{"id":3850,"date":"2012-12-17T00:01:26","date_gmt":"2012-12-16T23:01:26","guid":{"rendered":"https:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=3850"},"modified":"2012-12-17T00:01:26","modified_gmt":"2012-12-16T23:01:26","slug":"the-doomsday-argument-les-mathematiques-de-la-fin-du-monde","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2012\/12\/17\/the-doomsday-argument-les-mathematiques-de-la-fin-du-monde\/","title":{"rendered":"The Doomsday argument : les math\u00e9matiques de la fin du monde"},"content":{"rendered":"

\"The_Last_Judgement._Jean_Cousin_extrait.\"<\/a>L’affaire est entendue : c’est la fin du monde dans quelques jours. Alors un grand merci \u00e0 tous mes fid\u00e8les lecteurs qui m’auront suivi jusque l\u00e0 !<\/p>\n

Et pour finir en beaut\u00e9, nous allons bien sur parler de l’Apocalypse ! Mais comme il s’agit de sciences, nous allons discuter de la probabilit\u00e9 prochaine de la fin du monde.<\/p>\n

Et vous allez voir que \u00e7a n’est pas si catastrophique que vous le pensez, mais c’est plus inqui\u00e9tant que vous ne le croyez<\/strong> !<\/p>\n

L’esp\u00e8ce humaine ne fait-elle que commencer ?<\/h3>\n

\"clock<\/a>Imaginons que vous arriviez dans votre bar pr\u00e9f\u00e9r\u00e9, et qu’un morceau soit en train de passer, par exemple The Scientist<\/em> de Coldplay. La chanson fait environ 5 minutes, soit 300 secondes. Quelle est la probabilit\u00e9 que vous arriviez pendant les 15 premi\u00e8res secondes de la chanson ?<\/strong><\/p>\n

Si on part du principe que vous arrivez au hasard pendant la chanson, il n’y a qu’une chance sur 20 que vous arriviez dans les 15 premi\u00e8res secondes; et donc 95% de chances que vous soyez dans les derni\u00e8res 285 secondes<\/strong>. Tout cela est bien clair, mais vous vous demandez pourquoi je vous raconte \u00e7a ?<\/p>\n

Tenons maintenant le m\u00eame raisonnement avec l’esp\u00e8ce humaine plut\u00f4t qu’avec une chanson. L’esp\u00e8ce humaine a environ 50 000 ans, et selon le m\u00eame principe, il y a 95% de chances qu’on ait d\u00e9j\u00e0 d\u00e9pass\u00e9 le premier vingti\u00e8me de son existence. Donc il reste tr\u00e8s certainement \u00e0 l’esp\u00e8ce humaine moins d’un million d’ann\u00e9es \u00e0 vivre<\/strong>.<\/p>\n

Ca ne vous fait pas paniquer ? Alors on va raffiner un peu. Mais pour cela, nous allons commencer par faire un d\u00e9tour par un probl\u00e8me d’espionnage.<\/p>\n

Le probl\u00e8me des chars allemands<\/h3>\n

\"char<\/a>Pendant la Deuxi\u00e8me guerre mondiale, les Alli\u00e9s se sont pos\u00e9s la question cruciale de l’estimation du nombre de chars allemands en circulation<\/strong>. Les math\u00e9maticiens de l’Intelligence Service<\/em> ont alors eu recours \u00e0 une simple m\u00e9thode probabiliste qui a surpass\u00e9 toutes les autres approches.<\/p>\n

Supposons que chaque char poss\u00e8de un num\u00e9ro de s\u00e9rie inscrit sur son blindage, et que ces num\u00e9ros commencent \u00e0 1 et se suivent s\u00e9quentiellement. Imaginez que vous soyez sur le champ de bataille, et que vous parveniez \u00e0 d\u00e9truire trois chars d’une division ennemie. En vous approchant de leurs carcasses, vous rep\u00e9rez les trois num\u00e9ros de s\u00e9rie : 17, 42 et 66. Combien y avait-il de chars au total dans cette division?<\/strong><\/p>\n

Intuitivement, on a envie de donner une r\u00e9ponse autour de 100. On sait en effet qu’il y en a au moins 66 (le plus grand num\u00e9ro de s\u00e9rie observ\u00e9), mais s’il y en avait beaucoup plus, on serait tr\u00e8s certainement tomb\u00e9s sur des num\u00e9ros plus grands.<\/p>\n

Poussons le jeu plus loin : imaginons que vous fassiez la m\u00eame chose pour estimer le nombre de canons de l’adversaire, mais supposons que cette fois vous n’en capturiez qu’un seul<\/strong> ! Si son num\u00e9ro de s\u00e9rie est M, quelle estimation pouvez vous faire du nombre total de canons N ?<\/p>\n

Il existe une r\u00e9ponse rigoureuse \u00e0 cette question (voire plus bas pour les courageux), qui dit que la meilleure estimation est de doubler le num\u00e9ro de s\u00e9rie que l’on a obtenu. Intuitivement \u00e7a se comprend bien, si on choisit un seul num\u00e9ro au hasard entre 1 et N, en moyenne on va tomber au milieu. Techniquement, on dit que si vous observez le num\u00e9ro M et que vous cherchez \u00e0 estimer le total N, le meilleur estimateur de N est de prendre le nombre 2M.<\/p>\n

En d\u00e9veloppant un peu plus le calcul probabiliste, on peut m\u00eame affirmer qu’\u00e0 95% de chances, N est inf\u00e9rieur \u00e0 20 fois le nombre M<\/strong>. Donc si vous avez observ\u00e9 le canon n\u00b078, la meilleure estimation est 156, et \u00e0 95% de chances il y a moins de 1560 canons.<\/p>\n

Ok pour les chars et les canons ? Alors revenons \u00e0 nos moutons, ou plut\u00f4t nos humains.<\/p>\n

L’argument du Doomsday<\/h3>\n

Savez-vous combien d’\u00eatres humains ont v\u00e9cu sur Terre depuis les d\u00e9buts de l’esp\u00e8ce jusqu’\u00e0 nos jours ?<\/strong> D’autres se sont pos\u00e9 la question<\/a>, et un bon ordre de grandeur est environ 100 milliards. Ca veut donc dire que si les humains portaient tous un num\u00e9ro de s\u00e9rie s\u00e9quentiel, le tien, cher lecteur, serait autour de 100 milliards<\/strong> (plus ou moins, suivant ton \u00e2ge).<\/p>\n

\"World-Population-1800-2100\"<\/a>Vous me voyez venir : si je porte le num\u00e9ro 100 milliards et que je ne suis qu’un humain quelconque parmi l’ensemble des humains pass\u00e9s, pr\u00e9sents et \u00e0 venir, alors je peux appliquer le m\u00eame raisonnement que pour le char allemand. Et donc une bonne estimation de la taille totale de l’humanit\u00e9 jusqu’\u00e0 son extinction est le double de mon num\u00e9ro, soit 200 milliards d’individus;<\/strong> et \u00e0 95% de chances, pas plus que 2000 milliards.<\/p>\n

Partons du principe que la population mondiale va bient\u00f4t se stabiliser autour de 10 milliards (sc\u00e9nario orange ci-contre), avec un taux de natalit\u00e9 de 2%, soit 200 millions de nouveaux humains chaque ann\u00e9e. Alors l’humanit\u00e9 en a encore en moyenne pour 1000 ans, et \u00e0 95% de chances pour moins de 10 000 ans.\u00a0 Et si on prend des projections pessimistes sur la croissance de la population (sc\u00e9nario en rouge ci-contre), ce sera encore pire ! Voil\u00e0 ce qu’on appelle en anglais The Doomsday Argument.<\/em><\/p>\n

Vous rigolez moins, l\u00e0 !<\/p>\n

Tout cela est-il bien s\u00e9rieux ?<\/h3>\n

\u00c9videmment, en entendant \u00e7a on a juste envie de se dire un truc du genre \u00ab\u00a0Oui mais non, on a pas le droit de faire des probas avec ce genre de choses\u00a0\u00bb ou bien \u00ab\u00a0Ca d\u00e9pend de ce qu’on appelle l’esp\u00e8ce humaine\u00a0\u00bb. Pour citer J.P. Delahaye dans son article sur le sujet [1] \u00ab\u00a0Se rassurer a\u0300 bon compte en s\u2019interdisant de raisonner est trop facile<\/em>.\u00a0\u00bb Alors que peut-on vraiment conclure de ce raisonnement ?<\/p>\n

Tout d’abord, il faut r\u00e9aliser que tout cela part d’une vision assez copernicienne.<\/strong> Rappelez vous, Copernic avait provoqu\u00e9 un scandale en affirmant que la Terre n’\u00e9tait pas le centre de l’Univers, et que par cons\u00e9quent la position de l’homme dans celui-ci n’avait absolument rien de sp\u00e9cial.<\/p>\n

Eh bien l\u00e0 c’est pareil, admettons que vous n’avez rien de sp\u00e9cial et que je n’ai rien de sp\u00e9cial. Notre position dans l’espace n’a rien de sp\u00e9cial (ce que nous dit Copernic), mais notre position dans le temps non plus ! Si vous imaginez que la civilisation humaine va perdurer des millions d’ann\u00e9es, coloniser la galaxie et que sa population va d\u00e9passer 100 000 milliards, alors vous \u00eates forc\u00e9 d’admettre que le fait que vous soyez n\u00e9 parmi les premiers 100 milliards d’humains est un petit miracle. Si on consid\u00e8re que ce petit miracle est peu probable, alors il faut admettre que la population n’atteindra probablement jamais ces sommets.<\/p>\n

Pour vous rassurer, on peut tenir le m\u00eame raisonnement dans l’autre sens, pour affirmer que faire partie des derniers humains de l’esp\u00e8ce serait aussi un petit miracle. Donc n’ayez pas trop d’inqui\u00e9tude pour cette semaine !<\/p>\n

Pour aller plus loin : Fr\u00e9quentistes versus Bay\u00e9siens<\/em><\/h3>\n

Quand j’ai d\u00e9couvert le probl\u00e8me du char allemand, cela a \u00e9t\u00e9 une grande r\u00e9v\u00e9lation pour moi, car j’ai enfin compris que la diff\u00e9rence entre un fr\u00e9quentiste et un bay\u00e9sien n’est pas que philosophique.<\/em><\/p>\n

Rappelons les termes du d\u00e9bat : en probabilit\u00e9s, un fr\u00e9quentiste<\/strong> est quelqu’un qui pense que les probas n’ont de sens que si on les appliques \u00e0 des probl\u00e8mes pour lesquels on peut r\u00e9p\u00e9ter une exp\u00e9rience des tas de fois, par exemple un lancer de d\u00e9s. Un bay\u00e9sien<\/strong>, c’est quelqu’un qui part de la formule de Bayes et utilise les probabilit\u00e9s pour d\u00e9signer un niveau de croyance en une hypoth\u00e8se, comme je l’expliquais dans mon billet sur l’inf\u00e9rence bay\u00e9sienne<\/a>. Le fr\u00e9quentiste a une vision plut\u00f4t conservatrice de l’usage des probas, le bay\u00e9sien pr\u00e9tend que l’on peut \u00e9tendre leur usage \u00e0 la quantification des niveaux de croyance. Et \u00e9videmment les deux chapelles se traitent mutuellement de tous les noms (dans les limites de la courtoisie scientifique !)<\/em><\/p>\n

J’ai longtemps cru que cette diff\u00e9rence \u00e9tait purement philosophique, car je ne voyais pas bien en quoi \u00eatre fr\u00e9quentiste ou bay\u00e9sien pouvait changer les choses en pratique<\/span>. Mais le probl\u00e8me du char allemand fournit un parfait exemple !<\/em><\/p>\n

Le fr\u00e9quentiste raisonne comme suit : supposons qu’il y a ait N chars et que j’en observe un seul qui porte le num\u00e9ro M. J’essaye d’estimer le nombre total N \u00e0 partir de la connaissance de M, sous la forme a.M o\u00f9 a est un nombre sup\u00e9rieur \u00e0 1. Je cherche le nombre a qui donne le meilleur estimateur.
\n<\/em><\/p>\n

Si je r\u00e9p\u00e8te l’exp\u00e9rience un grand nombre de fois, je vais passer par les N cas possible : le premier cas est celui o\u00f9 j’observe le char n\u00b01, le second cas celui o\u00f9 j’observe le char num\u00e9ro 2, le i\u00e8me cas est celui o\u00f9 j’observe le char num\u00e9ro i. Si la forme que je cherche pour mon estimateur est de multiplier le num\u00e9ro que j’observe par un nombre a, l’erreur moyenne que je commets est <\/em><\/p>\n

\\((1\/N) \\sum_{i=1..N} (ai – N)\\)<\/em><\/p>\n

et on observe que (pour les grands N) l’erreur moyenne devient nulle pour a=2. Donc pour un fr\u00e9quentiste, on obtient un estimateur (dit non-biais\u00e9) du nombre N de char en prenant le num\u00e9ro observ\u00e9 et en le multipliant par 2.<\/em><\/p>\n

Voyons comment proc\u00e8de le Bay\u00e9sien. Lui part d’un certain niveau de croyance sur le nombre possible de chars ennemis. Par exemple supposons qu’on sache avec absolue certitude qu’il y en a moins que K, mais qu’entre 1 et K on ne privil\u00e9gie aucune hypoth\u00e8se. Notre probabilit\u00e9 a priori pour N (not\u00e9e p(N)) est donc uniforme entre 1 et K. Maintenant ajoutons l’information : \u00ab\u00a0J’observe le char num\u00e9ro M\u00a0\u00bb. Alors on obtient par la formule de Bayes une probabilit\u00e9 a posteriori p(N sachant M).<\/em><\/p>\n

On peut faire le calcul en d\u00e9tail, je vous en fait gr\u00e2ce. Une fois qu’on a trouv\u00e9 p(N sachant M), on peut calculer le N moyen en sommant sur tous les N possibles pond\u00e9r\u00e9s par cette probabilit\u00e9. On trouve alors comme estimation moyenne de N
\n<\/em><\/p>\n

\\(\\frac{K-M}{log((K-1)\/(M-1))}\\)<\/em><\/p>\n

C’est une valeur diff\u00e9rente de ce qu’a dit le fr\u00e9quentiste. Donc le fr\u00e9quentiste et le bay\u00e9sien vont clairement traiter diff\u00e9remment le probl\u00e8me du char allemand.<\/em><\/p>\n

D’ailleurs pour ceux qui veulent encore pousser, il existe \u00e0 l’origine une formulation bay\u00e9sienne de l’argument de l’Apocalypse qui est due \u00e0 Brandon Carter. Dans son article [1], J.-P. Delahaye semble r\u00e9soudre le paradoxe en montrant qu’appliquer na\u00efvement la formule de Bayes induit un effet de loupe qui fausse le r\u00e9sultat. Je me demande ce que devient cette r\u00e9futation si on prend le point de vue fr\u00e9quentist (des avis ?). <\/em><\/p>\n

Une bonne r\u00e9ponse est peut \u00eatre justement qu’utiliser le raisonnement fr\u00e9quentiste pour parler de la fin du monde est certainement la pire entorse qu’on puisse faire au fr\u00e9quentisme, puisque la fin du monde est certainement l’exp\u00e9rience la moins r\u00e9p\u00e9table qui soit. Encore que, vu le nombre de fins du monde qu’on a d\u00e9j\u00e0 v\u00e9cu….<\/em><\/p>\n

[1] JP Delahaye, La Belle au bois dormant, la fin du monde et les extraterrestres<\/a>, Pour la Science n\u00b0309<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

L’affaire est entendue : c’est la fin du monde dans quelques jours. Alors un grand merci \u00e0 tous mes fid\u00e8les lecteurs qui m’auront suivi jusque l\u00e0 ! Et pour finir en beaut\u00e9, nous allons bien sur parler de l’Apocalypse ! Mais comme il s’agit de sciences, nous allons discuter de la probabilit\u00e9 prochaine de la<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[48],"class_list":{"0":"post-3850","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-probabilites"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3850","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3850"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3850\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3850"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3850"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3850"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}