{"id":5997,"date":"2014-02-03T00:01:22","date_gmt":"2014-02-02T23:01:22","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=5997"},"modified":"2014-02-03T00:01:22","modified_gmt":"2014-02-02T23:01:22","slug":"la-plus-belle-demonstration-du-theoreme-de-pythagore","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/02\/03\/la-plus-belle-demonstration-du-theoreme-de-pythagore\/","title":{"rendered":"La plus belle d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore"},"content":{"rendered":"

\"pythagore<\/a>Le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore est certainement le plus connu de toutes les math\u00e9matiques. Mais qui sait vraiment le d\u00e9montrer de but en blanc ? Et pourtant il existerait plusieurs centaines de mani\u00e8res de le faire !<\/p>\n

Pour ma part, je n’ai jamais vraiment r\u00e9ussi \u00e0 retenir une seule d\u00e9monstration plus de quelques heures \u2026 jusqu’\u00e0 ce que j’en croise une bien particuli\u00e8re, la plus belle de toute \u00e0 mon go\u00fbt : une d\u00e9monstration de physicien, bien s\u00fbr, puisqu’elle utilise l’analyse dimensionnelle<\/strong> ! (dont je parlais dans mon pr\u00e9c\u00e9dent billet<\/a>)<\/p>\n

Consid\u00e9rons un triangle rectangle. Il est parfaitement caract\u00e9ris\u00e9 par la donn\u00e9e de son hypot\u00e9nuse (appelons-l\u00e0 C) et de l’un de ses angles aigus (appelons le \\(\\theta\\)). Je vous laisse vous en convaincre sur le dessin suivant : si je vous donne C et \\(\\theta\\), vous pouvez reconstruire ce triangle rectangle sans ambigu\u00eft\u00e9.<\/p>\n

\"pythagore1\"<\/a><\/p>\n

Consid\u00e9rons maintenant l’aire d’un triangle rectangle. Puisqu’un tel triangle est compl\u00e8tement caract\u00e9ris\u00e9 par C et \\(\\theta\\), il existe une fonction<\/p>\n

\\({\\cal A}(C,\\theta)\\)<\/p>\n

qui donne la valeur de cette aire. Si je voulais, je pourrais trouver la formule exacte de cette fonction, mais je ne vais pas en avoir besoin.<\/p>\n

Faisons un peu d’analyse dimensionnelle<\/strong> : l’aire \\(\\cal A\\) est le carr\u00e9 d’une longueur, l’hypoth\u00e9nuse C est une longueur, et \\(\\theta\\) est un nombre sans dimension. La seule mani\u00e8re que les unit\u00e9s collent, c’est que la formule qui donne l’aire d’un triangle rectangle ait la forme suivante<\/p>\n

\\({\\cal A}(C,\\theta) = C^2 f(\\theta)\\)<\/p>\n

o\u00f9 \\(f(.)\\) est une fonction que je n’ai pas besoin de chercher \u00e0 conna\u00eetre.<\/p>\n

Consid\u00e9rons maintenant le dessin suivant, o\u00f9 je pars d’un triangle rectangle d’hypot\u00e9nuse C et d’angle aigu \\(\\theta\\). Sur le dessin, j’ai \u00e9galement trac\u00e9 sa hauteur.<\/p>\n

\"pythagore2\"<\/a>Vous voyez que la hauteur partage notre triangle en deux petits triangles rectangles d’hypot\u00e9nuses respectives A et B, et ayant chacun un angle \\(\\theta\\). Puisque l’aire du grand triangle est \u00e9gale \u00e0 la somme de celle des petits, on peut \u00e9crire :<\/p>\n

\\(C^2 f(\\theta) = A^2 f(\\theta) + B^2 f(\\theta)\\)<\/p>\n

Je simplifie par \\(f(\\theta)\\) et le tour est jou\u00e9 :<\/p>\n

\\(C^2 = A^2 + B^2 \\)<\/p>\n

Pas mal, non ? \u00c9videmment, les matheux purs et durs vont hurler, mais je m’en fiche !<\/p>\n

\n

Pour ceux qui veulent creuser, on peut remarquer que ce qui fait la validit\u00e9 physique du raisonnement, c’est qu’il n’existe pas dans le probl\u00e8me d’autre quantit\u00e9 ayant la dimension d’une longueur. Notez que \u00e7a ne marcherait plus en espace courbe, par exemple pour un triangle trac\u00e9 sur une sph\u00e8re, laquelle poss\u00e8de une longueur naturelle : son rayon de courbure. <\/em><\/p>\n

D’ailleurs la formule qui donne l’aire d’un triangle sph\u00e9rique est d’une grande beaut\u00e9. Je me souviens avoir cherch\u00e9 \u00e0 la retrouver (sans la conna\u00eetre) et quand le r\u00e9sultat est apparu sous mes yeux j’en \u00e9tais fascin\u00e9 : sur une sph\u00e8re de rayon 1, l’aire d’un triangle sph\u00e9rique est \u00e9gal \u00e0 la somme de ses angles (moins \\(\\pi\\))<\/strong> !<\/em><\/p>\n

\"Spherical_triangle_3d_opti\"<\/a><\/p>\n

Cr\u00e9dits<\/h4>\n