : tous les Do (en rouge) et tous les Sol (en vert). Le Sol ayant \u00e9t\u00e9 construit pour \u00ab\u00a0bien aller\u00a0\u00bb avec le Do.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

D\u2019autres s\u00e9ries de cordes<\/h3>\n

\u00c9videmment on peut maintenant it\u00e9rer notre petit jeu, et construire une troisi\u00e8me s\u00e9rie (qu’on appellera les R\u00e9) correspondant \u00e0 la quinte du Sol, puis une quatri\u00e8me s\u00e9rie, et ainsi de suite de proches en proches. Mais on s\u2019arr\u00eate quand\u00a0?<\/p>\n

Eh bien figurez vous qu\u2019au bout d\u2019un moment se produit un petit miracle<\/strong> : alors que vous venez de construire votre 12\u00e8me<\/sup> s\u00e9rie de cordes (les Fa), dont les fr\u00e9quences sont en gros\u00a0: 177, 354, 692, 708, 1416, vous appliquez \u00e0 nouveau la petite r\u00e8gle de la multiplication par 3, et l\u00e0 vous tombez sur les fr\u00e9quences suivantes\u00a0:<\/p>\n

133, 265, 531, 1062, 2124, etc.
\n<\/em><\/p>\n

\"\"<\/a>Et l\u00e0, alors que vous vous appr\u00eatiez \u00e0 construire votre 13\u00e8me<\/sup> s\u00e9rie de cordes, vous r\u00e9alisez que les fr\u00e9quences de cette 13\u00e8me<\/sup> s\u00e9rie sont tr\u00e8s tr\u00e8s proches des fr\u00e9quences de la premi\u00e8re s\u00e9rie<\/strong> !<\/p>\n

Musicalement, cela signifie que l\u2019on cherche \u00e0 construire la quinte du Fa, mais que cette derni\u00e8re se trouve \u00eatre quasiment le Do initial.<\/p>\n

Et c\u2019est l\u00e0 que la musique occidentale prend cette d\u00e9cision d\u00e9terminante<\/strong> : consid\u00e9rer qu\u2019effectivement le Do est quasi la quinte du Fa, qu\u2019il n\u2019y a pas besoin de rajouter une 13\u00e8me<\/sup> s\u00e9rie de cordes, et que la boucle est boucl\u00e9e\u00a0! C’est ce qui est symbolis\u00e9 sur le diagramme ci-contre qui montre le cycle des quintes<\/strong>. Au bout de 12 applications de la r\u00e8gle des quintes, on retombe sur la note initiale.<\/p>\n

Reprenons l\u2019arithm\u00e9tique<\/strong><\/h3>\n

Si on reprend l\u2019arithm\u00e9tique de la construction pr\u00e9c\u00e9dente, on s\u2019aper\u00e7oit que le petit miracle qui fait qu\u2019on retombe sur ses pieds \u00e0 la 12\u00e8me<\/sup> it\u00e9ration provient en fait de la (presque) \u00e9galit\u00e9 arithm\u00e9tique 3 puissance 12 = 2 puissance 19<\/strong>. C\u2019est gr\u00e2ce \u00e0 cette relation qu\u2019en suivant le cycle des quintes 12 fois on finit par retomber sur des notes que l\u2019on a d\u00e9j\u00e0 construite, et qu\u2019on peut donc arr\u00eater d\u2019ajouter des nouvelles notes.<\/p>\n

En fait, en pratique, plut\u00f4t que de laisser \u00e0 la douzi\u00e8me it\u00e9ration le soin de combler \u00e0 elle seule le l\u00e9ger \u00e9cart, on d\u00e9cide de le r\u00e9partir sur l’ensemble de la gamme. Cela \u00e9vite qu’il y ait certains intervalles de la gamme qui sonnent plus faux que les autres (ce qu’on appelait le \u00ab\u00a0loup\u00a0\u00bb sur les anciens instruments). C’est-\u00e0-dire que sur un instrument moderne, pour construire la quinte d’une note, on ne va pas multiplier sa fr\u00e9quence par 3 mais plut\u00f4t par 2^(19\/12).\u00a0 Et tout \u00e7a passe inaper\u00e7u \u00e0 l’oreille, car<\/p>\n

2^(19\/12) = 2.9966<\/em><\/p>\n

Il est formidable de voir que ce miracle se produit apr\u00e8s 12 it\u00e9rations<\/strong>, ce qui permet tout de m\u00eame d\u2019avoir un nombre de notes suffisant pour faire des jolies choses, sans pour autant \u00eatre astronomique, pour garder des instruments raisonnables !<\/p>\n

Peut-on construire des musiques alternatives\u00a0?<\/h3>\n

Si l\u2019on est un puriste, on peut consid\u00e9rer qu\u2019apr\u00e8s la douzi\u00e8me it\u00e9ration la boucle n\u2019est pas exactement boucl\u00e9e, et que l\u2019on veut continuer \u00e0 ajouter des s\u00e9ries de cordes jusqu\u2019\u00e0 avoir une proximit\u00e9 encore plus grande.<\/p>\n

Eh bien dans ce cas il faut attendre la 41\u00e8me<\/sup><\/strong> ou la 53\u00e8me<\/sup> it\u00e9ration<\/strong> ! En effet on a<\/p>\n

2^(65\/41) = 3.0008<\/em><\/p>\n

2^(84\/53) = 2.99988<\/em><\/p>\n

On pourrait donc s\u2019imaginer construire des instruments (et donc une musique) bas\u00e9e sur 53 notes (au lieu de 12). Bon il faudrait des pianos \u00e0 pr\u00e8s de 380 touches\u00a0!<\/p>\n

Si vous \u00eates matheux et que voulez aller encore plus loin, vous pouvez bien s\u00fbr chercher d’autres approximations rationnelles de ln(3)\/ln(2), car c’est bien de cela qu’il s’agit ! Pour les trouver, le mieux est de passer par un d\u00e9veloppement en fractions continues<\/a> (485\/306 marche bien aussi…) Pour ma part, je retourne \u00e9couter JJ Goldman…<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dans ce billet nous allons voir en quoi l\u2019existence de la musique occidentale repose sur le fait que 3 puissance 12 est (presque) \u00e9gal \u00e0 2 puissance 19 ! Et pour cela, construisons un piano\u00a0! Le principe est simple : on va partir d’une premi\u00e8re corde, dont la vibration produit une certaine note, et on<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4,6],"tags":[2,59],"class_list":{"0":"post-704","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"category-physique","8":"tag-arithmetique","9":"tag-musique"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/704","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=704"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/704\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=704"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=704"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=704"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}