{"id":6167,"date":"2014-03-03T00:01:22","date_gmt":"2014-03-02T23:01:22","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=6167"},"modified":"2014-03-03T00:01:22","modified_gmt":"2014-03-02T23:01:22","slug":"la-mysterieuse-equation-de-navier-stokes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/03\/03\/la-mysterieuse-equation-de-navier-stokes\/","title":{"rendered":"La myst\u00e9rieuse \u00e9quation de Navier-Stokes"},"content":{"rendered":"

\"Jet<\/a>L’\u00e9quation de Navier-Stokes est l’une des plus importantes de toute la physique. Si elle n’a pas la chance d’\u00eatre aussi connue que E=mc2, elle nous sert pourtant \u00e0 pr\u00e9dire la m\u00e9t\u00e9o, simuler les oc\u00e9ans, optimiser les ailes des avions et m\u00eame am\u00e9liorer le r\u00e9alisme des jeux vid\u00e9os.<\/p>\n

Bien qu’elle fut \u00e9tablie au XIX\u00e8me si\u00e8cle, elle continue de fasciner les ing\u00e9nieurs, les physiciens et m\u00eame les math\u00e9maticiens. Il faut dire qu’on a promis 1 million de dollars \u00e0 celui qui percerait les myst\u00e8res de l’\u00e9quation de Navier-Stokes. Un exploit r\u00e9cemment revendiqu\u00e9 par un math\u00e9maticien kazakh, et dont on verra ce qu’il faut en penser.<\/p>\n

Comment d\u00e9crire le mouvement des fluides ?<\/h3>\n

Puisque ce billet parle de l’\u00e9quation de Navier-Stokes, je vais \u00e9videmment vous l’\u00e9crire. Mais \u00e7a n’est pas l\u00e0 le plus important ! Elle peut para\u00eetre un peu cryptique et je voudrais surtout vous faire comprendre d’o\u00f9 elle vient et \u00e0 quoi elle sert.<\/p>\n

Le principal objectif de cette \u00e9quation, c’est de d\u00e9crire le mouvement des fluides<\/strong>. Puisqu’un fluide, \u00e7a peut \u00eatre un liquide ou un gaz, on comprend que l’\u00e9quation de Navier-Stokes concerne tout un tas de choses qui nous entourent. On peut l’utiliser par exemple pour comprendre les mouvements des courants dans les oc\u00e9ans, ainsi que ceux des grandes masses d’air dans l’atmosph\u00e8re. On s’en sert \u00e9galement pour \u00e9tudier la circulation du sang dans nos art\u00e8res, et simuler la trajectoire de l’air autour d’une aile d’avion ou d’une carrosserie de voiture. Cette \u00e9quation est m\u00eame utilis\u00e9e dans les jeux vid\u00e9os pour am\u00e9liorer le r\u00e9alisme de certaines sc\u00e8nes [1]. L’\u00e9quation de Navier-Stokes est donc un must pour les ing\u00e9nieurs de tous domaines.<\/p>\n

Pour d\u00e9crire correctement un fluide en mouvement, il faut conna\u00eetre sa vitesse en tout point de l’espace. C’est ce qu’on appelle son champ de vitesse<\/strong>. L’image ci-dessous montre un exemple de champ de vitesse dans un fluide autour d’une aile d’avion, champ que l’on repr\u00e9sente traditionnellement avec des petites fl\u00e8ches plus ou moins longues, proportionnelles \u00e0 la vitesse et orient\u00e9es dans le sens de l’\u00e9coulement (ici dans le r\u00e9f\u00e9rentiel du sol)<\/p>\n

\"champ<\/a><\/p>\n

L’\u00e9quation de Navier-Stokes, \u00e9tablie au XIX\u00e8me si\u00e8cle par le fran\u00e7ais Navier et le britannique Stokes, c’est une \u00e9quation qui permet de d\u00e9crire le champ de vitesse d’un fluide. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, il s’agit d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle dont le champ de vitesse est l’inconnue<\/strong>.<\/p>\n

A quoi ressemble l’\u00e9quation ?<\/h3>\n

Pour les non-initi\u00e9s, la forme de l’\u00e9quation est un peu rebutante, mais l’important est de comprendre en gros ce qu’elle repr\u00e9sente. En m\u00e9canique, quand on \u00e9tudie le mouvement des skieurs, des ressorts ou des boulets de canons, on \u00e9crit la loi de Newton \u00ab\u00a0Somme des forces = ma\u00a0\u00bb<\/em> o\u00f9 m<\/em> est la masse et a<\/em> l’acc\u00e9l\u00e9ration. L’\u00e9quation de Navier-Stokes ne dit pas autre chose que \u00ab\u00a0Somme des forces = ma\u00a0\u00bb<\/em><\/strong>, mais comme on parle du champ de vitesse d’un fluide, la forme est un peu plus compliqu\u00e9e que pour un boulet de canon.<\/p>\n

Dans un fluide, on va consid\u00e9rer deux types de forces : les forces de pression et les forces visqueuses. Les forces de pression<\/strong>, ce sont celles qui viennent du fait qu’un petit morceau du fluide se fait pousser par tout le reste du fluide qui l’entoure. Les forces visqueuses<\/strong>, ce sont l’\u00e9quivalent des forces de frottement pour un skieur. Quand un morceau de fluide glisse sur un autre, il y a un frottement qui le freine et qui est d’autant plus important que le fluide est visqueux. Dans l’\u00e9quation, on verra donc appara\u00eetre un param\u00e8tre \\(\\mu\\) qui repr\u00e9sente la viscosit\u00e9 du fluide.<\/p>\n

Voici donc l’\u00e9quation de Navier-Stokes, et en quoi elle est l’analogue de \u00ab\u00a0Somme des forces = m a\u00a0\u00bb<\/em> pour un fluide :<\/p>\n

\"Equation<\/a><\/p>\n

Ici \\(v\\) est le champ de vitesse, \\(p\\) est la pression, \\(\\rho\\) la masse volumique du fluide et \\(\\mu\\) sa viscosit\u00e9. Encore une fois, vous n’\u00eates pas oblig\u00e9s de piger les d\u00e9tails de l’\u00e9quation, mais nous allons consid\u00e9rer globalement ses propri\u00e9t\u00e9s, et voir ce qu’on peut en dire.<\/p>\n

[Petite remarque pour ceux qui connaissent les EDP : la pression est aussi une inconnue de l’\u00e9quation. Comme le champ de vitesse a 3 composantes, cela fait 4 inconnues pour 3 \u00e9quations. Il manque donc une \u00e9quation ! Si on suppose le fluide incompressible, il faut ajouter une condition qui est que le champ de vitesse est de divergence nulle – ce qui traduit aussi la conservation de la masse]<\/em><\/p>\n

Pourquoi l’\u00e9quation est-elle si compliqu\u00e9e ?<\/h3>\n

Il y a deux mani\u00e8res de comprendre pourquoi l’\u00e9quation de Navier-Stokes est compliqu\u00e9e : la vision math\u00e9matique et la vision physique. Pour le math\u00e9maticien, l’\u00e9quation est compliqu\u00e9e parce que c’est une \u00e9quation diff\u00e9rentielle non-lin\u00e9aire<\/strong>. Si vous la comparez \u00e0 l’\u00e9quation qui d\u00e9crit le mouvement d’un ressort (ou m\u00eame, pour ceux qui connaissent, \u00e0 l’\u00e9quation de Maxwell ou \u00e0 celle de la chaleur), la complication vient du terme \\(v \\cdot \\nabla v\\). Ce terme varie comme le carr\u00e9 du champ de vitesse, et c’est lui qui rend l’\u00e9quation math\u00e9matiquement inextricable. En maths, la non-lin\u00e9arit\u00e9 complique les choses, mais en physique aussi ! Car ce terme non-lin\u00e9aire a sa traduction dans la complexit\u00e9 des ph\u00e9nom\u00e8nes physiques d\u00e9crits. Voyons en quoi.<\/p>\n

\"avion<\/a>Je vous l’ai dit, l’\u00e9quation de Navier-Stokes sert \u00e0 d\u00e9crire le mouvement des fluides. \u00c7a veut dire qu’elle s’applique aussi bien au mouvement de l’huile d’olive vers\u00e9e d’une bouteille, qu’\u00e0 celui de l’air au passage d’un avion.\u00a0Or vous pouvez facilement imaginer que les deux situations n’ont rien \u00e0 voir !<\/p>\n

Dans le cas de la bouteille d’huile, le mouvement du fluide est tout ce qu’il y a de plus tranquille et r\u00e9gulier. Dans le cas de l’air au passage de l’avion, c’est le chaos total. C’est ce que montre l’image ci-contre, qui permet de visualiser \u00e0 l’aide de fum\u00e9e color\u00e9e le genre de mouvements de l’air qui se produit au d\u00e9collage d’un petit avion.<\/p>\n

Ce comportement chaotique, c’est ce qu’on appelle la turbulence. Et cette turbulence est le pendant physique de la non-lin\u00e9arit\u00e9 de l’\u00e9quation de Navier-Stokes<\/strong>.<\/p>\n

\"turbulence<\/a>La turbulence<\/h3>\n

Il existe de nombreuses anecdotes au sujet du probl\u00e8me de la turbulence. L\u00e9onard de Vinci avait d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 intrigu\u00e9 par le probl\u00e8me, comme en t\u00e9moignent ses magnifiques croquis que l’on voit ci-contre. Le physicien Richard Feynman consid\u00e9rait qu’il s’agissait du plus grand probl\u00e8me de la physique classique, quant au math\u00e9maticien Horace Lamb, il aurait affirm\u00e9 que ce serait la premi\u00e8re question qu’il poserait \u00e0 Dieu en arrivant au paradis.<\/p>\n

Comme nous l’avons dit, dans certaines situations (l’huile dans la bouteille), l’\u00e9coulement des fluides se fait de mani\u00e8re tranquille. C’est ce qu’on appelle le r\u00e9gime \u00ab\u00a0laminaire\u00a0\u00bb<\/strong>. Il se produit quand les fluides sont visqueux, lents et plut\u00f4t confin\u00e9s.<\/p>\n

A l’oppos\u00e9, quand les fluides sont peu visqueux, rapides et se d\u00e9placent sur de grandes distances, les \u00e9coulements se produisent de mani\u00e8re chaotique et pr\u00e9sentent de nombreux tourbillons : c’est ce qu’on appelle le r\u00e9gime turbulent<\/strong>. La transition entre les deux peut \u00eatre assez soudaine (voir mon billet sur le nombre de Reynolds<\/a>) et exp\u00e9rimentalement, pour un \u00e9coulement donn\u00e9, on sait assez bien dire si l’on sera laminaire ou turbulent.<\/p>\n

Mais math\u00e9matiquement, on n’en a aucune id\u00e9e ! On aurait tr\u00e8s envie d’\u00eatre capables de d\u00e9montrer rigoureusement que pour certaines valeurs de vitesse ou de viscosit\u00e9, les solutions de l’\u00e9quation de Navier-Stokes seront turbulentes, et pour d’autres elles seront laminaires. Mais personne ne sait \u00e9tablir ce lien explicitement. Pour traiter la turbulence, les physiciens en sont donc r\u00e9duits \u00e0 oublier l’\u00e9quation de Navier-Stokes et \u00e0 envisager le probl\u00e8me de mani\u00e8re statistique. Comprendre la physique de la turbulence est un sujet de recherche extr\u00eamement actif aujourd’hui ! Mais revenons un peu aux maths\u2026<\/p>\n

Un prix \u00e0 1 million de dollars<\/h3>\n

Vous connaissez peut-\u00eatre l’histoire, la fondation Clay a d\u00e9cid\u00e9 en l’an 2000 de choisir 7 probl\u00e8mes math\u00e9matiques \u00ab\u00a0du mill\u00e9naire\u00a0\u00bb<\/strong>, et de promettre 1 million de dollar \u00e0 quiconque en r\u00e9soudrait un. L’un de ces probl\u00e8mes (la conjecture de Poincar\u00e9) a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 r\u00e9solu par un math\u00e9maticien russe Grigori Perelman (qui a d’ailleurs refus\u00e9 de toucher le prix et m\u00eame de recevoir la m\u00e9daille Fields; voil\u00e0 qui ne va pas am\u00e9liorer l’image des matheux, heureusement qu’on a C\u00e9dric Villani).<\/p>\n

Pour comprendre sur quoi porte le probl\u00e8me \u00e0 100 patates de l’\u00e9quation de Navier-Stokes, consid\u00e9rons le cas plus simple de l’\u00e9quation qui r\u00e9git le mouvement d’une masse m au bout d’un ressort de raideur k. Si on \u00e9crit toujours \u00ab\u00a0Somme des forces = ma\u00a0\u00bb, on obtient l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle suivante sur la position de la masse<\/p>\n

\\(m \\frac{d^2x}{dt^2} = -k x\\)<\/p>\n

Il s’agit d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle du second ordre dont l’inconnue est \\(x(t)\\). Pour la r\u00e9soudre, il faut sp\u00e9cifier les conditions initiales que sont la position \\(x(0)\\) et la vitesse \\(dx\/dt(0)\\). Si ces conditions initiales sont donn\u00e9es, on peut montrer qu’il existe une unique solution \u00e0 l’\u00e9quation<\/strong>, que cette solution est bien d\u00e9finie pour tout temps t allant de 0 \u00e0 l’infini. On peut m\u00eame calculer explicitement cette solution (programme de Terminale S j’imagine).<\/p>\n

Dans le cas de Navier-Stokes, on n’est s\u00fbrs de rien ! Trouver une solution explicite est certainement totalement inaccessible. Mais m\u00eame sans cela, si on se donne une condition initiale — c’est-\u00e0-dire le champ de vitesse \u00e0 l’instant initial v(0) — on ne sait m\u00eame pas montrer qu’il existe bien une unique solution bien d\u00e9finie pour tout temps t<\/strong> ! Vous vous rendez compte, cette \u00e9quation est utilis\u00e9e tous les jours par des ing\u00e9nieurs pour calculer des trucs, et on ne sait m\u00eame pas montrer qu’elle a effectivement des solutions !<\/p>\n

Alors si vous voulez aider, et que vous ambitionnez de r\u00e9clamer le million de dollars, il vous faudra faire l’une des deux choses suivantes<\/strong> :<\/p>\n