{"id":6764,"date":"2014-06-23T00:01:21","date_gmt":"2014-06-22T22:01:21","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=6764"},"modified":"2014-06-23T00:01:21","modified_gmt":"2014-06-22T22:01:21","slug":"la-rotondite-de-la-terre-et-les-voiles-des-bateaux","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/06\/23\/la-rotondite-de-la-terre-et-les-voiles-des-bateaux\/","title":{"rendered":"La rotondit\u00e9 de la Terre et les voiles des bateaux"},"content":{"rendered":"

\"Gustav_Adolf_Closs_-_Die_Schiffe_des_Columbus_-_1892\"<\/a>Il y a quelques jours, ma fille m’a pos\u00e9 des questions sur la rotondit\u00e9 de la Terre. Je lui ai alors servi l’histoire habituelle, selon laquelle les Anciens avaient d\u00e9j\u00e0 remarqu\u00e9 que les voiles des bateaux \u00e9taient visibles avant leur coque<\/strong>, ce qui confirmait que la Terre \u00e9tait ronde.<\/p>\n

Et puis je me suis demand\u00e9 : est-ce bien raisonnable ? Est-ce que vraiment<\/em> on pourrait ne voir que les voiles des bateaux ? Ou est-ce que l’effet est n\u00e9gligeable pour \u00eatre vu \u00e0 l’oeil nu ?<\/p>\n

Eh bien faisons le calcul !<\/p>\n

Un peu de g\u00e9om\u00e9trie<\/h3>\n

Le probl\u00e8me est assez simple. Imaginons un grand m\u00e2t, situ\u00e9 \u00e0 une distance de disons quelques kilom\u00e8tres. A cause de la courbure de la Terre, la partie inf\u00e9rieure de ce m\u00e2t ne sera pas visible. La question est : quelle est la taille de cette partie obstru\u00e9e ? Si c’est quelques centim\u00e8tres, peu de chances qu’on le remarque. Si c’est plusieurs m\u00e8tres, \u00e7a commence \u00e0 devenir cr\u00e9dible.<\/p>\n

\"rotondite\u0301\"<\/a>Faisons un peu de g\u00e9om\u00e9trie. J’ai trac\u00e9 un sch\u00e9ma ci-contre, o\u00f9 j’ai \u00e9videmment exag\u00e9r\u00e9 les dimensions pour les besoins de la cause. Le rayon de la Terre est \\(r\\), le mat est situ\u00e9e \u00e0 une distance \\(c\\) (mesur\u00e9e en ligne droite) de l’observateur A. Quelle est la taille de la partie obstru\u00e9e ?<\/p>\n

Le premier rayon lumineux obstru\u00e9 par la rotondit\u00e9 de la Terre (AB, dessin\u00e9 en rouge) est juste tangent \u00e0 la courbure de la Terre. On voit que la longueur obstru\u00e9e \\(L\\) est \u00e9gale \u00e0 la distance \\(OB – r\\). En faisant un peu de g\u00e9om\u00e9trie dans le triangle rectangle OAB, on peut \u00e9crire que<\/p>\n

\\(OB = \\frac{r}{\\cos \\theta} \\)<\/p>\n

Il nous faut ensuite trouver l’angle \\(\\theta\\). Heureusement il existe une relation facile \u00e0 d\u00e9montrer entre le rayon \\(r\\) d’un cercle, l’angle \\(\\theta\\) et la longueur de la corde \\(c\\) sous-tendue par cet angle. On a :<\/p>\n

\\(c = 2r \\sin(\\theta\/2)\\)<\/p>\n

On a donc<\/p>\n

\\(\\theta = 2 \\arcsin (c\/2r)\\)<\/p>\n

Vous voyez qu’on va devoir prendre le cosinus de cet angle et avoir un truc qui a l’air compliqu\u00e9.<\/p>\n

Heureusement, il y a l\u00e0 aussi une formule de trigo toute pr\u00eate qui nous sauve, on a de mani\u00e8re g\u00e9n\u00e9rale pour tout \\(x\\)<\/p>\n

\\(\\cos (2\\arcsin x) = 1 – 2x^2\\)<\/p>\n

Si on regroupe tout, on a donc que la longueur obstru\u00e9e est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

\\(L=\\frac{r}{1-2(c\/2r)^2} – r\\)<\/p>\n

Apr\u00e8s un petit choc de simplification, on a alors<\/p>\n

\\(L = \\frac{c^2 r}{2r^2-c^2}\\)<\/p>\n

Application num\u00e9rique<\/h3>\n

Dans tous les cas pratiques, on a \\(c <<R\\), puisque le rayon de la Terre est d’environ 6400 km, et que l’on va consid\u00e9rer des bateaux \u00e0 une distance de quelques kilom\u00e8tres. On se ram\u00e8ne donc \u00e0 une expression tr\u00e8s simple qui est<\/p>\n

\\(L \\sim \\frac{c^2}{2r}\\)<\/p>\n

qu’on aurait certainement pu trouver directement en prenant d\u00e8s le d\u00e9but une approximation \u00ab\u00a0petit angle\u00a0\u00bb pour \\(\\theta\\).<\/p>\n

Avec une distance de 10 km, et on trouve pour la partie obstru\u00e9e une distance d’environ 8 m\u00e8tres.<\/strong> Suffisant pour obstruer la coque du bateau mais laisser les voiles visibles. Voil\u00e0 qui para\u00eet tout \u00e0 fait raisonnable !<\/p>\n

Petite v\u00e9rification, une distance de 8 m\u00e8tres vues sous 10km repr\u00e9sente un angle de 0.044 degr\u00e9s, soit 2,7 minutes d’arc. On estime que le pouvoir de r\u00e9solution de l’oeil est d’environ 1 minute d’arc, donc \u00e7a peut presque coller m\u00eame \u00e0 l’oeil nu. Avec une longue vue, encore plus simple. Bien s\u00fbr il faut un temps clair, pas de vagues, etc.<\/p>\n

Si quelqu’un veut offrir une belle photo qui montre le ph\u00e9nom\u00e8ne avec un joli bateau \u00e0 voiles, je suis preneur !<\/p>\n

\"mv_rena_hull_down\"<\/a><\/p>\n

Billets reli\u00e9s<\/h4>\n