{"id":4261,"date":"2013-03-04T00:01:49","date_gmt":"2013-03-03T23:01:49","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=4261"},"modified":"2013-03-04T00:01:49","modified_gmt":"2013-03-03T23:01:49","slug":"sans-einstein-pas-de-gps","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2013\/03\/04\/sans-einstein-pas-de-gps\/","title":{"rendered":"Sans Einstein, pas de GPS ! [Quoique…]"},"content":{"rendered":"

\"einstein<\/a>En ce moment o\u00f9 l’on parle beaucoup de valorisation de la recherche, le grand public peut parfois s’interroger sur les retomb\u00e9es technologiques de certaines recherches tr\u00e8s fondamentales.<\/p>\n

Et pourtant les exemples ne manquent pas, \u00e0 commencer par la m\u00e9canique quantique sans laquelle l’\u00e9lectronique et l’informatique n’existeraient pas\u00a0!<\/p>\n

Mais aujourd’hui, je voudrais \u00e9voquer le cas de la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale<\/strong>. Car cette th\u00e9orie – qui nous permet de comprendre ce qu’est un trou noir ou comment s’est d\u00e9roul\u00e9 le big-bang – joue un r\u00f4le essentiel dans le fonctionnement du GPS.<\/p>\n

[Edit du 25\/04\/2013 : Suite \u00e0 une discussion en commentaire, on m’a fait remarquer que la m\u00e9thode actuelle de compensation des horloges GPS n’utilise en fait PAS les formules issues des th\u00e9ories d’Einstein. Si le fait que les effets relativistes ‘perturbent’ le GPS est incontestable, il est donc faux de dire que sans la relativit\u00e9 le GPS ne pourrait pas fonctionner. Il s’agirait donc d’une l\u00e9gende urbaine que j’ai honteusement contribu\u00e9 \u00e0 propager. Mais que ca ne vous emp\u00eache pas d’\u00e9tudier la physique de la chose !]<\/span><\/em><\/p>\n

Le principe du GPS<\/h3>\n

Pour expliquer comment marche un GPS, nous allons en imaginer une version avec des pigeons\u00a0! Supposons que vous rentriez tranquillement chez vous apr\u00e8s une visite chez un ami qui habite \u00e0 500 km de chez vous. Vous \u00eates en v\u00e9lo, alors \u00e7a prend du temps\u00a0!<\/p>\n

Soudain un pigeon voyageur vous arrive, envoy\u00e9 par votre ami. Le pigeon vous apporte le message suivant\u00a0: \u00ab\u00a0A l’heure o\u00f9 j’\u00e9cris ces lignes, il est 10h\u00a0\u00bb<\/em>. Or vous regardez votre montre et constatez qu’il est actuellement 18h. Le pigeon est donc parti il y a 8 heures. Comme vous savez qu’un pigeon voyageur vole \u00e0 environ 50km\/h, vous pouvez en d\u00e9duire que vous vous trouvez \u00e0 400km de chez votre ami, et donc \u00e0 100 km de chez vous.<\/p>\n

\"GPS<\/a><\/p>\n

Cet exemple simpliste illustre le principe du GPS\u00a0: si on re\u00e7oit un message dont on sait d’o\u00f9 et quand il est parti, on peut en d\u00e9duire o\u00f9 on se trouve<\/strong>, <\/strong>\u00e0 condition de conna\u00eetre sa vitesse de transmission.<\/p>\n

La triangulation<\/h3>\n

Dans mon exemple pr\u00e9c\u00e9dent, pour calculer la position j’ai suppos\u00e9 que l’on \u00e9tait rest\u00e9 sur la ligne droite qui s\u00e9pare les deux villes. Mais si on d\u00e9rive, alors un seul pigeon ne suffit plus\u00a0!<\/p>\n

\"triangulation\"<\/a>Imaginons qu’au m\u00eame moment vous receviez en plus du message pr\u00e9c\u00e9dent un autre pigeon exp\u00e9di\u00e9 de votre ville de destination, et dont le message affirme \u00ab\u00a0Ici il est 14h\u00a0\u00bb<\/em>. Puisqu’il est actuellement 18h vous en d\u00e9duisez que vous \u00eates \u00e0 200 km de l’arriv\u00e9e.<\/p>\n

Vous \u00eates donc pr\u00e9cis\u00e9ment \u00e0 400km de d\u00e9part et 200km de l’arriv\u00e9e. Pour trouver votre position exacte, il suffit de tracer des cercles centr\u00e9s sur les villes <\/strong>comme l’illustre le sch\u00e9ma ci-contre. C’est le principe de la triangulation.<\/strong><\/p>\n

Comme vous le voyez sur le dessin, il existe deux endroits possibles, et pour savoir lequel des deux est le bon, il faudrait utiliser un troisi\u00e8me pigeon partant d’une troisi\u00e8me ville. D’ailleurs dans mon exemple, j’ai utilis\u00e9 comme ville de base des pigeons le d\u00e9part et l’arriv\u00e9e, mais \u00e7a n’est absolument pas n\u00e9cessaire. Tant qu’on sait d’o\u00f9 partent les pigeons, si on connait leur distance parcourue on peut trianguler notre position.<\/p>\n

\"GPS-constellation\"<\/a>Le vrai GPS<\/h3>\n

Laissons maintenant de c\u00f4t\u00e9 les pigeons, et int\u00e9ressons nous au v\u00e9ritable GPS. Celui-ci est constitu\u00e9 d’une flotte de 24 satellites qui orbitent autour de la Terre \u00e0 une altitude d’environ 20000 km<\/strong>.<\/p>\n

Ils effectuent exactement 2 tours par jour au-dessus de nos t\u00eates. O\u00f9 vous que vous soyez sur le globe, vous \u00eates en vue directe d’au moins 4 de ces satellites, et g\u00e9n\u00e9ralement plut\u00f4t d’une dizaine.<\/p>\n

Chaque satellite contient une horloge atomique, et \u00e9met en permanence des messages<\/strong> sous formes d’ondes. Si on imagine que comme pour le pigeon, ces messages contiennent leur heure d’\u00e9mission, alors connaissant la vitesse de transmission des ondes (qui est celle de la lumi\u00e8re), on peut trianguler notre position et se situer par rapport aux satellites<\/strong>. C’est ce que fait votre petit boitier de GPS\u00a0!<\/p>\n

Le probl\u00e8me de la pr\u00e9cision<\/h3>\n

\"cesium<\/a>Je vous l’ai dit, chaque satellite contient une horloge atomique ultra-pr\u00e9cise, comme celle repr\u00e9sent\u00e9e ci-contre. Ces horloges sont difficiles \u00e0 fabriquer, alors on peut se demander pourquoi on a besoin d’une telle pr\u00e9cision <\/strong>pour notre GPS ! Eh bien faisons le calcul.<\/p>\n

Revenons un instant au pigeon. Quand vous recevez un message \u00ab\u00a0Il est 10h\u00a0\u00bb et qu’il est 18h, vous savez que vous \u00eates \u00e0 400 km du point d’\u00e9mission. Imaginez que le message que vous receviez soit \u00ab\u00a0Euh…l\u00e0 c’est le matin\u00a0\u00bb<\/em>. C’est beaucoup moins pr\u00e9cis ! Si vous vous dites qu’il \u00e9tait entre 8h et 12h quand le pigeon est parti, cela signifie que vous \u00eates quelque part entre 300 et 500km du d\u00e9part. La pr\u00e9cision de votre positionnement d\u00e9pend directement de celle du timing du message !<\/strong><\/p>\n

Faisons le m\u00eame calcul \u00e0 l’envers pour le GPS\u00a0: le signal se propage \u00e0 la vitesse de la lumi\u00e8re, soit 300 000 km\/s, et avec un GPS on aimerait pouvoir se situer \u00e0 10 m\u00e8tres pr\u00e8s. Cette distance de 10 m\u00e8tres est parcourue en 30 milliardi\u00e8mes de secondes par le signal : l’horloge doit donc \u00eatre pr\u00e9cise \u00e0 30 nanosecondes<\/strong> ! Et pour atteindre cette pr\u00e9cision dans l’horloge interne du satellite, nous avons besoin d’Einstein\u00a0!<\/p>\n

Les corrections relativistes<\/h3>\n

Pour fabriquer des horloges atomiques pr\u00e9cises \u00e0 30 nanosecondes, il faut comprendre exactement comment le temps s’\u00e9coule. Or avec ses th\u00e9ories de la relativit\u00e9 restreinte et g\u00e9n\u00e9rale, Einstein a d\u00e9couvert que l’\u00e9coulement du temps cache quelques subtilit\u00e9s<\/strong>.<\/p>\n

Premier \u00e9l\u00e9ment \u00e0 prendre en compte\u00a0: le temps est ralenti pour les objets en mouvement<\/strong>. Cet effet a \u00e9t\u00e9 pr\u00e9dit par Einstein \u00e0 partir de sa th\u00e9orie de la relativit\u00e9 restreinte publi\u00e9e en 1905. Nos satellites se d\u00e9placent \u00e0 14000 km\/h sur leur orbite, et on peut calculer qu’ils subissent un ralentissement du temps de 7 microsecondes par jour<\/strong> par rapport \u00e0 nous.<\/p>\n

Le deuxi\u00e8me effet est une cons\u00e9quence de la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale publi\u00e9e par Einstein en 1915\u00a0: le temps s’\u00e9coule plus lentement dans un champ gravitationnel plus intense<\/strong>. Or nos satellites sont en altitude, et l’attraction gravitationnelle qu’ils subissent est environ 20 fois plus faible que la n\u00f4tre. Cet effet fait que leur temps est acc\u00e9l\u00e9r\u00e9 de 45 microsecondes par jour<\/strong> par rapport au n\u00f4tre.<\/p>\n

Si on fait la somme nette de ces deux corrections, le temps qui s’\u00e9coule \u00e0 bord des satellites est acc\u00e9l\u00e9r\u00e9 d’environ 38 microsecondes chaque jour. En multipliant par la vitesse de la lumi\u00e8re, on voit que si on ne prenait pas en compte cet effet, l’indication du GPS se d\u00e9calerait d’environ 10km par jour<\/strong>. Une autre mani\u00e8re de le dire, c’est que le syst\u00e8me GPS aurait fonctionn\u00e9 avec la pr\u00e9cision requise pendant environ seulement 2 minutes apr\u00e8s sa mise en route. Pas terrible pour un \u00e9quipement \u00e0 10 milliards de dollars\u00a0!<\/p>\n

En conclusion, sans les travaux ultra-th\u00e9oriques et fondamentaux d’Einstein au d\u00e9but du 20\u00e8me si\u00e8cle, et sans la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, ses trous noirs et son big-bang, on n’aurait jamais pu fabriquer le GPS\u00a0!<\/p>\n

Pour aller plus loin<\/em><\/h3>\n

Si vous \u00eates un peu observateur, une faille ne vous aura pas \u00e9chapp\u00e9 sur le fonctionnement du GPS tel que je l’ai d\u00e9crit\u00a0: le r\u00e9cepteur devrait lui aussi disposer d’une horloge ultra-pr\u00e9cise pour savoir pr\u00e9cis\u00e9ment \u00e0 quel moment il re\u00e7oit les messages. Or je vous rassure, il n’y a pas d’horloge atomique dans votre GPS\u00a0!<\/em><\/p>\n

Ce qui ce passe, c’est que le GPS utilise le signal d’au moins 4 satellites (au lieu de seulement 3), et triangule sa position dans l’espace-temps. Il n’a pas besoin de conna\u00eetre le temps, il le d\u00e9duit de la r\u00e9ception des signaux. Cela signifie que votre petit GPS peut \u00e9galement vous donner l’heure avec la pr\u00e9cision d’une horloge atomique\u00a0! Pas mal non\u00a0?<\/em><\/p>\n

D’ailleurs en pratique les satellites n’ont pas besoin d’\u00e9mettre un message contenant l’heure exacte. Il peuvent se contenter d’\u00e9mettre un signal convenu \u00e0 l’avance, un peu comme si ils chantaient une chanson dont on connaisse exactement le timing. Votre GPS re\u00e7oit tous les signaux, compare les d\u00e9calages et en essayant de les synchroniser, il peut trianguler et trouver sa position dans l’espace et dans le temps. La pr\u00e9cision de ce dispositif est d’ailleurs am\u00e9lior\u00e9e par le fait qu’un GPS peut recevoir en g\u00e9n\u00e9ral les signaux d’une dizaine de satellites. Tout cela est bien expliqu\u00e9 dans ce billet du Dr. Goulu<\/a> sur son blog \u00ab\u00a0Pourquoi, Comment, Combien ?\u00a0\u00bb
\n<\/em><\/p>\n

Autre \u00e9l\u00e9ment pour creuser\u00a0: j’ai \u00e9t\u00e9 fort surpris de constater que la correction de relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale est sup\u00e9rieure \u00e0 celle de la relativit\u00e9 restreinte. Je m’imaginais que cette derni\u00e8re \u00e9tait dominante, et que l’autre n’\u00e9tait qu’un pouilli\u00e8me. Eh bien non\u00a0!<\/em><\/p>\n

Pour s’en rendre compte, on peut estimer les ordres de grandeur des corrections. Le facteur de dilatation du temps en relativit\u00e9 restreinte est<\/em><\/p>\n

\\(\\frac{1}{\\sqrt{1-v^2\/c^2}}\\)<\/em><\/p>\n

Pour des vitesses faibles par rapport \u00e0 la vitesse de la lumi\u00e8re, la correction est donc de l’ordre de \\(v^2\/2c^2\\), et on trouve de l’ordre de quelques dizaines de microsecondes.<\/em><\/p>\n

Pour la correction de relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale, elle est (en champ faible) de l’ordre de<\/em><\/p>\n

\\(\\frac{gh}{c^2}\\)<\/em><\/p>\n

o\u00f9 g est le champ gravitationnel moyen et h la diff\u00e9rence d’altitude. Si vous faites le calcul pour les satellites, on trouve le m\u00eame ordre de grandeur.<\/em><\/p>\n

Cela montre que la correction de relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale est du m\u00eame ordre de grandeur que celle de relativit\u00e9 restreinte\u00a0!<\/em><\/p>\n

Une question \u00e0 laquelle je n’ai pas la r\u00e9ponse : pourquoi est-ce que les corrections ne se compensent pas, sachant que tous les satellites voyagent \u00e0 la m\u00eame vitesse et dans le m\u00eame champ gravitationnel. Peut \u00eatre que d’autres ont pens\u00e9 la m\u00eame chose, puisqu’une histoire affirme que certaines personnes (des militaires diront les mauvaises langues) ne croyaient pas \u00e0 la n\u00e9cessit\u00e9 des corrections relativistes, et que les satellites ont \u00e9t\u00e9 con\u00e7us avec une option pour activer ou non cette correction. Et qu’apr\u00e8s un court essai sans, tout le monde a reconnu que les corrections relativistes \u00e9taient n\u00e9cessaires. Je ne sais pas si cette histoire est vraie !<\/em>
\u00a0<\/em><\/p>\n

\u00a0<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En ce moment o\u00f9 l’on parle beaucoup de valorisation de la recherche, le grand public peut parfois s’interroger sur les retomb\u00e9es technologiques de certaines recherches tr\u00e8s fondamentales. Et pourtant les exemples ne manquent pas, \u00e0 commencer par la m\u00e9canique quantique sans laquelle l’\u00e9lectronique et l’informatique n’existeraient pas\u00a0! Mais aujourd’hui, je voudrais \u00e9voquer le cas de<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[31,88],"class_list":{"0":"post-4261","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-relativite","8":"tag-temps"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4261","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4261"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4261\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4261"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4261"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4261"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}