{"id":4436,"date":"2013-04-01T02:30:19","date_gmt":"2013-04-01T00:30:19","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=4436"},"modified":"2013-04-01T02:30:19","modified_gmt":"2013-04-01T00:30:19","slug":"les-courbes-remplissantes-ou-comment-faire-un-coloriage-avec-un-crayon-ponctuel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2013\/04\/01\/les-courbes-remplissantes-ou-comment-faire-un-coloriage-avec-un-crayon-ponctuel\/","title":{"rendered":"Les courbes remplissantes (ou comment faire un coloriage avec un crayon ponctuel)"},"content":{"rendered":"

\"pencil\"<\/a>Ma fille n’aime pas quand les crayons de couleur sont taill\u00e9s trop fins. Ben oui quoi, apr\u00e8s c’est plus long pour colorier ! J’ai beau lui expliquer que gr\u00e2ce aux courbes remplissantes, on peut toujours tout colorier m\u00eame avec un crayon infiniment fin, j’ai l’impression que l’argument ne passe pas.<\/p>\n

Et pourtant, nous allons voir dans ce billet que l’on peut effectivement trouver des courbes qui remplissent totalement une surface en passant par tous ses points.<\/p>\n

Et tant pis si \u00e7a va \u00e0 l’encontre de l’intuition !<\/p>\n

Pourquoi cela nous parait impossible<\/h3>\n

\"carre\u0301<\/a>Alors allons-y, essayons de relever le d\u00e9fi : trouver une courbe qui colorie compl\u00e8tement un carr\u00e9<\/strong>. Cela parait bien difficile, car tout le monde sait qu’en math\u00e9matiques, les lignes n’ont pas d’\u00e9paisseur. Dans ces conditions, on a bien envie de penser que la surface recouverte par une courbe est toujours nulle. On n’est pas pr\u00eat d’arriver \u00e0 recouvrir tout un carr\u00e9.<\/p>\n

D’ailleurs, une courbe est un objet de dimension 1, alors qu’un carr\u00e9 est de dimension 2. On voit bien que \u00e7a ne peut pas marcher ! Une autre mani\u00e8re de le dire, c’est de compter le nombre de points sur un segment et un carr\u00e9. Certes sur le segment, il y en a une infinit\u00e9. Mais dans le carr\u00e9, on sent bien qu’il y a une infinit\u00e9 de fois plus de points que dans un segment<\/strong> ! Et pourtant…<\/p>\n

La construction de Cantor<\/h3>\n

A la fin du XIX\u00e8me si\u00e8cle, le math\u00e9maticien allemand Georg Cantor a d\u00e9cid\u00e9 de s’attaquer \u00e0 la notion d’infini (voir \u00e0 ce sujet cet \u00e9pisode de Podcast Science<\/a>). En 1878, il essaye justement de d\u00e9montrer qu’un carr\u00e9 contient beaucoup plus de points qu’un segment : m\u00eame s’ils sont tous les deux infinis, il sent bien qu’il y en a un qui est plus gros que l’autre. Mais \u00e0 sa propre surprise, il d\u00e9montre le contraire : un segment et un carr\u00e9 contiennent autant de points l’un que l’autre<\/strong> !<\/p>\n

Pour d\u00e9montrer cela, il suffit de montrer qu’\u00e0 tout point du segment on peut associer un unique point du carr\u00e9, et r\u00e9ciproquement<\/strong>. Et c’est ce que fait Cantor ! Voici la correspondance qu’il imagine. Un point sur un segment est repr\u00e9sent\u00e9 par un nombre r\u00e9el \\(t\\) compris entre 0 et 1. Un point dans un carr\u00e9 est repr\u00e9sent\u00e9 par 2 nombres \\(x\\) et \\(y\\) compris entre 0 et 1 (ses coordonn\u00e9es).<\/p>\n

Cantor propose alors la chose suivante : \u00e9crire \\(t\\) en \u00e9criture d\u00e9cimale, et construire \\(x\\) et \\(y\\) en s\u00e9lectionnant les d\u00e9cimales en positions impaires et paires respectivement. Voici un exemple d\u00e9taill\u00e9 :<\/p>\n

\"cantor\"<\/a><\/p>\n

Je vous laisse vous convaincre qu’avec ce proc\u00e9d\u00e9, \u00e0 tout nombre \\(t\\) du segment on associe un unique point du carr\u00e9, et r\u00e9ciproquement !<\/strong> Nous avons donc bien d\u00e9montr\u00e9 que le segment contient autant de points que le carr\u00e9.<\/p>\n

Les courbes fractales de Peano<\/h3>\n

La construction exhib\u00e9e par Cantor montre d\u00e9finitivement qu’un carr\u00e9 n’est pas \u00ab\u00a0plus gros\u00a0\u00bb qu’un segment. Et pourtant en tant que tel, cela ne constitue pas une preuve du fait qu’on peut colorier un carr\u00e9 avec une courbe. Ce qu’il manque, c’est la continuit\u00e9 ! En effet la correspondance \u00e9tablie par Cantor n’est pas continue comme le serait une vraie courbe. Avec l’application de Cantor, deux points du segment tr\u00e8s voisins seront envoy\u00e9s sur des endroits du carr\u00e9 tr\u00e8s diff\u00e9rents. On ne peut donc pas dessiner la correspondance de Cantor sans lever la main<\/strong> !<\/p>\n

Toutefois, puisque Cantor a fait tomber le principal obstacle psychologique \u00e0 la d\u00e9couverte d’une courbe remplissant le carr\u00e9, la solution viendra quelques ann\u00e9es plus tard sous la plume de l’italien Peano. Ce dernier propose en effet de construire une courbe qui remplit tout un carr\u00e9, et ce par \u00e9tapes successives. Le dessin ci-dessous montre les trois premi\u00e8res \u00e9tapes du processus<\/p>\n

\"Courbe<\/a><\/p>\n

\"Courbe<\/a><\/p>\n

En poursuivant le processus \u00ab\u00a0\u00e0 l’infini\u00a0\u00bb, on obtient une courbe qui passe par tous les points du carr\u00e9<\/strong> ! On appelle cela une courbe remplissante<\/strong>. Certains d’entre vous reconnaitront peut \u00eatre ici le principe des fractales<\/strong> : on part d’un motif, puis on le r\u00e9p\u00e8te \u00e0 l’\u00e9chelle inf\u00e9rieure, puis \u00e0 nouveau et ainsi de suite. (Pour ceux que cette mani\u00e8re de construire les courbes chiffonne, j’y reviendrai dans mon \u00ab\u00a0Pour aller plus loin…\u00a0\u00bb)<\/em><\/p>\n

A la suite de la d\u00e9couverte de la courbe de Peano, de nombreux autres math\u00e9maticiens proposeront des courbes remplissantes bas\u00e9es sur le principe des fractales. La courbe de Hilbert est une des plus connues, ainsi que la courbe de Lebesgue repr\u00e9sent\u00e9e ci-contre, et dont le principe est de faire une construction fractale \u00e0 partir d’un motif en Z.<\/p>\n

Ah petit d\u00e9tail pour ceux qui aiment les maths, ces courbes sont d’une esp\u00e8ce tout-\u00e0-fait exotique : elles sont continues partout mais d\u00e9rivables nulle-part !<\/strong> En gros tout point de la courbe est un angle…\u00e9tonnant non ?<\/p>\n

Bref, si vous voulez colorier un carr\u00e9 avec un crayon infiniment fin, c’est possible : choisissez la trajectoire d’une de ces courbes remplissantes. Une fois de plus vous constatez qu’en math\u00e9matique, il ne faut pas toujours se fier \u00e0 l’intuition, sp\u00e9cialement quand il est question d’infini ! Toutefois les courbes remplissantes ne sont pas qu’un divertissement pour math\u00e9maticiens amateurs de paradoxes, il s’agit aussi d’un outil utile dans certains domaines comme la r\u00e9duction de donn\u00e9es. Avec la trajectoire d’une courbe remplissante, vous pouvez en effet parcourir de mani\u00e8re efficace un espace multidimensionnel.<\/p>\n

Pour aller plus loin : expression analytique des courbes remplissantes<\/em><\/h3>\n

La premi\u00e8re fois que j’ai lu la description de la fameuse courbe de Peano, j’ai \u00e9t\u00e9 fort d\u00e9\u00e7u ! En effet cette construction graphique \u00e0 faire \u00ab\u00a0\u00e0 l’infini\u00a0\u00bb ne para\u00eet pas tr\u00e8s rigoureuse. Est-ce que la limite existe vraiment ? Est-ce qu’on est s\u00fbr que l’on va bien passer par tous les points ? Heureusement pour moi, Peano partageait les m\u00eames craintes. Et pour \u00e9viter tout biais li\u00e9 \u00e0 l’utilisation des dessins, son article d’origine est purement analytique, et ne comporte absolument aucune figure<\/strong>. Il existe donc bien une expression analytique de la courbe de Peano, formul\u00e9e d’une mani\u00e8re analogue \u00e0 la construction de Cantor que j’ai pr\u00e9sent\u00e9 ci-dessus.<\/em><\/p>\n

\"Peano<\/a>Voici comment proc\u00e9der : comme pour l’application de Cantor, on veut qu’\u00e0 tout nombre \\(t \\in [0;1]\\) on associe \\((x,y) \\in [0;1]^2\\). Pour comprendre comment faire cela, choisissez mentalement un nombre \\(t\\), par exemple 0.31, et observez les figures des \u00e9tapes de construction de la courbe de Peano. On va essayer de localiser le couple \\((x,y)\\) correspondant en proc\u00e9dant par approximations successives.<\/em><\/p>\n

Premi\u00e8rement, divisez mentalement l’image par trois traits verticaux, comme sur le dessin ci-contre. Pour la valeur de \\(t\\) qu’on a choisi, on va essayer de savoir dans lequel des 3 tiers verticaux on va tomber. Puisque la courbe parcours ces 3 panneaux verticaux l’un apr\u00e8s l’autre, en r\u00e9fl\u00e9chissant un tout petit peu, vous pouvez vous rendre compte que cela d\u00e9pend de si votre nombre \\(t\\) est compris entre 0 et 1\/3, ou bien entre 1\/3 et 2\/3, ou finalement entre 2\/3 et 1. Pour t=0.31, on est entre 0 et 1\/3 donc on sera dans le premier panneau vertical.
\n<\/em><\/p>\n

Une fois que vous avez fait cela, on divise l’image en 3 par des traits horizontaux, et on va se demander dans lequel des 3 panneaux horizontaux on arrive pour notre valeur de \\(t\\). Pour cela, on part du segment dans lequel on vient de se trouver (pour t=0.31, c’est le segment 0-1\/3), on le divise lui m\u00eame en 3 tiers et on regarde dans quel tiers on tombe. Ici les 3 tiers seront 0-1\/9, 1\/9-2\/9 et 2\/9-3\/9. Pour t=0.31, c’est le 3i\u00e8me tiers. On sera donc dans le 3\u00e8me panneau horizontal (on compte \u00e0 partir du bas). Puisque par ailleurs on est dans le premier panneau horizontal, c’est que pour notre valeur de \\(t=0.31\\) on se situe dans le coin sup\u00e9rieur gauche. Et en r\u00e9p\u00e9tant la proc\u00e9dure, on peut diviser le coin sup\u00e9rieur gauche en 9, et recommencer. Par ce processus it\u00e9ratif, on peut donc localiser avec exactitude le x et le y qui correspondent au t qu’on a choisit. Voyons maintenant comment mettre une formule analytique l\u00e0-dessus.
\n<\/em><\/p>\n

Pour savoir exactement ou se trouve le x et le y associ\u00e9s \u00e0 un t donn\u00e9, il faut donc savoir dans quel tiers t se trouve, puis dans quel tiers du tiers, puis dans quel tiers du tiers du tiers, et ainsi de suite. Le secret de l’expression analytique de la courbe de Peano est donc de faire une \u00ab\u00a0d\u00e9composition en base 3\u00a0\u00bb.<\/em><\/p>\n

Pour cela, rappelons d’abord ce qu’est la d\u00e9composition d\u00e9cimale habituelle en base 10 : elle correspond \u00e0 l’\u00e9criture suivante<\/em><\/p>\n

\\(t=0.a_1a_2a_3a_4… \\ \\ \\leftrightarrow \\ \\ t=\\sum_i \\frac{a_i}{10^i}\\)<\/em><\/p>\n

Partant de l\u00e0, on peut facilement fabriquer la d\u00e9composition d\u00e9cimale en n’importe quelle autre base que 10, par exemple 3<\/em><\/p>\n

\\(t=0\\underset{3}{.} b_1b_2b_3b_4… \\ \\ \\leftrightarrow \\ \\ t=\\sum_i \\frac{b_i}{3^i}\\)<\/em><\/p>\n

Vous remarquerez la bizarre notation \\(\\underset{3}{.}\\) qui est le point \u00ab\u00a0d\u00e9cimal\u00a0\u00bb en base 3. Dans cette notation, les nombres \\(b_i\\) valent donc tous 0, 1 ou 2. Donc prenez votre \\(t\\), et d\u00e9composez le en base d\u00e9cimale 3, vous obtenez donc une suite de nombres \\(b_i\\) qui caract\u00e9risent parfaitement t. <\/em><\/p>\n

Si on voulait imiter la construction de Cantor, on ferait la m\u00eame chose en s\u00e9parant les d\u00e9cimales paires et impaires pour construire x et y. On obtiendrait ceci :<\/em><\/p>\n

\\(x = 0\\underset{3}{.} b_1 b_3 b_5… y = 0\\underset{3}{.} b_2 b_4… \\)<\/em><\/p>\n

En fait \u00e7a ne marche pas tel quel. Il faut ajouter une petite subtilit\u00e9 qui je crois est li\u00e9 au fait que le motif de base de la courbe de Peano se r\u00e9p\u00e8te \u00e0 toutes les \u00e9chelles, mais il peut \u00eatre tourn\u00e9 de 90\u00b0 ou invers\u00e9 comme dans un miroir. Pour tenir compte de cet effet, il y a une petite subtilit\u00e9 \u00e0 introduire. <\/em><\/p>\n

On note K l’op\u00e9rateur qui a un nombre \\(b\\) valant 0,1 ou 2 associe \\(2-b\\). On note \\(K^n\\) l’op\u00e9rateur \\(K\\) compos\u00e9 n fois avec lui m\u00eame. Voici enfin la d\u00e9finition purement analytique de la construction de Cantor :<\/em><\/p>\n

\\(x = 0\\underset{3}{.} b_1(K^{a_2}b_3)(K^{a_2+a_4}b_5)… y = 0\\underset{3}{.}(K^{a_1}b_2)(K^{a_1+a_3}b_4)…\\)<\/em><\/p>\n

Pour ceux \u00e0 qui cette construction fait mal \u00e0 la t\u00eate, je vous propose un cas encore plus simple de courbe remplissante poss\u00e9dant une expression analytique, il s’agit de la courbe de Schoenberg<\/strong>. Elle est tr\u00e8s proche de la courbe de Lebesgue et s’exprime comme une simple s\u00e9rie. Voici son expression analytique que je pique directement dans ce papier de H. Sagan<\/a>. Ah oui amusant, cette courbe est elle-aussi continue partout, mais elle est d\u00e9rivable \u00ab\u00a0presque partout\u00a0\u00bb…(alors que celle de Lebesgue n’est d\u00e9rivable nulle part, allez comprendre…)\"schoenberg<\/a><\/em><\/p>\n

D’autres exemples de courbes remplissantes chez ElJJ<\/a><\/p>\n

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Ma fille n’aime pas quand les crayons de couleur sont taill\u00e9s trop fins. Ben oui quoi, apr\u00e8s c’est plus long pour colorier ! J’ai beau lui expliquer que gr\u00e2ce aux courbes remplissantes, on peut toujours tout colorier m\u00eame avec un crayon infiniment fin, j’ai l’impression que l’argument ne passe pas. Et pourtant, nous allons voir<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[58,22,36],"class_list":{"0":"post-4436","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-geometrie","8":"tag-infini","9":"tag-paradoxe"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4436","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4436"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4436\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4436"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4436"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4436"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}