![\"gomboc](\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/12\/gomboc_chine.jpg\")
<\/a><\/p>\nUne affaire d’\u00e9quilibre<\/h3>\n
En 1995, \u00e0 l’occasion d’une conf\u00e9rence \u00e0 Hambourg, Vladimir Arnold s’\u00e9tait demand\u00e9 s’il \u00e9tait possible de construire un solide tridimensionnel qui soit \u00e0 la fois homog\u00e8ne, convexe et mono-monostatique … euh … mais \u00e7a veut dire quoi tout ce charabia ???<\/p>\n Bon, commen\u00e7ons par \u00ab\u00a0mono-monostatique<\/strong>\u00ab\u00a0. Quand on pose un solide sur une table (pensez par exemple \u00e0 un oeuf, une pyramide ou un stylo) il ne reste pas forc\u00e9ment dans la position o\u00f9 on l’a mis. Il va changer d’orientation sous l’influence de la gravit\u00e9, et atteindre une position d’\u00e9quilibre stable<\/strong>. La plupart des solides poss\u00e8dent plusieurs positions d’\u00e9quilibre stable : attrapez les objets qui sont autour de vous, et essayez donc de les poser sur le sol dans diff\u00e9rentes positions stables, vous devriez y arriver. Ils poss\u00e8dent en g\u00e9n\u00e9ral \u00e9galement des positions d’\u00e9quilibre instable<\/strong> : une pyramide pos\u00e9e sur sa pointe est en \u00e9quilibre instable.<\/p>\n Un solide mono-monostatique, c’est un solide qui poss\u00e8de exactement un seul point d’\u00e9quilibre stable, et un seul point d’\u00e9quilibre instable.<\/strong><\/p>\n Le culbuto poss\u00e8de une seule position d’\u00e9quilibre stable, et une position instable<\/strong> (si vous le posez sur la t\u00eate). Il est donc bien mono-monostatique.<\/p>\n Oui mais avec le culbuto, il y a un truc : il est lest\u00e9 \u00e0 la base<\/strong>, donc sa densit\u00e9 n’est pas homog\u00e8ne. \u00c7\u00e0 c’est un truc pour physicien ou ing\u00e9nieur, mais \u00e7a n’est pas tr\u00e8s satisfaisant pour un math\u00e9maticien.<\/p>\n On va donc compliquer la question et se demander s’il existe un solide mono-monostatique qui soit homog\u00e8ne. Avec juste ces deux conditions, c’est encore assez simple. Il suffit par exemple de partir d’une sph\u00e8re et d’en \u00e9vider la partie sup\u00e9rieure, comme sur le sch\u00e9ma ci-dessus. En fait en faisant \u00e7a on reproduit la situation du culbuto en lestant la sph\u00e8re d’un c\u00f4t\u00e9 (ou plut\u00f4t en la d\u00e9lestant de l’autre !).<\/p>\n Donc pour que le probl\u00e8me soit vraiment fun math\u00e9matiquement, on va ajouter une derni\u00e8re r\u00e8gle du jeu : le solide doit \u00eatre convexe<\/strong>. Pour faire tr\u00e8s simple, un solide est convexe s’il ne poss\u00e8de pas de r\u00e9gion creuses ou en creux. (Pour \u00eatre plus pr\u00e9cis : un solide est convexe si tout segment reliant deux points du solide est enti\u00e8rement contenu dans le solide; \u00e7a n’est clairement pas le cas pour la sph\u00e8re \u00e9vid\u00e9e.)<\/p>\n Nous voici donc arriv\u00e9s \u00e0 la formulation de la question pos\u00e9e par Vladimir Arnold en 1995 : existe-t-il un solide homog\u00e8ne convexe et mono-monostatique ?<\/strong><\/p>\n En 2006, apr\u00e8s des ann\u00e9es de recherche sur le sujet, deux math\u00e9maticiens hongrois ont pu r\u00e9pondre par l’affirmative \u00e0 la question ! Et pour ce faire, ils ont explicitement construit une forme qui fonctionne, et l’on appel\u00e9e G\u00f6mb\u00f6c<\/strong> ! (Prononcez \u00ab\u00a0Geumbeuts\u00a0\u00bb)<\/p>\n Il s’agit d’un solide ressemblant vaguement \u00e0 une sph\u00e8re d\u00e9form\u00e9e, et qui ne poss\u00e8de effectivement qu’un point d’\u00e9quilibre stable et un point d’\u00e9quilibre instable.<\/p>\n Il revient donc toujours sur sa position quand on le pose sur une surface plane, comme on le voit sur cette vid\u00e9o.<\/p>\n [youtube=http:\/\/www.youtube.com\/watch?v=pkvuUdKlybQ]<\/p>\n Et voil\u00e0, c’est tout ! \u00c7a ne sert \u00e0 rien, mais c’est beau !<\/strong><\/p>\n Les inventeurs (d\u00e9couvreurs?) de ce solide ont d’ailleurs bien compris \u00e7a, et ils commercialisent diverses version de l’objet sur leur boutique<\/a>, pour un prix somme toute assez cons\u00e9quent. Mais il faut savoir que les tol\u00e9rances g\u00e9om\u00e9triques \u00e0 respecter sont tr\u00e8s strictes : la pr\u00e9cision doit \u00eatre de 100 microns pour un objet de 10 cm. Les courageux peuvent toujours essayer l’impression 3D !<\/p>\n Je n’ai aucun lien \u00e9videmment avec cette activit\u00e9 commerciale, mais si l’un de mes lecteurs veut m’en offrir un, j’accepte volontiers !<\/p>\n Si j’en crois wikip\u00e9dia, le terme G\u00f6mb\u00f6c est un diminutif pour sph\u00e8re (une sorte de quasi-sph\u00e8re, donc), et \u00e9galement le nom d’un plat hongrois vaguement similaire au haggis \u00e9cossais. En attendant, il semble que la Tortue \u00e9toil\u00e9e d’Inde<\/strong> n’ait pas attendu la d\u00e9couverte du G\u00f6mb\u00f6c pour imiter sa forme avec sa carapace : bien pratique pour toujours revenir sur ses pattes ! (m\u00eame si je doute que la tortue soit convexe et homog\u00e8ne !).<\/p>\n Billets reli\u00e9s sur le C@f\u00e9 :<\/p>\n Quel est le lien entre une tortue, un culbuto et un g\u00f6mb\u00f6c ?<\/a> par Sirtin<\/p>\n Quand les tortues font des maths ?<\/a> par ElJJ<\/p>\n<\/a>L’histoire du G\u00f6mb\u00f6c est celle de ces sujets de recherche qui naissent autour d’une machine \u00e0 caf\u00e9, ou dans les couloirs des conf\u00e9rences scientifiques. En l’occurrence, \u00e0 l’origine de celle-ci, il y a le c\u00e9l\u00e8bre math\u00e9maticien russe Vladimir Arnold, un des plus grands math\u00e9maticiens de ces derni\u00e8res d\u00e9cennies<\/strong> (un jour il faudra que je vous parle de ma rencontre avec Arnold !).<\/p>\nExiste-t-il un solide homog\u00e8ne convexe et mono-monostatique ?<\/h3>\n
<\/a>La principale particularit\u00e9 d’un objet mono-monostatique, c’est de toujours aller vers sa seule position d’\u00e9quilibre (stable), quelle que soit la mani\u00e8re dont on le pose sur une table. Il existe un exemple bien connu de ce genre d’objets : le culbuto<\/strong> (quand j’\u00e9tais m\u00f4me on avait les \u00ab\u00a0bidibules\u00a0\u00bb).<\/p>\n<\/a>Le G\u00f6mb\u00f6c<\/h3>\n<\/a><\/p>\n
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