{"id":6911,"date":"2014-08-11T00:01:57","date_gmt":"2014-08-10T22:01:57","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=6911"},"modified":"2014-08-11T00:01:57","modified_gmt":"2014-08-10T22:01:57","slug":"aller-a-linfini-en-un-temps-fini-rediffusion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/08\/11\/aller-a-linfini-en-un-temps-fini-rediffusion\/","title":{"rendered":"Aller \u00e0 l\u2019infini en un temps fini [rediffusion]"},"content":{"rendered":"

Une rediffusion estivale d’un billet un peu \u00e9sot\u00e9rique, mais qui est un de mes pr\u00e9f\u00e9r\u00e9s !<\/em><\/p>\n

La th\u00e9orie de la gravitation de Newton ayant plus de 300 ans, on peut l\u00e9gitimement penser qu\u2019il n\u2019y a plus grand-chose d\u2019\u00e9tonnant \u00e0 y trouver. Et pourtant une construction publi\u00e9e en 1992 nous r\u00e9serve une dr\u00f4le de surprise : il est possible d\u2019envoyer des particules \u00e0 l\u2019infini en un temps fini<\/strong> !<\/p>\n

N corps en interaction<\/h3>\n

\"\"<\/a>La gravitation universelle semble une th\u00e9orie relativement simple, en tout cas du point de vue des \u00e9quations qui la d\u00e9crivent. Et pourtant d\u00e8s que plus de 2 corps interagissent selon les lois de Newton, la r\u00e9solution des \u00e9quations du mouvement devient la plupart du temps impossible de mani\u00e8re exacte : c\u2019est ce qu\u2019on appelle le probl\u00e8me \u00e0 N corps<\/strong>.<\/p>\n

Au cours de sa th\u00e8se \u00e0 la fin des ann\u00e9es 90, Jeff Xia a pu donner une r\u00e9ponse positive \u00e0 une question ouverte depuis longtemps : il existe des situations o\u00f9 des corps en interaction newtonienne peuvent atteindre l\u2019infini en un temps fini.<\/strong> Il a notamment montr\u00e9 explicitement que cela pouvait se produire avec un syst\u00e8me de 5 particules en interaction.<\/p>\n

La d\u00e9monstration de ce r\u00e9sultat \u00e9tonnant semble extr\u00eamement ardue, mais on peut ici esquisser les grands principes de la construction.<\/p>\n

Quelques consid\u00e9rations physiques g\u00e9n\u00e9rales<\/strong><\/h3>\n

Tout d\u2019abord on peut noter qu\u2019une particule ne peut pas s’embarquer seule dans un voyage pour l\u2019infini en un temps fini<\/strong>. En effet d\u00e8s qu\u2019un corps est suffisamment loin de tous les autres, il ne subit quasiment plus aucune force, et sa vitesse est donc essentiellement constante. Pas moyen d\u2019atteindre rapidement l\u2019infini de cette mani\u00e8re !<\/p>\n

Ensuite on sait que dans un syst\u00e8me de particules en interaction gravitationnelle, le centre de masse est conserv\u00e9. Donc si une particule s\u2019en va \u00e0 l\u2019infini dans une direction, il y en a forc\u00e9ment une autre qui fait de m\u00eame en sens oppos\u00e9<\/strong>.<\/p>\n

Enfin aller \u00e0 l\u2019infini en un temps fini n\u00e9cessite d\u2019acqu\u00e9rir une \u00e9nergie cin\u00e9tique qui tend vers l\u2019infini. Puisque l\u2019\u00e9nergie totale (cin\u00e9tique+potentielle) du syst\u00e8me est conserv\u00e9e, il faut bien puiser cette \u00e9nergie quelque part : elle proviendra de l\u2019\u00e9nergie potentielle qui peut tendre vers moins l\u2019infini<\/strong> quand 2 particules deviennent de plus en plus proches l\u2019une de l\u2019autre.<\/p>\n

\u00c9chauffement pour commencer : un m\u00e9nage \u00e0 trois particules<\/h3>\n

En ayant en t\u00eate les principes \u00e9nonc\u00e9s ci-dessus, on peut se faire une id\u00e9e de la construction r\u00e9alis\u00e9e par Jeff Xia. Mais commen\u00e7ons par fabriquer un m\u00e9nage \u00e0 trois.<\/p>\n

Consid\u00e9rons un syst\u00e8me de 2 particules de masses \u00e9gales qui tournent l\u2019une autour de l\u2019autre dans un plan horizontal. On choisit des orbites tr\u00e8s excentr\u00e9es qui forment donc des ellipses tr\u00e8s allong\u00e9es et quasi-align\u00e9es. Appelons ces 2 particules, le \u00ab syst\u00e8me binaire<\/strong> \u00bb.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

On ajoute ensuite une 3\u00e8me<\/sup> particule, plus massive, qui se d\u00e9place perpendiculairement au plan pr\u00e9c\u00e9dent en se dirigeant vers lui. Appelons cette particule la \u00ab navette<\/strong> \u00bb.<\/p>\n

On suppose que le tout est synchronis\u00e9 de mani\u00e8re \u00e0 ce que les particules qui forment le syst\u00e8me binaire atteignent leur rapprochement maximum juste apr\u00e8s que la navette ait crois\u00e9 le plan de l\u2019orbite<\/strong>.<\/p>\n

Le sc\u00e9nario est alors le suivant :
\n<\/a>\"\"<\/a><\/p>\n

Acte 1 : La navette s’approche du binaire. Puisque les orbites elliptiques sont tr\u00e8s excentr\u00e9es, les particules qui composent le binaire sont relativement \u00e9loign\u00e9es durant cette phase d’approche, et exercent une influence faible sur la navette.<\/p>\n

Acte 2 : Juste apr\u00e8s avoir crois\u00e9 le plan, les 2 particules du binaire sont tr\u00e8s proches et exercent une force de rappel maximale sur la navette, la faisant repartir dans la direction oppos\u00e9e.<\/p>\n

Acte 3 : D\u00e8s que la navette a recrois\u00e9 le plan des orbites en sens inverse, les 2 particules se trouvent \u00e0 nouveau assez \u00e9loign\u00e9es. En revanche par effet de recul (conservation de l’impulsion), l’ensemble du binaire recule en direction oppos\u00e9e.<\/p>\n

Notons qu\u2019au cours de l\u2019op\u00e9ration, le binaire a \u00e9t\u00e9 affect\u00e9 par le passage de la navette : les 2 particules qui composent le syst\u00e8me plan\u00e9taire se sont globalement rapproch\u00e9es, et donc l\u2019\u00e9nergie potentielle du syst\u00e8me binaire a diminu\u00e9, permettant l’augmentation de l’\u00e9nergie cin\u00e9tique de la navette.<\/p>\n

Dans ce m\u00e9nage \u00e0 trois, le binaire a pu transf\u00e9rer une forte \u00e9nergie \u00e0 la navette, ce qui n\u2019est pas sans rappeler l\u2019exp\u00e9rience de m\u00e9canique \u00e0 2 balles<\/a> dont j\u2019ai d\u00e9j\u00e0 parl\u00e9.<\/p>\n

La construction de Xia<\/h3>\n

\"\"<\/a>Pour achever la construction de Xia, l\u2019id\u00e9e est d\u2019ajouter sur la trajectoire de la Navette un deuxi\u00e8me syst\u00e8me binaire identique et convenablement synchronis\u00e9<\/strong>, qui produira exactement le m\u00eame effet en renvoyant la navette vers le premier syst\u00e8me, tout en reculant. On se trouve alors en pr\u00e9sence d\u2019un syst\u00e8me oscillant, et \u00e0 chaque it\u00e9ration les 2 syst\u00e8mes binaires s\u2019\u00e9loignent l\u2019un de l\u2019autre.<\/p>\n

\u00c7a n’a rien d’\u00e9vident dans l’explication avec les mains que je viens de donner, mais Jeff Xia a pu montrer que pour un choix convenable des param\u00e8tres et des conditions initiales<\/strong>, il \u00e9tait possible qu\u2019il se produise un nombre infini d\u2019oscillations en un temps fini<\/strong>, et qu\u2019\u00e0 ce petit jeu les 2 syst\u00e8mes binaires atteignent l\u2019infini pendant ce temps fini.<\/p>\n

Et la vraie physique dans tout \u00e7a ?<\/h3>\n

Bien s\u00fbr la construction de Xia est avant tout un exercice math\u00e9matique, puisque l\u2019on sait que la gravit\u00e9 newtonienne ne d\u00e9crit qu\u2019approximativement notre monde. Et ici les failles sont faciles \u00e0 trouver.<\/p>\n

D\u2019une part on sait qu\u2019il n\u2019est pas possible \u00e0 une particule de d\u00e9passer la vitesse de la lumi\u00e8re<\/strong>, donc l\u2019espoir d\u2019aller \u00e0 l\u2019infini en un temps fini est d\u2019ores et d\u00e9j\u00e0 compromis.<\/p>\n

D\u2019autre part le syst\u00e8me pr\u00e9c\u00e9dent n\u00e9cessite que certaines particules deviennent infiniment proches les unes des autres, ce qui n\u2019est pas possible puisque les vraies particules ne sont jamais ponctuelles<\/strong>.<\/p>\n

Malgr\u00e9 ces aspects non-physiques, savoir que la m\u00e9canique newtonienne peut envoyer des particules \u00e0 l’infini en un temps fini, c\u2019est quand m\u00eame une surprise; et pour moi la construction de Xia rentre donc dans la liste assez courte des r\u00e9sultats funky obtenus avec de la physique du XVII\u00e8me si\u00e8cle<\/a>.<\/p>\n

R\u00e9f\u00e9rences <\/em><\/span><\/p>\n

J. Xia, The existence of noncollision singularities in newtonian systems, Annals of Mathematics, 135 (1992)<\/em><\/p>\n

D. Saari & J. Xia, Off to infinity in finite time, Notices of the AMS 42 (1995)<\/em><\/p>\n

Bonus pour les furieux : une simulation Navette\/Binaire<\/em><\/strong><\/p>\n

Ci-dessous j’ai fait une petite vid\u00e9o qui illustre comment un binaire (en rouge) peut repousser une troisi\u00e8me particule (notre navette). La trajectoire de la navette est repr\u00e9sent\u00e9e en vert quand elle s’approche du binaire puis en noir quand elle s’en \u00e9loigne. <\/em><\/p>\n

Quand la navette est loin, l’orbite du binaire est peu perturb\u00e9e. J’ai synchronis\u00e9 le tout de telle mani\u00e8re \u00e0 ce que la navette vienne juste de croiser le binaire quand celui-ci est dans son \u00e9tat de rapprochement maximum. On voit alors bien l’effet d’\u00e9jection qui propulse la navette dans la direction oppos\u00e9e.
\n<\/em><\/p>\n

[youtube=http:\/\/www.youtube.com\/watch?v=xMaF8UPkNDw]<\/p>\n

J’ai r\u00e9alis\u00e9 cette petite simulation en int\u00e8grant les \u00e9quations du mouvement \u00e0 partir du solver ode113 <\/em>de Matlab. Les conditions initiales sont les suivantes :<\/em><\/p>\n

G=1; % Constante gravitationnelle
\n% Le binaire
\nx1 = [-1 0 1];
\nx2 = [1 0 1];
\nv1 = 0.2*[1 1 0];
\nv2 = 0.2*[-1 -1 0];
\nm1=1;
\nm2=1;
\n% La navette
\nx3 = [0 0 -3.55];
\nv3 = [0 0 0.05];<\/p><\/blockquote>\n

\"\"<\/a>Je n’ai pas choisit des orbites du binaire trop excentriques pour que ce soit plus d\u00e9monstratif. D’ailleurs on voit que l’effet n’est pas suffisant pour la navette s’arrache compl\u00e8tement du binaire. On peut raffiner mais c’est assez sensible de trouver un jeu de param\u00e8tres qui marche bien, surtout si on veut que la navette ait une masse plus grande.<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Une rediffusion estivale d’un billet un peu \u00e9sot\u00e9rique, mais qui est un de mes pr\u00e9f\u00e9r\u00e9s ! La th\u00e9orie de la gravitation de Newton ayant plus de 300 ans, on peut l\u00e9gitimement penser qu\u2019il n\u2019y a plus grand-chose d\u2019\u00e9tonnant \u00e0 y trouver. Et pourtant une construction publi\u00e9e en 1992 nous r\u00e9serve une dr\u00f4le de surprise :<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4,6],"tags":[30,22,15],"class_list":{"0":"post-6911","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"category-physique","8":"tag-gravite","9":"tag-infini","10":"tag-mecanique"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6911","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6911"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6911\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6911"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6911"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6911"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}