{"id":3970,"date":"2013-01-14T00:01:15","date_gmt":"2013-01-13T23:01:15","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=3970"},"modified":"2021-02-12T08:32:03","modified_gmt":"2021-02-12T07:32:03","slug":"le-theoreme-de-godel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2013\/01\/14\/le-theoreme-de-godel\/","title":{"rendered":"Le th\u00e9or\u00e8me d’incompl\u00e9tude de G\u00f6del"},"content":{"rendered":"

\"\"C’est en cours de philo que j’en ai entendu parler pour la premi\u00e8re fois ! Notre prof nous faisait un cours sur la logique et ses fondements, et c’est alors qu’elle le mentionna : le fameux th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del, celui qui prouve que quoi qu’on fasse, il existe des \u00e9nonc\u00e9s math\u00e9matiques vrais, mais ind\u00e9montrables.<\/strong> Les math\u00e9matiques resteront \u00e0 tout jamais un \u00e9difice imparfait\u00a0!<\/p>\n

J’en fus \u00e9videmment tout retourn\u00e9 et fascin\u00e9\u00a0: comment \u00e9tait-il possible qu’un truc pareil existe\u00a0? Comment prouver ce r\u00e9sultat pouvait m\u00eame \u00eatre du domaine de la science\u00a0?<\/p>\n

Peut-on tout d\u00e9montrer en math\u00e9matiques ?<\/h3>\n

Quand on fait des math\u00e9matiques, on manipule des \u00e9nonc\u00e9s<\/strong>. Un \u00e9nonc\u00e9 est une suite de symboles ou une phrase ayant un sens math\u00e9matique pr\u00e9cis. Par exemple 2 + 2 = 4<\/em> ou \u00ab\u00a0Il existe une infinit\u00e9 de nombres premiers\u00a0\u00bb <\/em>sont des \u00e9nonc\u00e9s math\u00e9matiques. Un \u00e9nonc\u00e9 math\u00e9matique est soit vrai, soit faux : par exemple 2 + 2 = 5<\/em> est un \u00e9nonc\u00e9 faux.<\/p>\n

Quand on consid\u00e8re un \u00e9nonc\u00e9 math\u00e9matique, on ne sait pas forc\u00e9ment \u00e0 l’avance s’il est vrai ou faux. Le travail du math\u00e9maticien, c’est justement d’essayer de savoir lesquels sont vrais et lesquels sont faux. Et pour cela, il utilise un outil : il fait des d\u00e9monstrations<\/strong>.<\/p>\n

Si un math\u00e9maticien arrive \u00e0 d\u00e9montrer un \u00e9nonc\u00e9, on consid\u00e8re que cet \u00e9nonc\u00e9 est \u00ab\u00a0vrai\u00a0\u00bb. S’il d\u00e9montre le contraire, alors on dit que l’\u00e9nonc\u00e9 est faux.<\/p>\n

Les math\u00e9matiques reposent donc sur l’id\u00e9e que si un \u00e9nonc\u00e9 est vrai, alors il doit en exister une d\u00e9monstration, et il n’y a plus qu’\u00e0 la trouver. Mais est-on s\u00fbr que tout ce qui est \u00ab\u00a0vrai\u00a0\u00bb est forc\u00e9ment \u00ab\u00a0d\u00e9montrable\u00a0\u00bb ?<\/strong> Se pourrait-il qu’il existe des choses vraies mais ind\u00e9montrable ?<\/p>\n

Notez bien que s’il existe des choses vraies mais ind\u00e9montrables, c’est un camouflet pour les math\u00e9maticiens, car cela signifie qu’il y a des questions math\u00e9matiques auxquelles ils ne peuvent pas r\u00e9pondre ! Pour couper court \u00e0 cette inqui\u00e9tude, au d\u00e9but du XX\u00e8me si\u00e8cle, quelques matheux et logiciens men\u00e9s par David Hilbert ont voulu asseoir les maths sur des bases inattaquables. Ils ont donc cherch\u00e9 \u00e0 montrer que si une affirmation math\u00e9matique est vraie, alors il en existe n\u00e9cessairement une d\u00e9monstration.<\/p>\n

Malheureusement pour eux, en 1931, le jeune logicien tch\u00e8que Kurt G\u00f6del a douch\u00e9 leurs espoirs<\/strong> avec un r\u00e9sultat aussi diabolique qu\u2019inattendu : en math\u00e9matique, il existera toujours des \u00e9nonc\u00e9s vrais, et pourtant ind\u00e9montrables<\/strong>. M\u00eame sur leur propre terrain de jeu, les maths ne sont donc pas toutes puissantes\u00a0!<\/p>\n

Mais pour comprendre exactement de quoi il retourne, il nous faut creuser un peu la notion de \u00ab\u00a0d\u00e9montrable\u00a0\u00bb.<\/p>\n

A quoi jouent les math\u00e9maticiens\u00a0?<\/h3>\n

\"axiomes<\/a>Pour d\u00e9montrer des choses, les matheux utilisent ce qu’on appelle la m\u00e9thode axiomatique<\/strong>. Ils se donnent certaines affirmations comme ingr\u00e9dients de d\u00e9part : ce sont les axiomes. Puis ils cherchent \u00e0 les combiner selon les r\u00e8gles de la logique pour essayer d’aboutir \u00e0 de nouvelles affirmations. Une affirmation d\u00e9duite des axiomes est consid\u00e9r\u00e9e comme \u00ab\u00a0d\u00e9montr\u00e9e\u00a0\u00bb<\/strong> (on peut alors la qualifier de th\u00e9or\u00e8me<\/em>).<\/p>\n

Pour illustrer le principe de la m\u00e9thode axiomatique, on peut utiliser une analogie avec un \u00e9chafaudage. Les axiomes, ce sont les bases de notre \u00e9chafaudage, et les r\u00e8gles de la logique nous permettent de monter une structure qui repose sur ces axiomes. Chaque fen\u00eatre \u00e0 laquelle on acc\u00e8de gr\u00e2ce \u00e0 notre \u00e9chafaudage est une affirmation d\u00e9montr\u00e9e qui devient un th\u00e9or\u00e8me.<\/p>\n

Toutes les math\u00e9matiques se font au moyen de la m\u00e9thode axiomatique, mais il existe plusieurs choix possibles pour les axiomes. Si vous voulez faire de la g\u00e9om\u00e9trie dans le plan, vous allez partir des axiomes d’Euclide. Si vous avez envie de consid\u00e9rer uniquement les nombres entiers, vous pouvez vous tourner vers les axiomes de l’arithm\u00e9tique de Peano<\/strong>. Pour vous faire une id\u00e9e de ce \u00e0 quoi \u00e7a ressemble, voici quelques uns de ces axiomes :<\/p>\n