{"id":6528,"date":"2014-04-28T00:01:03","date_gmt":"2014-04-27T22:01:03","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=6528"},"modified":"2014-04-28T00:01:03","modified_gmt":"2014-04-27T22:01:03","slug":"quel-est-le-plus-grand-nombre-possible-utile","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/04\/28\/quel-est-le-plus-grand-nombre-possible-utile\/","title":{"rendered":"Quel est le plus grand nombre possible utile ?"},"content":{"rendered":"

\"3676227162_1b14e6f699_z\"<\/a>Les grands nombres nous fascinent, et ce depuis le plus jeune \u00e2ge. Qui, enfant, n’a pas jou\u00e9 au jeu de celui qui dira le nombre le plus grand ? Gr\u00e2ce \u00e0 l’imagination des math\u00e9maticiens, il est assez facile d’\u00e9crire des nombres absolument gigantesques, mais cela sert-il vraiment \u00e0 quelque chose ? Y a-t-il des situations o\u00f9 l’on ait besoin de nombres vraiment gigantesques\u00a0?<\/p>\n

Nous allons voir que dans la Nature, pas tant que \u00e7a. Mais dans les d\u00e9monstrations math\u00e9matiques, oui ! Partons donc \u00e0 la chasse au plus grand nombre utile \u00e0 ce jour.<\/p>\n

Les grands nombres dans la nature<\/h3>\n

En math\u00e9matiques, gr\u00e2ce \u00e0 la merveilleuse notation \u00ab\u00a0puissance\u00a0\u00bb, il est assez facile de construire des nombres \u00e9normes. Un million c’est \u00ab\u00a010 puissance 6\u00a0\u00bb, soit \\(10^6\\), un milliard c’ est \\(10^9\\), mais on peut aller facilement beaucoup plus loin, par exemple consid\u00e9rer le nombre :<\/p>\n

\\(10^{100}\\)<\/p>\n

On appelle ce nombre un\u00a0gogol<\/strong> (et d’o\u00f9 vient le nom du c\u00e9l\u00e8bre moteur de recherche.) C’est un nombre repr\u00e9sent\u00e9 par le chiffre 1 suivit de 100 fois le chiffre 0. Mais quel int\u00e9r\u00eat en pratique ?<\/strong> Regardons autour de nous ce que l’on trouve comme grands nombres.<\/p>\n

La population de la plan\u00e8te, c’est 7 milliards, donc pas tr\u00e8s loin de \\(10^{10}\\). La fortune de Bill Gates ? 70 milliards de $, donc proche de \\(10^{11}\\). Le nombre de cellules dans un corps humain ? Environ \\(10^{13}\\). La capacit\u00e9 d’un disque dur exprim\u00e9e en bits ? Environ \\(10^{13}\\) \u00e9galement. Le PIB total de la plan\u00e8te sur une ann\u00e9e ? \\(10^{17}\\) dollars !<\/p>\n

Pour atteindre le gogol, il va falloir chercher des choses plus grosses ! Heureusement la physique de l’infiniment petit et de l’infiniment grand vont nous aider. Il y a environ \\(10^{23}\\) mol\u00e9cules d’eau dans un verre d’eau, \u00e0 peu pr\u00e8s autant que de grains de sable sur Terre, et que d’\u00e9toiles dans l’Univers visible<\/strong>. D’ailleurs l’Univers visible a une taille d’environ \\(10^{27}\\) m\u00e8tres. Si on regarde son volume plut\u00f4t que son diam\u00e8tre, on fait un saut \u00e0 \\(10^{80}\\) m\u00e8tres-cubes. C’est \u00e0 peu pr\u00e8s aussi le nombre d’atomes dans l’Univers visible<\/strong>, puisque la densit\u00e9 moyenne est de l’ordre d’un atome par m\u00e8tre-cube. On est pas loin du gogol !<\/p>\n

Pour pousser le bouchon, on peut exprimer le volume de l’Univers rapport\u00e9 au volume d’un proton, par exemple. Un proton mesure environ \\(10^{-42}\\) m\u00e8tres cubes, donc le volume de l’Univers observable exprim\u00e9 en volume de proton est \u00e9gal \u00e0 \\(10^{122}\\).\u00a0Bingo !<\/p>\n

On peut m\u00eame aller plus loin en le rapportant au volume de l’\u00e9lectron (\\(10^{-45} \\mathrm{m}^3\\)) voire carr\u00e9ment au volume de Planck, lequel vaut dans les \\(10^{-105} \\mathrm{m}^3\\). Ca nous met le volume de l’Univers en nombre de volumes de Planck \u00e0 \\(10^{185}\\).<\/strong> Si vous multipliez par l’\u00e2ge de l’Univers exprim\u00e9 en temps de Planck, on arrive \u00e0 \\(10^{245}\\) pour le volume total d’espace-temps de l’Univers observable exprim\u00e9 en unit\u00e9s de Planck (un nombre sans dimension, vous noterez). Voil\u00e0, je ne suis pas s\u00fbr qu’on puisse faire mieux.<\/p>\n

Alors,\u00a0\\(10^{245}\\) est-il le plus grand des nombres utiles ?<\/strong> En physique, probablement; en maths, certainement pas !<\/p>\n

Et \u00e0 la fin, les maths gagnent<\/h3>\n

En cherchant\u00a0dans la nature, nous sommes p\u00e9niblement arriv\u00e9s \u00e0 ce nombre de \\(10^{245}\\), soit quand m\u00eame plus qu’un gogol au carr\u00e9 !<\/p>\n

Mais \u00e9videmment, en regardant cela, le matheux rigole. En effet, on peut facilement exploser ce nombre, par exemple avec ce qui s’appelle le gogolplex<\/strong>, qui est tout simplement \u00ab\u00a010 puissance gogol\u00a0\u00bb, c’est \u00e0 dire :<\/p>\n

\\(10^{10^{100}}\\)<\/p>\n

Voil\u00e0 un nombre qu’on ne peut m\u00eame pas qualifier \u00ab\u00a0d’astronomique\u00a0\u00bb, puisqu’il est justement bien sup\u00e9rieur \u00e0 tout ce qu’on trouve en astronomie ou en cosmologie !<\/p>\n

On pourrait penser que ce nombre est absolument ridicule, dans la mesure o\u00f9 il ne sert \u00e0 absolument rien. Mais \u00e7a n’est pas vrai ! Pour un matheux, un nombre peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme utile d\u00e8s qu’il intervient dans une d\u00e9monstration math\u00e9matique int\u00e9ressante<\/strong>. Et nous allons voir que cela ouvre la porte \u00e0 pas mal de nouveaux nombres de fort beau gabarit.<\/p>\n

Changement de notation<\/h3>\n

Moi qui suit rest\u00e9 un grand enfant, je pense que j’ai jou\u00e9 pendant longtemps au jeu du \u00ab\u00a0je peux dire un nombre plus grand que le tient\u00a0\u00bb<\/em>. Au lyc\u00e9e, \u00e7a devient plus dr\u00f4le car l’\u00e9ventail des armes augmente. On peut par exemple s’amuser \u00e0 faire des tours de puissances<\/strong>, comme<\/p>\n

\\(10^{10^{10^{10}}}\\)<\/p>\n

La tour poss\u00e8de 4 \u00e9tages du nombre 10. On va inventer une petite notation pour cela, je vais l’appeler \\({\\cal T}\\), pour \u00ab\u00a0Tour\u00a0\u00bb. Ainsi le gogolplex est \u00e9gal \u00e0<\/p>\n

\\(10\\ {\\cal T}\\ 4\\).<\/p>\n

La notation \u00ab\u00a0tour\u00a0\u00bb est assez diabolique, car m\u00eame si on rentre des petits nombres au d\u00e9part, on se retrouve avec des nombres \u00e9normes en sortie. Par exemple \\(4\\ {\\cal T}\\ 3\\) a l’air innocent, mais il vaut d\u00e9j\u00e0 \\(10^{154}\\).<\/p>\n

Quant au nombre \\(4\\ {\\cal T}\\ 5\\), il est tellement grand que jamais il ne pourrait \u00eatre \u00e9crit ou repr\u00e9sent\u00e9 dans l’Univers visible. Si chaque volume de Planck de l’Univers \u00e9tait un bit de stockage d’un disque dur, le plus grand nombre repr\u00e9sentable serait seulement \\(2^{10^{185}}\\), et l\u00e0 on est d\u00e9j\u00e0 bien au-dessus !<\/p>\n

Les tours de puissances, c’est magique ! Mais est-ce qu’on ne pourrait pas pousser le bouchon encore plus loin ? Et si on faisait des \u00ab\u00a0tours de tours\u00a0\u00bb<\/strong>, gniark gniark gniark !<\/p>\n

Les fl\u00e8ches de Knuth<\/h3>\n

Pour aller encore plus loin encore plus vite, le math\u00e9maticien\/informaticien Donald Knuth a eu l’id\u00e9e d’une nouvelle notation. Si vous regardez ce qu’on a fait pour avoir des nombres de plus en plus grands, on est pass\u00e9s de l’addition \u00e0 la multiplication, puis de la multiplication \u00e0 la puissance, puis de\u00a0la puissance \u00e0 la tour. A chaque fois la m\u00e9canique est la m\u00eame :<\/p>\n

Une multiplication, c’est un encha\u00eenement\u00a0d’additions;<\/p>\n

Une puissance, c’est un encha\u00eenement\u00a0de multiplications;<\/p>\n

Une tour, c’est un encha\u00eenement\u00a0de puissances.<\/p>\n

Knuth a alors propos\u00e9 de g\u00e9n\u00e9raliser l’id\u00e9e. Nous allons utiliser la notation \u00ab\u00a0fl\u00e8che vers le haut\u00a0\u00bb<\/strong> \\(\\uparrow\\) pour d\u00e9signer l’op\u00e9ration puissance. Pour la tour de puissance, on va \u00e9crire une double fl\u00e8che vers le haut \\(\\uparrow \\uparrow\\), qui peut alors se d\u00e9finir en termes de l’op\u00e9ration \u00ab\u00a0simple fl\u00e8che vers le haut\u00a0\u00bb par<\/p>\n

\"fleche<\/a><\/p>\n

Bien s\u00fbr\u00a0on voit qu’on peut pousser plus loin, et empiler\u00a0des tours, c’est-\u00e0-dire faire un encha\u00eenement de doubles fl\u00e8ches. On obtient ainsi l’op\u00e9rateur \u00ab\u00a0triple fl\u00e8che\u00a0\u00bb d\u00e9finit par :<\/p>\n

\"fleche<\/a><\/p>\n

Et vous voyez qu’on peut g\u00e9n\u00e9raliser cela, la notation \u00ab\u00a0n fl\u00e8ches vers le haut\u00a0\u00bb peut se d\u00e9finir \u00e0 partir de la notation \u00ab\u00a0(n-1) fl\u00e8ches vers le haut\u00a0\u00bb<\/strong> selon<\/p>\n

\"flech<\/a><\/p>\n

Pas besoin de vous faire un dessin, avec les fl\u00e8ches de Knuth, on grimpe encore plus haut que tout ce qu’on avait.<\/p>\n

Mais, euh, \u00e0 quoi \u00e7a sert ?<\/p>\n

\u00c7a sert dans des d\u00e9monstrations bien s\u00fbr !<\/p>\n

Le plus grand nombre (math\u00e9matiquement) utile<\/h3>\n

Il semble que le titre de plus grand nombre utile ait \u00e9t\u00e9 longtemps tenu par le nombre de Graham<\/strong>. Ce nombre \u00e9tait une borne sup\u00e9rieure utilis\u00e9e dans une d\u00e9monstration d’un r\u00e9sultat de th\u00e9orie des graphes color\u00e9s. Ce nombre est le 64\u00e8me terme de la suite \\(g_n\\) d\u00e9finie par<\/p>\n

\\(g_1 = 3 \\uparrow \\uparrow \\uparrow \\uparrow 3\\)<\/p>\n

\\(g_n = 3 \\uparrow {}^{g_{n-1}} 3\\)<\/p>\n

Mais il semble qu’un autre nombre encore plus grand tienne actuellement le record. Ce nombre appara\u00eet dans une d\u00e9monstration li\u00e9e \u00e0 des comptages d’arbres, il s’appelle d’ailleurs TREE(3). On ne sait pas vraiment donner sa valeur, mais on peut en donner une borne inf\u00e9rieure. Pour cela on d\u00e9finit la fonction<\/p>\n

\\(A(x) = 2 \\uparrow^{x-1} x\\)<\/p>\n

et on consid\u00e8re le nombre A(A(A(\u2026A(1)))), o\u00f9 le nombre de fois o\u00f9 l’on compose la fonction A avec elle-m\u00eame est \u00e9gal \u00e0 A(187196). On peut donc noter ce nombre<\/p>\n

\\(A^{A(187196)}(1)\\).<\/p>\n

Je vous laisse essayer d’imaginer le nombre de fl\u00e8ches qu’il faut. Voil\u00e0, vous avez sous vos yeux ce qui est peut-\u00eatre le\u00a0plus grand nombre math\u00e9matiquement utile \u00e0 ce jour<\/strong>, pour ma part j’ai mal \u00e0 la t\u00eate.<\/p>\n

Billets reli\u00e9s, ici et ailleurs<\/h4>\n