{"id":4769,"date":"2013-05-27T00:01:23","date_gmt":"2013-05-26T22:01:23","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=4769"},"modified":"2013-05-27T00:01:23","modified_gmt":"2013-05-26T22:01:23","slug":"1234567-112","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2013\/05\/27\/1234567-112\/","title":{"rendered":"1+2+3+4+5+6+7+… = -1\/12 !"},"content":{"rendered":"

\"sum\"<\/a>Les math\u00e9maticiens sont parfois un peu f\u00eal\u00e9s. En tout cas ils aiment bien essayer de repousser les limites de notre compr\u00e9hension, quitte \u00e0 d\u00e9fier le sens commun. Prenez par exemple la somme suivante : 1+2+3+4+5+6+7… et ainsi de suite. Combien vaut cette somme ?<\/p>\n

Je pense que n’importe quel \u00e9colier cens\u00e9 r\u00e9pondrait \u00ab\u00a0l’infini\u00a0\u00bb. Eh bien oui, mais non. Les math\u00e9maticiens ont r\u00e9ussi \u00e0 prouver que cette immense somme vaut en fait … -1\/12 ! Nous allons nous aussi le d\u00e9montrer, et rassurez vous, dans ce billet on ne va utiliser que l’addition !<\/p>\n

Edit du 19\/01\/2014 :<\/span> apr\u00e8s toutes les controverses suscit\u00e9es par ce billet, j’ai d\u00e9cid\u00e9 d’en \u00e9crire un autre pour justifier pourquoi ce que je raconte ici n’est pas juste un d\u00e9lire de mec qui manipule des objets math\u00e9matiques n’importe comment. Vous pouvez commencer par lire ce billet, mais si cela vous indigne et que vous voulez creuser, n’oubliez pas d’aller lire la suite ici : Le scandale des s\u00e9ries divergentes<\/a> !<\/em><\/p>\n

\u00c9chauffement, niveau 1<\/h3>\n

A titre d’\u00e9chauffement, commen\u00e7ons par une somme un peu plus simple :<\/p>\n

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …<\/span><\/p>\n

Combien vaut cette somme ? Les plus malins remarqueront que la valeur de cette somme oscille entre 0 et 1 au fur et \u00e0 mesure qu’on lui ajoute des termes. Si on veut vraiment affecter une valeur \u00ab\u00a0moyenne\u00a0\u00bb \u00e0 cette somme infinie, on peut taper entre les deux et choisir 1\/2.<\/p>\n

Eh bien on peut en fait rigoureusement d\u00e9montrer que cette somme vaut bien 1\/2<\/strong>. Voici l’id\u00e9e : appelons A cette somme, on pose donc<\/p>\n

A= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …<\/span><\/p>\n

On peut ensuite observer que<\/p>\n

A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … =\u00a0 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …)
\n<\/span><\/p>\n

mais on reconnait que le terme entre parenth\u00e8ses n’est autre que A lui-m\u00eame, on a donc l’\u00e9galit\u00e9<\/p>\n

A = 1 – A<\/span><\/p>\n

et vous pouvez facilement r\u00e9soudre cette \u00e9quation pour trouver A = 1\/2. Facile et amusant, non ? Alors passons au niveau suivant.<\/p>\n

\u00c9chauffement, niveau 2<\/h3>\n

Consid\u00e9rons maintenant la somme<\/p>\n

B = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …<\/span><\/p>\n

Il s’agit encore d’une somme oscillante, mais cette fois-ci les oscillations deviennent de plus en plus grosses ! Cette fois-ci on remarque que<\/p>\n

B = 1 – (2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 +…)
\n<\/span><\/p>\n

et en d\u00e9composant en deux morceaux le terme entre parenth\u00e8ses on a<\/p>\n

B = 1 – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …) – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …) <\/span><\/p>\n

Or ici on reconnait dans la premi\u00e8re parenth\u00e8se la somme B dont on est parti, et dans l’autre parenth\u00e8se la somme A que l’on a \u00e9valu\u00e9e au paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent. On a donc<\/span><\/p>\n

B = 1 – B – A<\/span><\/p>\n

Comme on a calcul\u00e9 que A vaut 1\/2, on en tire B = 1 – B – 1\/2 et donc B = 1\/4. Vous voyez qu’avec de simples op\u00e9rations arithm\u00e9tiques, on peut attribuer une valeur bien d\u00e9finie \u00e0 cette somme infinie oscillante<\/strong> !<\/p>\n

Passons aux choses s\u00e9rieuses<\/h3>\n

Venons-en \u00e0 notre somme monstrueuse, et appelons la S.<\/p>\n

S = 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …<\/span><\/p>\n

Cette fois ci, la somme n’oscille plus : elle file carr\u00e9ment vers l’infini \u00e0 grande vitesse ! Et pourtant voici ce que l’on peut faire : prenons la somme S et retirons-lui la somme B<\/p>\n

S – B = (1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …) – (1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …)
\n<\/span><\/p>\n

Vous voyez que les termes impairs se compensent et que les termes pairs sont doubl\u00e9s, on a donc<\/p>\n

S – B = 2 * (2 + 4 + 6 + 8 + …) = 4 * (1 + 2 + 3 + 4 + …)<\/span><\/p>\n

et ici \u00e0 droite on reconnait entre parenth\u00e8ses notre somme S ! On a donc<\/p>\n

S = B + 4S<\/span><\/p>\n

ou encore S = -B\/3. Comme on a vu que B = 1\/4, on arrive donc au r\u00e9sultat tant attendu<\/p>\n

S = – 1\/12.\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 CQFD !<\/span><\/p>\n

Cela peut vous para\u00eetre choquant, vous pouvez chercher la faille, ou vous imaginer que l’on peut d\u00e9montrer n’importe quoi de ce genre en tripotant des sommes infinies. Eh bien non, si on respecte quelques r\u00e8gles \u00e9l\u00e9mentaires, quelle que soit la mani\u00e8re dont on s’y prend, on trouve que si on veut affecter une valeur finie \u00e0 cette somme monstrueuse, alors -1\/12 est l’unique valeur qui colle<\/strong>.<\/p>\n

Tout cela a-t-il un sens ?<\/h3>\n

\"singe\"<\/a>Du point de vue strictement math\u00e9matique, on peut donner un sens formel bien d\u00e9fini \u00e0 ces calculs. Il suffit juste de g\u00e9n\u00e9raliser un peu la notion de somme infinie. Ce qui est plus dr\u00f4le, c’est que cette somme infinie bizarre joue aussi un r\u00f4le important en physique th\u00e9orique.<\/strong><\/p>\n

Pour ma part, je l’ai crois\u00e9e pour la premi\u00e8re fois lors d’une \u00e9tude sur l’effet Casimir<\/strong>. Cet effet (qui n’a rien \u00e0 voir avec l’\u00eele aux Enfants) a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9dit par le physicien hollandais Hendrik Casimir, et pr\u00e9voit que deux plaques parall\u00e8les conductrices plac\u00e9es dans le vide vont s’attirer \u00e0 cause des fluctuations de l’\u00e9nergie du vide (\u00e9nergie dont je parlais dans ce billet<\/a>).<\/p>\n

Et pour calculer la force subie par les plaques, on utilise l’\u00e9galit\u00e9 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1\/12 ! <\/strong>Et \u00e7a marche, car cette force a \u00e9t\u00e9 mesur\u00e9e exp\u00e9rimentalement !
\n<\/strong><\/p>\n

\"string<\/a>Mais il existe une autre branche de la physique o\u00f9 cette \u00e9galit\u00e9 joue un r\u00f4le essentiel, il s’agit de la fameuse th\u00e9orie des cordes<\/strong>. Comme vous le savez peut-\u00eatre, cette th\u00e9orie affirme nous vivons dans un monde \u00e0 26 dimensions (ou 10 ou 11, c’est selon). Les cordistes aiment dire que c’est ce que \u00ab\u00a0pr\u00e9dit\u00a0\u00bb la th\u00e9orie, mais la r\u00e9alit\u00e9 est un peu diff\u00e9rente : ce nombre de dimensions n’est pas une pr\u00e9diction de la th\u00e9orie, mais plut\u00f4t un pr\u00e9requis pour que la th\u00e9orie ait math\u00e9matiquement un sens.<\/p>\n

J’ai d\u00e9j\u00e0 eu l’occasion d’\u00e9voquer cette histoire (dans ce billet<\/a>), mais en gros ce qu’il faut savoir, c’est que si vous essayez de construire une th\u00e9orie des cordes en dimension D=4, \u00e7a ne marche pas, car on trouve plein d’infinis partout. On pourrait \u00eatre tent\u00e9s d’abandonner l’id\u00e9e, sauf qu’un jour quelqu’un a remarqu\u00e9 que les infinis disparaissaient si on choisissait D=26. Et c’est comme \u00e7a que les th\u00e9oriciens des cordes, pour sauver leur belle th\u00e9orie, ont d\u00e9cid\u00e9 de se placer en dimension D=26 et de continuer l’aventure comme si de rien n’\u00e9tait.<\/p>\n

Mais au fait, pourquoi D = 26 est-elle la dimension magique dans laquelle la th\u00e9orie marche sans que les infinis apparaissent ?<\/strong> Si on fait le d\u00e9tail du calcul, on trouve que le terme infini qui fout le bazar est en fait proportionnel \u00e0<\/p>\n

\\(\\left[1 + \\frac{D-2}{2}(1+2+3+4+5+6+7+…)\\right]\\)<\/p>\n

or si vous observez cette \u00e9quation deux minutes, et que vous admettez que 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1\/12, vous remarquez que tout ce terme devient nul pour D=26, et les infinis disparaissent de la th\u00e9orie !<\/strong> Voil\u00e0 d’o\u00f9 vient le nombre magique, appel\u00e9 \u00ab\u00a0dimension critique\u00a0\u00bb. (Pour les esprits pointilleux, j’ai racont\u00e9 ici le calcul tel qu’il se pr\u00e9sente pour la th\u00e9orie dite des \u00ab\u00a0cordes bosoniques\u00a0\u00bb, qui est la plus simple. On sait depuis longtemps que cette th\u00e9orie ne fonctionne pas pour d’autres raisons, et on favorise plut\u00f4t les th\u00e9ories \u00ab\u00a0supersym\u00e9triques\u00a0\u00bb pour lesquels le nombre magique de dimensions est 10, mais l’id\u00e9e est la m\u00eame.)<\/p>\n

Pour les plus courageux, je propose deux pistes pour aller plus loin : l’une est math\u00e9matique (et parle de la d\u00e9finition formelle de ces sommes infinies pas si infinies), l’autre est physique et parle de l’effet Casimir, et nous donne une vision amusante sur ce que signifie vraiment ce -1\/12.<\/p>\n

\n

Pour aller plus loin : une justification math\u00e9matique<\/em><\/h3>\n

Si vous n’\u00eates pas convaincus qu’assigner des valeurs finies \u00e0 ces sommes infinies peut avoir un sens, voici quelques \u00e9l\u00e9ments sur le formalisme math\u00e9matique sous-jacent.<\/em><\/p>\n

Si on consid\u00e8re une suite \\((a_n)\\), on dit g\u00e9n\u00e9ralement que la s\u00e9rie \\(\\sum a_n\\) est (simplement) convergente si on peut assigner une limite \u00e0 la suite des sommes partielles.<\/em><\/p>\n

\\(s_n = \\sum_{i=0}^{n} a_i\\)<\/em><\/p>\n

Pour les suites \\((a_n)\\) pour lesquelles la s\u00e9rie est simplement convergente, appelons \\(\\sum\\) l’op\u00e9rateur qui associe la limite de la suite des sommes partielles.<\/em> Mais il existe plein de\u00a0\\((a_n)\\)<\/em> pour lesquelles cette condition n’est pas v\u00e9rifi\u00e9e, et les 3 exemples de ce billet en font partie.\u00a0<\/em><\/p>\n

La question que l’on peut se poser est : existe-t-il une g\u00e9n\u00e9ralisation de l’op\u00e9rateur \\(\\sum\\) qui soit d\u00e9finie sur un ensemble plus large que les s\u00e9ries simplement convergentes<\/strong>, mais qui bien s\u00fbr co\u00efncide avec \\(\\sum\\) sur cet ensemble. Petite contrainte, on ne veut pas de n’importe quel op\u00e9rateur, on cherche un op\u00e9rateur lin\u00e9aire, c’est-\u00e0-dire que si on additionne deux suites, les \u00ab\u00a0sommes\u00a0\u00bb s’additionnent (et pareil avec la multiplication par un scalaire). C’est parce qu’on demande ces conditions de lin\u00e9arit\u00e9 que les manipulations propos\u00e9es dans ce billet sont correcte, et montrent que si on arrive \u00e0 trouver un op\u00e9rateur lin\u00e9aire qui est d\u00e9finit pour 1 + 2 + 3 + 4 + … alors la valeur que cet op\u00e9rateur doit affecter cette somme ne peut pas \u00eatre autre chose que -1\/12.
\n<\/em><\/p>\n

Pour illustrer cette id\u00e9e d’op\u00e9rateur qui g\u00e9n\u00e9ralise \\(\\sum\\), une solution possible est d’utiliser la convergence dite \u00ab\u00a0de Cesaro\u00a0\u00bb. Ce dernier a propos\u00e9 que l’on associe \u00e0 une suite \\((a_n)\\) le nombre qui soit la limite de la moyenne de ses sommes partielles. On d\u00e9finit donc l’op\u00e9rateur
\n<\/em><\/p>\n

\\(C(\\{a_n\\}) = \\lim \\frac{s_1 + s_2 + … + s_N}{N}\\)<\/em><\/p>\n

L’op\u00e9rateur \\(C\\) <\/em>g\u00e9n\u00e9ralise \\(\\sum\\)<\/em> mais co\u00efncide avec lui pour les s\u00e9ries simplement convergentes. La g\u00e9n\u00e9ralisation permet ainsi de calculer 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … C’est ce qui se cachait derri\u00e8re l’id\u00e9e de \u00ab\u00a0la somme oscille entre 0 et 1\u00a0\u00bb.
\n<\/em><\/p>\n

Autre extension encore plus g\u00e9n\u00e9rale, la convergence d’Abel, o\u00f9 l’on d\u00e9finit l’op\u00e9rateur A de la mani\u00e8re suivante<\/em><\/p>\n

\\(A(\\{a_n\\}) = \\lim_{x\\to1^-} \\sum_n a_n x^n\\)<\/em><\/p>\n

Dans le deuxi\u00e8me exemple que j’ai donn\u00e9, on peut se convaincre que la valeur 1\/4 est obtenue comme convergence au sens d’Abel de la s\u00e9rie enti\u00e8re de \\(\\frac{1}{1+x^2}\\).<\/em><\/p>\n

Pour la somme 1+2+3+4+5+…, il faut chercher encore plus g\u00e9n\u00e9ral si on veut donner une justification formelle. On peut par exemple utiliser ce qu’on appelle la r\u00e9gularisation par la fonction zeta de Riemann
\n<\/em><\/p>\n

\\(\\lim_{s\\to 0} \\sum a_n n^{-s}\\)<\/em><\/p>\n

Dans le cas de la suite \\(a_n=n\\), on obtient donc<\/em><\/p>\n

\\(\\lim_{s\\to 0} \\sum n^{1-s} = \\lim_{s\\to 0} \\zeta(s-1)\\)<\/em><\/p>\n

La limite de cette expression correspond alors la fameuse fonction zeta de Riemann, \u00e9valu\u00e9e en -1, et pour laquelle il existe un prolongement analytique qui vaut justement -1\/12.<\/em><\/p>\n

Bon assez de maths, passons \u00e0 la physique !<\/em><\/p>\n

Pour aller plus loin : une justification physique<\/em><\/h3>\n

\"500px-Casimir_plates.svg\"<\/a>Pour ceux qui ne connaissent pas cette bizarrerie, l’effet Casimir pr\u00e9dit que deux plaques conductrices plac\u00e9es dans le vide \u00e0 distance L l’une de l’autre s’attirent avec une force qui d\u00e9croit quand L augmente. Hendrik Casimir a propos\u00e9 cet effet en le justifiant par les variations de l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro du vide situ\u00e9 entre les plaques.<\/em><\/p>\n

On sait que les modes de vibrations du champ \u00e9lectromagn\u00e9tique quantique dans le vide se comportent chacun comme un oscillateur harmonique quantique, et que – contrairement \u00e0 un oscillateur classique – l’\u00e9tat de plus basse \u00e9nergie poss\u00e8de une \u00e9nergie non-nulle. Quand deux plaques sont \u00e0 distance L l’une de l’autre, \u00e0 cause des conditions aux limites les modes du champ qui peuvent exister entre elles sont restreints aux longueurs d’ondes qui sont des fractions enti\u00e8res de L. Si on ne consid\u00e8re qu’une dimension d’espace, l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro du mode \\(n\\) est \u00e9gale \u00e0<\/em><\/p>\n

\\(E_n = \\frac{1}{2} \\hbar c \\frac{n\\pi}{L}\\)<\/em><\/p>\n

Si on somme sur tous les modes, on a donc l’\u00e9nergie de point z\u00e9ro totale en fonction de la distance entre les plaques \\(L\\) qui est \u00e9gale \u00e0<\/em><\/p>\n

\\(E(L) = \\frac{1}{2} \\hbar c \\frac{\\pi}{L} \\left(\\sum_n n\\right)\\)<\/em><\/p>\n

Si on ne veut pas trop r\u00e9fl\u00e9chir, on peut utiliser la formule magique \\(\\sum_n n = -1\/12\\), et sortir <\/em><\/p>\n

\\(E(L) = – \\frac{1}{24} \\hbar c \\frac{\\pi}{L}\\)<\/em><\/p>\n

On peut ensuite en tirer la force\u00a0 qui s’exerce sur la plaque en d\u00e9rivant l’\u00e9nergie par rapport \u00e0 L.<\/em><\/p>\n

\\(F(L) = \\frac{1}{24} \\hbar c \\frac{\\pi}{L^2}\\)<\/p>\n

Mais si utiliser l’\u00e9galit\u00e9 \\(\\sum_n n = -1\/12\\)<\/em> vous pose probl\u00e8me, on peut chercher une justification plus physique. Quand les plaques sont \u00e0 distance \\(L\\) l’\u00e9nergie qu’on vient de calculer semble infinie. Mais si on \u00e9loigne les plaques \u00e0 grande distance, il y a toujours une \u00e9nergie volumique associ\u00e9e aux modes du champs \u00e9lectromagn\u00e9tique. La diff\u00e9rence est que dans cette situation les modes ne sont plus quantifi\u00e9s. Il faut donc essentiellement remplacer \\(\\sum_n n\\) par \\(\\int x dx\\). On obtient l\u00e0 aussi quelque chose d’infini, mais d’un peu plus gros. Maintenant si on prend cette situation comme point de r\u00e9f\u00e9rence et qu’on s’amuse \u00e0 faire la diff\u00e9rence entre les deux situations (plaques \u00e0 distance L et plaques \u00ab\u00a0tr\u00e8s loin\u00a0\u00bb) on trouve<\/em><\/p>\n

\\(\\Delta E(L) = \\frac{1}{2} \\hbar c \\frac{\\pi}{L} \\left(\\sum_n n – \\int_0^{+\\infty} x\\ dx\\right)\\)<\/em><\/p>\n

On soustrait donc deux infinis…comment faire ? <\/em><\/p>\n

Il se trouve qu’on est sauv\u00e9s par une formule math\u00e9matique bien pratique, que l’on croise dans les cours d’analyse en licence, et qui s’appelle la formule d’Euler-MacLaurin<\/strong>. Cette formule permet d’estimer la diff\u00e9rence entre une somme discr\u00e8te sur une fonction et l’int\u00e9grale correspondante. Elle dit notamment que pour une fonction \\(f\\)<\/em><\/p>\n

\\(\\sum_n f(n) – \\int_0^{+\\infty} f(x) dx = \\frac{1}{2} f(0) – \\frac{1}{12} f'(0) + …\\)<\/p>\n

o\u00f9 je vous \u00e9pargne les termes li\u00e9s aux d\u00e9riv\u00e9es d’ordre sup\u00e9rieur. Ce qu’il y a d’amusant, c’est que si on applique (ill\u00e9galement) cette formule pour la fonction f(x)=x, on trouve<\/em><\/p>\n

\\(\\left(\\sum_n n – \\int x\\ dx\\right) = – 1\/12 \\)<\/em><\/p>\n

Et on retombe bien sur l’\u00e9nergie de Casimir. <\/em><\/p>\n

Personnellement je trouve que ce calcul nous \u00e9claire sur l’origine profonde de -1\/12<\/strong>. En fait la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … est bien infinie, mais -1\/12 est ce qui la s\u00e9pare de \\(\\int x dx\\)\u00a0 qui est aussi infini, est que l’on peut voir comme une base que l’on soustrait. Dans le cas de Casimir, il s’agit bien d’ailleurs du niveau \u00e9nerg\u00e9tique \u00ab\u00a0de base\u00a0\u00bb, quand les plaques sont tr\u00e8s \u00e9loign\u00e9es.<\/em><\/p>\n

Autre mani\u00e8re de le dire, on trouve que 1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais \u00e9gal \u00e0 -1\/12, modulo \\(\\int x dx\\).<\/em><\/p>\n

Vous avez tenu jusque l\u00e0, je vous f\u00e9licite ! Promis un jour je ferai un billet compr\u00e9hensible sur l’effet Casimir !<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Les math\u00e9maticiens sont parfois un peu f\u00eal\u00e9s. En tout cas ils aiment bien essayer de repousser les limites de notre compr\u00e9hension, quitte \u00e0 d\u00e9fier le sens commun. Prenez par exemple la somme suivante : 1+2+3+4+5+6+7… et ainsi de suite. Combien vaut cette somme ? Je pense que n’importe quel \u00e9colier cens\u00e9 r\u00e9pondrait \u00ab\u00a0l’infini\u00a0\u00bb. Eh bien<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[74,22,42,92],"class_list":{"0":"post-4769","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-analyse","8":"tag-infini","9":"tag-mecanique-quantique","10":"tag-theorie-des-cordes"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4769","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4769"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4769\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4769"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4769"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4769"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}