{"id":3474,"date":"2012-10-08T20:10:50","date_gmt":"2012-10-08T18:10:50","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=3474"},"modified":"2012-10-08T20:10:50","modified_gmt":"2012-10-08T18:10:50","slug":"les-probabilites-conditionnelles-bayes-level-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2012\/10\/08\/les-probabilites-conditionnelles-bayes-level-1\/","title":{"rendered":"Les probabilit\u00e9s conditionnelles (Bayes level 1)"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Vous venez de passer un test pour le d\u00e9pistage du cancer. Le m\u00e9decin vous convoque pour vous annoncer le r\u00e9sultat\u00a0: mauvaise nouvelle, il est positif. Pas de chance, alors que ce type de cancer ne touche que 0.1% de la population.<\/p>\n

Vous demandez alors au praticien si le test est fiable. Sa r\u00e9ponse est sans appel\u00a0: \u00ab\u00a0Si vous avez le cancer, le test sera positif dans 90% des cas ; alors que si vous ne l’avez pas, il sera n\u00e9gatif dans 97% des cas \u00bb.<\/em> L’affaire para\u00eet entendue…<\/p>\n

Et pourtant, \u00e0 votre avis, apr\u00e8s le r\u00e9sultat d’un tel test, quelle est la probabilit\u00e9 que vous ayez le cancer\u00a0? 90%\u00a0? 87%\u00a0? Moins que \u00e7a ?<\/p>\n

Pour r\u00e9pondre \u00e0 cette question, il va falloir faire un tout petit peu de probabilit\u00e9s…mais \u00e7a en vaut la peine, vous allez d\u00e9couvrir que malgr\u00e9 votre test positif, la probabilit\u00e9 d’\u00eatre malade n’est que de 2.9%\u00a0<\/strong>! Creusons un peu ce petit paradoxe, et partons \u00e0 la d\u00e9couverte de la formule de Bayes, l’une des plus importantes de toute l’histoire des sciences !<\/p>\n

\"\"<\/a>Le calcul facile<\/h3>\n

Si on pose correctement les choses, vous allez voir que le calcul est en fait tr\u00e8s facile. Imaginons que 10 000 personnes viennent passer le test. Puisque le cancer en question touche 0.1% de la population, il y aura 10 malades parmi ces 10 000 patients. Et comme le test a une efficacit\u00e9 de 90% sur les malades, 9 de ces malades seront test\u00e9s positivement.<\/p>\n

Consid\u00e9rons maintenant ceux qui n’ont pas ce cancer : ils sont 9990. Puisque dans 97% des cas le test donne un r\u00e9sultat n\u00e9gatif chez une personne saine, il y aura environ 9690 tests n\u00e9gatifs, et donc 300 tests positifs chez ces 9990 personnes saines. Le bilan de cette petite analyse est repr\u00e9sent\u00e9 sur le sch\u00e9ma ci-contre.<\/p>\n

Morale de l’histoire, sur les 309 personnes qui sont test\u00e9es positives, 9 seulement sont r\u00e9ellement malades, et 300 sont saines : ces 300 sont ce qu’on appelle des\u00a0faux positifs<\/strong>. Si vous \u00eates positif, vous n’avez donc que 9\/309 = 2.9% de risque d’\u00eatre r\u00e9ellement malade, et 97.1% de chance d’\u00eatre un faux positif, et donc d’\u00eatre sain. Contre-intuitif, non ?<\/p>\n

Pourquoi le r\u00e9sultat est-il contre-intuitif ?<\/h3>\n

Si vous pensiez avoir une probabilit\u00e9 \u00e9lev\u00e9e d’\u00eatre malade, et si vous \u00eates perplexes devant ce r\u00e9sultat de seulement 2.9% : rassurez vous, vous n’\u00eates pas les seuls ! Quand une question de ce genre est pr\u00e9sent\u00e9e \u00e0 des m\u00e9decins, une \u00e9crasante majorit\u00e9 d’entre eux se trompent lourdement<\/strong>, et donnent des r\u00e9ponses du genre 90% ! Donc m\u00eame pour des professionnels, ce paradoxe des probabilit\u00e9s est bien difficile \u00e0 dompter.<\/p>\n

Si vous avez r\u00e9pondu 90%, vous avez commis une erreur classique, mais pas si simple \u00e0 appr\u00e9hender. Voyons ensemble : si vous \u00eates test\u00e9 positif et que vous vous demandez si vous avez le cancer, vous cherchez \u00ab\u00a0la probabilit\u00e9 d’\u00eatre malade sachant que le test est positif\u00a0\u00bb<\/strong>. Mais quand le m\u00e9decin vous dit que \u00ab\u00a0Si vous avez le cancer, le test sera positif dans 90% des cas\u00a0\u00bb<\/em>, il vous parle de \u00ab\u00a0la probabilit\u00e9 d’\u00eatre test\u00e9 positif sachant que l’on est malade\u00a0\u00bb<\/strong>. Vous saisissez la diff\u00e9rence entre les deux ?<\/p>\n

Autre source d’erreur classique, sous-estimer la possibilit\u00e9 de faire partie des faux positifs<\/strong>. Dans ce test, les sains apparaitront n\u00e9gatifs dans 97% des cas, mais positifs dans les 3% restants : ce sont les faux positifs. Intuitivement quand on consid\u00e8re ce chiffre de 3%, on se dit que c’est tr\u00e8s faible et qu’on n’en fait certainement pas partie. Mais on se trompe, car quand la maladie est globalement rare (ici 0.1%), la probabilit\u00e9 d’\u00eatre dans les faux positifs est beaucoup plus importante.<\/p>\n

J’esp\u00e8re que vous \u00eates maintenant convaincus que malgr\u00e9 le test positif, vous \u00eates tr\u00e8s certainement sain. Mais pour creuser plus loin les causes math\u00e9matiques de ce raisonnement, il va falloir s’int\u00e9resser \u00e0 ce qu’on appelle les probabilit\u00e9s conditionnelles<\/strong>. Nous en avons d\u00e9j\u00e0 fait depuis le d\u00e9but de ce billet, puisque ce terme d\u00e9signe les probabilit\u00e9s d\u00e8s que l’on utilise l’expression \u00ab\u00a0sachant que\u00a0\u00bb<\/em><\/strong>.<\/p>\n

Rappels de probabilit\u00e9s<\/h3>\n

\"proba<\/a>Pour apprendre les probabilit\u00e9s, il est de coutume d’utiliser une urne remplie d’objets, et de faire des tirages au hasard dedans. Imaginons donc une urne qui contient 100 objets, pouvant avoir deux formes (carr\u00e9 ou triangle) et deux couleurs (bleu ou rouge). La composition d\u00e9taill\u00e9e de l’urne est donn\u00e9e sur le dessin ci-contre.<\/p>\n

Une main innocente tire un objet au hasard, quel est la probabilit\u00e9 que ce soit un carr\u00e9\u00a0? Facile\u00a0! Il y a 100 objets, 60 sont des carr\u00e9s, donc la r\u00e9ponse est 60%. Jusqu’ici tout va bien.<\/p>\n

Imaginez maintenant que la main innocente tire un objet, et que vous parveniez \u00e0 distinguer rapidement que cet objet est rouge. Quel est la probabilit\u00e9 que ce soit un carr\u00e9\u00a0? Facile aussi, il y a 45 objets rouges, dont 9 qui sont \u00e0 la fois rouges et carr\u00e9s, la \u00ab\u00a0probabilit\u00e9 d’\u00eatre un carr\u00e9 sachant qu’il est rouge\u00a0\u00bb est donc 9\/45 = 20%.<\/p>\n

Si vous comparez ces deux situations, vous constatez que la probabilit\u00e9 que l’objet soit un carr\u00e9 est fortement affect\u00e9e par le fait de savoir qu’il est rouge. La \u00ab\u00a0probabilit\u00e9 que l’objet soit carr\u00e9\u00a0\u00bb n’est pas la m\u00eame que la \u00ab\u00a0probabilit\u00e9 que l’objet soit carr\u00e9 sachant qu’il est rouge\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Les math\u00e9maticiens parlent de probabilit\u00e9s \u00ab\u00a0conditionnelles\u00a0\u00bb, et utilisent la barre verticale | pour symboliser l’expression \u00ab\u00a0sachant que\u00a0\u00bb. Dans les exemples pr\u00e9c\u00e9dents, on a donc<\/p>\n

P(Carr\u00e9) = 60%<\/p>\n

P(Carr\u00e9 | Rouge) = 20%<\/p>\n

Maintenant je vous invite \u00e0 faire le calcul inverse. Vous tirez un objet les yeux band\u00e9s, vous sentez dans votre main qu’il est carr\u00e9\u00a0: quel est la probabilit\u00e9 qu’il soit rouge\u00a0? Si vous regardez attentivement la composition de l’urne, il y a 60 objets carr\u00e9s, dont 9 qui sont rouges, donc<\/p>\n

P(Rouge | Carr\u00e9 ) = 9\/60 = 15%<\/p>\n

Une le\u00e7on importante dans cette affaire, c’est que P(Rouge | Carr\u00e9 ) n’est pas la m\u00eame chose que P(Carr\u00e9 | Rouge).<\/p>\n

Nous avons vu dans notre exemple du cancer que notre erreur venait justement de la confusion entre P(Malade | Positif) et\u00a0P(Positif | Malade). Il est donc important de pouvoir passer de l’un \u00e0 l’autre dans un calcul. Et comment conna\u00eetre P(B|A) si on connait P(A|B)\u00a0? <\/strong><\/p>\n

C’est l\u00e0 qu’intervient une formule d\u00e9couverte par le r\u00e9v\u00e9rend Thomas Bayes au XVIII\u00e8me si\u00e8cle, mais qui – hasard de la science – n’a \u00e9t\u00e9 publi\u00e9e qu’apr\u00e8s sa mort.<\/p>\n

La formule de Bayes<\/h3>\n

Si vous reprenez le calcul pr\u00e9c\u00e9dent, dans le cas o\u00f9 l’on sait que l’objet est rouge, on calcule la probabilit\u00e9 d’\u00eatre carr\u00e9 en divisant le nombre d’objets carr\u00e9s et rouges par le nombre total d’objets rouges. On a donc<\/p>\n

P(Carr\u00e9 | Rouge) = P(Carr\u00e9 et Rouge) \/ P(Rouge)<\/p>\n

Mais on peut \u00e9galement permuter les r\u00f4les des formes et des couleurs, et \u00e9crire<\/p>\n

P(Rouge| Carr\u00e9) = P(Carr\u00e9 et Rouge) \/ P(Carr\u00e9)<\/p>\n

En regroupant les deux formules et en \u00e9liminant P(Carr\u00e9 et Rouge), on a<\/p>\n

P(Carr\u00e9 | Rouge) = P(Rouge| Carr\u00e9)P(Carr\u00e9)\/P(Rouge)<\/p>\n

Thomas Bayes avait observ\u00e9 que cette formule est vraie en g\u00e9n\u00e9ral, et pas seulement pour notre probl\u00e8me d’objets carr\u00e9s et rouges dans une urne. La c\u00e9l\u00e8bre formule de Bayes s’\u00e9crit sous sa forme abstraite<\/p>\n

\\(P(A|B) = \\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\\)<\/p>\n

o\u00f9 A et B sont des \u00e9v\u00e8nements quelconques. Prenez un peu de temps pour la contempler, il s’agit bien d’une des formules les plus importantes de toute l’histoire des sciences<\/strong> !<\/p>\n

Si vous l’appliquez au probl\u00e8me du cancer, vous obtenez<\/p>\n

\\(P(C|+) = \\frac{P(+|C)P(C)}{P(+)}\\)<\/p>\n

Et vous pouvez v\u00e9rifier que \u00e7a fonctionne !<\/p>\n

Maintenant que vous connaissez la formule de Bayes, vous \u00eates pr\u00eats \u00e0 d\u00e9couvrir tout un monde de raisonnements nouveaux ! Ce sera pour la prochaine fois, mais pour vous mettre l’eau \u00e0 la bouche, nous verrons le rapport entre la formule de Bayes, la recherche du coupable lors d’une enqu\u00eate, la d\u00e9tection du spam, mais aussi cette incroyable illusion d’optique<\/strong><\/p>\n

[youtube=http:\/\/www.youtube.com\/watch?v=QbKw0_v2clo]<\/p>\n

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Vous venez de passer un test pour le d\u00e9pistage du cancer. Le m\u00e9decin vous convoque pour vous annoncer le r\u00e9sultat\u00a0: mauvaise nouvelle, il est positif. Pas de chance, alors que ce type de cancer ne touche que 0.1% de la population. Vous demandez alors au praticien si le test est fiable. Sa r\u00e9ponse est sans<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[76,48],"class_list":{"0":"post-3474","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-medecine","8":"tag-probabilites"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3474","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3474"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3474\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3474"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3474"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3474"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}