{"id":4855,"date":"2013-06-10T00:01:40","date_gmt":"2013-06-09T22:01:40","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=4855"},"modified":"2013-06-10T00:01:40","modified_gmt":"2013-06-09T22:01:40","slug":"quelle-est-la-difference-entre-une-clepsydre-et-un-sablier","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2013\/06\/10\/quelle-est-la-difference-entre-une-clepsydre-et-un-sablier\/","title":{"rendered":"Quelle est la diff\u00e9rence entre une clepsydre et un sablier ?"},"content":{"rendered":"

\"clepsydre<\/a>\u00ab\u00a0La clespydre, Roger\u00a0! La clepsydre\u00a0!\u2026Sors\u00a0!… Sors, bordel !\u00a0\u00bb<\/em><\/p>\n

Voil\u00e0 qui sans nul doute \u00e9voquera de bons souvenirs aux fans de l’\u00e9mission \u00ab\u00a0Les cl\u00e9s de Fort Boyard\u00a0\u00bb. Je crois d’ailleurs avoir d\u00e9couvert le mot \u00ab\u00a0clepsydre\u00a0\u00bb \u00e0 cette occasion.<\/p>\n

Alors la clepsydre est-elle un simple sablier avec de l’eau\u00a0? Eh bien non\u00a0! Il s’av\u00e8re qu’il est beaucoup plus facile de mesurer le temps avec du sable qu’avec de l’eau<\/strong>, et pourtant la physique de l’\u00e9coulement du sable est affreusement complexe\u00a0!<\/p>\n

Comprendre comment coule le sable para\u00eet futile, mais c’est en r\u00e9alit\u00e9 un sujet d’importance capitale en g\u00e9ophysique et dans certains proc\u00e9d\u00e9s industriels. La physique des \u00ab\u00a0\u00e9coulements granulaires\u00a0\u00bb est justement un domaine dans lequel plusieurs \u00e9quipes fran\u00e7aises ont fait des avanc\u00e9es importantes ces derni\u00e8res ann\u00e9es.<\/p>\n

\"clepsydre<\/a>Une affaire de d\u00e9bit<\/h3>\n

Les clepsydres existent depuis l’antiquit\u00e9, et sont un des moyens les plus simples de mesurer l’\u00e9coulement du temps. Vous n’avez m\u00eame pas besoin d’une forme de sablier\u00a0: deux bassines et un trou feront l’affaire, comme sur la reconstitution ci-contre d’une cl\u00e9psydre ath\u00e9nienne.<\/p>\n

Et pourtant il y a un probl\u00e8me avec la clepsydre\u00a0: quand la moiti\u00e9 de l’eau est tomb\u00e9e, c’est moins de la moiti\u00e9 du temps qui s’est \u00e9coul\u00e9\u00a0!<\/strong><\/p>\n

En effet dans une clepsydre la vitesse d’\u00e9coulement varie avec la hauteur de l’eau restante\u00a0: le d\u00e9bit n’est donc pas constant, plus rapide au d\u00e9but, plus lent \u00e0 la fin.<\/p>\n

Heureusement le sablier a am\u00e9lior\u00e9 tout \u00e7a\u00a0! Introduit en Europe au cours du moyen-\u00e2ge, les marins se sont vite rendus compte que le sablier \u00e9tait plus stable que la clepsydre<\/strong>, et que sa vitesse d’\u00e9coulement constante le rendait plus pratique pour mesurer les dur\u00e9es interm\u00e9diaires.<\/p>\n

Mais alors, quelle diff\u00e9rence entre le sable et l’eau\u00a0?<\/p>\n

Le d\u00e9bit d’une clepsydre\u00a0: la loi de Torricelli<\/h3>\n

\"loi<\/a>Pour se convaincre que la vitesse d’\u00e9coulement d\u00e9pend de la hauteur d’eau, on peut faire une manip simple\u00a0: prendre une grande bouteille d’eau, y percer 3 trous \u00e0 3 hauteurs diff\u00e9rentes, et observer\u00a0! Vous devriez constater que le jet est d’autant plus puissant que le trou est bas dans la colonne<\/strong>.<\/p>\n

Au XVIIe si\u00e8cle, le physicien italien Evangelista Torricelli avait not\u00e9 cette d\u00e9pendance, et calcul\u00e9 la variation de d\u00e9bit avec la hauteur d’eau. Sous sa forme moderne, la loi de Torricelli nous dit que pour un trou de rayon R, et une hauteur d’eau h le d\u00e9bit est \u00e9gal \u00e0<\/p>\n

\\(D = \\sqrt{2gh}\\ \\ \\pi R^2\\)<\/p>\n

o\u00f9 g est bien s\u00fbr l’acc\u00e9l\u00e9ration de la pesanteur. Une autre mani\u00e8re de voir cette loi, c’est simplement de dire que la vitesse de l’eau en sortie est \u00e9gale \u00e0 \\(\\sqrt{2gh}\\).<\/p>\n

Pour s’en souvenir c’est tr\u00e8s simple, c’est la vitesse d’une goutte d’eau en chute libre : l’eau qui sort de la colonne d’eau poss\u00e8de la vitesse qu’elle aurait si elle tombait du haut de la colonne<\/strong>.<\/p>\n

Une troisi\u00e8me mani\u00e8re de voir la loi de Toricelli, c’est de remarquer que la pression au bas de la colonne est proportionnelle \u00e0 la hauteur, et donc que la vitesse est proportionnelle \u00e0 \\(\\sqrt{P}\\). La vitesse augmente donc avec la pression en bas de la colonne, cela para\u00eet bien normal !<\/p>\n

Le d\u00e9bit d’un sablier\u00a0: la loi de Beverloo<\/h3>\n

La situation pour le sablier est \u00e0 la fois plus simple et plus compliqu\u00e9e\u00a0: plus simple car la hauteur de sable ne joue pas sur la vitesse<\/strong>, plus compliqu\u00e9e car on ne dispose pas d’une loi aussi simple que celle de Toricelli.<\/p>\n

Et pourtant il existe un moyen simple de trouver la bonne loi\u00a0: faire de l’analyse dimensionnelle<\/strong>, c’est-\u00e0-dire regarder simplement les unit\u00e9s des quantit\u00e9s que l’on a et que l’on veut obtenir. Si la hauteur d’eau n’intervient pas, il ne nous reste plus grand chose pour fabriquer une formule\u00a0: la gravit\u00e9 g (unit\u00e9 : m\/s2) et le rayon R (unit\u00e9 : m) du trou. Pour fabriquer un d\u00e9bit (unit\u00e9 : m3\/s), on doit forc\u00e9ment avoir quelque chose proportionnel \u00e0 la quantit\u00e9<\/p>\n

\\(\\sqrt{g} R^{5\/2} = \\sqrt{gR}\\ \\ R^{2}\\)<\/p>\n

C’est ce qu’on appelle la loi de Beverloo. Il existe un moyen tr\u00e8s simple de comprendre cette loi\u00a0: il suffit de regarder la formule la plus \u00e0 droite ci-dessus o\u00f9 j’ai simplement s\u00e9par\u00e9 \\(R^2\\) et \\(\\sqrt{R}\\) : la loi de Beverloo est similaire \u00e0 celle de Toricelli, sauf que la hauteur totale h a \u00e9t\u00e9 remplac\u00e9e par le rayon R du trou.<\/p>\n

Tout se passe comme si la vitesse d’\u00e9coulement du sable \u00e9tait celle d’une colonne de sable de hauteur R, qu’elle que soit la \u00ab\u00a0vraie\u00a0\u00bb hauteur de sable<\/strong>. Une autre mani\u00e8re de l’interpr\u00e9ter, c’est de dire que si on ajoute du sable en haut, la pression en bas n’augmente pas\u00a0!<\/p>\n

\"arches<\/a>La th\u00e9orie des arches<\/h3>\n

Pour comprendre d’o\u00f9 vient la loi de Beverloo, on peut utiliser une observation que l’on retrouve souvent dans les \u00e9coulements granulaires\u00a0: les arches<\/strong>. On sait que du sable dans un cylindre ne se comporte pas comme de l’eau. Si on ajoute du sable suppl\u00e9mentaire en haut de la colonne, son poids ne sera pas support\u00e9 par le bas de la colonne (comme avec de l’eau) mais pas les grains interm\u00e9diaires qui frottent contre les parois.<\/p>\n

Cette friction permet notamment la formation d’arches, c’est-\u00e0-dire de structures ressemblant \u00e0 des cl\u00e9s de vo\u00fbte<\/strong>, et qui vont soutenir le sable situ\u00e9 plus haut dans la colonne. C’est ce que montre le dessin ci-contre, issu d’une simulation num\u00e9rique [1]. La couleur repr\u00e9sente la pression que supporte chaque bille, et montre clairement que des arches se dessinent d’une paroi \u00e0 l’autre.<\/p>\n

En pr\u00e9sence d’un \u00e9coulement, les arches provoquent ce qu’on appelle l’\u00e9crantage de Janssen<\/strong>\u00a0: quand le sable s’\u00e9coule, de telles arches se font et se d\u00e9font en permanence. et elles prot\u00e8gent en quelque sorte le bas de la colonne des pressions \u00e9lev\u00e9es : c’est ce qui peut expliquer que la vitesse d’\u00e9coulement ne soit pas li\u00e9e \u00e0 la hauteur de la colonne de sable.<\/p>\n

La physique de ces arches a beau \u00eatre affreusement compliqu\u00e9e, c’est gr\u00e2ce \u00e0 elles que la vitesse d’\u00e9coulement du sablier est constante, le rendant si pratique \u00e0 utiliser\u00a0!<\/p>\n

Billets reli\u00e9s :<\/span><\/p>\n

Sur les \u00e9coulements granulaires L’effet Noix du Br\u00e9sil<\/a>, qui parle du mouvement des noix du Br\u00e9sil dans un pot de cacahu\u00e8tes.<\/p>\n

Sur les fluides non-newtoniens : J\u00e9sus et la Ma\u00efzena<\/a><\/p>\n

\n

Pour aller plus loin : la rh\u00e9ologie des \u00e9coulements granulaires<\/h3>\n

Petit \u00e9chauffement avant d’aller plus loin : la loi de Toricelli peut se d\u00e9montrer simplement \u00e0 partir du th\u00e9or\u00e8me de Bernoulli. Ce dernier s’\u00e9crit<\/em><\/p>\n

\\(\\frac{1}{2} \\rho v^2 + \\rho g h + P = constante\\)<\/em><\/p>\n

On peut voir ce th\u00e9or\u00e8me comme une \u00e9quation de conservation de l’\u00e9nergie (volumique), avec trois termes : \u00e9nergie cin\u00e9tique, \u00e9nergie potentielle de pesanteur et pression (je vous laisse vous convaincre que la pression est bien une \u00e9nergie volumique). Si on applique ce th\u00e9or\u00e8me en haut de la colonne, et qu’on dit que la vitesse y est nulle et la pression est celle de l’atmosph\u00e8re, on trouve que la constante vaut \\(\\rho g h + P_0\\). Si on applique ce th\u00e9or\u00e8me au bas d’une colonne dans laquelle le trou est bouch\u00e9, qu’on \u00e9crit que la vitesse y est aussi nulle, on retrouve la fameuse pression hydrostatique \\(P=P_0+\\rho g h\\). Maintenant si on perce un trou, on doit \u00e9crire qu’au niveau du trou la pression est celle de l’atmosph\u00e8re, et on tire donc \\(\\frac{1}{2} \\rho v^2 +P_0 = \\rho g h + P_0\\), et donc \\(v=\\sqrt{2gh}\\).<\/em><\/p>\n

Un autre aspect int\u00e9ressant de ces \u00e9coulements granulaires concerne la fa\u00e7on dont on peut simuler un \u00e9coulement granulaire \u00ab\u00a0presque\u00a0\u00bb comme un fluide normal. Une astuce imagin\u00e9e par des \u00e9quipes fran\u00e7aises [2,3] consiste \u00e0 d\u00e9crire l’\u00e9coulement granulaire comme un fluide dont la viscosit\u00e9 n’est pas constante, et est reli\u00e9e \u00e0 l’existence d’un coefficient de friction local dans le fluide. Cette m\u00e9thode s’appelle la rh\u00e9ologie du \\(\\mu(I)\\), du nom du coefficient de frottement que l’on utilise. Ces id\u00e9es ont eu un tr\u00e8s fort retentissement dans le domaine des \u00e9coulements granulaires.<\/em><\/p>\n

Pour ceux que \u00e7a int\u00e9resse, on d\u00e9finit le nombre inertiel \\(I\\) de la mani\u00e8re suivante<\/em><\/p>\n

\\(I = \\frac{\\dot{\\gamma}d}{\\sqrt{P\\rho}}\\)<\/em><\/p>\n

o\u00f9 d est le diam\u00e8tre des particules, \\(\\rho\\) la masse volumique et \\(\\dot{\\gamma}\\) le taux de cisaillement.<\/em><\/p>\n

Le coefficient de friction (d\u00e9finit par \\(\\mu\\equiv\\frac{\\tau}{P}\\)) est ensuite pris comme une fonction de I<\/em><\/p>\n

\\(\\mu(I)=\\mu_S+\\frac{\\Delta\\mu}{I_0\/I+1}\\)<\/em><\/p>\n

avec \\(\\mu_S\\) le coefficient de friction statique, et \\(\\Delta\\mu\\) et \\(I_0\\) des constantes. On a alors pour la viscosit\u00e9 :<\/em><\/p>\n

\\(\\eta \\equiv \\frac{\\tau}{\\dot{\\gamma}} = \\frac{\\mu(I) P}{\\dot{\\gamma}}\\).<\/em><\/p>\n

\"champ<\/a>Ce qu’il y a de fort, c’est qu’avec ces d\u00e9finitions, on peut simuler un \u00e9coulement granulaire comme un fluide presque normal (enfin non-newtonien quand m\u00eame), mais sans simuler le d\u00e9tail de chaque grain. Les r\u00e9sultats sont spectaculaires, car on retrouve par exemple l’effet d’\u00e9crantage de la pression, comme sur l’image ci-contre tir\u00e9e d’une chouette publication toute r\u00e9cente d’une autre \u00e9quipe fran\u00e7aise [4]. <\/em><\/p>\n

Dans cette image, les couleurs repr\u00e9sentent la pression, et on observe tr\u00e8s bien que la pression juste au dessus du trou est tr\u00e8s r\u00e9duite compar\u00e9e \u00e0 ce que ce cela devrait \u00eatre pour un fluide comme l’eau.<\/em><\/p>\n

Avec ces simulations, on peut montrer que l’hypoth\u00e8se des arches n’est pas n\u00e9cessaire, ou du moins incompl\u00e8te ! En effet on se sait exp\u00e9rimentalement que les arches ne peuvent pas se former quand on consid\u00e8re une colonne tr\u00e8s large par rapport \u00e0 sa hauteur, et pourtant l’effet d’\u00e9crantage existe quand m\u00eame. Gr\u00e2ce \u00e0 la rh\u00e9ologie du \\(\\mu(I)\\), les chercheurs fran\u00e7ais ont montr\u00e9 que m\u00eame sans arches (qui ne sont pas simul\u00e9es dans leur calcul), le fait d’avoir un seuil d’\u00e9coulement frictionnel est suffisant pour expliquer la r\u00e9duction du champ de pression et la loi de Beverloo.<\/em><\/p>\n

Question ouverte pour ceux qui ont eu le courage de lire jusqu’ici : je n’ai pas r\u00e9ussi \u00e0 comprendre comment on pouvait \u00e0 partir de la description du \\(\\mu(I)\\) retrouver une description d’un fluide newtonien. J’imagine que \u00e7a doit \u00eatre le cas si on fait tendre les bonnes choses vers les bonnes valeurs (genre diam\u00e8tre des particules vers 0, friction statique vers 0, etc.). Mais je n’ai pas trouv\u00e9…<\/em><\/p>\n

[1] Carlevaro, C. Manuel, and Luis A. Pugnaloni. \u00ab\u00a0Arches and contact forces in a granular pile<\/a>.\u00a0\u00bb The European Physical Journal E 35.6 (2012): 1-7.<\/em><\/p>\n

[2] MiDia, G. D. R. \u00ab\u00a0On dense granular flows<\/a>.\u00a0\u00bb Eur. Phys. J. E 14 (2004): 341-365.<\/em><\/p>\n

[3] Jop, Pierre, Yo\u00ebl Forterre, and Olivier Pouliquen. \u00ab\u00a0A constitutive law for dense granular flows.<\/a>\u00a0\u00bb Nature 441.7094 (2006): 727-730.<\/em><\/p>\n

[4] Staron, Lydie, P-Y. Lagr\u00e9e, and St\u00e9phane Popinet. \u00ab\u00a0The granular silo as a continuum plastic flow: The hour-glass vs the clepsydra.<\/a>\u00a0\u00bb Physics of Fluids 24 (2012): 103301.<\/em><\/p>\n

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\u00ab\u00a0La clespydre, Roger\u00a0! La clepsydre\u00a0!\u2026Sors\u00a0!… Sors, bordel !\u00a0\u00bb Voil\u00e0 qui sans nul doute \u00e9voquera de bons souvenirs aux fans de l’\u00e9mission \u00ab\u00a0Les cl\u00e9s de Fort Boyard\u00a0\u00bb. Je crois d’ailleurs avoir d\u00e9couvert le mot \u00ab\u00a0clepsydre\u00a0\u00bb \u00e0 cette occasion. Alors la clepsydre est-elle un simple sablier avec de l’eau\u00a0? Eh bien non\u00a0! Il s’av\u00e8re qu’il est beaucoup<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[24],"class_list":{"0":"post-4855","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-mecanique-des-fluides"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4855","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4855"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4855\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4855"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4855"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4855"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}