{"id":5844,"date":"2014-01-20T00:01:47","date_gmt":"2014-01-19T23:01:47","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=5844"},"modified":"2014-01-20T00:01:47","modified_gmt":"2014-01-19T23:01:47","slug":"le-scandale-des-series-divergentes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2014\/01\/20\/le-scandale-des-series-divergentes\/","title":{"rendered":"Le scandale des s\u00e9ries divergentes ! (ou le retour de 1+2+3+4+5+… = -1\/12)"},"content":{"rendered":"

\"sum\"<\/a>Il y a quelques mois, j’ai \u00e9crit ce billet<\/a> au sujet de la somme 1+2+3+4+5+\u2026 Toutes proportions gard\u00e9es, ce billet est \u00e0 ce jour le plus controvers\u00e9 de ce blog, et il m’a valu une flop\u00e9e de commentaires parfois moqueurs ou condescendants.<\/p>\n

Il faut dire que j’y expliquais que m\u00eame si cette somme est a priori<\/em> infinie, il est malgr\u00e9 tout possible de lui affecter une valeur finie : -1\/12. Pire, on peut calculer cette valeur \u00e0 partir de quelques manipulations heuristiques<\/strong> en apparence totalement interdites.<\/p>\n

Absurde ! Ridicule ! Et pourtant les maths qui se cachent derri\u00e8re ce r\u00e9sultat provocateur sont tout \u00e0 fait r\u00e9elles : bienvenue dans le monde des s\u00e9ries divergentes<\/strong>. Comme je n’en avais pas beaucoup racont\u00e9 dans le premier billet sur les concepts math\u00e9matiques concern\u00e9s, cela faisait quelques temps que je songeais \u00e0 faire une suite un peu plus consistante \u00e0 ce billet infamant.<\/p>\n

Or il se trouve que Bruce, qui anime la cha\u00eene YouTube \u00ab\u00a0e-penser\u00a0\u00bb<\/em> a r\u00e9cemment rallum\u00e9 le feu avec une vid\u00e9o<\/a> pr\u00e9sentant le m\u00eame calcul. Quelques jours plus tard, le c\u00e9l\u00e8bre blog anglophone Bad Astronomy<\/a> \u00e9crit \u00e9galement un billet sur ce calcul, et bien s\u00fbr c’est aussi l’indignation !<\/p>\n

Timing parfait : j’ai d\u00e9cid\u00e9 de m’y coller et d’expliquer vraiment de quoi il retourne. Nous allons donc voir pourquoi affecter la valeur -1\/12 \u00e0 la s\u00e9rie 1+2+3+4+5+6+\u2026 n’est pas juste un canular d’un mec qui n’a rien compris aux maths, genre \u00ab\u00a0je montre 1=0 en cachant une division par z\u00e9ro dans le raisonnement\u00a0\u00bb<\/em>.<\/p>\n

Affecter -1\/12 \u00e0 cette somme est possible sous certaines conditions<\/strong>, et les calculs heuristiques, quoique formellement faux, permettent \u00e9tonnamment de retrouver cette valeur. Le pire : en physique on se sert de ce r\u00e9sultat en apparence absurde !<\/p>\n

Petite mise en garde : En g\u00e9n\u00e9ral, j’essaye dans mes billets de garder les connaissances n\u00e9cessaires au niveau lyc\u00e9e. Aujourd’hui exceptionnellement, je vais taper un peu au-del\u00e0 des maths du bac ! Si vous savez ce qu’est une s\u00e9rie, \u00e7a peut aider…
\n<\/em><\/p>\n

Rappel des faits<\/h3>\n

Pour commencer, je voudrais rappeler les quelques petits calculs qui ont \u00e9mu tant de monde. Oui, je sais, ces calculs sont a priori illicites<\/strong>, mais c’est pr\u00e9cis\u00e9ment l’objectif de ce billet d’expliquer pourquoi ils ne le sont pas tant que \u00e7a. Alors ne partez pas au milieu !<\/p>\n

Consid\u00e9rons la somme<\/p>\n

\\(A = 1-1+1-1+1-1+…\\)<\/p>\n

A priori cette somme n’a pas de valeur bien d\u00e9finie. Essayons quand m\u00eame de lui en donner une ! Pour cela, on peut noter que<\/p>\n

\\(\\begin{array}{rcl} A &=& 1-1+1-1+1-1+…\\\\ &=& 1 – (1-1+1-1+1-1+…) \\\\ &=& 1-A \\end{array}\\)<\/p>\n

Puisqu’on a A = 1-A, on peut d\u00e9duire que A=1\/2<\/strong>.<\/p>\n

Passons maintenant \u00e0 plus ambitieux, la somme<\/p>\n

\\(B = 1-2+3-4+5-6+… \\)<\/p>\n

M\u00eame remarque, cette somme n’a en principe pas de valeur. Mais cette fois remarquons qu’on peut \u00e9crire<\/p>\n

\\(\\begin{array}{rcl} B &=& 1-(2-3+4-5+6-7+…) \\\\ &=&1-(1-2+3-4+5-6+…)-(1-1+1-1+1-…) \\\\ &=& 1-B-A\\end{array}\\)<\/p>\n

On a donc 2B = 1-A, et puisqu’on conna\u00eet la valeur de A, on peut en d\u00e9duire B =1\/4<\/strong>.<\/p>\n

Le gros morceau maintenant, on consid\u00e8re la b\u00eate immonde, la somme<\/p>\n

\\(S = 1+2+3+4+5+6+… \\)<\/p>\n

On va cette fois soustraire B \u00e0 S et obtenir :<\/p>\n

\\(\\begin{array}{rcl} S-B &=& (1+2+3+4+5+…)-(1-2+3-4+5-…) \\\\ &=&(4+8+12+16+…)=4S\\end{array}\\)<\/p>\n

donc S = B + 4S qui nous am\u00e8ne \u00e0 la conclusion que S=-1\/12<\/strong>.<\/span><\/p>\n

Stop ! Arr\u00eatez de hurler, je sais que tout cela est absurde<\/strong> ! Je manipule des objets non-d\u00e9finis, les s\u00e9ries divergent, et je pr\u00e9tend qu’une somme de termes positifs peut \u00eatre n\u00e9gative, etc. Du d\u00e9lire total, quoi !<\/p>\n

Et pourtant, on peut donner un sens pr\u00e9cis et rigoureux \u00e0 tout ceci. Alors voyons comment !<\/p>\n

Comment sommer un nombre infini de termes ?<\/h3>\n

Commen\u00e7ons \u00e0 la base : l’addition des nombres r\u00e9els. Si je vous demande d’additionner deux nombres, vous savez faire. Si je vous demande d’additionner 3 nombres, vous allez me dire : pareil ! Et pourtant…<\/p>\n

Ca vous para\u00eet peut-\u00eatre naturel d’\u00e9crire et de calculer 1+2+3, mais \u00e7a n’est pas si imm\u00e9diat ! Notez que pour avoir le droit de l’\u00e9crire de cette mani\u00e8re, sans parenth\u00e8ses, il faut invoquer l’associativit\u00e9 de l’addition<\/strong>, c’est-\u00e0-dire que (1+2)+3 = 1+(2+3). Rappelez vous : l’addition n’est au d\u00e9part d\u00e9finie que pour 2 nombres, et c’est parce qu’elle est associative qu’on peut l’\u00e9tendre \u00e0 une somme de plusieurs nombres en oubliant les parenth\u00e8ses.<\/p>\n

Consid\u00e9rons maintenant une somme d’un nombre infini de termes<\/strong>, par exemple<\/p>\n

\\(1 + 1\/2 + 1\/4 + 1\/8 + 1\/16 + 1\/32 + …\\)<\/p>\n

Comment faites-vous pour calculer cette somme ? \u00ab\u00a0On prend le premier terme, on ajoute le second, puis le troisi\u00e8me, et ainsi de suite jusqu’au bout<\/em>.\u00a0\u00bb Ca vous para\u00eet \u00e9vident ? Et pourtant \u00e7a ne l’est pas !<\/p>\n

Il y a quelque chose d’absolument critique \u00e0 comprendre : RIEN dans la d\u00e9finition usuelle de l’addition ne nous dit comment on peut sommer un nombre infini de termes<\/strong>. Cette somme est donc a priori un objet ind\u00e9fini.<\/p>\n

Pour lui affecter une valeur, il faut dire comment on fait. \u00c7a n’est pas neutre, car cela signifie qu’il faut faire un choix. On dit que l’on va d\u00e9finir une m\u00e9thode de sommation<\/strong>. C’est un point tr\u00e8s important \u00e0 saisir car tout le reste repose l\u00e0-dessus.<\/p>\n

La m\u00e9thode de sommation la plus naturelle, c’est de prendre la limite de la suite des sommes partielles<\/strong>. Histoire d’\u00eatre pr\u00e9cis, je vais faire un peu de formalisme.<\/p>\n

La m\u00e9thode \u00ab\u00a0naturelle\u00a0\u00bb<\/h3>\n

On consid\u00e8re une suite \\(a_n\\) de nombres r\u00e9els (pour simplifier), et on cherche \u00e0 affecter \u00e0 cette suite un nombre r\u00e9el, que l’on veut associer intuitivement \u00e0 la somme de tous les \\(a_n\\). On veut donc construire une application\u00a0(notons-l\u00e0 \\(\\Sigma\\)), \u00e0 valeur dans \\(\\mathbb{R}\\), et\u00a0 d\u00e9finie sur l’espace vectoriel des suites r\u00e9elles (enfin au moins un sous-espace vectoriel) .<\/p>\n

La mani\u00e8re naturelle de d\u00e9finir \\(\\Sigma\\), c’est de consid\u00e9rer la suite des sommes partielles<\/p>\n

\\(S_n = a_0 + a_1 + a_2 + … + a_n\\),<\/p>\n

et de calculer sa limite quand \\(n\\) tend vers l’infini. Si cette limite existe et est finie, on dit que la s\u00e9rie converge, et la limite est consid\u00e9r\u00e9e comme \u00e9tant \u00ab\u00a0la valeur\u00a0\u00bb de \\(\\Sigma a_n\\) :<\/p>\n

\\(\\Sigma a_n \\equiv\\mathrm{lim}_{n\\to\\infty} (a_0 + a_1 + a_2 + … + a_n) \\)<\/p>\n

Voil\u00e0, j’ai d\u00e9crit mon application \\(\\Sigma\\), et elle est d\u00e9finie sur un sous-ensemble de l’espace des suites r\u00e9elles: celui pour lesquelles la limite de la suite des sommes partielles existe (notons le \\({\\cal C}\\))<\/p>\n

Je me r\u00e9p\u00e8te : prendre la limite de la suite des sommes partielles est la mani\u00e8re la plus naturelle de faire, celle que l’on fait quand on dit \u00ab\u00a0on prend le premier terme, on ajoute le second et ainsi de suite\u00a0\u00bb<\/em>, mais il s’agit d’une d\u00e9finition, d’un choix<\/strong>. Cette proc\u00e9dure ne d\u00e9coule pas \u00ab\u00a0automatiquement\u00a0\u00bb de l’addition usuelle.<\/p>\n

Pour vous convaincre qu’il s’agit d’une extension de l’addition usuelle, en voici une cons\u00e9quence \u00e9tonnante : quand on a une somme d’un nombre infini de termes, la valeur de la somme peut d\u00e9pendre de l’ordre des termes<\/strong> !<\/p>\n

Bye bye la commutativit\u00e9 !<\/h3>\n

Vous le savez, quand on fait des additions, l’ordre ne compte pas : 1+2+3 = 3+1+2, par exemple. C’est une autre propri\u00e9t\u00e9 de l’addition qui s’appelle la commutativit\u00e9<\/strong>. C’est bien pratique, mais pour les sommes infinies, \u00e7a ne marche pas toujours !<\/p>\n

Consid\u00e9rez par exemple cette somme, que l’on appelle la s\u00e9rie harmonique altern\u00e9e<\/p>\n

\\(H = 1 – 1\/2 + 1\/3 – 1\/4 + 1\/5 – 1\/6 + … \\)<\/p>\n

c’est-\u00e0-dire la s\u00e9rie de terme \\(a_n=(-1)^{n-1}\/n\\). On peut assez facilement montrer que la limite de la suite des sommes partielles vaut \\(ln(2)\\). On a donc envie de dire qu’il s’agit l\u00e0 de LA valeur de cette somme infinie.<\/p>\n

Et pourtant, si on change l’ordre des termes dans l’addition, on peut changer la valeur de la limite. Plus fort encore, on peut montrer qu’on peut toujours changer l’ordre des termes pour la faire converger vers ce qu’on veut !<\/strong><\/p>\n

Oui oui, vous lisez bien. Si vous r\u00e9arrangez comme il faut les termes de cette s\u00e9rie, vous pouvez la faire converger vers \\(\\sqrt{42}\/(e+\\pi)\\) si \u00e7a vous amuse. Et pire encore, ce r\u00e9sultat bizarre n’est pas du tout sp\u00e9cifique \u00e0 cette s\u00e9rie : il marche avec tout un tas d’autres !<\/p>\n

(Pour ceux qui font des maths post-bac : \u00e7a marche pour toutes les s\u00e9ries convergentes mais pas absolument convergentes. \u00c7a n’est pas tr\u00e8s difficile \u00e0 d\u00e9montrer, c’est une preuve constructive de la permutation, et cela porte le nom de\u00a0 th\u00e9or\u00e8me de r\u00e9arrangement de Riemann<\/strong>.)<\/em><\/p>\n

Vous voyez donc que la d\u00e9finition \u00ab\u00a0naturelle\u00a0\u00bb d’une somme d’un nombre infini de termes est quand m\u00eame loin d’\u00eatre innocente, puisqu’on y perd une propri\u00e9t\u00e9 fondamentale de l’addition : la commutativit\u00e9<\/strong> !<\/p>\n

D’autres m\u00e9thodes de sommation ?<\/h3>\n

J’esp\u00e8re vous avoir convaincu que la m\u00e9thode \u00ab\u00a0usuelle\u00a0\u00bb pour sommer des s\u00e9ries, d’une part est bien une d\u00e9finition (et donc r\u00e9sulte d’un choix); d’autre part n’est pas si gratuite que \u00e7a.<\/p>\n

Clairement les trois s\u00e9ries que j’ai pr\u00e9sent\u00e9 au d\u00e9but (A, B et S) ne sont pas sommables par la m\u00e9thode usuelle : leurs suites des sommes partielles ne convergent pas. On ne peut donc pas leur affecter un nombre fini par la m\u00e9thode naturelle. Mais pourrait-on faire autrement ? Existe-t-il d’autres m\u00e9thodes de sommation que la m\u00e9thode \u00ab\u00a0naturelle\u00a0\u00bb ?<\/strong><\/p>\n

Je vous ai dit qu’on peut voir une m\u00e9thode de sommation comme une application d\u00e9finie sur un sous-espace de l’espace vectoriel des suites r\u00e9elles, et \u00e0 valeur dans \\(\\mathbb{R}\\). \u00c9videmment, on ne veut pas faire n’importe quoi, alors on va poser quelques conditions pour dire ce qu’est une m\u00e9thode de sommation raisonnable.<\/p>\n

La principale, c’est qu’on aimerait trouver une m\u00e9thode qui soit compatible avec la limite de la suite des sommes partielles. <\/strong>On n’a pas envie de construire une m\u00e9thode qui se mette \u00e0 affecter de nouvelles valeurs aux s\u00e9ries convergentes ! En pratique, on cherche donc une application \\(\\tilde{\\Sigma}\\) qui soit un prolongement de l’application \\(\\Sigma\\), c’est-\u00e0-dire :<\/p>\n