{"id":6380,"date":"2014-03-31T00:01:35","date_gmt":"2014-03-30T22:01:35","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=6380"},"modified":"2014-03-31T00:01:35","modified_gmt":"2014-03-30T22:01:35","slug":"tous-les-triangles-sont-equilateraux","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/03\/31\/tous-les-triangles-sont-equilateraux\/","title":{"rendered":"Tous les triangles sont \u00e9quilat\u00e9raux !"},"content":{"rendered":"<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles_300.jpg\"><img decoding=\"async\" class=\"alignleft size-full wp-image-6387 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles_300.jpg\" alt=\"triangles_300\" width=\"300\" height=\"200\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 300px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 300\/200;\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">C&rsquo;est un grand classique, mais apr\u00e8s ce que je vous ai inflig\u00e9 la semaine derni\u00e8re, je me suis dit qu&rsquo;un peu de repos ne ferait de mal \u00e0 personne !<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Donc nous allons d\u00e9montrer que tous les triangles sont \u00e9quilat\u00e9raux. Rien que \u00e7a !<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Et puisqu&rsquo;on d\u00e9montre que tous les triangles sont \u00e9quilat\u00e9raux, il s&rsquo;ensuit que 1+1=3, que les maths sont contradictoires, que G\u00f6del l&rsquo;avait pr\u00e9dit et que je suis le pape.<\/p>\n<p><!--more--><\/p>\n<h3>La d\u00e9monstration<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Prenons un brave triangle ABC, et consid\u00e9rons deux \u00e9l\u00e9ments de ce triangle:<\/p>\n<ul style=\"text-align:justify;\">\n<li>La m\u00e9diatrice du c\u00f4t\u00e9 BC, c&rsquo;est \u00e0 dire la perpendiculaire qui s\u00e9pare le segment BC en deux parties de m\u00eame longueur;<\/li>\n<li>La bissectrice de l&rsquo;angle A, c&rsquo;est-\u00e0-dire la droite qui s\u00e9pare l&rsquo;angle A en deux angles \u00e9gaux.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:justify;\">Le sch\u00e9ma ci-dessous montre ces deux \u00e9l\u00e9ments. Je vais noter P leur point d&rsquo;intersection et D le milieu du segment BC.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles1.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-6381 size-full lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles1.png\" alt=\"triangles1\" width=\"400\" height=\"261\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 400px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 400\/261;\" \/><\/a>Notez que sur le sch\u00e9ma, j&rsquo;ai fait figurer avec les petits symboles habituels que BD = DC et que l&rsquo;angle A est coup\u00e9 en deux angles \u00e9gaux.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Je consid\u00e8re maintenant les perpendiculaires \u00e0 AB et AC qui passent par P. J&rsquo;appelle E et F les points selon le sch\u00e9ma ci-dessous.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles2.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-6382 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles2.png\" alt=\"triangles2\" width=\"400\" height=\"261\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 400px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 400\/261;\" \/><\/a>Je vais me concentrer sur les deux triangles repr\u00e9sent\u00e9s en rouge ci-dessus : AEP et AFP. Ce sont tous les deux des triangles rectangles (par construction), et qui ont un autre angle identique, l&rsquo;angle au sommet qui est la moiti\u00e9 de l&rsquo;angle A (rappelez-vous, AP est la bissectrice). Les deux triangles rouges ont donc leur trois angles identiques, et comme ils ont une hypot\u00e9nuse commune, ils sont \u00e9gaux ! En particulier AE = AF et PE=PF, je fais figurer cela sur le sch\u00e9ma ci-dessous.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles3.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-6383 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles3.png\" alt=\"triangles3\" width=\"400\" height=\"261\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 400px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 400\/261;\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Maintenant je relie P \u00e0 B et C, et je consid\u00e8re les deux triangles en jaune : PBD et PCD. Ce sont tous les deux des triangles rectangles, et ils ont deux c\u00f4t\u00e9s identiques : PD qui leur est commun, et BD=CD (rappelez vous que DP est la m\u00e9diatrice au segment BC.) Par le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, on peut conclure que les deux triangles sont identiques. En particulier PB=PC, que je fais figurer sur le sch\u00e9ma.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles41.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-6385 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/triangles41.png\" alt=\"triangles4\" width=\"400\" height=\"261\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 400px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 400\/261;\" \/><\/a>Consid\u00e9rons maintenant les triangles bleus ci-dessus PEB et PFC. Encore une fois ce sont des triangles rectangles (par construction des points E et F), et qui en vertu des \u00e9tapes pr\u00e9c\u00e9dentes ont deux c\u00f4t\u00e9s communs PE=PF et PB=PC. Donc \u00e0 nouveau (par exemple par Pythagore), ces triangles sont identiques, et en particulier BE=CF.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Nous venons \u00e0 l&rsquo;instant de d\u00e9montrer que BE=CF et on avait pr\u00e9c\u00e9demment EA = FA, donc on conclut que AB=AC. Donc le triangle ABC est isoc\u00e8le. Et comme la d\u00e9monstration que l&rsquo;on vient de faire a \u00e9t\u00e9 appliqu\u00e9e \u00e0 l&rsquo;angle A mais qu&rsquo;on aurait pu tout autant l&rsquo;appliquer en B ou en C, il est aussi \u00e9quilat\u00e9ral. Donc tous les triangles sont \u00e9quilat\u00e9raux. CQFD.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">(Et puisque demain c&rsquo;est le 1er avril, je laisse au lecteur en exercice le soin de d\u00e9montrer que <a href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/2_%2B_2_%3D_5#Bertrand_Russell\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">je suis le pape<\/a>.)<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><span style=\"text-decoration:underline;\">R\u00e8gle du jeu :<\/span><\/p>\n<ul>\n<li>Si vous ne connaissez pas le truc, vous avez le droit de proposer votre solution en commentaire;<\/li>\n<li>Si vous connaissez le truc, laissez chercher les autres ! (Si vous donnez quand m\u00eame la r\u00e9ponse en commentaire vous perdez 3 points de karma)<\/li>\n<li>Si vous ne connaissez pas le truc, que vous le cherchez sur Internet, et que vous postez la solution en faisant croire que vous l&rsquo;avez trouv\u00e9 tout seul, vous perdez DIX (10) points de karma !<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Sp\u00e9ciale d\u00e9dicace \u00e0 mon papa, qui m&rsquo;avait parl\u00e9 le premier de cette d\u00e9monstration, il y a bien longtemps !<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>(Edit du 31\/03 : Finalement j&rsquo;ai vir\u00e9 les pr\u00e9liminaires : c&rsquo;\u00e9tait faux &#8212; merci aux commentateurs &#8212; et finalement plut\u00f4t inutile&#8230;)<\/em><\/p>\n<hr \/>\n<h3 style=\"text-align:justify;\"><em>Edit du 04 Avril : La solution !<\/em><\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Comme de nombreuses personnes l&rsquo;ont remarqu\u00e9 en commentaire&#8230;il y a un probl\u00e8me avec le dessin ! Le point P devrait \u00eatre \u00e0 l&rsquo;ext\u00e9rieur du triangle. Et voici la cl\u00e9 de l&rsquo;\u00e9nigme !<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Ce qui fait pour moi tout l&rsquo;int\u00e9r\u00eat de cette \u00ab\u00a0fausse\u00a0\u00bb d\u00e9monstration, c&rsquo;est qu&rsquo;elle est en fait compl\u00e8tement correcte du d\u00e9but \u00e0 la fin&#8230;sauf au tout dernier moment. L\u00e0 o\u00f9 cela para\u00eet le plus simple et le moins suspect !<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Toutes les \u00e9galit\u00e9s d\u00e9montr\u00e9es ici sont vraies, et les triangles \u00ab\u00a0identiques\u00a0\u00bb le sont r\u00e9ellement. L\u00e0 o\u00f9 l&rsquo;on triche, c&rsquo;est \u00e0 la toute fin, quand de EB=FC et AE=AF (qui est correct) on d\u00e9duit AE+EB= AF+FC (qui est correct) et <strong>donc<\/strong> AB=AC (qui est faux en g\u00e9n\u00e9ral !). Si P est \u00e0 l&rsquo;ext\u00e9rieur, E (ou F) ne sera pas dans le segment AB (ou AC) et on n&rsquo;a pas le droit d&rsquo;additionner les longueurs de cette mani\u00e8re ! Donc si le dessin est mal fait, on se laisse avoir !<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Ci-dessous un dessin fait correctement. J&rsquo;ai pris un triangle clairement pas isoc\u00e8le, et j&rsquo;ai conserv\u00e9 les m\u00eames couleurs pour les triangles consid\u00e9r\u00e9s (qui, je le r\u00e9p\u00e8te, sont bien \u00ab\u00a0identiques\u00a0\u00bb). Comme ces triangles sont parfois superpos\u00e9s (contrairement \u00e0 mon mauvais dessin initial) j&rsquo;ai essay\u00e9 de rendre en m\u00e9langeant les couleurs :<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em><a href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/solution.png\"><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-6416 lazyload\" data-src=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/03\/solution.png\" alt=\"solution\" width=\"450\" height=\"379\" src=\"data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMSIgaGVpZ2h0PSIxIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==\" style=\"--smush-placeholder-width: 450px; --smush-placeholder-aspect-ratio: 450\/379;\" \/><\/a><\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Les deux triangles rouges sont identiques, les deux bleus sont identiques, les deux jaunes sont identiques.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Une question que l&rsquo;on peut se poser, c&rsquo;est <strong>comment d\u00e9montrer que P est toujours \u00e0 l&rsquo;ext\u00e9rieur<\/strong> ? Dans les commentaires, Nicolas a propos\u00e9 une solution bas\u00e9e sur le <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Angle_bisector_theorem\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">th\u00e9or\u00e8me suivant,<\/a> qui affirme que le point M o\u00f9 la bissectrice intersecte BC v\u00e9rifie MB\/MC = AB\/AC. Comme me le faisait remarquer une lectrice (merci Marie !) une autre mani\u00e8re de le d\u00e9montrer, c&rsquo;est par l&rsquo;absurde, en utilisant la d\u00e9monstration de ce billet ! Si le point P est \u00e0 l&rsquo;int\u00e9rieur, alors on aboutit \u00e0 une contradiction&#8230;donc le point P est \u00e0 l&rsquo;ext\u00e9rieur !<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\"><em>Bravo \u00e0 tous ceux qui ont trouv\u00e9 la solution par eux-m\u00eames, ou qui s&rsquo;en sont approch\u00e9s !<\/em><\/p>\n<h4>Billets reli\u00e9s<\/h4>\n<p><a title=\"La plus belle d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore\" href=\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/02\/03\/la-plus-belle-demonstration-du-theoreme-de-pythagore\/\">La plus belle d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/a><\/p>\n<h4>Cr\u00e9dits<\/h4>\n<p><a href=\"http:\/\/www.flickr.com\/photos\/56001877@N04\/8056049400\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Triangle<\/a>, runmonty Flicker\/CC<\/p>\n<p>Sch\u00e9mas : Science \u00e9tonnante<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>C&rsquo;est un grand classique, mais apr\u00e8s ce que je vous ai inflig\u00e9 la semaine derni\u00e8re, je me suis dit qu&rsquo;un peu de repos ne ferait de mal \u00e0 personne ! Donc nous allons d\u00e9montrer que tous les triangles sont \u00e9quilat\u00e9raux. Rien que \u00e7a ! Et puisqu&rsquo;on d\u00e9montre que tous les triangles sont \u00e9quilat\u00e9raux, il s&rsquo;ensuit<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[58],"class_list":{"0":"post-6380","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-geometrie"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6380","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6380"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6380\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6380"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6380"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6380"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}