{"id":37,"date":"2010-09-13T22:46:24","date_gmt":"2010-09-13T20:46:24","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=37"},"modified":"2010-09-13T22:46:24","modified_gmt":"2010-09-13T20:46:24","slug":"la-conjecture-de-goldbach","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2010\/09\/13\/la-conjecture-de-goldbach\/","title":{"rendered":"La conjecture de Goldbach"},"content":{"rendered":"

Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers<\/strong><\/span><\/p>\n

Sous son apparente simplicit\u00e9, cet \u00e9nonc\u00e9 en principe compr\u00e9hensible par un enfant de 3\u00e8me<\/sup> (*) constitue en fait l\u2019une des \u00e9nigmes les plus importantes des math\u00e9matiques modernes. Cette affirmation porte le nom de \u00ab\u00a0Conjecture de Goldbach\u00a0\u00bb, en r\u00e9f\u00e9rence au math\u00e9maticien prussien qui l\u2019a pour la premi\u00e8re fois \u00e9nonc\u00e9e en 1742, dans une lettre \u00e0 Leonard Euler. Ce dernier lui r\u00e9pondit qu\u2019il consid\u00e9rait ce r\u00e9sultat comme \u00ab\u00a0totalement certain, bien que je ne sois pas capable moi-m\u00eame de le d\u00e9montrer\u00a0\u00bb. 268 ans plus tard, Euler peut dormir tranquille, personne n\u2019a jamais r\u00e9ussi.<\/p>\n

Si vous vous sentez un peu fatigu\u00e9 pour chercher directement une d\u00e9monstration, on peut s\u2019\u00e9chauffer en faisant quelques tests num\u00e9riques. Commen\u00e7ons de t\u00eate avec les premiers nombres pairs, en cherchant \u00e0 les d\u00e9composer sous forme d’une somme de deux nombres premiers :<\/p>\n

\n

2=1+1, 4=3+1, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=7+5, 14=7+7, 16=5+11,…<\/p>\n<\/blockquote>\n

Bien s\u00fbr il peut exister plusieurs solutions, par exemple :<\/p>\n

\n

100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53.<\/p>\n<\/blockquote>\n

Maintenant pour entrer dans l\u2019histoire des math\u00e9matiques, vous avez deux options\u00a0: essayer de d\u00e9montrer la conjecture de Goldbach, ou bien essayer d\u2019en trouver un contre-exemple, c’est-\u00e0-dire un nombre pair pour lequel il n\u2019existe aucune d\u00e9composition comme somme de deux nombres premiers.<\/p>\n

Vous vous sentez en forme\u00a0? Alors choisissez un nombre pair et rendez vous sur cette page<\/a> pour voir s\u2019il en existe au moins une d\u00e9composition en somme de deux nombres premiers<\/p>\n

J\u2019ai essay\u00e9 avec n= 2345678654321345678765432, et la gloire n\u2019est pas pour aujourd\u2019hui. Il doit exister un sacr\u00e9 paquet de mani\u00e8re de l\u2019\u00e9crire comme somme de deux nombres premiers, et voici les 5 premi\u00e8res<\/p>\n

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2345678654321345678765432\u00a0=\u00a0 181\u00a0+\u00a02345678654321345678765251<\/p>\n

2345678654321345678765432\u00a0=\u00a0 421\u00a0+\u00a02345678654321345678765011<\/p>\n

2345678654321345678765432\u00a0=\u00a0 1093\u00a0+\u00a02345678654321345678764339<\/p>\n

2345678654321345678765432\u00a0=\u00a0 1249\u00a0+\u00a02345678654321345678764183<\/p>\n

2345678654321345678765432\u00a0=\u00a0 1621\u00a0+\u00a02345678654321345678763811<\/p>\n<\/blockquote>\n

Intuitivement, on sent que plus les nombres sont grands, plus cela devient facile car il existe alors plus de possibilit\u00e9s de trouver des nombres premiers qui conviennent. Il existe dans cette veine un argument statistique qui fait dire aux math\u00e9maticiens que la conjecture est tr\u00e8s certainement vraie. D\u2019ailleurs en lan\u00e7ant des tas de calculs <\/a>de ce genre sur des grosses machines, la conjecture de Goldbach a \u00e9t\u00e9 v\u00e9rifi\u00e9e num\u00e9riquement jusqu’\u00e0 des nombres sup\u00e9rieurs \u00e0 1 000 000 000 000 000 000 (10^18).<\/p>\n

La conjecture de Goldbach est vraiment une \u00e9nigme fascinante\u00a0: tr\u00e8s simple \u00e0 comprendre, v\u00e9rifi\u00e9e num\u00e9riquement jusqu\u2019\u00e0 des nombres astronomiques, et pourtant \u00e0 ce jour sans d\u00e9monstration.<\/p>\n

Alors la conjecture de Goldbach, bient\u00f4t d\u00e9montr\u00e9e\u00a0?<\/h3>\n

Pour se donner une id\u00e9e de la difficult\u00e9, on peut regarder ce que les math\u00e9maticiens ont r\u00e9ussit jusqu\u2019ici \u00e0 d\u00e9montrer dans ce domaine. Voici trois r\u00e9sultats d\u00e9montr\u00e9s, mais plus \u00ab\u00a0faibles\u00a0\u00bb que la conjecture de Goldbach\u00a0:<\/p>\n

D\u2019une part il a \u00e9t\u00e9 prouv\u00e9 que s\u2019il existe des contre-exemples \u00e0 la conjecture, il y en a \u00ab\u00a0infiniment peu\u00a0\u00bb. Pour \u00eatre pr\u00e9cis si on note E(N) le nombre d\u2019exceptions \u00e0 la conjecture entre 1 et N, alors E(N)\/N tend vers z\u00e9ro. En terme techniques, on dit que la conjecture de Goldbach est vraie pour \u00ab\u00a0presque tous\u00a0\u00bb les nombres pairs.<\/p>\n

En 1973 le math\u00e9maticien Chen Jingrun a montr\u00e9 que tout nombre pair peut s\u2019\u00e9crire non pas comme somme de deux nombres premiers, mais comme somme d\u2019un nombre premier et d\u2019un nombre \u00ab\u00a0semi-premier\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire produit de deux nombres premiers. Par exemple 42 = 17+5*5.<\/p>\n

Enfin dernier progr\u00e8s en date, en 1995, le fran\u00e7ais O. Ramar\u00e9 a montr\u00e9 que tout nombre pair peut toujours s\u2019\u00e9crire comme somme d\u2019au plus 6 nombres premiers. Tour de force math\u00e9matique, mais Goldbach pr\u00e9tend que 2 nombres premiers suffisent. On voit donc qu\u2019il reste du chemin \u00e0 faire.<\/p>\n

(*) D’apr\u00e8s le Bulletin officiel sp\u00e9cial n\u00b0 6 du 28 ao\u00fbt 2008, la notion de nombre premier est au programme de la classe de 3\u00e8me.<\/span><\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers Sous son apparente simplicit\u00e9, cet \u00e9nonc\u00e9 en principe compr\u00e9hensible par un enfant de 3\u00e8me (*) constitue en fait l\u2019une des \u00e9nigmes les plus importantes des math\u00e9matiques modernes. Cette affirmation porte le nom de \u00ab\u00a0Conjecture de Goldbach\u00a0\u00bb, en r\u00e9f\u00e9rence au math\u00e9maticien prussien qui l\u2019a pour la<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[2,3,5],"class_list":{"0":"post-37","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-arithmetique","8":"tag-conjecture","9":"tag-nombres-premiers"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/37","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=37"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/37\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=37"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=37"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=37"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}